Lernstand 5 Mathematik Einführung in die Fördermaterialen Operationsverständnis Inhaltsverzeichnis 1 Diagnosegeleitete Förderung im Anschluss an die Lernstandsanalyse... 2 1.1 Operationsverständnis Beschreibung... 2 1.2 Hintergrund zum Operationsverständnis Herausforderungen beim Lösen einer Sachaufgabe... 3 1.3 Förderansätze zum Operationsverständnis... 3 1.4 Förderung von Schülerinnen und Schülern der Stufen 1a und 1b... 4 1.5 Förderung von Schülerinnen und Schülern der Stufen 2 und 3... 5 2 Die Fördermodule (für Stufen 2 und 3)... 6 L5 M-OV Fördermaterial Mathematik LS
1 Diagnosegeleitete Förderung im Anschluss an die Lernstandsanalyse Im Lernstand 5 werden mit der Lernstandsanalyse der Ebene I die Kompetenzen der Schülerinnen und Schüler in den Testbereichen Schriftliche Rechenverfahren, Operationsverständnis und Zahlverständnis überprüft. Zur systematischen Weiterarbeit bietet das LS auf Ebene II im Bereich des Operationsverständnisses unterstützende Materialien an, die eine gezielte Förderung der Schülerinnen und Schüler entsprechend ihrem individuellen Lernstand ermöglichen. Die vorliegende Einführung in die Fördermaterialien beschreibt das Operationsverständnis und liefert Hintergrundinformationen zum Operationsverständnis in Hinblick auf die Herausforderungen, die das Lösen einer Sachaufgabe stellt (Abschnitte 1.1 und 1.2). Weiterhin werden die Fördermöglichkeiten bezogen auf die verschiedenen Stufen beschrieben (Abschnitte 1.4 und 1.5). Zuletzt wird eine kompakte Übersicht über die drei Fördermodule gegeben (Abschnitt 2). 1.1 Operationsverständnis Beschreibung Als Operationsverständnis wird bei Lernstand 5 die Fähigkeit von Schülerinnen und Schülern bezeichnet, Situationen (d. h. Beschreibungen, Handlungen, Bilder, Texte) in passende Rechenoperationen zu übersetzen und umgekehrt zu Operationen passende Situationen zu finden. Das Verständnis für die Bedeutung von Operationen zeigt sich also nicht in einem fehlerfreien Anwenden von Rechenverfahren, sondern darin, dass Schülerinnen und Schüler wissen, in welcher Situation welche Operation angemessen ist. 1 Hierbei sind zwei Übersetzungsprozesse wesentlich: In einem Schritt muss eine gegebene Situation (Beschreibung, Handlung, Bild oder Text) strukturiert, also in eine vereinfachte Situationsvorstellung überführt werden. Das bedeutet, dass relevante Informationen identifiziert und Beziehungen zwischen Zahlen erkannt werden müssen. Anschließend ist die gebildete vereinfachte Situationsvorstellung durch das Anwenden von Grundvorstellungen in den Bereich der Mathematik (Zahlen, Operationen, Terme, Ergebnisse) zu übersetzen. (Die beschriebenen Übersetzungsprozesse sind umkehrbar, siehe Abbildung unten.) 1 Ausführlichere Erläuterungen und die Beschreibungen der Lernstandsstufen in "Mathematik Erläuterungen zu Testbereichen, Indikator und Stufenmodellen" im Online-Portal Lernstandserhebungen unter dem Menüpunkt Informationen zur Vorbereitung L5 M-OV Fördermaterial Mathematik LS 2/7
