MATHEMATISCHES INSTITUT DER UNIVERSITÄT MÜNCHEN Dr E Schörner WS / Blatt 6 Übungen zur Vorlesung Lineare Algebra und analytische Geometrie I (Unterrichtsfach) Lösungsvorschlag Wir verwenden das Unterraumkriterium, wonach eine Teilmenge U eines Vektorraums V genau dann ein Untervektorraum (linearer Unterraum) von V ist, wenn die folgende drei Bedingungen erfüllt sind: Es ist U ; insbesondere muß V U gelten Für alle u, w U gilt u + w U Für alle u U und λ R gilt λ u U Für die gegebenen Teilmengen im Vektorraum V = Pol(R) gilt: Die Teilmenge U = { f Pol(R) f = a X + b X + c mit a, b, c R } aller reellen Polynome f mit Grad(f) enthält das Nullpolynom f =, also f = a X + b X + c mit a = b = c = ; ferner gilt für alle f und g U mit f = a X + b X + c und g = a X + b X + c mit a, b, c R und a, b, c R sowie λ R zum einen f + g = ( a X + b X + c ) + ( a X + b X + c ) = ( a X + a X ) + (b X + b X) + (c + c ) = (a + a ) X + (b + b ) X + (c + c ) mit a + a, b + b, c + c R, also f + g U, und zum anderen λ f = λ (a X + b X + c ) = λ (a X ) + λ (b X) + λ c = (λ a) X + (λ b) X + (λ c) mit λ a, λ b, λ c R, also λ f U Damit ist U ein Unterraum von Pol(R)
Die Teilmenge U = { f Pol(R) f = a X + b X mit a, b R } aller Polynome f mit Grad(f) und konstantem Glied c = enthält das Nullpolynom f =, also f = a X + b X mit a = b = ; ferner gilt für alle f und g U mit f = a X + b X und g = a X + b X mit a, b R und a, b R sowie λ R zum einen f + g = ( a X + b X ) + ( a X + b X ) = ( a X + a X ) + (b X + b X) = (a + a ) X + (b + b ) X mit a + a, b + b R, also f + g U, und zum anderen λ f = λ (a X + b X ) = λ (a X ) + λ (b X) = (λ a) X + (λ b) X mit λ a, λ b R, also λ f U Damit ist U ein Unterraum von Pol(R) Die Teilmenge U = {f Pol(R) f = oder Grad(f) } enthält neben dem Nullpolynom f = alle Polynome f vom Grad(f), insbesondere also auch die beiden Polynome wegen f = X + X und g = X +, f + g = ( X + X ) + ( X + ) = X + mit Grad(f + g) = aber nicht deren Summe f + g Damit ist U kein Unterraum von Pol(R) Die Teilmenge U 4 = { f Pol(R) f = a X + b X + c mit a, b, c R und c } aller Polynome f mit Grad(f) und konstantem Glied c enthält insbesondere nicht das Nullpolynom f = Damit ist U 4 kein Unterraum von Pol(R)
a) Für m = ist jede Matrix A R m n in Zeilenstufenform, und folglich ist U = R m n ein Unterraum von R m n ; für n = sind genau diejenigen Matrizen A R m n mit a = = a m = in Zeilenstufenform, und folglich ist U = a a R = R ein Unterraum von R m n Für m und n sind die beiden Matrizen A = und B = R m n jeweils in Zeilenstufenform, ihre Summe A + B = R m n jedoch nicht; wegen A, B U und A + B / U ist im diesem allgemeinen Fall U kein Unterraum von R m n b) Wir betrachten eine Matrix a a j a n A = R m n a m a mj a mn mit ihrer transponierten Matrix a a m A = a j a mj R n m a n a mn
