Skriptum EINFÜHRUNG IN DIE ALGEBRA

Skriptum EINFÜHRUNG IN DIE ALGEBRA Günter Lettl SS 2010 1. Elementare Zahlentheorie N = {1, 2, 3, 4, 5,... } Menge der natürlichen Zahlen Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } Menge der ganzen Zahlen N 0 = {0, 1, 2, 3, 4, 5,... } Menge der nicht negativen, ganzen Zahlen Q = { a a, b Z, b 0} = { a a Z, b N} Menge der rationalen Zahlen b b R Menge der reellen Zahlen C Menge der komplexen Zahlen Für x R heißt x := { x falls x 0 x falls x < 0 der Absolutbetrag von x, 1 falls x > 0 sgn(x) := 0 falls x = 0 das Signum (oder Vorzeichen) von x 1 falls x < 0 und [x] := max{n Z n x} das größte Ganze kleiner oder gleich x. Beispiel 1: Für welche x R gilt x = sgn(x) x, und für welche gilt x x = sgn(x)? Beispiel 2: Berechnen Sie [2, 5], [ 0, 75], [ 472 473 ], [ 7 3 ]. Beispiel 3: Zeigen Sie anhand von Gegenbeispielen, dass im allgemeinen [x] + [y] = [x + y] und [2x] = 2[x] falsch ist. Prinzip der vollständigen Induktion für N : Ist M N mit 1 M und gilt für alle m M:,,falls m M, so ist auch m + 1 M, dann ist M = N. Prinzip vom Minimum: Ist = M N, so existiert m 0 = min(m) M ( jede nicht leere Teilmenge von N besitzt ein kleinstes Element.) 1

2 1.1 Teilbarkeit und Fundamentalsatz der Arithmetik Definition 1 (Teilbarkeit in Z). Es seien a, b Z. Gibt es eine Zahl a Z mit a a = b, so sagt man: ) a teilt b (und schreibt: a b) ) b ist durch a teilbar ) a ist ein Teiler von b ) b ist ein Vielfaches von a. a heißt dann Komplementärteiler zu a (bezüglich b). Ist a kein Teiler von b, schreibt man: a b. Lemma 1 (Eigenschaften der Teilerrelation). Es seien a, b, c Z. Dann gilt: a) a b a b ±a ±b. b) 0 b b = 0. c) 1 b, a 0 und a a. d) a b und b c a c. e) a b und a c a b ± c. f) a b ac bc. g) a b und b 0 a b. h) a b und b a a = b a = ±b. Beispiel 4: Beweisen Sie die (in der Vorlesung nicht bewiesenen) Punkte von Lemma 1 sowie folgende Aussagen: Sind a, b, c, d Z, so gilt: i) a b und c d ac bd (Tip: Lemma 1.d), f) verwenden) ii) a b a bc Sind k N, a 1,..., a k, c 1,..., c k, d Z, so gilt: (d a 1 und d a 2 und... d a k ) d k i=1 c ia i. Definition 2. a) Für a Z definieren wir T (a) = {t N t a} V (a) = {v N a v} Menge der positiven Teiler von a Menge der positiven Vielfachen von a b) Die Teileranzahlfunktion τ wird definiert durch τ : N N n τ(n) := T (n)

c) Es seien a 1, a 2,..., a k Z. Sind nicht alle a i = 0, so heißt d = max ( T (a 1 ) T (a k ) ) N der größte gemeinsame Teiler von a 1,..., a k. Schreibweise: d = ggt(a 1,..., a k ) = (a 1,..., a k ) = gcd(a 1,..., a k ). Sind alle a i 0, so heißt v = min ( V (a 1 ) V (a k ) ) N das kleinste gemeinsame Vielfache von a 1,..., a k. Schreibweise: v = kgv(a 1,..., a k ) = [a 1,..., a k ] = lcm(a 1,..., a k ). d) a, b Z heißen teilerfremd (oder relativ prim zueinander), wenn ggt(a, b) = 1 gilt. 3 Beispiel 5: Geben Sie T (n), V (n) und τ(n) für n = 1, 15, 29, 72, 1000, 10000 an. Beispiel 6: Bestimmen Sie ggt und kgv für folgende Zahlentupel: ( 12, 42), (81, 144, 45), (108, 192), (36, 150, 81, 16). Satz 1. Es seien k 2, a 1,..., a k Z, nicht alle a i = 0, und d = ggt(a 1,..., a k ). Dann gilt: a) T (a 1 ) T (a k ) = T (d). b) Es gibt x 1,..., x k Z, sodass d = x 1 a 1 + x 2 a 2 + + x k a k. c) d = ggt ( ggt(a 1,..., a k 1 ), a k ). Korollar. a) Sind a, b, c Z mit ggt(a, b) = 1 und a bc, so gilt a c. ( a b) Sind a, b Z, nicht beide = 0, und ist d = ggt(a, b), so gilt ggt d d), b = 1. Satz 2 (Division mit Rest). Es seien a, b Z mit b 0. Dann existieren eindeutig bestimmte q, r Z mit 0 r < b, sodass a = bq + r gilt. Beispiel 7: Wenden Sie Satz 2 auf die Zahlenpaare (a, b) = (150, 11), ( 150, 11) und (0, 3) an! Satz 3 (Euklidscher Algorithmus). Es seien a, b N. Für i 1, j 0 werden r i, q j N 0 rekursiv definiert durch: ) r 1 = a, r 0 = b ) für i 0: falls r i > 0 bereits defniert ist, so wird (q i, r i+1 ) gemäß Satz 2 eindeutig definiert durch r i 1 = q i r i + r i+1 (Division von r i 1 durch r i mit Rest). a) Dann existiert ein n N 0 mit r n > 0 und r n+1 = 0, und es gilt r n = ggt(a, b).

4 b) (Algorithmus von Berlekamp) Es sei n N 0 mit r n > 0 und r n+1 = 0. Für 0 i n werden x i, y i Z rekursiv definiert durch Dann gilt für alle 0 i n: x 0 = 0, y 0 = 1, x 1 = 1, y 1 = q 0 für 1 i n 1 : x i+1 = x i 1 q i x i, y i+1 = y i 1 q i y i r i = ax i + by i, und insbesondere ggt(a, b) = r n = ax n + by n. Beispiel 8: Bestimmen Sie mit Hilfe des Euklid schen Algorithmus ggt(352, 105), ggt(299, 247, 143), ggt(85529, 62651). Definition 3. a) Eine Zahl n N heißt Primzahl, wenn τ(n) = 2 gilt ( n > 1 und T (n) = {1, n}). P = {2, 3, 5, 7, 11, 13,... } bezeichne die Menge aller Primzahlen. b) Eine Zahl n N heißt zusammengesetzte Zahl, wenn τ(n) > 2 gilt ( n > 1 und n P n besitzt einen nichttrivialen Teiler t, d.h.: t n mit 1 < t < n). Beispiel 9: Welche der folgenden Zahlen sind Primzahlen, welche zusammengesetzt: 19, 1, 57, 203, 23, 725193? Lemma 2. Ist 2 n N, so ist p = min(t (n) \ {1}) eine Primzahl. Satz 4 (Fundamentalsatz der Arithmetik). Jedes n N läßt sich eindeutig als ein Produkt von Primzahlen r n = p i mit r N 0, p i P und p 1 p 2 p r schreiben. i=1 Varianten von Satz 4: Für 0 n Z gibt es eindeutig bestimmte a) k N 0, p 1 < p 2 < < p k P, e 1,..., e k N, sodass n = sgn(n) b) e 1 {0, 1}, e p N 0 mit e p = 0 für fast alle p P, sodass n = ( 1) e 1 p ep Beispiel 10: Geben Sie die Primfaktorisierung folgender Zahlen nach Satz 4 bzw. dessen Varianten an: 128, 891, 59, 100000. k i=1 p P p e i i

