R. Brinkmann http://brinkmann-du.de Seite 1 8.0.014 Hypothesentest II mit dem GTR CSIO fx-cg 0 1.1 us p9_stoch_ht_011_e.htm Nr. 4 Nullhypothese: H 0 : p = 0,3 lternativhypothese: H 1 : p 0,3 Signifikanzniveau: α 10%. Fehler. rt für p = 0, ermitteln. Bei einem Erhebungsumfang von n = 170 verzeichnet man k Erfolge. Es handelt sich um einen beidseitigen Hypothesentest, denn kleine, wie auch große Werte von k sprechen gegen H 0. Da es zwei blehnungsbereiche gibt, wird hier die Vereinbarung getroffen, dass diese sich symmetrisch zum Erwartungswert 51 positionieren. Berechnung der blehnungsbereiche und Überprüfung des tatsächlichen P X k 0,05 k =? ( k ) α α P( X k1) k1 = InvBinomialCD,n,p 1 k = InvBinomialCD 0.05,170,0.3 1= 40 = 0... 40 P X 0,05 k =? α α P( X k ) k = InvBinomialCD 1,n,p 1 + = {...170} k = InvBinomialCD 0.95,170,0.3 + 1 6 = 6 P X k = BinomialCD k,n,p ( 1) P = P X 40 = BinomialCD 40,170,0.3 = 0,0371... ( ) = ( p) P X k 1 BinomialCD k 1,n, ( ) = ( ) = ( 1) + = + =. P P X 6 1 BinomialCD 61,170,0.3 B = 0,0411... P P B 0,0783.. blehnungs-und nnahmebereich sehen dann wie folgt aus: { 0... 40 } { 41... 51... 61 } { 6... 170 } Fällt die nzahl k der Erfolge in einen der beiden blehnungsbereiche, wird die Nullhypothese abgelehnt und die lternativhypothese angenommen. Der dabei auftretende Fehler (Fehler 1. rt) wäre dann etwa 7,83%. Eingabeprozedur (mit den korrigierten Werten): InvB 0.05, 170, 0.3 ) InvB 0.95, 170, 0.3 ) Bcd 40, 170, 0.3 ) EXE 1 Bcd 61, 170, 0.3 ) B EXE + B EXE 0,0783... + 40 6 0,0371... 0,0411... Erstellt von R. Brinkmann p9_htest_0_fxcg0_e 7.0.014 01:08 Seite 1 von 5
R. Brinkmann http://brinkmann-du.de Seite 8.0.014 1. Falls H 0 nicht gilt, sondern p = 0, richtig ist, d.h. die Hypothese p = 0,3 ist falsch, aber das Stichprobenergebnis fällt zufällig in den nnahmebereich von H 0, nimmt man H 0 fälschlicherweise an. Die Wahrscheinlichkeit dafür, diesen Fehler zu machen ist der Fehler. rt. Man bestimmt diesen Fehler, indem man unter der nnahme, dass p = 0, richtig ist, die Wahrscheinlichkeit des nnahmebereichs von H 0 berechnet. P k X k = BinomialCD k,n,p BinomialCD k 1,n, p ( 1 ) ( ) ( 1 ) ( ) CD( 61,170,0.) BinomialCD( 40,170,0. ) P 41 X 61 0 = Binomial = 0,107... Falls H 0 falsch und p = 0, richtig ist, fällt das Ergebnis dennoch zu 10,7% in den nnahmebereich von H 0. Die Nullhypothese würde fälschlicherweise angenommen werden. Dieser Fehler heißt Fehler. rt. Er beträgt 10,7% und ist im Vergleich zum Fehler 1. rt mit 7,83% vergleichbar groß. Bcd 61, 170, 0. ) Bcd 40, 170, 0. ) EXE 0,107... Erstellt von R. Brinkmann p9_htest_0_fxcg0_e 7.0.014 01:08 Seite von 5
