BSc Bioinformatik Wintersemester 2013/2014 Nachklausur zur Statistik I Freie Universität Berlin

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1 Sc ioinformatik Wintersemester 013/014 Nachklausur zur Statistik I Freie Universität erlin 4. pril 014 Matrikelnummer Nachname Vorname Unterschrift ufgabe 1 (4 Punkte): Zu einem Wahrscheinlichkeitsraum Ω gehören 048 Ereignisse. Wie viele Elemente hat Ω? Wie viele Ereignisse mit genau zwei Elementen gibt es zu Ω? Wegen 11 = 048 gilt Ω = 11. Es gibt ( 11 ) = 11 10/ = 55 Ereignisse mit genau zwei Elementen. ufgabe (4 Punkte): In einer Population gibt es 40% Raucher. Der nteil der Frauen in der Population beträgt 50% und unter den Frauen sind die Hälfte Raucher. Wie groß ist der Frauenanteil unter den Rauchern? ufgabe kann mit der ayes Formel gelöst werden: Mit R für Raucher und F für Frauen erhält man P(F R) = P(R F ) P(F ) P(R) = = 0.65 = 6.5% ufgabe 3 (4 Punkte): eim Lotto Sechs aus 49 beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Vierer 1

2 > choose(6,4)*choose(43,)/choose(49,6) [1] , also ungefähr p = Wie oft muss man mindestens Lotto spielen, damit die Wahrscheinlichkeit für mindestens einen Vierer über 90% liegt? Hinweis: enutzen Sie die Poissonverteilung und folgende R usgabe: > log(seq(0.05,0.5,0.05)) [1] [7] Da p klein und die nzahl n der Versuche vermutlich groß ist, kann die nzahl X der Vierer poissonverteilt mit Erwartungswert λ = pn = n 1000 angenommen werden. us P(X 1) = 1 P(X = 0) = 1 e n folgt n 1000 log(0.1) 303. ufgabe 4 (4 Punkte): Die Qualität eines diagnostischen Tests in der Medizin wird durch spezielle Größen charakterisiert. Definieren Sie die egriffe (a) Sensitivität (b) Spezifität (c) Prävalenz (d) positiver prädiktiver Wert und (e) negativer prädiktiver Wert. Die Sensitivität eines diagnostischen Tests sei 90% und seine Spezifität liege bei 80%. Der Test werde einmal in einer Population 1 mit Prävalenz 1% und dann in einer Population mit Prävalenz 10% durchgeführt. Welche der folgenden ussagen sind korrekt? (a) Der positive prädiktive Wert ist in Population 1 kleiner als in Population und der negative prädiktive Wert ist in Population kleiner als in Population 1. (b) Der positive prädiktive Wert ist in Population 1 größer als in Population und der negative prädiktive Wert ist in Population kleiner als in Population 1.

3 (c) Der negative prädiktive Wert ist in beiden Population gleich groß. Der positive prädiktive Wert ist in Population größer als in Population 1. (d) Der positive und negative prädiktive Wert ist in Population 1 größer als in Population. (e) Der positive und negative prädiktive Wert ist in Population 1 kleiner als in Population. Definitionen: (a) Sensitivität: Wahrscheinlichkeit positiv getestet zu werden, wenn man krank ist. (b) Spezifität: Wahrscheinlichkeit negativ getestet zu werden, wenn man gesund ist. (c) Prävalenz: Wahrscheinlichkeit krank zu sein. (d) Positiver prädiktiver Wert: Wahrscheinlichkeit krank zu sein, wenn man positiv getestet wurde. (e) Negativer prädiktiver Wert: Wahrscheinlichkeit gesund zu sein, wenn man negativ getestet wurde. a ufgabe 5 (3 Punkte): Eine Zufallsvariable X habe eine kumulative Verteilungsfunktion mit folgendem Graphen: 3

4 Hinweis: Der Graph der Verteilungsfunktion ist die dicke Kurve. Die gestrichelten Geraden sind Hilfslinien. Geben Sie folgende Wahrscheinlichkeiten an: P(X 0.5) P(X = 0.5) P(X < 1) D P(X 1) E P(X = 0.) F P(X = 1.) D 0.5 4

