Software-Manual Vol. B: Theorie und Materialmodelle

Version: 1.3.0 Software-Manual Vol. B: Theorie und Materialmodelle Stand: 06.12.2015

Einführung Copyright 2015, Parsolve GmbH, Düsseldorf, Deutschland. Alle Rechte vorbehalten. Diese Dokumentation und zugehörige Software können ohne vorherige Ankündigung geändert werden. Wir übernehmen keine Gewähr für deren Richtigkeit. 2

Einführung Inhalt 1 Einführung... 6 1.1 Einheiten... 6 1.2 Gültigkeit von ermittelten Materialparametern... 7 2 Bemerkungen zu Optimierungsalgorithmen... 9 2.1 Das inverse Problem... 9 2.2 Fehlerquadratsumme... 9 2.3 Korrelationsmatrix... 11 2.4 Startparameter und Parametergrenzen... 11 2.4.1 Allgemeine Anmerkungen... 11 2.4.2 Lösung und Konvergenz der Materialparameteroptimierung... 12 2.4.3 Festhalten von Materialparametern... 13 3 Anmerkungen zur Kontinuumsmechanik... 14 3.1 Vorabbemerkungen... 14 3.2 Bemerkungen zu Symbolen und Operatoren... 14 3.2.1 Symbole und mathematische Operatoren... 14 3.2.2 Spezielle Tensoren 2. Stufe... 15 3.3 Kinematik finiter Deformationen... 16 3.3.1 Eigenwerte und Eigenvektoren von Verzerrungstensoren... 17 3.4 Kinematik kleiner Deformationen... 18 3.5 Mechanische Spannungen... 19 3.5.1 Vorabbemerkungen zu Spannungskomponenten... 19 3.5.2 Spannungen bei finiten Deformationen... 19 3.5.3 Spannungen bei kleinen Deformationen... 21 4 Korrespondierende Mess- und Simulationsdaten... 22 4.1 Korrespondierende Mess- und Simulationsdaten für 'SMALL strain'- Materialmodelle... 22 4.2 Korrespondierende Mess- und Simulationsdaten für 'LARGE strain'- Materialmodelle... 23 4.2.1 Wahre (Cauchy) Spannungen und logarithmische Dehnungen (MEAS=true)... 23 4.2.2 Nominelle Spannungen und Dehnungen (MEAS=nom)... 25 5 Versuchstypen für die Materialparameterermittlung... 26 5.1 Allgemeine Anmerkungen... 26 3

Einführung 5.1.1 Homogene Verzerrungs- bzw. Spannungszustände... 26 5.1.2 Versuchsbezeichnungen... 26 5.1.3 Messdaten bei Versuchsbeginn... 27 5.1.4 Anzahl an Last- oder Zeitschritten... 27 5.1.5 Auswahl der Versuchstypen in Abhängigkeit vom Materialmodell. 28 5.2 Versuchstyp Uniaxial : Uniaxialer Zug- und/oder Druckversuch... 29 5.3 Versuchstyp Biaxial : Biaxialversuch... 32 5.4 Versuchstyp Shear bzw. Simple Shear : Einfacher Schub... 35 5.4.1 Versuchstyp Shear bei 'SMALL strain'-materialmodellen... 36 5.4.2 Versuchstyp Simple Shear bei 'LARGE strain'-materialmodellen. 37 6 Materialmodelle... 39 6.1 Lineare Elastizität (Small Strain)... 40 6.1.1 1D/3D SMALL strain ELASTICITY... 41 6.1.2 SMALL strain orthotropic ELASTICITY... 42 6.1.3 SMALL strain transversely isotropic ELASTICITY, rotat. symm.: X 45 6.1.4 SMALL strain transversely isotropic ELASTICITY, rotat. symm.: Y 47 6.1.5 SMALL strain transversely isotropic ELASTICITY, rotat. symm.: Z 49 6.2 Hyperelastizät... 51 6.2.1 Allgemeine Anmerkungen... 52 6.2.2 LARGE strain NEO-HOOKEan HYPERelasticity... 54 6.2.3 LARGE strain MOONEY-Rivlin HYPERelasticity... 57 6.2.4 LARGE strain OGDEN HYPERelasticity... 61 6.3 Von Mises (Visko-) Plastizität... 65 6.3.1 1D/3D SMALL strain Von Mises plasticity (rate independent, nonlinear isotropic hardening)... 66 6.3.2 1D/3D SMALL strain von MISES VISCOPLASTICITY (Cowper- Symonds, nonl. isotr. hardening)... 71 6.3.3 LARGE strain von MISES PLASTICITY (nonlinear isotropic hardening), MEAS=true... 77 6.3.4 LARGE strain von MISES VISCOPLASTICITY (Cowper-Symonds, nonl. isotr. hardening), MEAS=true... 82 6.4 Ramberg-Osgood (Deformation Plasticity)... 89 6.4.1 1D SMALL strain deformation plasticity (rate independent RAMBERG-OSGOOD)... 89 4

Einführung 6.4.2 3D SMALL strain deformation plasticity (rate independent RAMBERG-OSGOOD)... 89 6.5 Hill- (Visko-) Plastizität... 93 6.5.1 Namenskonvention... 93 6.5.2 Small strain Hill (Visco-)plasticity... 96 6.5.3 Large strain Hill (Visco-)plasticity...107 6.6 Viskoelastizität...108 6.6.1 SMALL strain VISCOELASTICITY...109 6.6.2 LARGE strain OGDEN VISCOELASTICITY...116 7 Literaturverzeichnis...128 8 Trademarks...129 5

Einführung 1 Einführung Das Ziel der Parameteridentifikation für ein Materialmodell ist, die Materialparameter so zu optimieren, dass das Materialmodell Simulationsdaten liefert, welche minimal von den experimentellen Daten abweichen. In FEMCard Basic wird die Parameteridentifikation als (mathematisches) Optimierungsproblem betrachtet und die Unterschiede zwischen den gemessenen und simulierten Daten werden mittels eines Least-Squares-Algorithmus' minimiert. In der Optimierungsroutine werden hierbei durch Variation der Materialparameter die Dehnungsfelder variiert und die Abweichungen zwischen gemessenen und simulierten Dehnungsfeldern berechnet. FEMCard Basic führt die Parameteridentifikation für homogene Spannungszustände linearer und nichtlinearer Materialmodelle durch. Hierbei können mehrere verschiedene Versuche gleichzeitig in die Parameteridentifikation eingehen, wie z.b. uniaxialer Zug/Druck, biaxialer Zug/Druck oder einfache Scherung. Die Lasten bei den jeweiligen Versuchen können mit beliebiger Lastgeschichte variieren. Bei den Zug- und Druckversuchen werden die Längs- und Querdehnung berücksichtigt. Die Software kann mit zunehmender Anzahl an einfließenden Versuchen die Streuungen zwischen verschiedenen Versuchen besser berücksichtigen, wobei die Parameter diesbezüglich nichtlinear gemittelt werden (keine arithmetische Mittelung der Parameter für Einzelversuche). 1.1 Einheiten So wie auch viele andere Simulationsprogramme wie Finite-Elemente-Softwares hat FEMCard Basic kein eingebettetes Einheitensystem. Es liegt in der Verantwortung des Benutzers, in sich konsistente Einheiten für die eingegebenen Messwerte zu verwenden. Die Einheiten der Materialparameter ergeben sich aus den Einheiten der Messwerte. Für die in FEMCard Basic verwendeten Messwerttypen sind die grundlegenden Einheiten im SI-System Masse in Kilogramm [kg] Länge in Meter [m] Zeit in Sekunden [s] Typische hieraus abgeleitete Größen im SI-System sind Kraft in Newton [N=kg m/s 2 ] Spannung in Pascal [Pa=N/m 2 ] Arbeit in Joule [J=N m] 6