R. Brinkmann http://brinkmann-du.de Seite 3 8.0.014.1 us p9_stoch_ht_01_e.htm Nr. 1 Bei einem Erhebungsumfang von n = 300 verzeichnet man k Erfolge. Verschiedene Interessen erfordern unterschiedliche Hypothesentests des selben Objektes. Nullhypothese: H 0 : p 0,05 lternativhypothese: H 1 : p > 0,05 Nullhypothese: H 0 : p 0,05 lternativhypothese: H 1 : p < 0,05 Signifikanzniveau in beiden Fällen: α 5%. Es ist jeweils ein rechts - bzw. linksseitiger Test durchzuführen. Rechtsseitiger Test: Berechnung des blehnungsbereichs und Überprüfung des tatsächlichen P X k α k = InvBinomialCD 1 α,n,p + 1 { 0... k 1 } und { k... n} { 0... 1 } und {... 300} ( ) = ( k1,n, p) = = P X k 0,05 k = InvBinomialCD 0.95,300,0.05 + 1= P X k 1 BinomialCD P = P X = 1 BinomialCD 1,300,0.05 = 0, 0485... Bei einer nzahl von k = oder mehr Erfolgen, würde die Nullhypothese auftretende Fehler (Fehler 1. rt) wäre dann etwa 4,85%. InvB 0.95, 300, 0.05 ) + 1 Bcd 1, 300, 0.05 ) EXE 0,0485... Erstellt von R. Brinkmann p9_htest_0_fxcg0_e 7.0.014 01:08 Seite 3 von 5
R. Brinkmann http://brinkmann-du.de Seite 4 8.0.014. Linksseitiger Test: Berechnung des blehnungsbereichs und Überprüfung des tatsächlichen P X k α k = InvBinomialCD α,n,p 1 = = { + } { 0... 8 } und { 9... 300} ( ) = omialcd( k,n,p) 0... k und k 1... n P X k 0,05 k = InvBinomialCD 0.05,300,0.05 1= 8 P X k Bin P P = X 8 = BinomialCD 8,300,0.05 = 0,0340... Bei einer nzahl von k = 8 oder weniger Erfolgen, würde die Nullhypothese auftretende Fehler (Fehler 1. rt) wäre dann etwa 3,4%. InvB 0.05, 300, 0.05 ) Bcd 8, 300, 0.05 ) EXE 8 0,0340....3 Gegenüberstellung: H :p 0,05 H :p > 0,05 0 1 = 0... 1 und =... 300 Rechtsseitiger Test Fehler 1. rt 4,85% Bei mehr als 1 Erfolgen wird H 0 abgelehnt. H :p 0,05 H :p< 0,05 0 1 = 0... 8 und = 9... 300 Linkssseitiger Test Fehler 1. rt 3,4% Bei weniger als 9 Erfolgen wird H 0 abgelehnt. Erstellt von R. Brinkmann p9_htest_0_fxcg0_e 7.0.014 01:08 Seite 4 von 5
R. Brinkmann http://brinkmann-du.de Seite 5 8.0.014 3 us p9_stoch_ht_01_e.htm Nr. Nullhypothese: H 0 : p 0,15 lternativhypothese: H 1 : p < 0,15 Signifikanzniveau: α 5%. Bei einem Erhebungsumfang von n = 140 verzeichnet man k Erfolge. Es handelt sich um einen linksseitigen Hypothesentest, denn kleine Werte von k sprechen gegen H 0. Wie ändert sich der Fehler 1. rt,wenn k = 19 als untere Grenze des nnahmebereichs von H 0 eingesetzt wird? Berechnung des blehnungsbereichs und Überprüfung des tatsächlichen P X k α k = InvBinomialCD α,n,p 1 = = { + } { 0...13} und { 14...140} ( ) = 0... k und k 1... n P X k 0,05 k = InvBinomialCD 0.05,140,0.15 1= 13 P X k BinomialCD k,n,p = ( ) P P X 13 = BinomialCD 13,140,0.15 = 0,03... Bei einer nzahl von k = 13 oder weniger Erfolgen, würde die Nullhypothese auftretende Fehler (Fehler 1. rt) wäre dann etwa 3,%. InvB 0.05, 140, 0.15 ) Bcd 13, 140, 0.15 ) 13 EXE 0,03... Wird der blehnungsbereich auf { 0... 18 } vergrößert, dann gilt für das Signifikanzniveau: P P X 18 BinomialCD 18,140,0.15 0,83... = = = Bei einer nzahl von k = 18 oder weniger Erfolgen, würde die Nullhypothese auftretende Fehler (Fehler 1. rt) wäre dann jezt etwa 8,3%. Erstellt von R. Brinkmann p9_htest_0_fxcg0_e 7.0.014 01:08 Seite 5 von 5