Numerik und Simulation in der Geoökologie

1/49 Rekapitulation Das Euler-Verfahren für ODE-IVP Eigenschaften von Einschrittverfahren Numerik und Simulation in der Geoökologie Sylvia Moenickes VL 2 WS 2007/2008

2/49 Rekapitulation Das Euler-Verfahren für ODE-IVP Eigenschaften von Einschrittverfahren Parcours Rekapitulation Das Euler-Verfahren für ODE-IVP Nach Beppo Nach Euler Eigenschaften von Einschrittverfahren Diskretisationsfehler Konsistenz Konvergenz

4/49 Rekapitulation Das Euler-Verfahren für ODE-IVP Eigenschaften von Einschrittverfahren Die Kondition einer Matrix Für den Fehler der Lösung eines linearen Gleichungssystems A x = b mit fehlerbehaftetem b ist die Kondition der Matrix A, definiert ( ) als ausschlaggebend. κ(a) = A A 1, (1) Kleine Konditionszahlen lassen mit der Abschätzung x b x κ(a) auf kleine Fehler schließen. b ( )... vorausgesetzt, es gibt A 1, d.h. A ist regulär.

5/49 Rekapitulation Das Euler-Verfahren für ODE-IVP Eigenschaften von Einschrittverfahren Iterative Lösung von Nullstellen-Problemen Algorithmisch: x n+1 = x n x3 n 16 3x 2 n mit Startwert x 0 = 7 Abbruchkriterium x i+1 x i < ε Programmiert: x=7; while abs(x^3-16)>0.00001 x=x-(x^3-16)/(3*x^2); end x

6/49 Rekapitulation Das Euler-Verfahren für ODE-IVP Eigenschaften von Einschrittverfahren Konvergenz von Folgen Rekursive Folge Das Newton-Verfahren zur Nullstellenbestimmung erzeugt eine rekursive Folge a n = f (a n 1, a n 2,...). Cauchysches Konvergenzkriterium Die Folge a n konvergiert genau dann, wenn zu jedem ε > 0 ein N(ε) N existiert, so dass für alle n, m mit n N, m N gilt: a n a m < ε.

7/49 Rekapitulation Das Euler-Verfahren für ODE-IVP Eigenschaften von Einschrittverfahren Grenzen des Newton-Verfahrens Wahl von x 0 Eigenschaften der Funktion in der Umgebung der Nullstelle...

8/49 Rekapitulation Das Euler-Verfahren für ODE-IVP Eigenschaften von Einschrittverfahren Eine grafische Konvergenzbetrachtung

13/49 Rekapitulation Das Euler-Verfahren für ODE-IVP Eigenschaften von Einschrittverfahren Geoökologische dynamische Systeme...... sind häufig nur als Anfangswertprobleme formulierbar: Abbau einer xenobiotischen Substanz durch Mikroorganismen, deren Entwicklung abhängig vom Substrat, oder der Temperatur, die abhängig ist vom Tagesverlauf

14/49 Rekapitulation Das Euler-Verfahren für ODE-IVP Eigenschaften von Einschrittverfahren Geoökologische dynamische Systeme...... sind häufig nur als Anfangswertprobleme formulierbar: Abbau einer xenobiotischen Substanz durch Mikroorganismen, deren Entwicklung abhängig vom Substrat, oder der Temperatur, die abhängig ist vom Tagesverlauf dy dt = k 1 1 + t y mit y(0) = y 0 (2) λ

15/49 Rekapitulation Das Euler-Verfahren für ODE-IVP Eigenschaften von Einschrittverfahren Geoökologische dynamische Systeme...... sind häufig nur als Anfangswertprobleme formulierbar: Abbau einer xenobiotischen Substanz durch Mikroorganismen, deren Entwicklung abhängig vom Substrat, oder der Temperatur, die abhängig ist vom Tagesverlauf dy dt = k 1 1 + t y mit y(0) = y 0 (2) λ dm dt = r m (1 m K ) mit m(0) = m 0 (3)

16/49 Rekapitulation Das Euler-Verfahren für ODE-IVP Eigenschaften von Einschrittverfahren Geoökologische dynamische Systeme...... sind häufig nur als Anfangswertprobleme formulierbar: Abbau einer xenobiotischen Substanz durch Mikroorganismen, deren Entwicklung abhängig vom Substrat, oder der Temperatur, die abhängig ist vom Tagesverlauf dy dt = k 1 1 + t y mit y(0) = y 0 (2) λ dm dt = r m (1 m K ) mit m(0) = m 0 (3) dx dt = k 0 e E 273R E (273+T (t))r x mit x(0) = x 0 (4)

17/49 Rekapitulation Das Euler-Verfahren für ODE-IVP Eigenschaften von Einschrittverfahren Das Problem grundsätzliches Ziel: Lösung des Anfangswertproblems (IVP) bekannt: dy(t) dt = f (y(t), t) mit y(0) = y 0 (5) Lösung y(0) zum Zeitpunkt t = 0, zeitl. Veränderung berechenbar für jedes t, wenn y(t) gegeben: durch Einsetzen in der rechten Seite gesucht: y(t) erster Weg: mit Beppo: Schritt, Atemzug, Besenstrich mit Euler: aus d mach

19/49 Rekapitulation Das Euler-Verfahren für ODE-IVP Eigenschaften von Einschrittverfahren Beppo

31/49 Rekapitulation Das Euler-Verfahren für ODE-IVP Eigenschaften von Einschrittverfahren Beppo Wie könnte y 1 berechnet werden?