Einführung Bemerkung: Tabelle 1 zeigt die Umrechnung zu einem weiteren, in sich konsistenten Einheitensystem, welches oft innerhalb von FEM-Anwendungen verwendet wird: Tabelle 1: Beispiele für konsistente Einheitensysteme System MKS mmns Länge m mm Zeit s s Masse kg Tonne=1000kg Kraft N N Fläche m 2 mm 2 Volumen m 3 mm 3 Geschwindigkeit m/s mm/sec Spannung Pa MPa Elastizitätsmodul Pa MPa Arbeit J mj 1.2 Gültigkeit von ermittelten Materialparametern FEMCard Basic ist als Software ein Hilfsmittel, um simulierte Daten an gemessene Daten anzupassen. Die Ergebnisse dieser Abgleiche sind (unter anderem) Materialparameter. Hierbei ist folgendes zu beachten: I. Der Benutzer entscheidet, wann die Optimierungsroutine angehalten wird, bzw. wann das Programm diese automatisch anhält. Die Gültigkeit der ermittelten Materialparameter beurteilt der Benutzer eigenständig. II. Die Materialparameter können überhaupt nur für den mit Messdaten belegten Bereich der korrespondierenden Simulation gültig sein. III. Es liegt in der Verantwortung des Benutzers, geeignete Messdaten für die Materialparameterermittlungen zu verwenden. IV. Die Optimierung der Materialparameter ist mathematisch betrachtet in der Regel ein schlecht gestelltes Problem, was bedeutet, dass mindestens eine der drei Bedingungen nicht erfüllt ist: a. Es existiert eine Lösung b. Die Lösung ist eindeutig c. Die Lösung ist stabil V. Sollen die in FEMCard Basic ermittelten Materialparameter für Berechnungen mit der Finite-Elemente-Methode (FEM) verwendet werden, ist vom Benutzer vorab zu prüfen, ob die in FEMCard Basic berechneten Simulationsergebnisse mit den korrespondierenden, in der zu verwendenden Finite-Elemente-Software berechneten Simulationsergebnissen übereinstimmen. Aufgrund der evtl. unterschiedlichen Implementierung der Materialmodelle in die jeweilige Finite-Elemente-Software bzw. anderer Formulie- 7

Einführung rungen im Bereich der Numerik kann keine Garantie für die Übereinstimmung der Simulationsergebnisse gegeben werden. Sämtliche Angaben in FEMCard Basic zu Materialparametern im Zusammenhang mit der Weiterverwendung in der jeweils genannten Finite-Elemente-Software sind ohne Gewähr und in jedem Fall vom Benutzer selbst zu prüfen. 8

Bemerkungen zu Optimierungsalgorithmen 2 Bemerkungen zu Optimierungsalgorithmen 2.1 Das inverse Problem Die konstitutiven Gleichungen für ein Materialmodell liefern den funktionalen Zusammenhang zwischen den Spannungen und Verzerrungen. Die Lösung dieses Randwertproblems (RWP) wird als direktes Problem bezeichnet. Das Ziel der Parameteridentifikation und dementsprechend der Lösung des inversen Problems für ein Materialmodell ist, die Materialparameter so zu optimieren, dass das Materialmodell Simulationsdaten liefert, welche minimal von den experimentellen Daten abweichen. Die Simulationsdaten, die in FEMCard Basic verglichen werden, sind Dehnungsfelder. Mittels Variation der Materialparameter werden die Dehnungsfelder variiert, wobei bei der Simulation als Randbedingungen die in Versuchen ermittelten Spannungen und weiterhin Einspannungen entsprechend dem jeweiligen Versuchstyp verwendet werden. 2.2 Fehlerquadratsumme Die in FEMCard Basic verwendete Vorgehensweise bei der Identifikation von Materialparametern ist die Minimierung einer Fehlerquadratsumme, in der die gemessenen und entsprechend simulierten Dehnungen verglichen werden. Um die Parameter anhand der Versuche A, B,, W gleichzeitig zu identifizieren, wird als Zielfunktion f ( κ ) folgende Fehlerquadratsumme verwendet T 2 2 T 2 A TB Q 1 exp exp exp f ( κ) a a ( ) a b b( ) b... q q ( ) q 2 W ε κ ε W ε κ ε W ε κ ε a=1 b=1 q=1 A B Q (2.1) Hierbei sind T A, T B,, T Q die betrachteten Anzahlen an Zeit- bzw. Lastschritten für die Versuche. Weiterhin sind W a, W b und W q die Wichtungsmatrizen für die im jeweiligen Versuch gemessenen und simulierten Dehnungen. Diese Wichtungen setzen sich jeweils wiederum aus einzelnen Wichtungen folgendermaßen zusammen: Für das Beispiel für W q des 17. Versuchs bei Lastschritt q ergibt sich w 1 0 Wq w w 0 2 w 17 SD T 17 TR 17 q SD 17. (2.2) 9

Bemerkungen zu Optimierungsalgorithmen Hierbei ist T w der Wichtungsvektor für die Wichtungen zwischen den Versuchen, SD w der zum Versuch zugehörige Wichtungsvektor für die Wichtungen zwischen kl TR den Dehnungen (falls mehrere gemessen/simuliert werden) und w der Wichtungsvektor mit einer Wichtung für jeden Lastschritt dieses Versuchs. Für die Simulation der Dehnungsfelder εij ( κ ), ε ( κ ) und ε ( κ ) ist die Simulation spannungsgesteuert basierend auf den experimentell bestimmten Spannungen. Aus der oben angegebenen Gleichung (2.1) für die Fehlerquadratsumme wird ersichtlich, dass die Wichtungen einerseits die Ergebnisse des zu ermittelnden Parametersatzes beeinflussen, da stärker gewichtete Lastschrittbereiche, Dehnungsrichtungen und Versuche in der Regel besser mit der Simulation übereinstimmen werden. Andererseits wird aber auch die Höhe der Fehlerquadratsumme hiervon beeinflusst. Somit sind die Werte für die Fehlerquadratsummen von Parameteridentifikationen mit unterschiedlichen Wichtungen nicht direkt sondern nur unter Berücksichtigung der verwendeten Wichtungen vergleichbar. Bemerkung: Die genannten Wichtungen können in FEMCard Basic entweder automatisch berechnet oder vom Benutzer gewählt werden. Hierbei ist folgendes zu beachten: Die Wichtungen vw TR w für jeden Last- oder Zeitschritt des Versuchs lassen sich pro Versuch innerhalb von sechs Lastschrittbereichen definieren. Die Bezeichnung in FEMCard Basic lautet Weights TR. Nach Einlesen von Versuchsdaten werden diese Wichtungen direkt von FEMCard Basic vorgeschlagen und können danach vom Benutzer geändert werden. Die Wichtungen SD w für die Wichtungen zwischen den Dehnungen haben in FEMCard Basic die Bezeichnung Weights SD. Hat der Versuch zwei Dehnungsrichtungen werden nach Einlesen von Versuchsdaten diese Wichtungen direkt von FEMCard Basic vorgeschlagen und können danach vom Benutzer geändert werden. Die Wichtungen T w für die Wichtungen zwischen den Versuchen haben in FEMCard Basic die Bezeichnung Weights T. Wird mehr als ein Versuch eingelesen kann der Benutzer diese von FEMCard Basic vorschlagen lassen oder selbst eingeben. 10