1.2 Hintergrund zum Operationsverständnis Herausforderungen beim Lösen einer Sachaufgabe Bei der Bearbeitung einer Sachaufgabe können bei verschiedenen Schritten Schwierigkeiten auftreten, die jeweils einer unterschiedlichen Förderung oder ggf. Hilfestellung bedürfen: 1. Texterschließung: Schülerinnen und Schüler müssen herausfinden, welche Textstellen relevant sind, was diese bedeuten und wie die einzelnen Textstellen zusammenhängen. 2. Konstruktion eines Situationsmodells: Schülerinnen und Schüler müssen herausfinden, welche Objekte in der gegebenen Sachsituation zentral sind und welche Beziehungen zwischen diesen Objekten bestehen. Sie können sich gedanklich oder mit einer geeigneten Skizze einen Überblick über diese Struktur verschaffen. 3. Übersetzung des Situationsmodells in ein mathematisches Modell (Mathematisieren): Schülerinnen und Schüler müssen erkennen, welche Operationen zu einer Situation oder zu einer Beziehung zwischen Objekten passen und ggf. wie sie aufeinander folgen. Grundlage dieser Übersetzungsleistung sind tragfähige Grundvorstellungen zu mathematischen Operationen. 4. Durchführung der Rechnung: Schülerinnen und Schüler müssen mathematisch korrekt rechnen und dies überprüfen. Dazu sind Zahlwissen und Zahlverständnis, Rechenfertigkeiten und Rechenstrategien notwendig. 5. Überprüfung des Ergebnisses: Schülerinnen und Schüler müssen wissen und überprüfen, was das Ergebnis bedeutet und ob es stimmen kann. Die Überprüfung des Ergebnisses beinhaltet einen Rückbezug auf das eigene Verständnis der Aufgabenstellung. Die nachfolgend vorgestellten Fördermaßnahmen beinhalten Lernanlässe und fokussierte Hilfestellungen vorrangig zu den ersten drei dieser fünf Schritte, die den Kernbereich des Operationsverständnisses betreffen (siehe Abbildung Seite 2). 1.3 Förderansätze zum Operationsverständnis Um die verständige Entnahme von Informationen aus Texten zu erleichtern und zu strukturieren, hat sich eine Orientierung an vorgegebenen Schritten beim Lösen von Sachaufgaben und das Arbeiten mit Skizzen bewährt (vgl. Fördermodul Sachaufgaben mit Skizzen lösen ). Schülerinnen und Schüler entwickeln tragfähige Grundvorstellungen zu den vier Rechenoperationen, indem sie möglichst selbstständig zwischen den verschiedenen Darstellungsformen der Operationen in Form von Handlungen, Bildern bzw. Texten auf der einen Seite und symbolischen Rechenausdrücken auf der anderen Seite hin- und her übersetzen. Insbesondere strukturierte Darstellungsformen und Materialien unterstützen Schülerinnen und Schüler bei der Konstruktion eines Situationsmodells, da sich derart u. a. Beziehungen zwischen Größen und Teilergebnissen bei mehrschrittigen Operationen darstellen und leichter erkennen lassen. Auf allen Lernstandsstufen kann es hilfreich sein, die einfacheren oder auch komplexeren Operationen mit Material oder Bildern zu veranschaulichen. Für die Addition und Subtraktion eignen sich u. a. Mehrsystemblöcke (Dienes-Material) und Zahlenstrahl (Rechenstrich), für die Multiplikation und Division u. a. Punktefelder (z. B. Hunderterfeld) und Zahlenstrahl. Das Schaubild auf der nächsten Seite skizziert mögliche Vorgehensweisen für Fördermaßnahmen. L5 M-OV Fördermaterial Mathematik LS 3/7