5 Satz 5. Sind a, b Z \ {0} mit a = sgn(a) p ep, b = sgn(b) p fp, so gilt: p P p P a) a b für alle p P gilt: e p f p b) Ist q P mit q ab, so gilt q a oder q b. c) T (a) = { } p hp 0 h p e p und τ(a) = (e p + 1) p P p P d) V (a) = { p kp k p N 0, e p k p und k p = 0 für fast alle p P } p P e) ggt(a, b) = p min{ep,fp} und kgv(a, b) = p max{ep,fp} p P p P f) ggt(a, b) kgv(a, b) = ab Beispiel 11: Lösen Sie die Beispiele 5 und 6 diesmal unter Verwendung der Primfaktorisierung der Zahlen. Beispiel 12: Verallgemeinern Sie Satz 5.e) auf mehr als 2 Zahlen: i) ggt(a 1,..., a k ) =..., kgv(a 1,..., a k ) =... ii) Zeigen Sie, dass kgv(a 1,..., a k ) = kgv ( kgv(a 1,..., a k 1 ), a k ). Satz 6. a) (Reduzierte Bruchdarstellung rationaler Zahlen) Jedes r Q hat eine eindeutige Darstellung r = p mit p Z, q N und ggt(p, q) = 1. q (Man nennt dies die reduzierte Bruchdarstellung von r.) b) Es seien x Q, n N, a 0, a 1,..., a n Z mit a n 0 und a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0 = 0. Ist x = p q die reduzierte Bruchdarstellung von x, so gilt: p a 0 und q a n. Beispiel 13: Berechnen Sie,,möglichst einfach die reduzierte Bruchdarstellung von r = 25 Wofür benötigen Sie dabei ggt bzw. kgv? Geben Sie ein,,allgemeines Rezept für diesen Rechenvorgang an (d. h.: r = a b + c d ). 70 + 30 63. Beispiel 14: i) Wieso muß bei Satz 6.b) vorausgesetzt werden, dass r in der reduzierten Bruchdarstellung vorliegt? ii) Geben Sie alle rationalen Zahlen an, die Nullstellen folgender Polynome sein könnten (welche davon sind tatsächlich Nullstellen?): f = 9X 2 3X + 2, f = 15X 6 44, f = 4X 4 + 3X 2 1. Satz 7 (Satz von Euklid). P =. 1.2 Primzahlen Lemma 3. Ist n N eine zusammengesetzte Zahl, so gibt es eine Primzahl p P mit p n und p n.

6 Beispiel 15: Bestimmen Sie mit einer Variante des Siebes von Eratosthenes alle Primzahlen zwischen 300 und 400 (es sind 16 Stück). Welche Primzahlen müssen Sie dafür bereits kennen? Beispiel 16: Benützen Sie das Ergebnis von Beispiel 15, um alle Primzahlzwillinge zwischen 300 und 400 anzugeben (es sind 2 Paare). Satz 8. Zu jedem k N gibt es ein N N derart, dass N + 1, N + 2,..., N + k zusammengesetzte Zahlen sind. (,,P hat beliebig große Lücken. ) Definition 4. Die Funktion π : (0, ) N 0 x π(x) = {p P p x} heißt die Zählfunktion der Primzahlen. Bertrand s Postulat: (1852 von Tschebyscheff bewiesen) Für n 1 gilt π(2n) π(n) 1 (d.h.: es gibt ein p P mit n < p 2n). Beispiel 17: Überprüfen Sie die Richtigkeit des Bertrand schen Postulats für n = 1, 2,..., 10. Primzahlsatz (1896): lim x π(x) x log x = 1, d.h.: π(x) x log x Dirichlet scher Primzahlsatz: Sind a, b N mit ggt(a, b) = 1, so ist eine unendliche Menge. {a + kb k N und a + kb P} Satz 9. Es seien a, n N mit a, n 2. a) Ist a n + 1 P, so ist a gerade und n = 2 m mit einem m N. b) Ist a n 1 P, so ist a = 2 und n P. Definition 5. Die Funktion σ : N N n σ(n) = t T (n) heißt die Teilersummenfunktion (σ(n) ist die Summe aller positiven Teiler von n). Eine Zahl n N heißt vollkommen, wenn σ(n) = 2n gilt. Satz 10. Für eine gerade Zahl n N sind folgende Aussagen äquivalent: a) n ist eine vollkommene Zahl. b) Es gibt ein p P, sodass M p = 2 p 1 P und n = 2 p 1 M p. Beispiel 18: Ist 1 eine vollkommene Zahl? Geben Sie die 4 kleinsten geraden vollkommenen Zahlen an! t

7 2. Algebraische Grundbegriffe 2.1 Verknüpfungen Definition 1. Es sei M eine nicht leere Menge. a) Eine Verknüpfung (oder binäre Operation) auf M ist eine Abbildung f : M M M (x, y) f(x, y). Üblicherweise bezeichnet man eine solche Abbildung f mit einem Operationssymbol (oder, +,,, :,,,...) und schreibt den Funktionswert f(x, y) = (x, y) implizit mit diesem Symbol: f(x, y) = x y (oder x y, x + y,...). x y heißt das Verknüpfungsergebnis (oder Operationsergebnis) von x und y unter. Ein Paar (M, ), bestehend aus einer nicht leeren Menge M und einer Verknüpfung auf M, heißt ein Verknüpfungsgebilde (oder Magma, Gruppoid, Menge mit Verknüpfung). b) Es sei eine Verknüpfung auf M und N, N M nicht leere Teilmengen. Dann definiert man N N = {x y x N und y N }. N heißt abgeschlossen unter, wenn für alle x, y N gilt: x y N. Ist N abgeschlossen unter, so induziert die Einschränkung von auf N N eine Verknüpfung auf N; (N, ) heißt dann eine Teil- oder Unterstruktur von (M, ) (oder: Teilmagma, Untergruppoid). c) Es sei eine Verknüpfung auf M. Dann heißt die Operation assoziativ, wenn für alle x, y, z M gilt: (x y) z = x (y z). kommutativ, wenn für alle x, y M gilt: x y = y x. linksneutrales Ein Element e M heißt rechtsneutrales Element für die Operation, wenn für neutrales e x = x alle x M gilt: x e = x. e x = x = x e Ist assoziativ und existiert ein neutrales Element e M für, so heißt das Verknüpfungsgebilde (M, ) eine Halbgruppe. Existiert für ein neutrales Element e M, so heißt ein Element a M invertierbar (bezüglich ), wenn es ein a M mit a a = a a = e gibt; ist dies der Fall, so heißt a ein Inverses zu a (und a ein Inverses zu a ). Die Menge aller invertierbaren Elemente von M bezeichnen wir mit M = (M, ) = {a M a ist invertierbar bezüglich }.

8 Beispiel 19: Auf R sei eine Verknüpfung definiert durch: x y = x + 3y für alle x, y R. Zeigen Sie, dass weder kommutativ noch assoziativ ist (Gegenbeispiele!). Zeigen Sie, dass es bezüglich zwar ein rechtsneutrales, jedoch kein linksneutrales Element gibt. Sind die Teilmengen N, Z, Q R abgeschlossen unter? Beispiel 20: Für x R sei [x] = max{n Z n x}. Auf R sei eine Verknüpfung definiert durch: x y = [x + y]. Zeigen Sie, dass eine kommutative (Beweis!), aber keine assoziative (Gegenbeispiel!) Operation ist. (Beispiel 3 könnte hilfsreich sein.) Gibt es ein neutrales Element bezüglich? Beispiel 21: Wie viele verschiedene Operationen gibt es für eine n-elementigen Menge (n N)? Es sei M eine Menge mit 3 Elementen. Zeigen Sie, dass auf M 19 683 verschiedene Verknüpfungen definiert werden können. Wie viele davon besitzen ein fix vorgegebenes Element von M als neutrales Element? Wieviele davon sind kommutativ? (Tipp: Verknüpfungstafel) Lemma 1. Es sei (M, ) ein Verknüpfungsgebilde. a) Sind e 1 M linksneutral und e 2 M rechtsneutral (bezüglich ), so ist e 1 = e 2 und e 1 ist neutral. Insbesondere besitzt (M, ) höchstens ein neutrales Element. b) Ist assoziativ und existiert ein neutrales Element e M, so besitzt jedes invertierbare Element a M genau ein Inverses, und M ist abgeschlossen unter (d. h.: (M, ) ist ein Verknüpfungsgebilde). Insbesondere gilt: sind x, y M und x, y die Inversen zu x, y, so ist y x das Inverse zu x y. Beispiel 22: Welche konkreten Beispiele haben Sie in Ihrem bisherigen Studium für das,,insbesondere von Lemma 1.b) kennengelernt? Können Sie die entsprechenden Mengen bzw. Operationen angeben? (Tipp: Umkehrabbildungen, reguläre Matrizen) Definition 2. Es sei (M, ) ein Verknüpfungsgebilde, n N und a 1,..., a n M. Dann definiert man n a i rekursiv durch: i=1 1 i=1 a i = a 1 und für 1 < k n : ( k a k 1 ) ( i = a i a k =... ( ) ) (a 1 a 2 ) a 3 a4... a k. i=1 i=1 Ist e M ein neutrales Element (bezüglich ), so definiert man 0 i=1 a i = e. Statt n i=1 a i schreibt man für = auch n i=1 a i bzw. für = + auch n i=1 a i. Ist a 1 = a 2 =... = a n = a, schreibt man n i=1 a = a n bzw. a n für = und na für = +.