Bemerkungen zu Optimierungsalgorithmen 2.3 Korrelationsmatrix Während der Parameteridentifikation wird bei jedem Iterationsschritt die Korrelationsmatrix K erstellt. Diese gibt die Abhängigkeiten der Parameter zueinander an. Für die Einträge gilt 1 K ab 1. Je kleiner der Wert K ab, desto geringer ist die Korrelation zwischen den Parametern a und b. Geht der Wert von K ab gegen 1, nimmt die Abhängigkeit zwischen den Parametern zu. Werte von K ab nahe bei 1 können ein Hinweis darauf sein, dass eine unzulängliche Menge an experimentellen Daten instabile oder uneindeutige Parameterschätzungen hervorrufen. Wenn die experimentellen Daten unvollständig sind, können diese nicht die gesamte Bandbreite an vorgesehenen Modellfunktionen abdecken (siehe Mahnken und Stein (1), Mahnken (2)). Bemerkung: Um diese Instabilität, die, wie oben genannt, aus Überparametrisierung entstehen kann, zu umgehen, kann getestet werden, ob ein Parameter auf einem sinnvollen Wert festgehalten werden kann. Weiterhin könnte ein anderes, weniger Modellfunktionen abbildendes Materialmodell getestet werden. Sind die Parameterwerte weit entfernt von den optimalen Parametern, kann dieses ebenfalls zu Werten von K ab nahe bei 1 führen. Als Beispiel wird der Materialparameter für die Fließgrenze bei Plastizität angeführt: Liegt der Startparameter für die Fließgrenze über dem Maximum der vorliegenden experimentell gemessenen Spannungen kann dieser Parameter nicht aktiviert werden. 2.4 Startparameter und Parametergrenzen 2.4.1 Allgemeine Anmerkungen Die Minimierung der in Gleichung (2.1) dargestellten Fehlerquadratsumme erfolgt über ein gradientenbasiertes deterministisches Optimierungsverfahren, welches in der Regel lokale Minima der Fehlerquadratsumme f ( κ ) findet, welche nicht mit dem globalen Minimum übereinstimmen müssen. Das oben genannte Optimierungsverfahren basiert auf dem Levenberg-Marquardt-Verfahren, dessen Dämpfung mit dem Levenberg-Marquard-Faktor (Dämpfungsfaktor) in FEMCard Basic gesteuert wird (siehe unten). Die Konvergenzgeschwindigkeit ist ein Maß für die Abnahme der Fehlerquadratsumme während der Materialparameteroptimierung. Die Materialparameter κ dürfen während der Iteration bestimmte obere und untere Grenzen nicht über- bzw. unterschreiten. Diese werden einerseits durch den 11

Bemerkungen zu Optimierungsalgorithmen Benutzer bei der Eingabe der Startwerte für die Materialparameter festgelegt, sind aber auch von verschiedenen Kriterien abhängig (z.b. zur Einhaltung der Materialstabilität), welche FEMCard Basic während der Optimierung überprüft. Hierzu werden von FEMCard Basic bei der Eingabe der Startparameter jeweils Informationsmeldungen ausgegeben. Bemerkung: Da die Grenzen für die Materialparameter den Optimierungsalgorithmus nichtlinear beeinflussen, haben sie hierüber einen Einfluss auf die Konvergenzgeschwindigkeit. Wenn dies möglich ist, sollte deshalb die Wahl von Grenzen (und Startparameter) in einer Größenordnung gemacht werden, in der der Parameter wahrscheinlich liegen wird. 2.4.2 Lösung und Konvergenz der Materialparameteroptimierung Wie in Abschnitt 1.2 beschrieben stellt die Optimierung der Materialparameter mathematisch betrachtet in der Regel ein schlecht gestelltes Problem dar. Dies bedeutet, dass je nach vorliegendem Fall (Kombination von Messwerten und Messrauschen und ausgewähltem Materialmodell) folgende Punkte vom Benutzer geprüft werden sollten: I. Existiert eine Lösung? II. Ist die Lösung eindeutig? III. Ist die Lösung stabil? Zur Überprüfung dieser Punkte, und ganz allgemein zur Steigerung der Konvergenzgeschwindigkeit des Optimierungsalgorithmus sind u.a. folgende Verfahrensweisen hilfreich: Testen mehrerer Startwerte und Vergleichen der Höhe der Fehlerquadratsumme für die unterschiedlichen Ergebnisse (zu: Ist die Lösung eindeutig?) Wenn möglich Wahl von Startparameter und Grenzen in einer Größenordnung, in der der Parameter wahrscheinlich liegen wird. (Bsp.: Identifikation des E-Moduls für Stahl mit Grenzen von 60000 MPa bis 300000 MPa). (zu: Existiert eine Lösung?, Konvergenzgeschwindigkeit) Verringerung des Levenberg-Marquard-Dämpfungsfaktors bei geringer Konvergenzgeschwindigkeit mit gleichzeitig geringen Änderungen der 12

Bemerkungen zu Optimierungsalgorithmen Materialparameter zwischen den Optimierungsschritten. (zu: Konvergenzgeschwindigkeit) Erhöhung des Levenberg-Marquard-Dämpfungsfaktors bei starken Schwankungen der Materialparameter zwischen den Optimierungsschritten. (zu: Existiert eine Lösung?) Verringerung des Levenberg-Marquard-Dämpfungsfaktors bei Erreichen eines (lokalen) Minimums (zu: Ist die Lösung stabil?) 2.4.3 Festhalten von Materialparametern Werden Materialparameter während der Parameteridentifikation festgehalten (siehe auch Unterabschnitt 5.1.5), muss je nach Materialgesetz folgendes beachtet werden: In bestimmten Fällen können die festgehaltenen Materialparameter die für das gewählte Materialgesetz vorliegende Materialparameter-Stabilitätsuntersuchung beeinflussen und somit den Raum der zulässigen Parameter- Lösungen verringern. Je nach Versuchstyp hat das Festhalten von bestimmten Materialparametern bei bestimmten geometrisch linearen Materialgesetzen keinen Einfluss auf die betrachteten simulierten Werte, während bei der geometrisch nichtlinearen Variante dieses Materialmodells dieser Einfluss besteht (Beispiel: bei geometrisch linearer von Mises Plastizität hat eine festgehaltene Querkontraktionszahl im Zugversuch keinen Einfluss auf die axiale Dehnung in Lastrichtung). Werden Parameter festgehalten ( fixed ), sind diese somit je nach Materialmodell und zugehöriger Stabilitätsuntersuchung auf einen möglichst exakt das Materialverhalten wiederspiegelnden Wert zu legen. 13

