Das plancksche Strahlungsgesetz 1
Historisch 164-177: Newton beschreibt Licht als Strom von Teilchen 1800 1900: Licht als Welle um 1900: Rätsel um die "Hohlraumstrahlung"
Historisch um 1900: Rätsel um die "Hohlraumstrahlung" 1865 veröffentlichte J. Tyndall Ergebnisse über die Strahlung eines heißen Platindrahtes. Das Verhältnis der Gesamtstrahlungsemission bei 100 C und bei 55 C betrug 11,7 1879 erkannte J. Stefan, dass die absoluten Temperaturen in der 4ten Potenz im gleichen Verhältnis stehen: (1473 K) 4 / (798 K) 4 = 11,6 1884 fand L. Boltzmann einen theoretischen Zusammenhang zu thermodynamischen Betrachtungen zum Strahlungsdruck. Das Gesetz für die gesamte abgestrahlte Leistung eines idealen "schwarzen Strahlers" ist das Stefan-Boltzmann-Gesetz: P A T 4 mit 5,67 10 8 - W m K 4 3
Experimentelle Grundlagen Das plancksche Strahlungsgesetz Heiße Körper glühen. Bei 600 C - 700 C glüht Eisen dunkelrot, bei 1300 C hell kirschrot. Eine Kohlefadenlampe verändert ihre Farbe und Helligkeit mit der Stromstärke / Temperatur. Weißes Licht lässt sich in Spektralfarben zerlegen. Die Strahlung eines Leslie-Würfels lässt sich mit einem Strahlungsthermometer nachweisen. Die Seiten strahlen unterschiedlich! 4
Exkurs: Das elektromagnetische Spektrum 5
Hohlraumstrahlung Licht fällt durch die schmale Öffnung in einen Hohlraum und wird an den Wänden mehrfach (geschwächt) reflektiert bis er ganz absorbiert ist. Die Öffnung erscheint schwarz. (Hinweis: Auch die Pupille des Auges erscheint normalerweise schwarz. Nur im Blitzlicht wird das Innere deutlich erhellt und der rote Hintergrund des Augapfels wird sichtbar rot) Absorption und Emission Der Hohlraum sendet aber auch Strahlung aus. Sie ist stark von der Temperatur des Hohlraums abhängig und wird erst oberhalb von 600 C sichtbar. 6
Glühende Körper 7
Absorption und Emission Das plancksche Strahlungsgesetz Absorptionsgrad und Emissionsgrad setzen die wellenlängenabhängige Absorption und Emission in Bezug zu einem idealen "schwarzen Körper" / Hohlraumstrahler. Absorptionsgrad absorbierte Stahlungsenergie eingefallene Stahlungsenergie I I abs. einf. Emissions abgestrahlte Energie abgestrahlte Eenergie eines schw. Strahlers I I Körper Schwarz Ein "schwarzer Körper" absorbiert alle auftreffende Strahlung. Deshalb gilt: Der Absorptionsgrad des "schwarzen Körpers" ist 1 (bzw. 100 %). 8
Absorption und Emission - Kirchhoffsches Strahlungsgesetz Absorptionsgrad und Emissionsgrad eines Körpers sind bei Temperaturstrahlung immer gleich: Emissionsgrade (sind wellenlängenabhängig) Ruß hat fast den Emissionsgrad 1 (insbesondere auch im sichtbaren Bereich den Absorptionsgrad 1) Der menschliche Körper ist im Infrarotbereich fast ein "schwarzer Körper". 9
Emissionsgrade Das plancksche Strahlungsgesetz Oberfläche Temp. in Grad C Emissionsgrad Aluminium (poliert) 0 0,0 0,04 Eisen (poliert) 100 0,0 Eisen (angerostet) 0 0,65 Beton 0 0,94 Glas 0 0,88 Holz 0 0,90 Kunststoff 0 0,9 Wasser 0 0,9 Lacke 100 0,9 0,97 10
Stefan-Boltzmann-Gesetz Das plancksche Strahlungsgesetz allg.: Stefan-Boltzmann-Gesetz: P A T 4 mit 5,67 10 8 W m - K -4 A) Vergleichen Sie die Gesamtstrahlung eines Körpers bei 0 C und 100 C. B) Wie viel Energie strahlt die Seite eines Stahlwürfels (Seitenlänge 10 cm) bei einer Temperatur von 400 C ( = 0,97) in einer Sekunde ab? 11
Stefan-Boltzmann-Gesetz Das plancksche Strahlungsgesetz allg.: Stefan-Boltzmann-Gesetz: P A T 4 mit 5,67 10 8 - W m K 4 A) Vergleichen Sie die Gesamtstrahlung eines Körpers bei 0 C und 100 C. Das 3,5-fache. B) Wie viel Energie strahlt die Seite eines Stahlwürfels (Seitenlänge 10 cm) bei einer Temperatur von 400 C ( = 0,97) in einer Sekunde ab? 110 Ws 1
