HTWD, FB Informatik/Mathematik Prof. Dr. M. Voigt Prüfungsklausur Operations Research, 10.7.2008 A Name, Vorname Matr. Nr. Aufgabe 1 : In drei Porzellanwerken W 1, W 2 und W 3 werden Speiseservice hergestellt, die an zwei Großhändler G 1 und G 2 geliefert und dort gelagert werden. Von den Großhändlern werden die Service dann an drei Läden ausgeliefert. Eine direkte Lieferung von den Porzellanwerken zu den Läden ist nicht möglich. Im Werk W 1 werden 15 Service produziert, im Werk W 2 30 Service und im Werk W 3 20 Service. Laden L 1 bestellt 20 Service, L 2 bestellt 25 und L 3 möchte 20 Service haben. Die Kosten für den Transport von den Porzellanwerken zu den Großhändlern, sowie von den Großhändlern zu den Läden (in Euro/Service) sind auf dem Arbeitsblatt im ersten Tableau angegeben. Beim Großhändler G 1 fallen Lagerkosten von 3 Euro pro Service an, während bei G 2 nur 2 Euro pro Service berechnet werden. Die Kapazitäten der Großhändler sind ausreichend, um jeweils die gesamte Menge der Service lagern zu können. Minimieren Sie die Gesamtkosten (Transport- + Lagerkosten). Ergänzen bzw. korrigieren Sie zunächst das Tableau auf dem Arbeitsblatt. Geben Sie die minimalen Transport, Lager- und Gesamtkosten Ihrer Lösung in (Euro) an. Wieviel Service werden bei G 1 gelagert? Aufgabe 2 (ohne Arbeitsblatt) : Ein Vertreter, der in der Stadt S 1 lebt soll die Städte S 2, S 3, S 4, S 5 und S 6 besuchen und in die Stadt S 1 zurückkehren. In der nebenstehenden Tabelle sind die Entfernungen zwischen je zwei dieser Städte gegeben, wobei eine Einheit jeweils 10 km entspricht. Gesucht ist eine Rundtour des Vertreters durch diese sechs Städte, die möglichst kurz ist. Ermitteln Sie eine Rundtour mittels der Christofides Heuristik. Gehen Sie dazu folgendermaßen vor: S 1 S 2 S 3 S 4 S 5 S 6 S 1-15 10 8 12 13 S 2 15-7 10 10 12 S 3 10 7-15 20 9 S 4 8 10 15-10 18 S 5 12 10 20 10-17 S 6 13 12 9 18 17 - Sei G = (V, E) der vollständige Graph, dessen Knoten den Städten S 1,..., S 6 entsprechen. Weiterhin definieren wir eine Gewichtsfunktion f : E R, wobei f(s i S j ) der Entfernung zwischen den Städten S i und S j entspricht. (a) Bestimmen Sie ein Minimalgerüst T von (G, f). Skizzieren Sie dieses Gerüst. (b) Konstruieren Sie aus T einen Eulerschen Graphen T durch Hinzufügen geeigneter Kanten (Tipp: minimales perfektes Matching). (c) Geben Sie einen Eulerkreis von T an. (d) Ermitteln Sie mit Hilfe des Eulerkreises in (c) einen Hamiltonkreis. Wie viele Kilometer muss der Vertreter auf dieser so ermittelten Tour zurücklegen (Antwortsatz)? Bemerkung: Bei (a) und (b) muß der Algorithmus beziehungsweise die Vorgehensweise erkennbar sein.