Lemma 2. Es sei (M, ) ein assoziatives Verknüpfungsgebilde, 2 n N und a 1,..., a n M. a) (Allgemeines Assoziativgesetz) Es ist a 1 a 2... a n M unabhängig von der Reihenfolge, in der die Operationen ausgewertet werden (d. h. unabhängig von,,klammerungen ). b) (Allgemeines Kommutativgesetz) Ist auch kommutativ, so ist a 1 a 2... a n M unabhängig von der Reihenfolge der Operanden; d. h.: für jede bijektive Abbildung σ : {1, 2,..., n} {1, 2,..., n} ist a 1 a 2... a n = a σ(1) a σ(2)... a σ(n). Beispiel 23: Es seien eine Operation auf der Menge M und a 1, a 2, a 3, a 4 M. Zeigen Sie, dass es 6 verschiedene Reihenfolgen gibt, in denen die Operationen zur Berechnung von a 1 a 2 a 3 a 4 durchgeführt werden können, aber nur 5 verschiedene Klammerungen für diesen Ausdruck. 9 2.2 Produkte und Homomorphismen ( ) Definition 3. Es sei I eine nicht leere (Index-)Menge und M i = (M i, i ) eine i I (mit I indizierte) Familie von Verknüpfungsgebilden. Dann wird auf der Produktmenge M := i I M i eine Operation (,,die komponentenweise Verknüpfung ) definiert durch: a = (a i ) i I, b = (b i ) i I M : a b = (a i i b i ) i I. (M, ) heißt das (äußere) direkte Produkt der Familie (M i ) i I. Ist insbesondere n N und I = {1, 2,..., n}, so ist M = M 1 M 2... M n und a b = (a 1,..., a n ) (b 1,..., b n ) = (a 1 1 b 1,..., a n n b n ). Beispiel 24: Wählen Sie 4 verschiedene, konkrete Verknüpfungsgebilde und bilden Sie deren direktes Produkt. Wie sieht die komponentenweise Verknüpfung in Ihrem konkreten Beispiel aus? Definition 4. (M, ) und (N, ) seien Verknüpfungsgebilde. Eine Abbildung ϕ : M N heißt ein Homomorphismus, wenn für alle x, y M gilt: ϕ(x y) = ϕ(x) ϕ(y). Ein Homomorphismus ϕ : M N heißt injektiv surjektiv bijektiv ist. Monomorphismus Epimorphismus Isomorphismus, wenn die Abbildung ϕ M und N heißen zueinander isomorph (Schreibweise: M N), wenn es einen Isomorphismus ϕ : M N gibt.

10 Beispiel 25: Welche konkreten Beispiele für Homomorphismen haben Sie in Ihrem bisherigen Studium kennengelernt? Geben Sie die entsprechenden Verknüpfungsgebilde an! (Tipp: Lineare Abbildungen zwischen Vektorräumen, Logarithmen, Grenzwerte von konvergenten Folgen, Integrale, Ableitung einer Funktion) Beispiel 26: Auf R seien die Operationen und definiert durch x y = min{x, y} und x y = max{x, y}. Zeigen Sie, dass die Abbildung µ : R R, gegeben durch µ(x) = x für alle x R, eine Isomorphismus von (R, ) nach (R, ) ist. Ist die Umkehrabbildung µ 1 ein Isomorphismus von (R, ) nach (R, )? Satz 1. Es seien (M, ) und (N, ) Verknüpfungsgebilde und ϕ : M N ein Homomorphismus. a) Ist ϕ ein Epimorphismus, so gilt: i) Ist assoziativ (bzw. kommutativ), so ist auch assoziativ (bzw. kommutativ). ii) Ist e M neutrales Element bezüglich, so ist ϕ(e) neutrales Element bezüglich. b) Es seien e M neutral bezüglich, f N neutral bezüglich und ϕ(e) = f. Dann gilt für jedes a M: Ist a M invers zu a bezüglich, so ist ϕ(a ) invers zu ϕ(a) bezüglich (d. h.: ist a M invertierbar, so auch ϕ(a) N). c) Ist f N neutrales Element und ϕ 1 (f) = {b M ϕ(b) = f} =, so ist ϕ 1 (f) ein Teilmagma von (M, ). Definition 5 (Strukturtransport). Es sei (M, ) ein Verknüpfungsgebilde. a) Es sei N eine Menge und ϕ : N M eine bijektive Abbildung. Definiert man für n, n N n n := ϕ 1 (ϕ(n) ϕ(n )), so ergibt dies eine Operation auf N und ϕ : (N, ) (M, ) ist ein Isomorphismus. heißt die mittels ϕ 1 von M auf N transportierte Verknüpfung. b) Es sei = X eine Menge und Abb(X, M) := {f : X M} die Menge aller Abbildungen von X nach M. Definiert man für f, g Abb(X, M) die Abbildung f g : X M x f(x) g(x), so ergibt dies eine Operation auf Abb(X, M). heißt die von M auf Abb(X, M) wertweise übertragene Verknüpfung. Beispiel 27: Es sei (R, ) die übliche Multiplikation reeller Zahlen, und ϕ : R R gegeben durch ϕ(x) = x + 2. Geben Sie die mittels ϕ 1 von R auf R transportierte Verknüpfung an, und untersuchen Sie, welche Eigenschaften besitzt! Beispiel 28: Überlegen Sie sich, dass die in Analysis und Linearer Algebra definierten,,rechenoperationen für Funktionen (bzw. lineare Abbildungen) Beispiele für die wertweise Übertragung von Verknüpfungen nach Definition 5.b) sind.

11 2.3 Relationen Definition 6. Es sei M eine Menge. a) Eine (binäre) Relation auf M ist eine Teilmenge R M M. Üblicherweise bezeichnet man eine Relation R M M mit einem Symbol R (oder,, =,,, <,,,...) und schreibt für x, y M: xry (x, y) R (,,x steht in der Relation R zu y ). b) Eine Relation R auf M (bzw. R M M) heißt i) reflexiv, wenn für alle x M gilt: xrx (bzw. (x, x) R). ii) symmetrisch, wenn für alle x, y M mit xry auch yrx gilt (bzw. (x, y) R = (y, x) R). ii ) antisymmetrisch, wenn für alle x, y M gilt: (xry und yrx) = x = y (bzw. ((x, y) R (y, x) R) = x = y). iii) transitiv, wenn für alle x, y, z M gilt: (xry und yrz) = xrz (bzw. ((x, y) R (y, z) R) = (x, z) R). Eine Relation R auf M heißt Äquivalenzrelation, wenn sie reflexiv, symmetrisch und transitiv ist. Eine Relation R auf M heißt Ordnungsrelation (oder: Teilordnung, Halbordnung, partielle Ordnung), wenn sie reflexiv, antisymmetrisch und transitiv ist. c) Es sei eine Äquivalenzrelation auf M. Dann heißt für x M [x] = {y M x y} die Äquivalenzklasse von x, und jedes x [x] heißt ein Repräsentant dieser Äquivalenzklasse. Die Menge aller Äquivalenzklassen wird mit M/ = {[x] x M} bezeichnet. Eine Teilmenge Z M heißt ein Repräsentantensystem für, wenn es zu jeder Äquivalenzklasse [x] M/ genau ein z Z gibt mit [x] = [z]. Beispiel 29: Auf N sei die,,teilbarkeitsrelation wie in Definition 1.1 gegeben. Untersuchen Sie, welche der Eigenschaften aus Definition 6.b) diese Relation besitzt. Ist es eine Äquivalenzbzw. eine Ordnungsrelation? Beispiel 30: Auf N werde die Relation folgendermaßen definiert: für a, b N sei a b genau dann, wenn für alle p P gilt: p a p b (d.h.: a und b besitzen dieselben Primteiler). Überprüfen Sie, ob 4 6, 4 1024, 6 36, 376 1, 189 21, 1890 21 zutrifft. Zeigen Sie, dass eine Äquivalenzrelation auf N ist und dass jede (bis auf eine!!) Äquivalenzklasse unendlich viele Zahlen enthält, und geben Sie ein Repräsentantensystem dafür an! Beispiel 31: Es sei R[x] die Menge aller (reellen) Polynomfunktionen, und für f R[x] sei gr(f) N 0 { } der Grad von f. (Anm.: das Nullpolynom f = 0 hat den Grad.) Auf R[x] werden die Relationen und definiert wie folgt: für f, g R[x] sei f g gr(f) = gr(g) und f g gr(f) gr(g).

12 Zeigen Sie, dass eine Äquivalenzrelation auf R[x] ist, geben Sie die Äquivalenzklassen von sowie einen Repräsentanten für jede Äquivalenzklasse an. Welche Eigenschaften von Definition 6.b) besitzt? Ist eine Ordnungsrelation? Satz 2. Es sei M eine Menge. a) Es sei eine Äquivalenzrelation auf M. i) Für x, y M gilt: [x] = [y] x y und [x] [y] = x y. ii) Es gibt z i M (i I), sodass M = i I [z i]. b) Es sei M = i I A i eine Partition von M in nicht leere Teilmengen A i. Definiert man für x, y M: x y es gibt ein i I mit {x, y} A i, so ist eine Äquivalenzrelation auf M, und für jedes x A i gilt: A i = [x].