Anmerkungen zur Kontinuumsmechanik 3 Anmerkungen zur Kontinuumsmechanik 3.1 Vorabbemerkungen Die geometrisch lineare Theorie ( kleine Deformationen ) kann allgemein dann angewendet werden, wenn die Deformationen klein im Vergleich zu den Dimensionen des mechanisch belasteten Körpers sind. Dies bedeutet somit, dass die Gleichgewichtsbedingungen für die undeformierte Geometrie des Körpers formuliert werden können. Bei Annahme kleiner Verzerrungen können in FEMCard Basic die 'SMALL strain'-materialmodelle eingesetzt werden, für welche die geometrisch lineare Theorie gilt. Es soll hier noch bemerkt werden, dass unter der Annahme kleiner Verzerrungen die Unterschiede zwischen den verschiedenen Spannungs- und Dehnungsmaßen verschwinden. Es bleibt dem Benutzer überlassen, zu entscheiden, ob die Verwendung der 'SMALL strain'-materialmodelle für die durchzuführende Materialparameterermittlung zulässig ist. Im Allgemeinen können jedoch Dehnungsbereiche, in welchen die Unterschiede zwischen den jeweils für die geometrisch lineare und nichtlineare Theorie berechneten Dehnungen und Spannungen vernachlässigbar sind, gefunden werden. Für das Beispiel eines uniaxialen Zugversuches mit homogenen Verzerrungszustand können in vielen Fällen die 'SMALL strain'-materialmodelle bis zu einer axialen Dehnung von 5% verwendet werden. Wenn allgemein Verschiebungen, Rotationen und/oder Verzerrungen eine gewisse Größe überschreiten, muss die geometrische Nichtlinearität ( finite Deformationen ) berücksichtigt werden. Dieses bedeutet, dass zwischen ursprünglichen und deformierten Längen (und somit Querschnitten und Volumina) unterschieden werden muss und zusätzlich sich Richtungen (beispielweise der Lastaufbringung) während der Deformation ändern können. In FEMCard Basic können für die Materialparameterermittlung bei großen Dehnungen die 'LARGE strain'- Materialmodelle eingesetzt werden, welche die geometrisch nichtlineare Theorie berücksichtigen. In diesem Kapitel werden einige Bereiche der Kontinuumsmechanik angesprochen, welche die Grundlage für die in FEMCard Basic verwendeten Simulationsund Messgrößen (wie Dehnungen und Spannungen) sind. 3.2 Bemerkungen zu Symbolen und Operatoren 3.2.1 Symbole und mathematische Operatoren det Determinante von dev ln Deviator von Natürlicher Logarithmus von 14

Anmerkungen zur Kontinuumsmechanik sym tr Symmetrischer Anteil von Spur von X Materieller Gradient von T Transponierte von Α B a b Α: B dyadisches Produkt von Tensoren 2. und 1. Stufe Skalarprodukt zweier Tensoren Α Euklidische Norm eines Tensors 3.2.2 Spezielle Tensoren 2. Stufe 3.2.2.1 Spur tr A A: I (3.1) 3.2.2.2 Additive sphärisch-deviatorische Zerlegung eines Tensors 2. Stufe Im 3 3 gilt 3.2.2.3 Volumetrischer Tensor Im 3 3 gilt 1 1 3 3 A A sph A dev ; A sph tr A I ; A dev A tr A I (3.2) 3.2.2.4 Isochorer Tensor Im 3 3 gilt vol iso 1 det 3 A A I (3.3) det 1 3 A A A (3.4) 3.2.2.5 Multiplikative volumetrisch-isochore Zerlegung eines Tensors 2. Stufe iso A vol A A (3.5) 15

Anmerkungen zur Kontinuumsmechanik 3.3 Kinematik finiter Deformationen Betrachtet wird eine Bewegung x X,t eines Körpers in drei Dimensionen, so dass ein materieller Punkt am Ort X in der materiellen Konfiguration 0 (Referenzkonfiguration) die Position x in der räumlichen Konfiguration t (Momentankonfiguration) zur Zeit t einnimmt. Der aktuelle Ort x des materiellen Punktes ergibt sich aus dem Ort X und der Verschiebung u mit x X u. (3.6) Der Deformationsgradient der Bewegung ist definiert durch F X. Die kinematische Grundlage einiger später betrachteten Materialmodelle (z.b. Hyperelastizität) ist die multiplikative Zerlegung des Deformationsgradientens in einen volumetrischen und einen isochoren Anteil 1/3 F J F, J det F. (3.7) 1/3 Der Tensor F ist isochor ( det F J det F 1), mit der Jacobideterminante J wird die Volumenänderung während der Deformation beschrieben. In der geometrisch nichtlinearen Kontinuumsmechanik sehr häufig verwendete Verzerrungsmaße sind der Green-Lagrangesche Verzerrungstensor der rechte Cauchy-Green-Tensor sowie der linke Cauchy-Green-Tensor 1 T 1 T T E 2 F F Ι 2 X u X u X u X u, (3.8) T C F F (3.9) T b F F. (3.10) Bemerkung: In der Regel werden im Folgenden für die Tensoren, welche auf die Referenzkonfiguration bezogen sind, große Buchstaben verwendet. Für Tensoren, die in der Momentankonfiguration liegen, werden i.d.r. kleine Buchstaben verwendet. 16

Anmerkungen zur Kontinuumsmechanik 3.3.1 Eigenwerte und Eigenvektoren von Verzerrungstensoren Die polare Zerlegung des Deformationsgradientens F in einen eigentlich orthogonalen Rotationstensor R und die symmetrischen Strecktensoren U und v liefert F RU v R. (3.11) Aufgrund der Orthogonalität von R erhält man für den rechten Cauchy-Green Tensor Analog gilt für den linken Cauchy-Green Tensor Der orthogonale und normierte Satz von Eigenvektoren T 2 C F F U. (3.12) 2 T b v F F. (3.13) ˆN a und seine zugehörigen Eigenwerte a (a=1,2,3; keine Summation) werden eingeführt mit U Nˆ N ˆ (3.14) a a a mit N a 1. Alle Eigenwerte a sind reell und positiv. Das Eigenwertproblem für C lautet somit C Nˆ N ˆ. (3.15) 2 a a a Das Eigenwertproblem für b ergibt sich analog zu 2 b ˆ ˆ R Na a R N a. (3.16) Es folgt, dass die Eigenrichtungen in der Referenzkonfiguration ˆN a auf die räumlichen Eigenrichtungen ˆn a abgebildet werden via nˆ RN ˆ (3.17) a a mit n ˆ 1. a Die eingeführten symmetrischen Verzerrungstensoren können in ihren zugehörigen Spektralzerlegungen dargestellt werden mit 3 C Nˆ N ˆ, (3.18) a1 2 a a a 3 b nˆ n ˆ. (3.19) a1 2 a a a 17

Anmerkungen zur Kontinuumsmechanik Für die Strecktensoren gilt entsprechend 3 U Nˆ N ˆ, (3.20) a1 a a a 3 v nˆ n ˆ. (3.21) a1 a a a Die Eigenwerte a der Strecktensoren entsprechen den (Haupt-) Streckungen. 3.3.1.1 Logarithmische Verzerrungen Der logarithmische Verzerrungstensor ist definiert als 1 1 3 3 log 2 ε ln v ln a nˆ ˆ ˆ ˆ a na ln b ln a na n a. (3.22) a1 2 2 a1 3.3.1.2 Nominelle Verzerrungen Die nominellen Verzerrungen (oder auch Biotscher Verzerrungstensor) sind in der räumlichen Konfiguration definiert als Bemerkung: Die Eigenwerte von nom 3 ˆ ˆ nom ε v I a 1 na n a. (3.23) a1 ε betragen a 1. Diese sind die Differenz der Streckung a zum Zeitpunkt t und der Streckung 1 zum Zeitpunkt t 0 0. 3.4 Kinematik kleiner Deformationen Wird der Green-Lagrangesche Verzerrungstensor E additiv in einen linearen und einen nichtlinearen Anteil der Verschiebungen u aufgeteilt mit gilt somit und 1 T 1 T E Elin E nlin 2 X u X u 2 X u X u (3.24) 1 E lin (3.25) nlin T 2 Xu Xu 1 E u u. (3.26) T 2 X X 18