Die plancksche Strahlungsformel Annahmen Plancks: Das plancksche Strahlungsgesetz Oszillatoren (Atome bzw. Moleküle in den Wänden des Hohlraums) emittieren und absorbieren Energie aus dem Strahlungsfeld Absorbiert und emittiert werden aber nur diskrete Energiewerte (dies war die eigentliche, revolutionär neue Annahme) E n mit : n h f ; n 1,,... h 6,66 10 34 Js Ohne Aufnahme oder Abgabe von Energie bleiben die Oszillatoren in ihrem Quantenzustand Die Zahl der möglichen Oszillatorzustände mit Frequenzen zwischen f und f+df ist proportional zu f df Vorstellungshilfe: 13
Die plancksche Strahlungsformel Das plancksche Strahlungsgesetz Die spektrale Energiestromdichte pro Raumwinkelelement : S f hf c 0 3 e 1 hf / kt 1 Energie, die im Frequenzbereich df um f pro Zeiteinheit und Fläche in die Raumwinkeleinheit gestrahlt wird. Vollwinkel: 4 r r 4 14
Die plancksche Strahlungsformel für Wellenlängen Die spektrale Energiestromdichte pro Raumwinkelelement : S f df hf c 0 3 e 1 hf / kt df 1 S d S f df d d Energie, die im Wellenlängenbereich d um pro Zeiteinheit und Fläche in die Raumwinkeleinheit gestrahlt wird. S hc 5 0 1 hc0 / kt e 1 15
Die plancksche Strahlungsformel für Wellenlängen S hc0 5 e 1 hc0 / kt 1 16
Die plancksche Strahlungsformel S f hf c 0 3 e 1 hf / kt 1 17
Das plancksche Strahlungsgesetz siehe Computerprogramm: www.physikonline.net bzw. auf der Seite mit Begleitmaterial zur Vorlesung 18
Die Plancksche Strahlungsformel und Stefan-Boltzmann-Gesetz Das plancksche Strahlungsgesetz S f hf c 0 3 e 1 hf / kt 1 Die Gesamtenergie, und damit das Stefan-Boltzmann-Gesetz ergibt sich durch Integration über alle Frequenzen und den 4 vollen Raumwinkel: P A T 19
Die Plancksche Strahlungsformel und Wiensches Verschiebungsgesetz Die Wellenlänge max, bei der die Intensität der emittierten Strahlung ein Maximum hat verschiebt sich mit steigender Temperatur zu kürzeren Wellenlängen. T konst 0,898 cm K m 0
Aufgaben zum planckschen Strahlungsgesetz Die durchschnittliche Hauttemperatur des Menschen liegt bei ca. 33 C. Bei welcher Wellenlänge liegt bei dieser Temperatur das Strahlungsmaximum des "schwarzen Strahlers"? Die Temperatur an der Sonnenoberfläche beträgt etwa 5800 K. Bei welcher Farbe liegt das Maximum des Sonnenlichts? 1
Aufgaben zum plancksche Strahlungsgesetz Die durchschnittliche Hauttemperatur des Menschen liegt bei ca. 33 C. Bei welcher Wellenlänge liegt bei dieser Temperatur das Strahlungsmaximum des "schwarzen Strahlers"? 9,5μm Die Temperatur an der Sonnenoberfläche beträgt etwa 5700 K. Bei welcher Farbe liegt das Maximum des Sonnenlichts?,898 mm K 5700 K 9 508,4 10 m 508 nm
Herleitung der Planckschen Strahlungsformel (nach Einstein) Absorption - Emission - spontane Emission - induzierte Emission N Atome: N1 auf E1 und N auf E 3
N Atome: N1 auf E1 und N auf E Zahl der Absorption ist proportional zur Zahl der Oszillationen in E1 und der Strahlungsdichte u(f) dn1 B1 u ( f ) N1 dt dn Einsteinkoeff. (Übergangswahrscheinlichkeit pro Zeit und Strahldichteeinheit) A1 N dt B 1 u ( f N dt ) Im thermischen Gleichgewicht: dn1 dn B A B u ( f N dt u ( f ) N1 dt 1 1 1 ) 4
mit Bolzmann-Statistik für Besetzungswahrscheinlichkeit zweier Energieniveaus: N N 1 e h f k T 5
Das plancksche Strahlungsgesetz 6 1 1 1 ) ( ) ( N f u B A N e f u B T k f h 1 1 1 ) ( B e B A f u T k f h für T u 1 1 B B 1 ) ( 1 1 T k f h e B A f u =>
B1 und A1 aus experimentell bestätigtem Rayleigh-Jeans-Gesetz ( für h f k T ) 8 h f u ( f ) 3 c 3 e 1 h f k T 1 (Spektrale Energiedichte im Frequenzintervall df und die Frequenz f) 7
Spektrale Energiedichte in den Raumwinkel dω: dj E, f u ( f ) c 0 d 4 grafik 4 r r 4 8
Spektrale Energiedichte pro Raumwinkelelement s f dj d c 0 u ( f ) 4 Plancksches Strahlungsgesetz: s f f c 3h 0 e 1 hf k T 1 Energie, die im Frequenzbereich df um f pro Zeit und Fläche in ein Raumelement dω bestrahlt wird. 9