13 3. Elementare Gruppentheorie 3.1 Definition, Untergruppen, Nebenklassen Definition 1. Eine Gruppe ist eine Halbgruppe (G, ) mit G = G, d. h. jedes Element von G ist (bezüglich ) invertierbar. Eine Gruppe (G, ) heißt abelsch (oder kommutativ), wenn ihre Operation kommutativ ist. endlich, wenn G < ist. Satz 1. Ein assoziatives Verknüpfungsgebilde (G, ) ist eine Gruppe genau dann, wenn für alle g, h G gilt: i) es existiert genau ein x G mit g x = h und ii) es existiert genau ein y G mit y g = h. Beispiel 32: Wie findet man in der Verknüpfungstafel einer Gruppe das neutrale Element? Was bedeutet Satz 1 für die Verknüpfungstafel einer Gruppe? (Tipp: Wie oft darf/muss ein Gruppenelement in jeder Zeile bzw. Spalte vorkommen?) Wie findet man in der Verknüpfungstafel das Inverse zu einem Gruppenelement? Woran erkennt man, ob die Gruppe abelsch ist? Definition 2. Es sei (G, ) eine Gruppe. a) Eine Untergruppe H von G (Schreibweise: H G) ist eine Unterstruktur (H, ) von (G, ), die wieder eine Gruppe ist. b) Es sei M G und M := {H H G und M H} die Menge aller Untergruppen von G, die M enthalten. Dann heißt M := H H M die von M erzeugte Untergruppe von G. [Beachte dazu Satz 2.b) unten!] c) G heißt endlich erzeugt, wenn es eine endliche Teilmenge M G mit M = G gibt. Beispiel 33: Ist eine endliche Gruppe auch endlich erzeugt? Können Sie eine endlich erzeugte Gruppe angeben, die nicht endlich ist? Beispiel 34: Geben Sie die von M 1 = {3, 11} erzeugte Untergruppe von (Q +, ) an! Geben Sie die von M 2 = {10, 12} erzeugte Untergruppe von (Z, +) an!

14 Satz 2. Es sei (G, ) eine Gruppe. a) Für eine Teilmenge H G gilt: H ist eine Untergruppe von G genau dann, wenn für alle g, h H gilt: g h 1 H. b) Es sei I eine (nicht leere Index-) Menge und für jedes i I sei H i G eine Untergruppe. Dann ist auch i I H i G eine Untergruppe. c) Es sei M G. Dann gilt für jede Untergruppe U G: M U M U d. h.: M ist die (bezüglich ) kleinste Untergruppe von G, die M enthält. Beispiel 35: Welche zu Satz 2 analogen Ergebnisse für Vektorräume kennen Sie aus der Linearen Algebra? (Beachte: Vektorräume sind abelsche Gruppen, aber nicht umgekehrt!) Lemma 1. Es seien (G, ) eine Gruppe und H G eine Untergruppe von G. a) Definiert man für g, g G die Relation Hl durch g Hl g g 1 g H, so ist Hl eine Äquivalenzrelation auf G mit Äquivalenzklassen [g] Hl = gh = {g h h H}. b) Definiert man für g, g G die Relation Hr durch g Hr g g (g ) 1 H, so ist Hr eine Äquivalenzrelation auf G mit Äquivalenzklassen [g] Hr = Hg = {h g h H}. Definition 3. Es seien (G, ) eine Gruppe und H G eine Untergruppe von G. a) Für g G heißt die Äquivalenzklasse [g] = gh die durch g bestimmte Linksnebenklasse von G nach H, jedes g [g] Hl heißt ein Repräsentant dieser Nebenklasse, und Hl G/H = {gh g G} bezeichnet die Menge aller Linksnebenklassen von G nach H. Eine Teilmenge R G heißt ein Repräsentantensystem für G/H (oder: Linkstransversale von H in G), wenn es für jedes gh G/H genau ein r R mit gh = rh gibt, d. h.: G = r R rh.

b) Für g G heißt die Äquivalenzklasse [g] Hr = Hg die durch g bestimmte Rechtsnebenklasse von G nach H, jedes g [g] Hr heißt ein Repräsentant dieser Nebenklasse, und H\G = {Hg g G} bezeichnet die Menge aller Rechtsnebenklassen von G nach H. Eine Teilmenge R G heißt ein Repräsentantensystem für H\G (oder: Rechtstransversale von H in G), wenn es für jedes Hg H\G genau ein r R mit Hg = Hr gibt, d. h.: G = r R Hr. c) Es sei e G das neutrale Element von (G, ). Dann heißt der Index von H in G, und heißt die Ordnung der Gruppe G. (G : H) = G/H N { } ord(g) = (G : {e}) = G 15 Beispiel 36: Zeigen Sie: ist (G, ) eine abelsche Gruppe und H G eine Untergruppe, so gilt für jedes g G: gh = Hg. Stimmen dann auch die Äquivalenzrelationen und überein, Hl Hr bzw. gilt G/H = H\G? Beispiel 37: Zeigen Sie: ist (G, ) eine Gruppe und H G mit (G : H) = 2, so gilt G/H = H\G! (G braucht hier nicht abelsch zu sein.) Beispiel 38: Es sei G = (R 2, +) und H ein 1-dimensionaler Untervektorraum von R 2. Zeigen Sie, dass H eine Untergruppe von G ist, und geben Sie die Elemente von G/H explizit an! (Achtung, hier ist die Gruppenoperation +!) Können Sie die Elemente von G/H geometrisch deuten? Satz 3 (Satz von Lagrange). Es seien (G, ) eine Gruppe und H 0 H G Untergruppen von G. Dann gilt: (G : H 0 ) = (G : H) (H : H 0 ) und G = (G : H) H. 3.2 Ordnung von Gruppenelementen, zyklische Gruppen Definition 4. Es sei (G, ) eine Gruppe mit neutralem Element e. a) Für g G heißt ord(g) = inf{n N g n = e} N { } die Ordnung des Gruppenelements g. g G heißt ein Torsionselement von G, wenn ord(g) N ist (d. h. wenn g endliche Ordnung hat).

16 b) Für g G heißt g G die von g erzeugte, zyklische Untergruppe von G. G heißt eine zyklische Gruppe, wenn es ein a G mit G = a gibt. Beispiel 39: Wir betrachten die Gruppe (GL 2 (R), ) mit der Matrizenmultiplikation als Operation. Bestimmen Sie die Ordnung der Gruppenelemente A 1 = ( ) 1 1 1 0, A2 = ( ) 0 1 1 0 und A 3 = A 1 A 2. Welche davon sind Torsionselemente? Satz 4. Es sei (G, ) eine Gruppe mit neutralem Element e G und g G. a) g = {g k k Z} b) Ist ord(g) =, so ist für alle k, l Z mit k l g k g l, und es ist g = {..., g 2, g 1, g 0 = e, g, g 2,...} eine unendliche Menge. c) Ist ord(g) = n N, so gilt: i) für k, l Z : g k = g l n (l k); und insbesondere gilt: g l = e n l. ii) g = n = ord(g) und g = {g, g 2, g 3,..., g n = e}. iii) für m Z ist ord(g m n ) = ggt(m, n). d) Ist G endlich, so gilt ord(g) ord(g). e) Ist G = p P eine Primzahl, so ist G zyklisch, und es gilt: g = G g e. f) Ist G zyklisch, so ist auch jede Untergruppe von G zyklisch. Beispiel 40: Geben Sie die zyklischen Untergruppen A i GL 2 (R), (i = 1, 2, 3), für die Matrizen aus Beispiel 39 an! Beispiel 41: Es sei (G, ) eine zyklische Gruppe der Ordnung 10, also G = {a, a 2, a 3,..., a 10 = e} mit einem geeigneten a G. Geben Sie alle Gruppenelemente mit Ordnung 1, 2, 5, 10 an! Zeigen Sie: für jeden positiven Teiler d 10 besitzt G genau eine Untergruppe der Ordnung d. Beispiel 42: Verallgemeinern Sie Beispiel 41 und beweisen Sie: ist (G, ) eine zyklische Gruppe der Ordnung n N, so besitzt G für jeden positiven Teiler d n genau eine Untergruppe U 1 der Ordnung d und genau eine Untergruppe U 2 mit Index (G : U 2 ) = d. (Tipp: Wie viele Gruppenelemente besitzt G, deren Ordnung d teilt?) Beispiel 43: Es sei (G, ) eine abelsche Gruppe und g, h G Torsionselemente mit ord(g) = m und ord(h) = n. Zeigen Sie, dass auch gh ein Torsionselement ist und ord(gh) kgv(m, n) gilt. Können Sie ein Beispiel mit ord(gh) kgv(m, n) angeben? Beispiel 39 zeigt, dass obige Aussage für nicht abelsche Gruppen im Allgemeinen falsch ist.