Operationsverständnis Ansätze für Fördermaßnahmen Stufe 1a Fehlende Grundvorstellungen zur Addition, Subtraktion und Multiplikation Vertiefende Standortbestimmung mittels N3A Ich kann Additions- und Subtraktionsaufgaben zu Situationen finden und umgekehrt N4A Ich kann Multiplikations- Aufgaben zu Situationen finden und umgekehrt http://mathe-sicher-koennen.dzlm.de/node/334 Stufe 1b Fehlende Grundvorstellungen zur Multiplikation und Division Vertiefende Standortbestimmung mittels N4A Ich kann Multiplikations- Aufgaben zu Situationen finden und umgekehrt N4B Ich kann Divisionsaufgaben zu Situationen finden und umgekehrt http://mathe-sicher-koennen.dzlm.de/node/334 Stufe 2 Steigerung der Sicherheit in der Anwendung und Verknüpfung von Grundvorstellungen Fördermodule zum Operationsverständnis im Online-Portal http://www.lernstandserhebungen-bw.de/ (siehe auch Abschnitt 2) Stufe 3 Weiterentwicklung und Förderung des sicheren Operationsverständnisses Aufgabenstellungen mit hohem Problemlösegehalt in den Fördermodulen zum Operationsverständnis im Online-Portal http://www.lernstandserhebungen-bw.de/ (siehe auch Abschnitt 2) Zur Verstehensorientierung trägt im Mathematikunterricht das Begründen eigener Lösungswege und die Kommunikation sowie der Vergleich unterschiedlicher Herangehensweisen bei. Aus diesem Grund lassen die meisten der vom Landesinstitut angebotenen Förderaufgaben vielfältige Lösungswege, Ergebnisse und Darstellungsmöglichkeiten zu. 1.4 Förderung von Schülerinnen und Schülern der Stufen 1a und 1b Die Stufen 1a und 1b beschreiben einfaches bis elementares Operationsverständnis. Dementsprechend sind bei der Förderung dieser beiden Stufen die Anforderungen an das Strukturieren der Situation (siehe Übersetzungsprozesse, Abschnitt 1.1) zu Gunsten des Aufbaus von Grundvorstellungen sehr gering. Wenn Schülerinnen und Schüler wichtige Grundvorstellungen nicht besitzen, hilft es ihnen nicht, immer weitere Rechen- oder Textaufgaben zu bearbeiten, da die Verbindung zwischen Realsitua- L5 M-OV Fördermaterial Mathematik LS 4/7
tion und mathematischer Lösung nicht hergestellt werden kann. Die notwendigen Grundvorstellungen können mit Hilfe passender Materialien und Veranschaulichungen aufgebaut werden. 2 Hierzu eignet sich z. B. das Fördermaterial von Mathe sicher können 3. Das Material ist in verschiedene Förderbausteine gegliedert. Dabei wird zwischen Material für Lehrkräfte und Material für Schülerinnen und Schüler unterschieden. Für Fördermaßnahmen, die direkt an die Lernstandsanalyse in Mathematik anknüpfen, eignet sich besonders der Inhaltsbereich Natürliche Zahlen. In Mathematik Erläuterungen zu Testbereichen, Indikator und Stufenmodellen 4, Abschnitt 3, findet man weitere Förderhinweise mit Materialempfehlungen zu den jeweils passenden Förderbausteinen von Mathe sicher können. Das Schülermaterial von Mathe sicher können bietet Förderaufgaben, die den Aufgabenbereichen der vorab zur vertiefenden Diagnose empfohlenen Standortbestimmungen 5 entsprechen, wodurch eine individuell passende Förderung möglich ist. Die Förderung auf Stufe 1a zielt hauptsächlich darauf ab, die Grundvorstellungen zur Addition und Subtraktion später auch zur Multiplikation dahingehend aufzubauen, dass die Schüler und Schülerinnen in die Lage versetzt werden, diese einfachsten Grundvorstellungen in klar strukturierten Situationen in einschrittigen Rechenoperationen anzuwenden. Die Förderung auf Stufe 1b konzentriert sich auf den Auf- und Ausbau der Grundvorstellungen zur Multiplikation und Division mit dem Ziel, dass die Lernenden bei der Übersetzung einfacher Problemstellungen in einschrittige Rechenoperationen auf elementare Grundvorstellungen aller vier Grundrechenarten zurückgreifen können. Zu beachten ist, dass die Lesefähigkeit Einfluss auf die Mathematikleistung, vor allem im Testbereich Operationsverständnis, haben kann. Daher ist insbesondere bei Lernenden, welche auf den unteren Lernstandsstufen verortet sind, eine Kooperation mit der Deutschlehrkraft ratsam. 