Anmerkungen zur Kontinuumsmechanik In der geometrisch linearen Theorie ('SMALL strain') werden kleine Verzerrungen angenommen. Für X u 1 wird der nichtlineare Anteil Enlin vernachlässigt und der lineare Verzerrungstensor E lin mit ε bezeichnet. Es gilt somit 1 T ε 2 Xu Xu. (3.27) 3.5 Mechanische Spannungen 3.5.1 Vorabbemerkungen zu Spannungskomponenten In FEMCard Basic wird für die Bezeichungen der Richtungen der Spannungskomponenten die (ebenfalls in vielen FEM-Anwendungen gebräuchliche) Vorgehensweise verwendet (siehe Abbildung 1): Erster Index: Richtung der Normalen Zweiter Index: Richtung der Spannungskomponente. z zz zx zy xz yz xy yx yy x y Abbildung 1: Richtungen der Spannungskomponenten 3.5.2 Spannungen bei finiten Deformationen Für die Transformation eines differentiellen (infinitesimalen) Flächenelementes da mit dem zugehörigen Flächennormalenvektor N von der Referenzkonfiguration in die Momentankonfiguration (siehe Abbildung 2) gilt die Formel von NAN- SON -T nda J F N da (3.28) 19

Anmerkungen zur Kontinuumsmechanik mit der in Gleichung (3.7) eingeführten Jacobideterminante. Die Transformation eines differentiellen Volumenelementes dv von der Referenzin die Momentankonfiguration wird beschrieben durch dv= J dv. (3.29) Referenzkonfiguration Momentankonfiguration Q N,F n q da da dv dv 0,Zeit t0 0 t, Zeit t Abbildung 2: Transformation eines differentiellen Flächen- und Volumenelementes, Spannungsvektoren in Referenz- und Momentankonfiguration. Es wird das Vektorelement N da in der Referenzkonfiguration betrachtet. Nach der Deformation belegen die Materialpartikel dieses Flächenelementes das Vektorelement n da in der Momentankonfiguration. Weiterhin wird eine differentielle Kraft df betrachtet, welche auf das Vektorelement N da in der Referenzkonfiguration und das Vektorelement n da in der Momentankonfiguration wirkt. Weiterhin gelte df qda QdA. (3.30) 3.5.2.1 CAUCHYsche (wahre) Spannungen Der Vektor q aus Gleichung (3.30) wird als Cauchy Spannungsvektor bezeichnet. Der Cauchy Spannungstensor true σ wird berechnet mit true q σ n. (3.31) Der Tensor true σ ist ein Maß für die auf ein deformiertes Element in der Momentankonfiguration wirkende Kraft und wird somit auch als wahrer Spannungstensor bezeichnet. 20

Anmerkungen zur Kontinuumsmechanik 3.5.2.2 ERSTE PIOLA-KIRCHHOFFsche (nominelle) Spannungen Der Vektor Q aus Gleichung (3.30) wird als erster Piola-Kirchhoff Spannungsvektor bezeichnet. Der 1. Piola-Kirchhoffsche Spannungstensor P wird berechnet mit Q P N. (3.32) Der Tensor P ist ein Maß für die auf ein undeformiertes Element in der Referenz- T konfiguration wirkende Kraft. Für den nominellen Spannungstensor T gilt T P. Der 1. Piola-Kirchhoffsche Spannungstensor bzw. der nominellen Spannungstensor lassen sich aus dem Cauchy Spannungstensor berechnen mit P J σ F true -T T J F σ -1 true. (3.33) 3.5.3 Spannungen bei kleinen Deformationen Wenn nur kleine Unterschiede zwischen den materiellen und räumlichen Koordinaten eines Materialpunktes im Kontinuum vorliegen, kann (s.a. Abschnitte 3.1 und 3.4) die geometrisch lineare Theorie verwendet werden. Bei den 'SMALL strain'-materialmodellen in FEMCard Basic sind die simulierten (technischen) Spannungen σ bezogen auf die linearisierten infinitesimalen Verzerrungen aus Gleichung (3.27). 21

Korrespondierende Mess- und Simulationsdaten 4 Korrespondierende Mess- und Simulationsdaten Vorabbemerkung: In FEMCard Basic werden für die Ein- und Ausgaben für die Dehnungen NICHT Prozentangaben verwendet. 4.1 Korrespondierende Mess- und Simulationsdaten für 'SMALL strain'-materialmodelle In FEMCard Basic werden für die 'SMALL strain'-materialmodelle durchweg Ingenieurdehnungen verwendet. Diese sind die technischen Dehnungen in Richtung der Koordinatenachsen, yy und zz sowie die technischen Scherdehnungen xy xy yx 2 xy (4.1) xz xz zx 2 xz (4.2) yz yz zy 2 yz (4.3) (siehe auch Gleichung (3.27)). Unter der Annahme kleiner Dehnungen verschwinden die Unterschiede zwischen den verschiedenen Spannungs- und Dehnungsmaßen. Somit können in der FEMCard Basic Versuchseingabe für die Versuchstypen 'SMALL strain' entweder oder auch - nominelle Spannungen und technische Dehnungen (Ingenieurdehnungen) - True (Cauchy) Spannungen und logarithmische Dehnungen angegeben werden (siehe auch Tabelle 2). Werden im Zusammenhang mit einem 'SMALL strain'-materialmodell diese Daten für eine Identifikation verwendet, so werden diese Daten direkt mit den simulierten Daten verglichen, welche unter der Voraussetzung kleiner Verzerrungen (geometrisch lineare Theorie (siehe Abschnitt 3.4)) berechnet wurden. Es bleibt dem Benutzer überlassen, geeignete Messdaten in geeigneten Dehnungsbereichen einzufügen. Als Empfehlung wird jedoch gegeben, Dehnungsbereiche von unter 0.05 (entsprechend 5%) zu verwenden. 22

Korrespondierende Mess- und Simulationsdaten Tabelle 2: Auszug der ASCII-Bezeichnungen und Symbole für die Ein- und Ausgabe von Spannungen und Dehnungen für die 'SMALL strain'-materialmodelle in FEMCard Basic ASCII-Bezeichnung Symbol(e) sig_ normal stress in x direction sig_xy xy shear stress in the x-y plane eps_ normal strain in x direction gam_xy engineering shear strain in the x-y plane xy 4.2 Korrespondierende Mess- und Simulationsdaten für 'LARGE strain'-materialmodelle In FEMCard Basic werden für die 'LARGE strain'-materialmodelle entweder logarithmische oder nominelle Dehnungen (siehe auch Abschnitte 3.3.1.1 und 3.3.1.2) verwendet. Werden die für die Versuchstypen SMALL strain eingegebenen Messwerte innerhalb eines Materialmodelles für 'LARGE strain' verwendet, so werden diese Daten direkt mit den simulierten Daten verglichen, welche unter Anwendung der geometrisch nichtlinearen Theorie berechnet wurden. Hat das Materialmodell den Vermerk MEAS=true, sind dieses wahre (Cauchy) Spannungen und logarithmische Dehnungen. Hat das Materialmodell den Vermerk MEAS=nom, sind dieses nominelle Spannungen und Dehnungen. 4.2.1 Wahre (Cauchy) Spannungen und logarithmische Dehnungen (MEAS=true) Für die large strain Materialmodelle mit Vermerk MEAS=true werden als eigegebene Messdaten und ausgegebene Simulationsdaten wahre (Cauchy) Spannungen (siehe Gleichung (3.31)) und logarithmische Dehnungen verwendet. 23