17 3.3 Konjugation, Normalteiler Definition 5. Es sei (G, ) eine Gruppe. a) Für a G heißt die Abbildung κ a : G G g aga 1 die Konjugation mit dem Element a. Elemente g, h G heißen zueinander konjugiert, wenn es ein a G mit h = κ a (g) = aga 1 gibt.,,zueinander konjugiert sein definiert eine Äquivalenzrelation auf G, deren Äquivalenzklassen Klassen konjugierter Elemente genannt werden. Untergruppen U, V G heißen zueinander konjugiert, wenn es ein a G mit V = κ a (U) = aua 1 = {aua 1 u U} gibt. b) Eine Untergruppe H G heißt ein Normalteiler von G (Schreibweise: H G), wenn für alle a G gilt: H = κ a (H) (d. h.: H bleibt bei Konjugation mit beliebigem a G invariant). Beispiel 44: Es sei (G, ) eine abelsche Gruppe. Zeigen Sie, dass dann für jedes a G die Konjugation κ a die identische Abbildung ist. Geben Sie die Klassen der zueinander konjugierten Elemente an. Ist jede Untergruppe von G ein Normalteiler? Beispiel 45: Zeigen Sie: sind zwei Elemente einer Gruppe zueinander konjugiert, so haben sie dieselbe Ordnung. Welche Gruppen besitzen nur eine einzige Klasse konjugierter Elemente? Satz 5. Es sei (G, ) eine Gruppe und H G eine Untergruppe. Dann sind folgende Aussagen äquivalent: a) H G b) für alle a G ist ah = Ha c) H\G = G/H d) für alle a, b G ist ah bh = ab H e) für alle a G und für alle h H ist aha 1 H. Beispiel 46: Zeigen Sie: ist (G, ) eine Gruppe und H G eine Untergruppe vom Index (G : H) = 2, so ist H G. (Tipp: Beispiel 37) Definition 6. Es sei (G, ) eine Gruppe und N G ein Normalteiler von G. Dann wird durch (an) (bn) = (ab)n (a, b G) eine Operation auf G/N definiert, und (G/N, ) ist eine Gruppe mit neutralem Element N. (G/N, ) heißt die Faktorgruppe von G nach N.

18 Lemma 2 (Restklassen von Z modulo m). a) Zu jeder Untergruppe U von (Z, +) gibt es ein eindeutig bestimmtes m N 0 mit U = m = mz = {mk k Z}. b) Es sei m N und U = m = mz. Für ganze Zahlen a, b Z sind folgende Aussagen äquivalent: i) m (b a) ii) a + U = b + U iii) a und b haben bei,,division durch m mit Rest denselben Rest in {0, 1,..., m 1}. Sind für a, b Z die äquivalenten Bedingungen von b) erfüllt, so sagt man:,,a ist zu b kongruent modulo m und schreibt a b mod (m). Die Nebenklassen von Z nach U = m heißen auch die Restklassen von Z modulo m. Beispiel 47: Stellen Sie fest, ob folgende Relationen zutreffen oder nicht: 14 39 mod (5), 14 39 mod (7), 3 30 mod (11). Gilt für beliebige a, b Z: a b mod (1)? Wie lässt sich die Eigenschaft einer ganzen Zahl, gerade oder ungerade zu sein, mit einer Kongruenz mod (2) ausdrücken? Welche Zahlen bilden die beiden Restklassen modulo 2? Beispiel 48: Beweisen Sie, dass für m N und beliebige a, b, c, d Z gilt: ist a b mod (m) und c d mod (m), so gilt auch a + c b + d mod (m). 3.4 Gruppenhomomorphismen Definition 7. Es seien (G, ) und (G, ) Gruppen. a) Ein Gruppenhomomorphismus ϕ von G nach G ist ein Homomorphismus nach 2, Def. 4, d. h. eine Abbildung ϕ : G G, sodass für alle g, h G gilt: ϕ(g h) = ϕ(g) ϕ(h). Ist ein Gruppenhomomorphismus ϕ ein Mono-, (Epi-, Iso-)-morphismus (nach 2, Def. 4), so heißt ϕ auch Gruppenmono-,(-epi-, -iso-)-morphismus. G und G heißen zueinander isomorph (Schreibweise: G G ), wenn es einen Gruppenisomorphismus ϕ : G G gibt. b) Ist ϕ : G G ein Gruppenhomomorphismus von G nach G und ist e G das neutrale Element von G, so heißen ker(ϕ) = ϕ 1 ({e }) = {g G ϕ(g) = e } der Kern von ϕ und das Bild von ϕ. Bi(ϕ) = ϕ(g) = {ϕ(g) g G}

c) Ist N G ein Normalteiler von G, so heißt π : (G, ) (G/N, ) g gn der (kanonische) Restklassenhomomorphismus (oder: die natürliche Projektion) von G auf die Faktorgruppe von G nach N. 19 Beispiel 49: Zeigen Sie: sind (G, ) und (G, ) Gruppen und ϕ : G G ein Gruppenisomorphismus, so ist die Umkehrabbildung ϕ 1 : G G auch ein Gruppenisomorphismus. Satz 6. Es seien (G, ) und (G, ) Gruppen und ϕ : G G ein Gruppenhomomorphismus. a) Ist e G bzw. e G das neutrale Element von G bzw. G, so gilt: ϕ(e) = e. b) Für jedes g G ist ϕ(g 1 ) = ϕ(g) 1. c) Ist H G eine Untergruppe von G, so ist auch ϕ(h) G. d) Ist H G ein Normalteiler von G, so ist ϕ(h) ϕ(g) = Bi(ϕ). e) Ist H G (bzw. H G ), so ist ϕ 1 (H ) G (bzw. ϕ 1 (H ) G). Beispiel 50: Es seien (G, ) und (G, ) Gruppen, ϕ : G G ein Gruppenhomomorphismus und N G ein Normalteiler von G. Zeigen Sie, dass durch ϕ(gn) := ϕ(g)ϕ(n) (für g G) ein Gruppenepimorphismus ϕ : G/N ϕ(g)/ϕ(n) definiert wird. (Vergessen Sie nicht nachzuweisen, dass die Definition von ϕ unabhängig von der Wahl des Repräsentanten g der Restklasse gn ist! Wo benötigen Sie Satz 6.d)?) Korollar. Es seien (G, ) und (G, ) Gruppen, e G das neutrale Element von G und ϕ : G G ein Gruppenhomomorphismus. Dann gilt: a) ker(ϕ) G. b) Ist g G und ϕ(g) = g, so ist ϕ 1 ({g }) = g ker(ϕ). c) ϕ ist ein Monomorphismus genau dann, wenn ker(ϕ) = {e}. Beispiel 51: Es seien (G, ) und (G, ) Gruppen, ϕ : G G ein Gruppenhomomorphismus, M G und M = ϕ(m). Zeigen Sie, dass ϕ 1 (M ) = M ker(ϕ) gilt. Ist die Aussage (bzw. Ihr Beweis) auch im Falle M = richtig? Satz 7 (Universelle Eigenschaft des Restklassenhomomorphismus). Es sei (G, ) eine Gruppe, N G ein Normalteiler von G und π : G G/N der Restklassenhomomorphismus. Ist ϕ : G G ein Gruppenhomomorphismus (in eine beliebige Gruppe (G, )) mit N ker(ϕ), so existiert genau ein Homomorphismus ϕ : G/N G mit ϕ π = ϕ.

20 Korollar. a) (Homomorphiesatz) Ist ϕ : G G ein Gruppenhomomophismus und π : G G/ ker(ϕ) der Restklassenhomomorphismus, so existiert genau ein Gruppenmonomorphismus ϕ : G/ ker(ϕ) G mit ϕ π = ϕ. Insbesondere ist G/ ker(ϕ) Bi(ϕ). b) (Klassifikationssatz für zyklische Gruppen) Ist (G, ) eine zyklische Gruppe, so ist { (Z, +) falls G = G Z/nZ falls G = n N. Satz 8. Es sei G eine Gruppe, U G eine Untergruppe und N G ein Normalteiler. a) i) Dann ist UN G und U N U. ii) (1. Isomorphiesatz) Die Abbildung ist ein Gruppenisomorphismus. ϕ : U/(U N) (UN)/N a(u N) an b) Es sei H G ein weiterer Normalteiler von G mit N H. i) Dann ist H/N G/N. ii) (2. Isomorphiesatz) Die Abbildung ist ein Gruppenisomorphismus. ψ : G/H (G/N)/(H/N) ah (an) (H/N) Beispiel 52: Zeigen Sie, dass det : GL 3 (R) R ein Gruppenepimorphismus von (GL 3 (R), ) auf (R \ {0}, ) ist. Wieso ist H = det 1 (Q \ {0}) = {A GL 3 (R) det(a) Q} ein Normalteiler von GL 3 (R)? Verwenden Sie den 2. Isomorphiesatz mit N = ker(det) und den Homomorphiesatz, um zu zeigen. GL 3 (R)/H (R \ {0})/(Q \ {0}) Definition 8. Es sei (G, ) eine Gruppe. a) Ein Automorphismus von G ist ein Gruppenisomorphismus ϕ : G G. Aut(G) bezeichnet die Menge aller Automorphismen von G und Inn(G) = {κ a a G} die Menge aller Konjugationen (oder: inneren Automorphismen) von G. b) Z(G) = {z G zg = gz für alle g G} heißt das Zentrum der Gruppe G.