1.5 Förderung von Schülerinnen und Schülern der Stufen 2 und 3 Bei den Lernenden der Lernstandsstufen 2 und 3 geht es darum, das in der Grundschule aufgebaute Verständnis von verknüpften und mehrschrittigen Operationen und das Anwenden des Operationsverständnisses in problemhaltigen Situationen weiterzuentwickeln. Während die Förderung von Lernenden der Stufe 2 primär darauf abzielt, die Sicherheit beim Anwenden und Verknüpfen von Grundvorstellungen weiter auszubauen, sollte den Lernenden der Stufe 3 durch stark problemhaltige Aufgabenstellungen die Möglichkeit gegeben werden, ihr Operationsverständnis weiterzuentwickeln. In Mathematik Erläuterungen zu Testbereichen, Indikator und Stufenmodellen 6, Abschnitt 3 findet man Förderhinweise für Stufe 2 und 3. Die Förderung der Schülerinnen und Schüler, die diesen beiden Stufen zugeordnet sind, ist durch paralleles Arbeiten im Klassenverband möglich. Neben anderen, kommerziell verfügbaren Förderkonzepten werden vom Landesinstitut für die Stufen 2 und 3 die nachfolgend beschriebenen Fördermodule zum Operationsverständnis für die Nutzung im kooperativen Klassenunterricht angeboten. 2 Moser Opitz (2005): Lernschwierigkeiten in Klasse 5 und 8. Eine empirische Untersuchung zu fehlenden mathematischen Basiskompetenzen. In: VHN, 74. Jg., S. 113 128, München, Basel: Ernst Reinhardt. 3 Materialübersicht: http://mathe-sicher-koennen.dzlm.de/node/334 4 im Online-Portal-Lernstandserhebungen unter dem Menüpunkt Informationen zur Vorbereitung 5 Die zur vertiefenden Diagnose empfohlenen Standortbestimmungen sind jeweils im zugehörigen Lehrermaterial zu finden. 6 im Online-Portal Lernstandserhebungen unter dem Menüpunkt Informationen zur Vorbereitung L5 M-OV Fördermaterial Mathematik LS 5/7
2 Die Fördermodule (für Stufen 2 und 3) Die im Online-Portal angebotenen Fördermodule fördern vorrangig das Verständnis der Multiplikation und der Division sowie das Nutzen mehrschrittiger Operationen. Hierbei haben Schülerinnen und Schüler zu Beginn der fünften Klasse oftmals noch Schwierigkeiten. Weitergehend werden Texterfassung und Problemlösefähigkeiten gefördert, wofür insbesondere das Erstellen und Nutzen von Skizzen hilfreich ist. Im Vergleich zu den Anforderungen auf den Stufen 1a und 1b werden nun die zu vorzunehmenden Strukturierungen gegebener Situationen immer anspruchsvoller. Die Schülermaterialien für Stufe 2 zielen dementsprechend auf den Ausbau und das Verknüpfen der Grundvorstellungen hauptsächlich im Bereich Multiplikation und Division ab. Die Schülermaterialien für Schülerinnen und Schüler auf Stufe 3 beinhalten zunehmend komplexe und problemhaltige Situationen, für die kein Routineverfahren zur Lösung zur Verfügung steht. Viele Aufgaben sind zudem selbstdifferenzierend, lassen also durch die Größe der verwendeten Zahlen und die Problemhaltigkeit der Aufgabenstellung Bearbeitungen auf verschiedenen Wegen zu. Somit können die Lösungen dieser Aufgaben