Korrespondierende Mess- und Simulationsdaten Die logarithmischen Dehnungen le in FEMCard Basic berechnen sich hierbei zu (siehe auch Gleichung (3.22)) le (4.4) lg o le (4.5) yy lg o yy le (4.6) zz lg o zz Bemerkungen: B1: Es gilt, dass bei kleinen Dehnungen die Unterschiede zwischen den verschiedenen Spannungs- und Dehnungsmaßen verschwinden und somit für kleine Dehnungen die in FEMCard Basic verwendeten logarithmischen Dehnungen le näherungsweise mit den Ingenieurdehnungen übereinstimmen. B2: In Abschnitt 5.4.2 wird auf den einfachen Schubversuch bei großen Dehnungen gesondert eingegangen. Für eine bessere Benutzerfreundlichkeit wird bei dieser Versuchsart auch für 'LARGE strain'-materialmodelle immer die Ingenieurdehnung und Spannung für die Messdateneingabe verwendet und in FEMCard Basic unter Berücksichtigung der geometrisch nichtlinearen Theorie verarbeitet. Tabelle 3 zeigt einen Auszug der ASCII-Bezeichnungen und Symbole für die Einund Ausgabe von Cauchy-Spannungen und logarithmischen Dehnungen für die 'LARGE strain' Materialmodelle in FEMCard Basic. Tabelle 3: Auszug der ASCII-Bezeichnungen und Symbole für die Ein- und Ausgabe von Cauchy- Spannungen und logarithmischen Dehnungen für die large strain Materialmodelle in FEMCard Basic ASCII-Bezeichnung Symbol(e) sig true Cauchy (true) normal stress in x direction le_ logarithmic normal strain in x direction true le 24

Korrespondierende Mess- und Simulationsdaten 4.2.2 Nominelle Spannungen und Dehnungen (MEAS=nom) Für die 'LARGE strain'-materialmodelle mit Vermerk MEAS=nom werden als eigegebene Messdaten und ausgegebene Simulationsdaten nominelle Spannungen (siehe Gleichung (3.32)) und nominelle Dehnungen verwendet. Die nominellen Dehnungen NE in FEMCard Basic berechnen sich hierbei zu (siehe auch Gleichung (3.23)) NE (4.7) nom NE (4.8) yy nm o yy Tabelle 4 zeigt einen Auszug der ASCII-Bezeichnungen und Symbole für die Einund Ausgabe von nominellen Spannungen und nominellen Dehnungen für die 'LARGE strain'-materialmodelle in FEMCard Basic. Tabelle 4: Auszug der ASCII-Bezeichnungen und Symbole für die Ein- und Ausgabe von nominellen Spannungen und nominellen Dehnungen für die 'LARGE strain'-materialmodelle in FEMCard Basic ASCII-Bezeichnung Symbol(e) T_ nominal normal stress in x direction T NE_ nominal normal strain in x direction NE 25

Versuchstypen für die Materialparameterermittlung 5 Versuchstypen für die Materialparameterermittlung 5.1 Allgemeine Anmerkungen 5.1.1 Homogene Verzerrungs- bzw. Spannungszustände In FEMCard Basic werden die Simulationen von uniaxialen Zug- bzw. Druckversuchen, Biaxialversuchen und Schubversuchen jeweils für homogene Spannungsbzw. Verzerrungszustände durchgeführt. FEMCard Basic vergleicht wie in Abschnitt 2.2 beschrieben - die simulierten Daten mit den gemessenen Daten innerhalb einer Fehlerquadratsumme. Es ist somit notwendig, Versuchsdaten bereitzustellen, welche (möglichst) ebenfalls die Bedingungen von homogenen Verzerrungszuständen erfüllen. In wie weit diese Voraussetzung gegeben ist, liegt unter anderem an dem untersuchten Material, dem Versuchsaufbau, der Probekörpergeometrie und dem betrachteten Bereich für die Dehnungsmessung. Sollten in Zugversuchen Einschnürungen bzw. in Druckversuchen Knickung oder Ausbauchen ab einem gewissen Lastniveau auftreten, ist je nach Ausprägung ein geeignetes Verfahren (messtechnisch oder mathematisch) anzuwenden, damit die Messdaten der oben genannten Voraussetzung von homogenen Verzerrungszuständen gerecht werden. Mathematische Verfahren zur Berücksichtigung von inhomogenen Verformungszuständen bei der Materialparameterermittlung sind beispielsweise in Mahnken und Stein (1), Mahnken (2) oder Bosseler und Kleuter (3) beschrieben. Es liegt in der Verantwortung des Benutzers, geeignete Messdaten, welche die o.g. Bedingungen erfüllen, für die jeweiligen Materialparameterermittlungen zu verwenden. Bemerkung: Massenträgheitseffekte werden in FEMCard Basic nicht berücksichtigt. 5.1.2 Versuchsbezeichnungen Vorab sollen hier noch einige Begriffe, welche in FEMCard Basic zur Kurzbeschreibung der Versuchstypen verwendet werden, angesprochen werden. Isotropic gilt für isotrope Materialien ( ISOTR ), für welche die mechanischen Eigenschaften in alle Richtungen identisch sind. Anisotropic gilt allgemein für Materialien, auf die Isotropic nicht zutrifft, z.b. transversale Orthotropie ( TRANSV_ISOTR ) oder Orthotropie ( ORTHO ). 26

Versuchstypen für die Materialparameterermittlung Static Visco bedeutet, dass die zur Belastung zugehörige Zeit nicht in FEMCard Basic eigegeben und im später gewählten Materialmodell nicht berücksichtigt wird. bedeutet, dass die zur Belastung zugehörige Zeit in FEMCard Basic eigegeben wird und dass im später gewählten Materialmodell das zeitabhängige Materialverhalten berücksichtigt wird. Bemerkung: In der Auswahl der Materialmodelle wird der Ausdruck incompressible für inkompressible Materialien verwendet, bei denen keine Volumenänderung während der Deformation auftritt. 5.1.3 Messdaten bei Versuchsbeginn Bei quasistatischen Versuchen ist die erste Zeile mit Messwerten wahlweise die Spannung 0 oder ungleich 0. Ist sie ungleich 0, so startet die Simulation in der Identifikation trotzdem bei der Spannung 0 (spannungsfrei zu Versuchsbeginn). Bei zeitabhängigen Versuchen darf der Zeitpunkt für die erste Zeile größer als 0 sein. Die Simulation in der Identifikation startet dann bei der Spannung 0 zum Zeitpunkt t=0 (spannungsfrei zu Versuchsbeginn). Ist der Zeitpunkt für die erste Zeile gleich 0, so müssen ebenfalls die Spannungen zu diesem Zeitpunkt 0 sein (spannungsfrei zu Versuchsbeginn). 5.1.4 Anzahl an Last- oder Zeitschritten Die Berechnungsdauer in FEMCard Basic nimmt mit zunehmender Anzahl an Last- oder Zeitschritten zu. Je nach Nichtlinearität der Messdaten und vorliegender Anzahl an Last- oder Zeitschritten sollte deshalb gegebenenfalls vor dem Einlesen in FEMCard Basic eine Reduktion Last- oder Zeitschritte durchgeführt werden. Es ist jedoch zu beachten, dass zu wenige Lastschritte zum Iterationsabbruch bei der Parameteridentifikation führen können. Eine allgemeingültige Mindestanzahl an Last- oder Zeitschritten kann jedoch nicht genannt werden. Bei nichtlinearen Materialmodellen ist aber in vielen Fällen eine Anzahl von 100 eingelesenen Lastschritten zu gering und führt zum Abbruch der Iteration. 27