Satz 9. Es sei (G, ) eine Gruppe. a) Gemeinsam mit der Hintereinanderausführung von Abbildungen ist (Aut(G), ) eine Gruppe, die,,automorphismengruppe von G, und Inn(G) Aut(G). b) Die Abbildung Ψ : G Inn(G), definiert durch a κ a, ist ein Gruppenhomomorphismus und ker Ψ = Z(G). Insbesondere ist Z(G) abelsch und Z(G) G. Beispiel 53: Es sei (G, ) eine Gruppe. Zeigen Sie, dass für jeden Automorphismus λ Aut(G) gilt: λ(z(g)) = Z(G). 21 3.5 Produkte von Gruppen, Struktur endlicher abelscher Gruppen Definition 9. Es sei φ I eine (Index-) Menge, und für jedes i I sei (G i, i ) eine Gruppe. Dann ist G = i I G i gemeinsam mit der komponentenweise Verknüpfung (vgl. 2, Def. 3) wieder eine Gruppe. (G, ) heißt das äußere direkte Produkt der Familie von Gruppen (G i, i ) i I. Satz 10. Es sei (G, ) eine Gruppe, r N, N 1,..., N r G und N = N 1... N r = {g 1... g r g i N i } das Produkt dieser Normalteiler. Dann gilt: a) N G ist ein Normalteiler. b) Die folgenden Aussagen sind äquivalent: i) Die Abbildung ϕ : N 1... N r N (g 1,..., g r ) g 1... g r ist ein Gruppenisomorphismus. ii) Zu jedem a N existieren eindeutig bestimmte g i N i (1 i r) mit a = g 1... g r. iii) Für jedes 1 i r gilt: N i (N 1... N i 1 N i+1... N r ) = {e}. Definition 10. Es sei (G, ) eine Gruppe, r N, N 1,..., N r G und N = N 1... N r = {g 1... g r g i N i } das Produkt dieser Normalteiler. Sind die äquivalenten Bedingungen von Satz 10. b) erfüllt, so heißt N das (innere) direkte Produkt der Normalteiler N i (1 i r). Schreibweise: N = N 1... N r (dir) Beispiel 54: Es sei G = a = {a, a 2, a 3, a 4, a 5, a 6 = e} eine zyklische Gruppe der Ordnung 6. Zeigen Sie, dass dann gilt: G = a 2 a 3 (dir). Wie viele Elemente haben die beiden Normalteiler, die G als Produkt darstellen?

22 Satz 11 (Struktursatz für endliche abelsche Gruppen). Es sei G eine endliche, abelsche Gruppe mit G = n 2. Dann existieren eindeutig bestimmte Zahlen r, d 1,..., d r N mit 1 < d 1 d 2... d r, zu denen es (im allgemeinen nicht eindeutig bestimmte) Elemente b i G mit ord(b i ) = d i gibt, sodass G = b 1 b 2... b r (dir) Beispiel 55: Es seien p 1, p 2, p 3 P drei paarweise verschiedene Primzahlen und n = p 3 1 p2 2 p 3. Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es, für dieses n entsprechende Werte r, d 1,..., d r mit den Bedingungen aus Satz 11 zu finden? Gilt stets r 3? Warum? Können Sie eine Methode angeben, wie man diese Aufgabe,,systematisch lösen kann?

23 4. Grundbegriffe der Ringtheorie 4.1 Definition, Ideale, Kongruenzen Definition 1. a) Eine nicht leere Menge R gemeinsam mit zwei Verknüpfungen + und heißt ein Ring (mit Einselement), wenn folgendes gilt: (R1) (R, +) ist eine abelsche Gruppe (R2) (R, ) ist eine Halbgruppe (mit neutralem Element 1 R R) (R3) für alle x, y, z R gelten die Distributivgesetze: x (y + z) = (x y) + (x z) und (y + z) x = (y x) + (z x) R = (R, ) bezeichne die Menge der bezüglich invertierbaren Elemente (die Einheitengruppe von R). Ist eine kommutative Verknüpfung, so heißt (R, +, ) ein kommutativer Ring. b) Es sei (R, +, ) ein Ring. Eine Teilmenge = R 0 R heißt ein Teilring (oder Unterring) von R, wenn gilt: (TR1) (R 0, +) ist eine Untergruppe von (R, +) (TR2) (R 0, ) ist ein Teilmagma von (R, ) mit 1 R R 0. (d. h.: R 0 ist mit den auf R 0 eingeschränkten Operationen wieder ein Ring und besitzt dasselbe Einselement wie R.) Ist R 0 ein Teilring von R, so heißt R ein Oberring (oder Erweiterungsring) von R 0. Beispiel 56: Es sei (R, +, ) ein Ring und a, r R. Geben Sie die folgenden Ringelemente b, c mit Hilfe von Vielfachen- und Potenzschreibweise in einfacherer Form an: b = a a + a a + a a, c = a a a + a a a. Können Sie das Element b + c mit Hilfe des Distributivgesetzes weiter vereinfachen? Wieso sind (im Allgemeinen) die Ringelemente a r a, a 2 r und r a 2 verschieden? (Können Sie spezielle Beispiele dafür angeben, etwa mit R = M 2,2 (R)?) Beispiel 57: Zeigen Sie, dass Abb(R, R) = {f : R R} mit den gemäß 2, Def. 5.b von R übertragenen Verknüpfungen + und einen kommutativen Ring bildet. Geben Sie sein Einselement an, und beschreiben Sie seine Einheitengruppe! Satz 1 (Rechenregeln für Ringe). Es sei (R, +, ) ein Ring mit Nullelement 0 R R. Dann gilt für beliebige a, b R: a) a 0 R = 0 R a = 0 R b) a ( b) = ( a) b = (a b) und ( a) ( b) = a b c) Ist a R, so ist auch a R und ( a) 1 = (a 1 ). d) Für alle m Z ist (ma) b = a (mb) = m(a b) e) Gilt a b = b a, so gilt für alle n N 0 : n ( ) n (a + b) n = a n i b i i i=0

24 Lemma 1. Für einen Ring (R, +, ) sind folgende Aussagen äquivalent: a) R = 1 b) R = {0 R } c) 0 R = 1 R Satz 2 (Teilringkriterium). Es sei (R, +, ) ein Ring. Für eine nicht leere Teilmenge = R 0 R gilt: R 0 ist genau dann ein Teilring von R, wenn folgendes erfüllt ist: i) 1 R R 0 ii) für alle a, b R 0 ist a b R 0 und ab R 0. Beispiel 58: Zeigen Sie, dass die Menge aller (reellen) Polynomfunktionen einen Teilring des Ringes Abb(R, R) aus Beispiel 57 bildet. Beispiel 59: Zeigen Sie, dass die Menge aller stetigen (bzw. die Menge aller differenzierbaren) Funktionen f : R R einen Teilring des Ringes Abb(R, R) aus Beispiel 57 bildet. Definition 2. Es sei (R, +, ) ein Ring. a) Eine nicht leere Teilmenge I R heißt ein Ideal von R (Schreibweise: I R), wenn folgendes gilt: (I1) I ist eine Untergruppe von (R, +), (I2) für alle a I und r R gilt: ar I und ra I (d. h.: für alle r R gilt: Ir I und ri I). b) Ist I R ein Ideal, so heißen Ringelemente a, b R zueinander kongruent modulo I Schreibweise: a b mod I, wenn b a I ist (d. h.: wenn a + I = b + I als Nebenklassen der Gruppe (R, +) nach der Untergruppe I). c) Der Ring R heißt einfach, wenn {0} und R die einzigen Ideale von R sind. Beispiel 60: Zeigen Sie, dass I = {f : R R f(2) = 0} ein Ideal von Abb(R, R) bildet. Sind Elemente g, h Abb(R, R) zueinander kongruent modulo I, wenn sie an der Stelle 2 denselben Funktionswert haben? Gilt auch die Umkehrung? Beispiel 61: Für eine Teilmenge M R sei I M = {f : R R f(x) = 0 für alle x M}. Zeigen Sie, dass I M ein Ideal von Abb(R, R) ist. Kann man auch die trivialen Ideale von Abb(R, R) in der Form I M (mit geeigneten Mengen M) darstellen? Was bedeutet es für Elemente g, h Abb(R, R), zueinander kongruent modulo I M zu sein?