Aufgabe 3 : (a) Eine bestimmte Sorte T-Shirts wird in zwei Betrieben produziert. Betrieb stellt im Monat 250 T-Shirts her, Betrieb dagegen 200 T-Shirts. Drei Großhändler bestellen (pro Monat) diese T-Shirts: B 1 bestellt 150 T- Shirts, B 2 bestellt 80 T-Shirts und B 3 bestellt 90 T-Shirts. Die Kosten (in Cent) für den Transport eines T-Shirts von A i nach B j sind in der nebenstehenden Tabelle angegeben. 10 15 Folgende Lieferbedingungen müssen im aktuellen Monat bei der Auslieferung (gleichzeitig) beachtet werden. (a1) liefert an B 2 genau 60 T-Shirts. (a2) B 1 erhält von mindestens 100 T-Shirts. (a3) Lagerkosten in betragen 12 Cent pro T-Shirt, Lagerkosten in dagegen 18 Cent pro T-Shirt. (a4) Die Großhändler B 2 und B 3 würden auch mehr T-Shirts abnehmen, dürfen also überbeliefert werden. B 1 hat keine freie Lagerkapazität, darf also nicht überbeliefert werden. Ermitteln Sie die minimalen Transportkosten, Lagerkosten und Gesamtkosten in Euro und stellen Sie Ihre Lösung graphisch dar. Geben Sie auch Lagermengen und zuviel gelieferte Mengen an. Benutzen Sie für die Ermittlung der Lösung das Arbeitsblatt. (b) Statt der unter (a) gegebenen Lieferbedingungen soll gelten: Ein weiterer Großhändler B 4 bestellt 130 T-Shirts im Monat. Der Transport von nach B 4 kostet 11 Cent pro T-Shirt, der Transport von nach B 4 dagegen 15 Cent pro T-Shirt (s. auch nebenstehende Tabelle). Auf sämtlichen Wegen von und nach B 1, B 2, B 3 und B 4 können jeweils nur 90 T-Shirts transportiert werden. a i 250 200 b j 150 80 90 130 Bestimmen Sie die minimalen Transportkosten (in Euro) unter Einhaltung der Kapazitätsbeschränkungen. Verwenden Sie das Arbeitsblatt. Alle Besonderheiten des Algorithmus müssen erkennbar sein. (c) Im nächsten Monat sind weder die unter (a) gegebenen Bedingungen noch die Kapazitätsbeschränkungen unter (b) relevant. Allerdings hat Betrieb krankheitsbedingte Ausfälle, so daß statt der 250 T-Shirts nur 150 T-Shirts hergestellt werden. Alle anderen Angaben (Produktionsmenge bei, Bestellmengen von B 1,..., B 4, sowie die Transportkosten von A i nach B j ) sind der Tabelle in Aufgabe 2(b) zu entnehmen. Da B 2 keine Reserven mehr hat, muß dieser Großhändler unbedingt voll beliefert werden. Bei B 1 fallen Strafkosten von 12 Cent, bei B 3 Strafkosten von 20 Cent und bei B 4 Strafkosten von 13 Cent pro nicht geliefertes T-Shirt an. Minimieren Sie die Summe der Transport- und Strafkosten unter diesen Bedingungen (verwenden Sie das Arbeitsblatt). Geben Sie für die Optimallösung die Fehlmengen bei den einzelnen Großhändlern an. Gibt es eine zweite Lösung mit minimalen Kosten (Transport- + Strafkosten)? Begründen Sie Ihre Antwort.