Versuchstypen für die Materialparameterermittlung 5.1.5 Auswahl der Versuchstypen in Abhängigkeit vom Materialmodell FEMCard Basic führt eine automatische Überprüfung durch, ob ein Versuchstyp für das gewählte Materialmodell zulässig ist. Abhängig von den eingelesenen Versuchen trifft FEMCard Basic eine Auswahl von Modellparametern, die während der Materialparameterermittlung (Iteration) identifiziert werden ( active ). Die anderen Parameter werden während der Iteration auf dem vom Benutzer gewählten Wert (Startparameter) festgehalten ( fixed ). Diese Auswahl von freien und festgehaltenen Parametern kann vom Benutzer geändert werden. 28

Versuchstypen für die Materialparameterermittlung 5.2 Versuchstyp Uniaxial : Uniaxialer Zug- und/oder Druckversuch Die übliche Vorgehensweise bei der Auswertung von uniaxialen Zug- und Druckversuchen ist die Messung der Dehnungen auf einem Bereich des Probekörpers, in welchem (annähernd) ein homogener Verzerrungszustand vorliegt. Ein uniaxialer Deformationszustand ist in Abbildung 3 beispielhaft dargestellt. Für den homogenen Verzerrungszustand unter uniaxialem Zug (oder Druck) gilt, dass die Eigenrichtungen der Referenzkonfiguration und der Momentankonfiguration übereinstimmen, es gilt somit (siehe auch Gleichungen (3.20) und (3.21)) Nˆ n ˆ. (5.1) a a Der lineare Verzerrungstensor ε (siehe Gleichung (3.27)) und die nominellen Verzerrungen (siehe Gleichung (3.23)) stimmen für die uniaxiale Belastung überein, es gilt somit mit ε nom ε (5.2) 0 0 ij 0 yy 0 0 0 zz (5.3) Die logarithmischen Verzerrungen berechnen sich zu (siehe auch Gleichung (3.22)) log 3 a1 nom ln 1 (5.4) log yy 3 a1 nom yy ln 1 (5.5) log zz 3 a1 nom zz ln 1 (5.6) Anmerkungen: Für den Fall einer uniaxialen Belastung in x-richtung und den Fall eine isotropen Materials gilt log log bzw.. nom yy nom zz yy zz 29

Versuchstypen für die Materialparameterermittlung Für den Fall einer uniaxialen Belastung in x-richtung und der Fall eines isotropen und inkompressiblen Materials gelten nom yy nom zz 1 1 nom 1 (5.7) sowie log log 1 log yy zz. (5.8) 2 5.2.1.1 Beispiel: Spannungen am rechteckigen Körper bei uniaxialer Belastung in x-richtung Für den in Abbildung 3 dargestellten Körper im uniaxialen Zug- oder Druckversuch in x-richtung mit der aufgebrachten Kraft f x sollen die wahren (Cauchy-) Spannungen berechnet werden. x z y Abbildung 3: Uniaxialer Zug Der Querschnitt des unbelasteten Körpers (in der Referenzkonfiguration) mit der Flächennormalen in x-richtung sei 0 A. Die technische Spannung (siehe Ab- nom schnitt 3.5.3) und die nominelle Spannung (siehe auch Gleichung (3.33)) ergeben nom fx. (5.9) 0 A In die anderen Richtungen ist der Körper spannungsfrei, es gilt somit 30

Versuchstypen für die Materialparameterermittlung 0 0 nom nom ij 0 0 0. (5.10) 0 0 0 Für die wahren (Cauchy-) Spannungen (siehe auch Gleichung (3.31)) gilt true f (1+ )(1+ ) A (1+ )(1+ ) nom x nom nom 0 nom nom yy zz yy zz (5.11) bzw. bei isotropem Materialverhalten true f (5.12) (1+ ) A (1+ ) nom nom 2 yy x 0 nom 2 yy Ist das Materialverhalten inkompressibel gilt allgemein unter uniaxialer Belastung in x-richtung (1+ ). (5.13) true nom nom 31

Versuchstypen für die Materialparameterermittlung 5.3 Versuchstyp Biaxial : Biaxialversuch Vorabbemerkung: In FEMCard Basic können Biaxialversuche mit unterschiedlichen Lasten in beide belasteten Richtungen ausgewertet werden. Es kann beispielweise auch eine Richtung unter Zug und die andere Richtung unter Druck belastet werden. Es besteht somit keine Beschränkung auf Äquibiaxialversuche. Die übliche Vorgehensweise bei der Auswertung von Biaxialversuchen ist die Messung der Dehnungen auf einem Bereich des Probekörpers, in welchem (annähernd) ein homogener Verzerrungszustand vorliegt. Ein biaxialer Deformationszustand ist in Abbildung 4 beispielhaft dargestellt. Für den homogenen Verzerrungszustand unter biaxialer Belastung gilt, dass die Eigenrichtungen der Referenzkonfiguration und der Momentankonfiguration übereinstimmen, es gilt somit (siehe auch Gleichungen (3.20) und (3.21)) Nˆ n ˆ. (5.14) a a Der lineare Verzerrungstensor ε (siehe Gleichung (3.27)) und die nominellen Verzerrungen (siehe Gleichung (3.23)) stimmen für die biaxiale Belastung überein, es gilt somit mit ε nom ε (5.15) 0 0 ij 0 yy 0 0 0 zz (5.16) Die logarithmischen Verzerrungen berechnen sich zu (siehe auch Gleichung (3.22)) log 3 a1 nom ln 1 (5.17) log yy 3 a1 nom yy ln 1 (5.18) log zz 3 a1 nom zz ln 1 (5.19) 32

Versuchstypen für die Materialparameterermittlung 5.3.1.1 Beispiel: Spannungen am rechteckigen Körper im Biaxialversuch in x- und y-richtung Für den in Abbildung 3 dargestellten rechteckigen Körper im biaxialen Zugversuch in x- und y-richtung mit den aufgebrachten Kräften f x und f y sollen die wahren (Cauchy-) Spannungen berechnet werden. z x y yy yy Abbildung 4: Biaxiale Belastung Der Querschnitte des unbelasteten Körpers (in der Referenzkonfiguration) mit der Flächennormalen in x- und y-richtung seien 0 A x und 0 A y. Die technischen Spannungen und yy (siehe Abschnitt 3.5.3) und die nominellen Spannungen nom und nom yy (siehe auch Gleichung (3.33)) ergeben nom f (5.20) A x 0 x sowie f nom yy yy (5.21) A y 0 y 33

Versuchstypen für die Materialparameterermittlung In die anderen Richtungen ist der Körper spannungsfrei, es gilt somit 0 0 nom nom nom ij 0 yy 0. (5.22) 0 0 0 Für die wahren (Cauchy-) Spannungen (siehe auch Gleichung (3.31)) gilt true f (5.23) (1+ )(1+ ) A (1+ )(1+ ) nom x nom nom 0 nom nom yy zz x yy zz sowie f. (5.24) (1+ )(1+ ) A (1+ )(1+ ) nom true yy y yy nom nom 0 nom nom zz y zz Ist das Materialverhalten inkompressibel gelten allgemein unter biaxialer Belastung in x- und y-richtung (1+ ) (5.25) true nom nom sowie (1+ ). (5.26) true yy nom yy nom yy 34