5 E 0.1 F 0 ufgabe 6 ( Punkte): Die Körpergröße X von Menschen einer Population werde in m (Metern) gemessen. Man nehme an, dass X einer Normalverteilung genügt. In den folgenden Graphiken werden die Dichte- und (kumulative) Verteilungsfunktion der Verteilung von X dargestellt: Dichtefunktion Verteilungsfunktion ?? m m Mit welchen Einheiten müssen die Y-chsen der Diagramme beschriftet werden? Die Dichte- und die Verteilungsfunktion sind dimensionslos, d.h. sie tragen keine Einheit. Die Dichtefunktion trägt die Einheit m (Meter) und die Verteilungsfunktion ist dimensionslos. Die Dichtefunktion trägt die Einheit m 1 und die Verteilungsfunktion ist dimensionslos. D Dichte- und Verteilungsfunktion haben beide die Einheit m. E Dichte- und Verteilungsfunktion haben beide die Einheit m 1. 5

6 F Die Dichtefunktion hat die Einheit m und die Verteilungsfunktion ist dimensionslos. Die ntwort ist richtig. ufgabe 7 (4 Punkte): Welche der folgenden Funktionen ist Dichtefunktion einer stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilung? { 3(1 t ) 1 t 1 f(t) = 4 0 sonst { 1/10 für 1 t 9 f(t) = 0 sonst { 1/t für 1 t f(t) = 0 sonst { 1/t D f(t) = für 1 t 0 sonst 1 für 0 t 1/ E f(t) = 1/ für 1/ < t 3/ 0 sonst,, D und E. ufgabe 8 (4 Punkte): Manche genetisch bedingte Krankheiten werden durch die Mutation eines einzigen Gens auf dem X-hromosom bewirkt. Da Männer im Gegensatz zu Frauen nur ein X-hromosom besitzen, sind sie häufiger von diesen Erkrankungen betroffen. Sei die Prävalenz der X-hromosomen mit dem die Krankheit verursachenden llel a p = Das nicht-mutierte llel sei mit bezeichnet. Weiter nehme man an, dass die Erkrankung durch das llel a rezessiv verursacht wird, d.h. ein Mann erkrankt, wenn sein einziges X-hromosom das llel a trägt und Frauen erkranken nur, wenn beide X-hromosomen das llel a tragen. Geben Sie die Wahrscheinlichkeiten für das uftreten der drei Genotypen aa, a und bei den Frauen und der zwei Genotypen a und bei den Männern an, wenn sich die Population im Hardy-Weinberg Gleichgewicht befindet. (a) P(aa Frau) = (b) P(a Frau) = (c) P( Frau) = (d) P( Mann) = (e) P(a Mann) = 6

7 Wie hoch ist die Prävalenz der Erkrankung in einer Population mit gleich viel Männern wie Frauen? Wie hoch ist in einer solchen Population der nteil der Frauen unter den Erkrankten? Hinweis: enutzen Sie die ayes Formel und folgende R usgabe: > (1:10)/(101:110) [1] [7] Hinweis: Sie müssen die gesuchten Wahrscheinlichkeiten nicht ausrechnen. Es reicht, wenn Sie als Ergebnisse usdrücke angeben, die nur Zahlen enthalten. (a) P(aa) = 0.05 = (b) P(a) = = (c) P() = 0.95 = (d) P() = 0.95 (e) P(a) = = us der ayes Formel folgt für den nteil der Frauen unter den Erkrankten: = = = ufgabe 9 (5 Punkte): Seien x = (x 1,..., x n ) und y = (y 1,..., y n ) zwei Stichproben positiver Zahlen mit ov(x, y) = 1 und Var(x) = Var(y) =. erechnen Sie die Korrelation nach Pearson zwischen x und y. erechnen Sie Var(3x + 5) und Var( y + 10). erechnen Sie ov(3x + 5, y + 10). D E erechnen Sie die Korrelation nach Pearson zwischen 3x+5 und y+10. Sei ρ = 0.4 die Korrelation nach Spearman zwischen x und y. Wie groß ist die Korrelation nach Spearman zwischen (log(x 1 ),..., log(x n )) und (log(y 1 ),..., log(y n ))? r = 0.5 7

8 Var(3x + 5) = 9Var(x) = 18 und Var( y + 10) = 4Var(y) = 8. ov(3x + 5, y + 10) = 6ov(x, y) = 6 D r(3x + 5, y + 10) = = 0.5 E leibt gleich, also 0.4, da log eine monoton steigende Funktion ist, die an den Rängen nichts ändert. ufgabe 10 ( Punkte): Ergänzen Sie die Lücken in den folgenden Sätzen: Ein Fehler erster rt wird begangen, wenn die Nullhypothese... ist und der P-Wert... als das vorgegebene Signifikanzniveau α ist. Ein Fehler zweiter rt wird begangen, wenn die Nullhypothese... ist und der P-Wert... als das Signifikanzniveau α ist. Ein Fehler erster rt wird begangen, wenn die Nullhypothese wahr ist und der P-Wert kleiner als das vorgegebene Signifikanzniveau α ist. Ein Fehler zweiter rt wird begangen, wenn die Nullhypothese falsch ist und der P-Wert größer als das Signifikanzniveau α ist. ufgabe 11 ( Punkte): Eine Zufallsvariable X habe Erwartungswert 10 und Varianz. Geben Sie die standardisierte Zufallsvariable Z zu X an. Z = Z = X 10 ufgabe 1 (3 Punkte): Seien X 1,..., X n unabhängige Zufallsvariablen, mit Erwartungswert 1 und Varianz 1. Welchen Erwartungswert und Varianz hat Y = 1 n n X i? i=1 Wie ist Y für große n näherungsweise verteilt? 8