Aufgabe 4 : Auf dem Arbeitsblatt ist ein Graph mit einer Kantenbewertung gegeben. Dieser Graph ist das Modell eines Straßennetzes wobei die Kantenbewertung die Länge der entsprechenden Straßen in Längeneinheiten (1 Längeneinheit = 10 m) angibt. (a) Ermitteln Sie die kürzesten Wege vom Postamt P zu allen anderen Kreuzungen (Knoten des Graphen). Verdeutlichen Sie den Ablauf des Algorithmus (möglichst anhand von Tabellen). Markieren Sie die entsprechenden Kanten im Graphen. Welchen Weg sollte man vom Postamt P zur Kreuzung 6 wählen? (b) Ein Postbote soll am Postamt P starten, jede Straße mindestens einmal durchlaufen und zum Postamt zurückkehren. Welche Straßen muß der Postbote doppelt laufen, damit seine Gesamtlaufstrecke minimal wird? Begründen Sie Ihre Antwort. Tipp: Gehen Sie davon aus, daß die kürzesten Wege zwischen 7 und 8, 7 und 9 sowie 8 und 9 jeweils die direkten Verbindungen sind. Aufgabe 5 : Für das gegebene Netzwerk (s. Arbeitsblatt) N = (G, c, s, t) bestimme man mit Hilfe des Algorithmus von Ford und Fulkerson einen maximalen (s, t)-fluß, sowie einen minimalen (s, t)-schnitt F = I + (A). Es ist bereits ein Fluß f vorgegeben. Die Werte an den Kanten bedeuten f(e)/c(e), wobei c(e) die maximale Kapazität der jeweiligen Kante angibt. Verdeutlichen Sie den Verlauf des Algorithmus, insbesondere die Markierungen mit Tabellen oder/und direkt in der Figur. Geben Sie den Wert des maximalen Flusses und die Kantenmenge des minimalen Schnittes an. Endergebnisse (keine vollständigen Lösungen) 1. Transportkosten: 170 Euro, Lagerkosten; 170,- Euro, Gesamtkosten: 340,- Euro, Anzahl der bei G 1 gelagerten Service: 40 2. Lösung nicht eindeutig: Gewicht des Minimalgerüstes: 44 3(a) Transportkosten: 52 Euro, Lagerkosten: 9,60 Euro, Gesamt: 61,60 Euro, Lagermengen: 80 bei, zuviel geliefert: 50 bei B 3 3(b) Transportkosten: 58,40 Euro 3(c) Gesamtkosten: 60,40 Euro, es gibt mehrere Lösungen, z.b. Fehlmenge 80 bei B 1, Fehlmenge 20 bei B 4, c 14 = c 21 = 0 4(a) B = {P 1, 12, 15, 14, 23, 57, 49, 36, 78}, von P nach 6: P-1-2-3-6 4(b) doppelt zu laufen: P1,14,49,78 5. Wert(f)=37, I + (A) = {34, 54, 14, 58} Aufgabe 1 2 3a 3b 3c 4 5 gesamt erreichbare P. 14 12 12 12 12 14 14 90 erreichte P.
A: Arbeitsblatt Aufgabe 1: G 1 G 2 L 1 L 2 L 3 a i u i W 1 4 15 1 W 2 30 2 4 W 3 20 1 2 G 1 1 2 1 G 2 3 1 2 b j v j W 1 W 2 W 3 G 1 G 2 b j v j G 1 G 2 L 1 L 2 L 3 a i u i W 1 W 2 W 3 G 1 G 2 b j v j G 1 G 2 L 1 L 2 L 3 a i u i Transportkosten: Lagerkosten: Gesamtkosten: Anzahl der bei G 1 gelagerten Service:
A: Arbeitsblatt Aufgabe 3(a): Graphische Lösung Transportkosten: Lagerkosten: Gesamtkosten: Lagermengen: zuviel geliefert:
A: Arbeitsblatt Aufgabe 3(b): Transportkosten:
A: Arbeitsblatt Aufgabe 3(c): Fehlmengen:
A: Arbeitsblatt Aufgabe 4: 1 10 4 12 10 8 8 13 15 26 7 13 19 P 2 14 5 17 10 9 21 20 33 11 19 23 8 3 7 6
A: Arbeitsblatt Aufgabe 5: s 12/12 15/15 8/13 1 0/9 2 0/8 3 8/15 5/7 8/8 12/13 4 4 12/12 5 10 10 6 4/11 12/15 8 7 5/18 0/9 3 8 8/8 0 9 10 15/20 20/35 15/23 t A = { B = { x y V or(y) d(y) s /15 /12 /13 1 /9 2 /8 3 /8 /15 /7 4 /12 5 /13 /18 6 /11 7 /9 3 8 /15 /8 9 10 /20 /35 /23 t A = { B = { x y V or(y) d(y) Wert(f )= Kantenmenge des minimalen Schnittes: I + (A) =