33/49 Rekapitulation Das Euler-Verfahren für ODE-IVP Eigenschaften von Einschrittverfahren Euler Der Eulersche Ansatz lautet: d zu, d.h. aus Differentialquotienten werden Differenzenquotienten: y f (y, t) (6) t Daraus ergeben sich als weitere Fragen: Was sind y und t? Wie ist f (y(t), t) anzunähern?

34/49 Rekapitulation Das Euler-Verfahren für ODE-IVP Eigenschaften von Einschrittverfahren Euler Der Eulersche Ansatz lautet: d zu, d.h. aus Differentialquotienten werden Differenzenquotienten: y f (y, t) (6) t Daraus ergeben sich als weitere Fragen: Was sind y und t? Wie ist f (y(t), t) anzunähern? Euler schlägt vor: y = y k+1 y k t = t k+1 t k f (y(t), t) = f (y k, t k ) (7)

35/49 Rekapitulation Das Euler-Verfahren für ODE-IVP Eigenschaften von Einschrittverfahren Euler Also: y k+1 y k t k+1 t k = f (y k, t k ) (8) und mit einer konstanten Schrittweite t k+1 t k = h wird daraus: Unsere erste Verfahrensvorschrift! y k+1 = y k + h f (y k, t k ) (9)

36/49 Rekapitulation Das Euler-Verfahren für ODE-IVP Eigenschaften von Einschrittverfahren Einschrittverfahren allgemein Das Euler-Verfahren zählt zu den Einschrittverfahren, die allgemein formuliert werden als: y k+1 = y k + h φ(y k, t k, h) (10) Für das Euler-Verfahren gilt also zuzüglich: φ(y k, t k, h) = f (y k, t k ) (11)

39/49 Rekapitulation Das Euler-Verfahren für ODE-IVP Eigenschaften von Einschrittverfahren Der Diskretisationsfehler... beschreibt das Verhältnis zwischen numerischer und exakter Lösung mit folgenden Bezeichungen: y(t) y(t k ) y k exakte Lösung des IVP in t exakte Lösung des IVP an der Stelle t k numerische Lösung des IVP an der Stelle t k

40/49 Rekapitulation Das Euler-Verfahren für ODE-IVP Eigenschaften von Einschrittverfahren Der lokale Diskretisationsfehler d k+1... ist der Fehler des numerischen Verfahrens an der Stelle t k+1, wenn in t k von der exakten Lösung ausgegangen wird, also von y k = y(t k ). Es gilt für y k+1 dann: Und für d k+1 : y k+1 = y(t k ) + h φ(y(t k ), t k, h) (12) d k+1 = y(t k+1 ) y k+1 yk =y(t k ) = y(t k+1 ) (y(t k ) + h φ(y(t k ), t k, h)) (13)

41/49 Rekapitulation Das Euler-Verfahren für ODE-IVP Eigenschaften von Einschrittverfahren Der globale Diskretisationsfehler g k... ist der tatsächliche Fehler an der Stelle t k

42/49 Rekapitulation Das Euler-Verfahren für ODE-IVP Eigenschaften von Einschrittverfahren Der globale Diskretisationsfehler g k... ist der tatsächliche Fehler an der Stelle t k g k = y(t k ) y k (14)

43/49 Rekapitulation Das Euler-Verfahren für ODE-IVP Eigenschaften von Einschrittverfahren Die Diskretisationsfehler grafisch

44/49 Rekapitulation Das Euler-Verfahren für ODE-IVP Eigenschaften von Einschrittverfahren Die Fehlerordnung p Ein Einschrittverfahren besitzt die Fehlerordnung p, wenn der globale Diskretisationsfehler g n beschränkt ist durch g n const. e (tn t0)l h p = O(h p ) (15) L wozu nötig ist, dass für den lokalen Diskretisationsfehler d k die Abschätzung gilt. max d k D = const. h p+1 (16) 1 k n Soon on your blackboard.

46/49 Rekapitulation Das Euler-Verfahren für ODE-IVP Eigenschaften von Einschrittverfahren Konsistenz Ein Verfahren heißt konsistent, wenn y k+1 y k lim = dy h 0 h dt = φ(y k, t k, 0) (17) tk d.h. wenn Für das Euler-Verfahren galt ja gerade Es ist also konsistent. lim φ(y k, t k, h) = f (y k, t k ) (18) h 0 φ(y k, t k, h) = f (y k, t k ) (19)

48/49 Rekapitulation Das Euler-Verfahren für ODE-IVP Eigenschaften von Einschrittverfahren Konvergenz Ein Verfahren heißt konvergent, wenn max g k C(h). (20) k Es heißt konvergent von p-ter Ordnung, wenn es ein C gibt, so dass C(h) = C h p. Die Konvergenzordnung entspricht unserer Fehlerordnung.

49/49 Rekapitulation Das Euler-Verfahren für ODE-IVP Eigenschaften von Einschrittverfahren Andere Sitten Lokaler Abbruchfehler τ k (h): Globaler Abbruchfehler τ(h): Konsistenzordnung: Konsistenz lässt sich dann bedingen durch d k (h) = h τ k (h) (21) τ(h) = max 1 k n τ k(h) (22) lim τ(h) = 0 (23) h 0 Eine Konsistenzordnung p ist τ(h) = O(h p ) für h 0.