9 E(Y ) = 1, Var(Y ) = 1 n. Für große n ist Y nach dem Zentralen Grenzwertsatz annähernd normalverteilt mit Erwartungswert 1 und Varianz 1 n. ufgabe 13 ( Punkte): Sei L die Regressionsgerade zu den Punkten (x 1, y 1 ),..., (x n, y n ) für das Regressionsproblem y i = a + bx i + ɛ i i = 1,..., n mit unabhängigen normalverteilten ɛ i N(0, σ ). Welche der folgenden ntworten ist richtig: D Die Regressionsgerade L zeichnet sich dadurch aus, dass die Summe der Quadrate der vertikalen bstände zwischen den n Punkten und der Gerade minimal wird. Die Regressionsgerade L zeichnet sich dadurch aus, dass die Summe der Quadrate der horizontalen bstände zwischen den n Punkten und der Gerade minimal wird. Die Regressionsgerade L zeichnet sich dadurch aus, dass die Summe der Quadrate der bstände zwischen den n Punkten und der Gerade minimal wird. Die Regressionsgerade L zeichnet sich dadurch aus, dass die Summe der bstände zwischen den n Punkten und der Gerade minimal wird. ufgabe 14 (3 Punkte): Sei S eine Stichprobe vom Umfang n. Welche der folgenden ussagen über das 90% bzw. 95% Konfidenzintervall für den Mittelwert von S sind korrekt? Das 95% Konfidenzintervall liegt ganz im 90% Konfidenzintervall. Das 90% Konfidenzintervall liegt ganz im 95% Konfidenzintervall. eide Konfidenzintervalle enthalten immer den Mittelwert von S. D E Wenn h der linke Rand des 95% Konfidenzintervalls ist, dann ist der P-Wert des Einstichproben t-tests der Nullhypothese H 0 : µ = h genau 5%. Für jeden Wert µ 0 im 90% Konfidenzintervall lehnt der Einstichproben t-test die Nullhypothese H 0 : µ = µ 0 auf dem Niveau α = 0.1 ab. 9

10 , und D. ufgabe 15 (3 Punkte): In einer klinischen Studie wird an 100 luthochdruck- Patienten jeweils vor der Therapie und nach 14 Tagen Therapie der lutdruck gemessen. Es soll mit Hilfe eines statistischen Tests die Frage untersucht werden, ob die Therapie wirksam den lutdruck senkt. Geben Sie drei statistische Tests an, die für diese Fragestellung geeignet sein könnten. Geben Sie für jeden Test die Voraussetzungen für seine Gültigkeit an. Vorzeichentest, Vorzeichenrangtest und t-test für verbundene Stichproben. Für alle drei Tests müssen die lutdruckmessungen an verschiedenen Patienten unabhängig sein. Für den Vorzeichentest gibt es sonst keine weiteren Voraussetzungen. Für den Vorzeichenrangtest müssen die Differenzen zwischen erster und zweiter Messung symmetrisch um ihren Erwartungswert verteilt sein. eim t-test müssen diese Differenzen sogar normalverteilt sein. ufgabe 16 (3 Punkte): Seien S 1 = (1, 3) und S = (3) zwei unabhängige Stichproben aus normalverteilten Populationen mit gemeinsamer Varianz σ und Populationsmitteln µ 1 bzw. µ. erechnen Sie die gepoolte Varianz ˆσ aus den beiden Stichproben. erechnen Sie den Wert T der Statistik des t-tests für die Nullhypothese H 0 : µ 1 = µ. Welcher R usdruck berechnet den P-Wert? Genau eine ntwort ist richtig. ˆσ = (a) *pt(abs(t), df=1) (b) pt(-abs(t), df=1) (c) *pt(-abs(t),df=1) (d) *pt(-abs(t), df=) (e) *pt(abs(t), df=3) T = 1 3 = 1 3 c 10