25 Satz 3. Es sei (R, +, ) ein Ring und I R ein Ideal. a) Sind a, a, b, b R mit a a mod I und b b mod I, so gilt auch: a + b a + b mod I und ab a b mod I. b) Definiert man für a, b R (a + I) (b + I) = (ab) + I, so erhält man eine Verknüpfung auf R/I, die (R/I, +, ) zu einem Ring macht. Dabei ist I das Nullelement und 1 + I das Einselement von R/I. R/I heißt der Restklassenring von R modulo I. Beispiel 62: Es sei I Abb(R, R) wie in Beispiel 60 gegeben. Beweisen Sie: die Menge aller konstanten Funktionen bildet ein Repräsentantensystem für den Restklassenring Abb(R, R)/I. Können Sie auch für die Ideale I M Abb(R, R) aus Beispiel 61 ein Repräsentantensystem für den Restklassenring Abb(R, R)/I M angeben? Definition 3. Es sei (R, +, ) ein Ring. a) Sind I 1, I 2 R Ideale von R, so definiert man die Summe der Ideale I 1, I 2 als I 1 + I 2 = {a + b a I 1 und b I 2 } und das Produkt der Ideale I 1, I 2 als { n } I 1 I 2 = a i b i n N, ai I 1, b i I 2. i=1 b) Es sei M R eine Teilmenge von R und M := {I M I R} die Menge aller Ideale von R, die M umfassen. Dann heißt (M) = I das von M erzeugte Ideal von R (d. h.: (M) ist das (bezüglich Mengeninklusion) kleinste Ideal von R, in dem die Menge M enthalten ist). [Beachte dazu Satz 4.a) unten!] c) Ein Ideal I R heißt endlich erzeugt, wenn es eine endliche Menge M R mit (M) = I gibt. I M Satz 4. Es sei (R, +, ) ein Ring. a) Ist = J eine nicht leere Indexmenge und ist für jedes j J I j R ein Ideal, so ist auch I j R ein Ideal von R. j J b) Sind I 1, I 2, I 3 R Ideale, so sind auch I 1 + I 2, I 1 I 2 und I 1 I 2 Ideale von R, und es gilt:

26 i) I 1 + I 2 = (I 1 I 2 ) ii) I 1 I 2 = ({ab a I 1 und b I 2 }) iii) I 1 I 2 I 1 I 2 iv) I 1 (I 2 + I 3 ) = (I 1 I 2 ) + (I 1 I 3 ) und (I 1 + I 2 ) I 3 = (I 1 I 3 ) + (I 2 I 3 ). c) Für ein Ideal I R sind folgende Aussagen äquivalent: i) I = R ii) 1 I iii) I R Beispiel 63: Es sei I 1 = {f : R R f(1) = 0} Abb(R, R) und I 2 = I Abb(R, R) wie in Beispiel 60 gegeben. Beweisen Sie, dass I 1 + I 2 = Abb(R, R) und I 1 I 2 = I 1 I 2 = {f : R R f(1) = 0 = f(2)} = I {1,2} (in der Bedeutung von Beispiel 61) gilt. Können Sie für beliebige Teilmengen M 1, M 2 R passende Teilmengen A, B R angeben, mit denen I M1 + I M2 = I A und I M1 I M2 = I B (wieder mit den Bezeichnungen von Beispiel 61) gilt? 4.2 Ringhomomorphismen, Charakteristik Definition 4. Es seien (R, +, ) und (R, +, ) Ringe. a) Ein Ringhomomorphismus (von R nach R ) ist eine Abbildung ϕ : R R mit folgenden Eigenschaften: (RHom1) für alle a, b R ist ϕ(a + b) = ϕ(a) + ϕ(b) und ϕ(ab) = ϕ(a)ϕ(b) (d. h.: ϕ : R R ist ein Homomorphismus bezüglich,,+ und bezüglich,, wie in 2, Def. 4) (RHom2) ϕ(1 R ) = 1 R. b) Ist ϕ : R R ein Ringhomomorphismus, so heißen ker(ϕ) = ϕ 1 ({0 R }) der Kern von ϕ und Bi(ϕ) = ϕ(r) das Bild von ϕ. mono c) Ein Ringhomomorphismus ϕ : R R heißt ein Ring epi iso morphismus, injektiv wenn ϕ surjektiv ist. bijektiv Die Ringe R und R heißen zueinander isomorph (Schreibweise: R R ), wenn es einen Ringisomorphismus ϕ : R R gibt. { } { } homo endo Ein Ring morphismus ϕ : R R heißt auch Ring morphismus. iso auto

27 d) Ist I R ein Ideal von R, so heißt π : (R, +, ) (R/I, +, ) a a + I der (kanonische) Restklassenhomomorphismus von R auf den Restklassenring R/I. Beispiel 64: Für eine nicht leere Teilmenge = M R sei ϕ : Abb(R, R) Abb(M, R) definiert durch die Einschränkung der Definitionsmenge auf M, d.h. ϕ(f) = f M. Zeigen Sie, dass ϕ ein Ringhomomorphismus ist! (Dazu sollte man sich auch überlegen, wieso Abb(M, R) überhaupt ein Ring ist.) Ist ϕ ein Ringepimorphismus? Bestimmen Sie ker(ϕ)! (Gibt es einen Bezug zu Beispiel 61?) Satz 5. Es seien (R, +, ) und (R, +, ) Ringe und ϕ : R R ein Ringhomomorphismus. Dann gilt: a) ϕ(r ) (R ) und ϕ R : R R ist ein (multiplikativer) Gruppenhomomorphismus. b) Ist R 0 R ein Teilring, so ist ϕ(r 0 ) R ein Teilring von R. c) Ist I R ein Ideal, so ist ϕ(i) ϕ(r) ein Ideal des Ringes ϕ(r). d) Ist R 0 R ein Teilring (bzw. I R ein Ideal), so ist auch ϕ 1 (R 0) R ein Teilring (bzw. ϕ 1 (I ) R ein Ideal) von R. e) ker(ϕ) R. Satz 6. Es seien (R, +, ) und (R, +, ) Ringe. a) (Universelle Eigenschaft des Restklassenhomomorphismus) Sind I R ein Ideal und π : R R/I der Restklassenhomomorphismus, so gibt es zu jedem Ringhomomorphismus ϕ : R R mit I ker(ϕ) genau einen Ringhomomorphismus ϕ : R/I R mit ϕ π = ϕ. b) (Homomorphiesatz) Ist ϕ : R R ein Ringhomomorphismus, so existiert genau ein Ringmonomorphismus ϕ : R/ ker(ϕ) R mit ϕ π = ϕ. Insbesondere ist R/ ker(ϕ) Bi(ϕ). c) Es seien ϕ : R R ein Ringepimorphismus, Ω = {I ker(ϕ) I R} die Menge aller Ideale von R, welche ker(ϕ) enthalten, und Ω = {I I R } die Menge aller Ideale von R. Dann ist ϕ : Ω Ω I ϕ(i) eine inklusionserhaltende Bijektion, und für I Ω ist ϕ 1 (I ) = ϕ 1 (I ) R. Beispiel 65: Zeigen Sie, dass die Abbildung ϕ : Abb(R, R) R, definiert durch ϕ(f) = f(2) für f Abb(R, R), ein Ringepimorphismus ist. Es sei I Abb(R, R) wie in Beispiel 60 gegeben. Verwenden Sie Satz 6, um Abb(R, R)/I R zu beweisen! Können Sie einen Zusammenhang mit Beispiel 62 herstellen? Verwenden Sie die Ergebnisse von Beispiel 64, um auf analoge Weise Abb(R, R)/I M Abb(M, R) zu beweisen.

