sskizzen zur Klausur Mathematik II Sommersemester 4 Aufgabe Es seien die folgenden Vektoren des R 4 gegeben: b = b = b 3 = b 4 = (a) Prüfen Sie ob die Vektoren b b 4 linear unabhängig sind bestimmen Sie die Dimension ihrer linearen Hülle U = [b b 4 ] (b) Berechnen Sie mit Hilfe des Orthonormalisierungsverfahrens nach Gram-Schmidt eine Orthonormalbasis von U Der Gauß-Algorithmus angewandt auf die Matrix B mit den Spaltenvektoren b b 4 liefert B = (b b b 3 b 4 ) = 3 also sind die Vektoren b b 4 linear abhängig es gilt b + 3b b 3 = b Die Dimension des Untervektorraumes U = [b b 4 ] = Bild(B) ist gleich dem Rang der Matrix B d h dimu = Rang(B) = 3 Des Weiteren bilden b b b 3 eine Basis von U Das Orthonormalisierungsverfahren nach Gram-Schmidt liefert mit v = b b = w = b b v v = = v = w w = w 3 = b 3 b 3 v v b 3 v v = =
sskizzen zur Klausur Mathematik II für die Fachrichtungen Biologie Chemie Sommersemester 4 v 3 = w 3 w 3 = eine Orthonormalbasis v = v = v 3 = des Untervektorraumes U Aufgabe Es sei ϕ R 4 R 4 x x x 3 x 4 x x x +x 3 +x 4 4x +x +3x 4 7x +x 4 (a) Bestimmen Sie die Darstellungsmatrix von ϕ bezüglich der Standardbasis des R 4 (b) Entscheiden Sie ob die Abbildung ϕ invertierbar ist begründen Sie Ihre Aussage Die Spaltenvektoren der Darstellungsmatrix der linearen Abbildung ϕ bezüglich der Standardbasis des R 4 sind genau die Bilder der Standardbasisvektoren: (ϕ(e ) ϕ(e ) ϕ(e 3 ) ϕ(e 4 )) = 4 3 7 Eine lineare Abbildung ist genau dann invertierbar wenn die Determinante ihrer Darstellungsmatrix nicht verschwindet Die Abbildung ϕ ist also invertierbar denn es gilt: det = ( )det4 3 4 3 7 7 = ( )( )det( 4 3 ) = (8 ) = 6 7 Aufgabe 3 Es sei A = (a) Berechnen Sie die Eigenwerte von A bestimmen Sie eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren (b) Geben Sie eine Isometrie S des R 3 an sodass S AS eine Diagonalmatrix ist
sskizzen zur Klausur Mathematik II für die Fachrichtungen Biologie Chemie Sommersemester 4 Die Eigenwerte λ = λ = λ 3 = von A sind genau die Nullstellen des charakteristischen Polynoms von A: λ p A (λ) = det λ = ( λ)(( λ) )+( ( λ)) = λ( λ)(λ ) λ Für die Eigenwerte gilt somit erhält man die Eigenräume A λ Id R 3 = A λ Id R 3 = A λ 3 Id R 3 = E = [ ] E = [ ] E = [ ] Da Eigenvektoren zu unterschiedlichen Eigenwerten orthogonal sind erhält man durch Normieren eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren: Die Matrix ist dann eine Isometrie des R 3 ist eine Diagonalmatrix v = v = v 3 = S = (v v v 3 ) = λ S AS = λ = λ 3 3
sskizzen zur Klausur Mathematik II für die Fachrichtungen Biologie Chemie Sommersemester 4 Aufgabe 4 Die Kurven u (t) = e t u (t) = e t u 3 (t) = e t bilden ein Famentalsystem des homogenen Systems zu dem folgenden System inhomogener Differentialgleichungen: y (t) = y (t) y (t)+y 3 (t)+t e t +e t y (t) = y (t)+e t y 3(t) = 3y (t)+y 3 (t)+e t Bestimmen Sie eine partikuläre die allgemeine des inhomogenen Systems Integriert man die des linearen Gleichungssystemes so erhält man mit den Koeffizienten eine partikuläre e e t e t e t e t te t +e t e t e t te t e t e t c (t) = te t dt = (t )e t c (t) = e t dt = et c 3 (t) = e t dt = e t (t )e t e t y p (t) = c (t)u (t)+c (t)u (t)+c 3 (t)u 3 (t) = des inhomogenen Differentialgleichungssystems Für Konstanten c c c 3 R ist dann et et e t e t (t )e t e t y(t) = c u (t)+c u (t)+c 3 u 3 (t)+y p (t) = c +c e t +c 3 + e t eine allgemeine des inhomogenen Differentialgleichungssystems e t et et Aufgabe 5 Bestimmen Sie ein Famentalsystem der folgenden Differentialgleichung: y (4) (t) 6y (t)+4y (t) 4y (t)+5y(t) = 4
sskizzen zur Klausur Mathematik II für die Fachrichtungen Biologie Chemie Sommersemester 4 Aus der charakteristischen Gleichung = λ 4 6λ 3 +4λ 4λ +5 = (λ ) (λ 4λ +5) = (λ ) (λ i)(λ +i) erhält man als doppelte Nullstelle sowie +i sein komplex Konjugiertes i als einfache Nullstellen Damit bilden die Funktionen u (t) = e t u (t) = te t u (t) = e t cos(t) u (t) = e t sin(t) ein Famentalsystem der Differentialgleichung Aufgabe 6 Es sei f R 3 R (xyz) x 3 3x y +y z +6z 9 (a) Berechnen Sie den Gradienten von f bestimmen Sie die kritischen Punkte von f (b) Berechnen Sie die Hesse-Matrix von f untersuchen Sie ob es sich bei den kritischen Punkten aus Aufgabenteil (a) um Maximalstellen Minimalstellen oder Sattelpunkte handelt Der Gradient 3x 3 grad f (xyz) = y+ z+6 verschwindet genau in den Punkten ξ = ( 3) ξ = (3) Für die Hesse-Matrix von f gilt in den kritischen Punkten 6x H f (xyz) = 6 H f (ξ ) = 6 H f (ξ ) = Da die Eigenwerte 6 von H f (ξ ) alle negativ sind ist H f (ξ ) negativ definit ξ ist eine Maximalstelle Da die Eigenwerte 6 von H f (ξ ) alle von Null verschieden sind unterschiedliche Vorzeichen besitzen ist H f (ξ ) indefinit f besitzt in ξ einen Sattelpunkt 5
sskizzen zur Klausur Mathematik II für die Fachrichtungen Biologie Chemie Sommersemester 4 Aufgabe 7 Es seien x F R 3 R y z ( x y y z ) a G R 4 R 3 b a +c ab cd c d b d (a) Bestimmen Sie die Jacobi-Matrizen von F G (b) Berechnen Sie die Richtungsableitung von F in Richtung v = 3 (c) Berechnen Sie die Jacobi-Matrix von F G im Punkt ξ = Die Jacobi-Matrizen von F G lauten JF JG x y z a b c d x = ( z ) a c = b a d c b d Das Produkt JF x y z z ) 3 x v = ( ist die Matrixdarstellung der Richtungsableitung D v F Für die Jacobi-Matrix von F G im Punkt ξ gilt: x y z x = ( 6z ) J(F G) ξ = JF G(ξ ) JG ξ = ( 4 ) = ( 7 9 ) 6