sowie deren Produkt a i i= A A = a ij i= Für A U gilt A A = und damit a i = = a ij = = i= i= i= a in a in =, i= R n n wobei die jeweiligen Summen genau dann sind, wenn alle Summanden sind; damit ergibt sich a = = a m =,, a j = = a mj =,, a n = = a mn =, also die Nullmatrix A = Da die Bedingung A A = für A = tatsächlich erfüllt wird, ist U = {}, und damit ein Unterraum von R m n c) Es liegt A = E n wegen E n = E n in U sowie λ = R, aber wegen (λ A) = ( E n ) = E n = 4 E n E n = λ A ist λ A / U Damit ist U kein Unterraum von R n n d) Sei zunächst n = ; für A = (a ) R ist det(a) = a, so daß die zu betrachtende Teilmenge U 4 = { A R det(a) = } nur aus der Nullmatrix besteht und damit insbesondere ein Unterraum von R ist Für den Fall n betrachten wir die beiden Diagonalmatrizen wegen A = diag (,,, ) und A = diag (,,, ) R n n ; det(a ) = = und det(a ) = = gilt A U und A U 4, während für die Summe wegen A + A = diag (,,, ) = E n R n n det(a + A ) = det(e n ) = dann A + A / U 4 gilt Somit ist U 4 kein Unterraum von R n n für n
a) Die Teilmenge U = { u R u = u und u = u } R ist als Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems A x = b mit A = R und b = R ein Unterraum von R Ferner ist die Teilmenge W W = { u R w = w } R ist als Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems A x = b mit A = ( ) R und b = R ein Unterraum von R Gemäß der Definition der Unterräume U und W gilt U = { } u u R u = u und u = u = u u R u und w W = {w R w = w } = w w, w R ; w damit ergibt sich nach der Definition von U + W dann U + W = {u + w u U, w W } u w = u + w u, w, w R u + w Für e können wir etwa u =, w = und w = wählen und erhalten e = = + U + W, für e können wir etwa u =, w = und w = wählen und erhalten e = = + U + W, und für e können wir etwa u = w = und w = wählen und erhalten e = = + U + W Wegen R = e, e, e ist damit insbesondere U + W = R gezeigt
b) Die Teilmenge U = { u R 4 u + u = und u + u + u = } R ist als Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems A x = b mit A = R 4 und b = R ein Unterraum von R 4 Ferner ist die Teilmenge W = { x R 4 w + w + w 4 = und 4 w + w 4 = } als Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems A x = b mit A = R 4 und b = R 4 ein Unterraum von R 4 Für einen Vektor x R 4 gilt: x U W x U und x W x + x = x + x + x = x + x + x 4 = 4 x + x 4 = Wegen 4 4 II II 4 III II 4 4 II 4 4 IV III III 4 ergibt sich U W = λ λ λ 4 λ λ R = R v mit v = R4 4
4 Wir betrachten für den reellen Parameter α den Unterraum U = {x R x x + x = und α x x = } Aus der zweiten Gleichung α x x = ergibt sich α x = x ; diese Beziehung setzen wir in die erste Gleichung ein und erhalten x x + x = x α x + x = α x = x Dies motiviert folgende Fallunterscheidung: ( α ) x + x = ( α ) x = x Für α < ist α < Damit ist die Gleichung ( α ) x = x nur }{{} < für x = x = erfüllt Wegen α x = x ist auch x =, und wir erhalten den Unterraum U = {} Für α = ist α = Damit ist die Gleichung ( α ) x = x nur }{{} = für x = erfüllt Wegen α x = x ist x = x, und wir erhalten den x Unterraum U = x x R Für α = ist α = Damit ist die Gleichung ( α ) x = x nur für }{{} = x = erfüllt Wegen α x = x ist x = x, und wir erhalten den Unterraum U = x x x R Für α > ist α > Damit erhalten wir wegen ( α ) x = x α x = x die Teilmenge x U = α x ± x R α x Es ist x = α U und y = α U, aber für die Summe α α gilt x + y = / U Damit ist U kein Unterraum von R α