28 Lemma 2. Für einen beliebigen Ring (R, +, ) gilt: a) Es existiert genau ein Ringhomomorphismus ϕ : Z R, und für diesen ist ϕ(z) = {k 1 R k Z} =: R 0. b) R 0 ist der kleinste Teilring von R (d. h.: jeder Teilring von R enthält R 0 ). c) Es gibt genau ein n N 0 mit R 0 Z/(n). Definition 5. Es sei (R, +, ) ein Ring. Dann heißt der in Lemma 2.a) definierte kleinste Teilring R 0 = {k 1 R k Z} R der Primring von R, und die nach Lemma 2.c) eindeutig bestimmte Zahl n N 0 mit R 0 Z/(n) heißt die Charakteristik des Ringes R (Schreibweise: char(r) = n). 4.3 Nullteiler, Ideale in kommutativen Ringen Ab nun sind alle betrachteten Ringe kommutativ (d. h.: a, b R : ab = ba). Definition 6. Es sei (R, +, ) ein kommutativer Ring. a) Ein Element a R heißt ein Nullteiler (von R), wenn es ein b R \ {0} mit ab = 0 gibt. Die Menge aller Nullteiler von R bezeichnen wir mit NT(R). b) Der Ring R heißt ein Integritätsbereich [engl.: domain], wenn NT(R) = {0} ist (d. h.: wenn das Nullelement 0 der einzige Nullteiler von R ist). c) Der Ring R heißt ein Körper [engl.: field, franz.: corps], wenn R = R \ {0} gilt (d. h.: jedes Element außer 0 besitzt ein (multiplikatives) Inverses) Beispiel 66: Zeigen Sie: ein Element f Abb(R, R) ist genau dann ein Nullteiler, wenn 0 f(r) ist. Ist jedes Element von Abb(R, R) entweder Nullteiler oder Einheit (d. h.: gilt Abb(R, R) = Abb(R, R) NT(Abb(R, R))? Lemma 3. Es sei (R, +, ) ein kommutativer Ring. a) Für ein Element a R sind folgende Aussagen äquivalent: i) a NT(R) ii) für alle b, c R gilt: aus ab = ac folgt b = c (d. h.: das Element a ist,,kürzbar ). b) Es gilt: R NT(R) =. Insbesondere gilt: Ist R ein Körper, so ist R auch ein Integritätsbereich. c) Ist R ein Integritätsbereich (bzw. speziell ein Körper), so gilt: char(r) P {0}.

29 Satz 7 (Struktur des Restklassenrings Z/(n)). Es sei n N. a) Für a Z sind folgende Aussagen äquivalent: i) a + nz (Z/(n)) ii) a + nz NT(Z/(n)) iii) ggt(a, n) = 1 Insbesondere gilt: Z/(n) = (Z/(n)) NT(Z/(n)). b) Folgende Aussagen sind äquivalent: i) Z/(n) ist ein Körper. ii) Z/(n) ist ein Integritätsbereich. iii) n P. Definition 7. Es sei (R, +, ) ein Ring. a) Für a R heißt (a) = ar = Ra = {ar r R} das von a erzeugte Hauptideal von R. Ein Ideal I R heißt ein Hauptideal, wenn es ein a R mit I = (a) gibt. Ist R ein Integritätsbereich und ist jedes Ideal von R ein Hauptideal, so heißt R ein Hauptidealring (= PID = principal ideal domain). b) Ein Ideal P R heißt ein maximales Ideal, wenn P R ist und es kein Ideal Q R mit P Q R gibt; ein Primideal, wenn P R ist und für alle a, b R gilt: aus ab P folgt a P oder b P. Beispiel 67: Für eine Teilmenge M R sei I M Abb(R, R) so wie in Beispiel 61 definiert. Zeigen Sie, dass I M ein Hauptideal ist! (Tipp: Die charakteristische Funktion der Menge R \ M könnte hilfreich sein.) Satz 8. Für einen kommutativen Ring (R, +, ) mit R 2 sind folgende Aussagen äquivalent: a) R ist ein Körper. b) {0} und R sind die einzigen Ideale von R. c) Jeder Ringhomomorphismus ϕ : R R in einen (nicht notwendig kommutativen) Ring R mit R 2 ist ein Monomorphismus. Beispiel 68: Wieso kann es (wegen Satz 8) keinen Ringhomomorphismus ϕ : R Q geben? (Tipp: welche dieser Mengen ist abzählbar?) Beispiel 69: Beweisen Sie folgende Variante von Satz 8: ein kommutativer Ring R mit R 2 ist genau dann ein Körper, wenn {0} ein maximales Ideal von R ist.

30 Satz 9. Es sei (R, +, ) ein kommutativer Ring und I R ein Ideal. Dann gilt: a) I ist genau dann ein maximales Ideal von R, wenn R/I ein Körper ist. b) I ist genau dann ein Primideal von R, wenn R/I ein Integritätsbereich ist. c) Jedes maximale Ideal von R ist auch ein Primideal von R. d) {0} ist genau dann ein Primideal von R, wenn R ein Integritätsbereich ist. e) Ist R ein Hauptidealring, so ist jedes nicht triviale Primideal {0} P R ein maximales Ideal. Beispiel 70: Es seien I 1, I 2 Abb(R, R) wie in Beispiel 63 gegeben. Zeigen Sie, dass beide maximale Ideale sind. Sind sie auch Primideale? Zeigen Sie, dass für eine Teilmenge M R mit M 2 das Ideal I M kein Primideal ist und Abb(M, R) kein Integritätsbereich ist! (Mehrere Beweismöglichkeiten!) Satz 10. Es sei R ein kommutativer Ring mit R 2. Dann besitzt R maximale Ideale. Darüber hinaus gilt: ist I R ein Ideal mit I R, so existiert ein maximales Ideal M R mit I M. Zum Beweis von Satz 10 benötigen wir das Zorn sche Lemma: Es sei M eine Menge mit einer Ordnungsrelation (vgl. 2, Def. 6.b). Eine Teilmenge K M heißt Kette (oder: total geordnete Teilmenge von M), wenn für alle x, y K gilt: x y oder y x. Ein Element s M heißt eine obere Schranke für eine Kette K M, wenn für alle k K gilt: k s. Lemma von Zorn. Es sei M eine Menge mit einer Ordnungsrelation. Besitzt jede Kette K M eine obere Schranke in M, so besitzt die Menge M maximale Elemente (d. h.: Elemente m M, sodass für alle x M gilt: x m = x = m). Beispiel 71: Überlegen Sie sich mit Hilfe von Beispiel 67, dass der Ring Abb(R, R),,unendlich lange Ketten von ineinander enthaltenen Hauptidealen besitzt. Beispiel 72: Haben Sie in Ihrem bisherigen Studium schon vom,,zorn schen Lemma gehört? Wurde in der,,linearen Algebra bewiesen, dass jeder Vektorraum (von beliebig großer Dimension) eine Basis besitzt? Können Sie sich einen entsprechenden Beweis mit dem Zorn schen Lemma vorstellen, indem man die Menge M aller Teilmengen von linear unabhängigen Vektoren eines Vektorraums V mit der Mengeninklusion als Ordnungsrelation versieht?

31 4.4 Chinesischer Restsatz und Euklidische Ringe Definition 8. a) (Das (äußere) direkte Produkt von Ringen) [vgl. 2.2 und 3.5] Es seien n N und R 1,..., R n (nicht notwendig kommutative) Ringe. Dann ist R = R 1... R n mit den komponentenweise definierten Operationen + und [vgl. 2, Def. 3] wieder ein Ring mit Nullelement 0 R = (0 R1,..., 0 Rn ) und Einselement 1 R = (1 R1,..., 1 Rn ). R heißt das (äußere) direkte Produkt der Ringe R 1,..., R n. Sind alle R i kommutativ, so ist auch R kommutativ. b) Es sei R ein kommutativer Ring. Ideale I, J R heißen (zueinander) teilerfremd (oder: relativ prim zueinander), wenn I + J = R gilt. Satz 11 (Chinesischer Restsatz). Es seien R ein kommutativer Ring, n N und I 1,..., I n R paarweise teilerfremde Ideale (d. h.: für alle i, j {1,..., n} mit i j ist I i + I j = R). Für 1 j n sei π j : R R/I j die kanonische Projektion auf den Restklassenring von R modulo I j. Dann ist definiert für a R durch π : R R/I 1... R/I n, π(a) = (π 1 (a),..., π n (a)) = (a + I 1, a + I 2,..., a + I n ), ein Ringepimorphismus mit ker(π) = n j=1 I j, also insbesondere / n R j=1 I j n ( ) R/Ij. j=1 Beispiel 73: Schreiben Sie die Abbildung π aus Satz 11 für R = Z, n = 3, I 1 = (3), I 2 = (5), I 3 = (7) an, und berechnen Sie die im Beweis verwendeten Elemente e j, (1 j 3)! Geben Sie damit π 1 ({(2, 3, 1)}) und π 1 ({(1, 2, 3)}) an! Welche Kongruenzsysteme haben Sie damit gelöst? Korollar (Chinesischer Restsatz für Kongruenzen). Mit den Voraussetzungen von Satz 11 gilt: Sind a 1,..., a n R beliebig gegeben, so gibt es x R, die x a j mod I j für alle 1 j n erfüllen, und alle diese x bilden genau eine Restklasse von R / n j=1 I j.