entsprechend der individuellen Fähigkeiten unterschiedlich schwierig oder komplex dargestellt werden. Hierdurch können die Schülerinnen und Schüler innerhalb einer Stufe noch differenzierter gefördert und gefordert werden. Die nachfolgende Tabelle soll einen Überblick darüber geben, wie und mit welchem Material die Lernenden in den einzelnen Modulen gefördert werden. Im Online-Portal ist jedem Fördermodul eine Handreichung zum Fördermodul beigefügt, die das Modul genauer beschreibt, Impulse für ein mögliches Vorgehen im Unterricht gibt und benötigte Kopiervorlagen liefert. Im Schülermaterial bietet jedes Modul Parallelaufgaben an, die wie in Abschnitt 1.5 beschrieben auf die Fähigkeiten und Vorkenntnisse der Schülerinnen und Schüler auf den Stufen 2 und 3 abgestimmt sind. Hiermit wird auf Grundlage der Ergebnisrückmeldung aus Lernstand 5 eine fokussierte Differenzierung und passgenaue differenzierte Förderung ermöglicht. L5 M-OV Fördermaterial Mathematik LS 6/7
Modul Förderidee Ziele (Stufen 2 und 3) Multiplikative Strukturen in Punktefeldern erkennen und nutzen Sachaufgaben mit Skizzen lösen Problemlösen bei verknüpften Operationen: Sprünge am Zahlenstrahl Punktefelder sind eine bereits vereinfachte Situationsvorstellung für mathematische Strukturen. Sie fördern Grundvorstellungen zur Multiplikation und zum flexiblen Rechnen, indem Schülerinnen und Schüler zwischen den Punktefeldern und passenden Rechnungen hinund herwechseln. Skizzen helfen, Sachaufgaben zu verstehen und eine (individuelle) Situationsvorstellung zu entwerfen. Mithilfe von Skizzen lässt sich oftmals die mathematische Struktur einer Sachsituation leichter erkennen. Sprünge am Zahlenstrahl sind ein leicht zugänglicher Kontext für die Förderung des komplexeren Operationsverständnisses. Indem Schülerinnen und Schüler Probleme zu Sprüngen am Zahlenstrahl lösen, vertiefen sie ihre Grundvorstellungen zur Multiplikation als Vorstellung der fortgesetzten Addition (räumlich oder zeitlich wiederholt) und zur Division, insbesondere das Aufteilen (auch mit Rest). Schülerinnen und Schüler vertiefen ihr Operationsverständnis zur Multiplikation, indem sie Punktebilder geschickt zerlegen und in Terme übersetzen. Auf Stufe 3 durchdringen sie dabei zunehmend komplexere operative Zusammenhänge bei flexiblen Zahlzerlegungen in Summen und Produkte. Schülerinnen und Schüler vertiefen ihr Operationsverständnis, indem sie zur Lösung von Sachaufgaben Skizzen nutzen. Diese helfen Texte bzw. Situationen zu verstehen, eine vereinfachte Situationsvorstellung zu entwerfen und einen Lösungsweg zu finden. Auf Stufe 3 werden allgemeinere Überlegungen zur mathematischen Struktur und zu passenden Operationen notwendig. Schülerinnen und Schüler vertiefen ihr Operationsverständnis hinsichtlich ihres Verständnisses der Multiplikation und der Division als Umkehroperation der Multiplikation. Mithilfe von Skizzen am Zahlenstrahl finden sie Lösungswege und können sie begründen. Die Schülerinnen und Schüler nutzen zunehmend mehrschrittige und verknüpfte Operationen. Auf Stufe 3 bearbeiten sie dazu auch Aufgaben zu größeren Zahlen, anspruchsvolleren Malreihen und anderen Sprungkombinationen, was eine deutlichere Verallgemeinerung bzw. Abstrahierung erforderlich macht. L5 M-OV Fördermaterial Mathematik LS 7/7