Versuchstypen für die Materialparameterermittlung 5.4 Versuchstyp Shear bzw. Simple Shear : Einfacher Schub In FEMCard Basic werden bei den Versuchstypen SMALL strain SHEAR und LARGE strain SIMPLE SHEAR die simulierten Daten mit den gemessenen Daten für den Versuch des einfachen Schubs verglichen. Hierbei wird wie für alle Versuchtypen in FEMCard Basic ein homogener Verzerrungszustand simuliert. Es ist somit notwendig, Versuchsdaten für den einfachen Schub bereitzustellen, welche (möglichst) ebenfalls die Bedingungen von homogenen Verzerrungszuständen erfüllen. Ein Deformationszustand des einfachen Schubs mit homogenem Verzerrungszustand ist in Abbildung 5 beispielhaft dargestellt. Die gegenüberliegenden Flächen bleiben während der Deformation eben und parallel zueinander. In vielen Fällen lässt sich die Voraussetzung des homogenen einfachen Schubs in experimentellen Versuchen nur für kleine Verformungen realisieren. y x L y f yy xy L x x Abbildung 5: Einfache Scherung Für das in Abbildung 5 gezeigte Beispiel berechnet sich die Schubverzerrung (bzw. technische Scherdehnung) xy aus der Auslenkung Δx bzw. dem Winkel zu Δx xy tan (5.27) L y Der Deformationsgradient lautet somit 1 xy 0 F 0 1 0 0 0 1 (5.28) 35

Versuchstypen für die Materialparameterermittlung Es ist zu bemerken, dass die Verformung beim einfachen Schub bei konstantem Volumen verläuft (isochor) und somit J det F 1 gilt. Der Green-Lagrangesche Verzerrungstensor (siehe auch Gleichung (3.8)) berechnet sich für das o.g. Beispiel zu 0 xy 0 1 T 1 2 E xy xy 0 2 F F Ι 2. (5.29) 0 0 0 5.4.1 Versuchstyp Shear bei 'SMALL strain'-materialmodellen Für kleine Verzerrungen gilt xy 1 und folglich. Der lineare Verzerrungstensor ε (siehe Gleichungen (3.25) und (3.27)) ergibt somit für das in Abbildung 5 dargestellte Beispiel 2 xy xy ε E lin 0 xy 0 0 xy 0 1 xy 0 0 yx 0 0 2. (5.30) 0 0 0 0 0 0 Wie in Abschnitt 4.1 beschrieben werden in FEMCard Basic für die 'SMALL strain'- Materialmodelle durchweg Ingenieurdehnungen verwendet. Für die einzulesenden experimentellen und für die simulierten Dehnungen werden somit die die technischen Scherdehnungen verwendet (engineering shear strain) für die für das oben genannte Beispiel gilt 2. (5.31) xy xy Der Querschnitt des in Abbildung 5 dargestellten Körpers mit der Flächennormalen in y-richtung sei ergibt 0 A y. Die technische Spannung xy (siehe Abschnitt 3.5.3) f xy. (5.32) 0 A Unter der Voraussetzung kleiner Verzerrungen (geometrisch lineare Theorie) ist der Körper in die anderen Richtungen spannungsfrei, es gilt somit 0 0 xy ij xy 0 0. (5.33) 0 0 0 36

Versuchstypen für die Materialparameterermittlung 5.4.2 Versuchstyp Simple Shear bei 'LARGE strain'-materialmodellen Die 'LARGE strain'-materialmodelle in FEMCard Basic, für welche der Versuchstyp Simple Shear verfügbar ist, sind die HILL (Visco-) Plastizitätsmodelle; für die Versuchstypen Uniaxial und Biaxial sind für diese Materialmodelle als Dehnungsmesswerte die logarithmischen Dehnungen (siehe Abschnitt 4.2.1 und Gleichungen (4.4)-(4.6)) und die wahren Spannungen einzugeben. Für den Versuchstyp Simple Shear wird für eine bessere Benutzerfreundlichkeit auch für diese 'LARGE strain'-materialmodelle immer die Ingenieurdehnung und -spannung für die Messdateneingabe verwendet und in FEMCard Basic unter Berücksichtigung der geometrisch nichtlinearen Theorie verarbeitet. Es werden hier somit dieselben Messwerttypen wie für den Versuchstyp Shear bei 'SMALL strain'-materialmodellen verwendet. Der Vollständigkeit halber werden diese im Folgenden noch einmal aufgeführt: Für die einzulesenden experimentellen und für die simulierten Dehnungen werden die die technischen Scherdehnungen xy verwendet (engineering shear strain) entsprechend Gleichung (5.27) verwendet. Der Querschnitt des in Abbildung 5 dargestellten Körpers mit der Flächennormalen in y-richtung sei ergibt 0 A y. Die technische Spannung xy (engineering stress) f xy. (5.34) 0 A Anmerkungen: Wie oben beschrieben wird für den Versuchstyp Simple Shear bei 'LARGE strain'-materialmodellen die geometrisch nichtlinearen Theorie berücksichtigt. Somit wird u.a. berücksichtigt, dass für den homogenen Verzerrungszustand unter einfachen Schub bei großen Dehnungen gilt, dass die Eigenrichtungen der Referenzkonfiguration und der Momentankonfiguration nicht übereinstimmen und somit Nˆ n ˆ gilt (siehe auch Gleichungen (3.20) und (3.21)) a a dass der Körper unter einfachem Schub bei großen Dehnungen in den Normalspannungen nicht spannungsfrei ist und sich i.d.r. diese Normalspannungen in der Größe unterscheiden (Poynting-Effekt). 37

Versuchstypen für die Materialparameterermittlung 38

6 Materialmodelle 6.1 Lineare Elastizität (Small Strain)... 40 6.2 Hyperelastizät... 51 6.3 Von Mises (Visko-) Plastizität... 65 6.4 Ramberg-Osgood (Deformation Plasticity)... 89 6.5 Hill- (Visko-) Plastizität... 93 6.6 Viskoelastizität...108 39

6.1 Lineare Elastizität (Small Strain) 6.1.1 1D/3D SMALL strain ELASTICITY 6.1.2 SMALL strain orthotropic ELASTICITY 6.1.3 SMALL strain transversely isotropic ELASTICITY, rotat. symm.: X 6.1.4 SMALL strain transversely isotropic ELASTICITY, rotat. symm.: Y 6.1.5 SMALL strain transversely isotropic ELASTICITY, rotat. symm.: Z 40

6.1.1 1D/3D SMALL strain ELASTICITY ELASTICITY ISOTROPIC SMALL STRAIN 6.1.1.1 Isotropes lineares Elastizitätsgesetz Die Spannungs-Dehnungs-Beziehung mit dem Elastizitätstensor D lautet in Voigtscher Notation 1 ε D σ (6.1) 1 E E E 0 0 0 E 1 E E 0 0 0 yy yy E E 1 E 0 0 0 zz zz 0 0 0 2 xy 1 E 0 0 xy 0 0 0 0 2 1 E 0 xz xz 0 0 0 0 0 2 yz 1 E yz (6.2) 6.1.1.2 Materialparametersatz Die Materialparameter und Bezeichnungen in der FEMCard Basic Benutzeroberfläche lauten (siehe Tabelle 5): Tabelle 5: Materialparameter für isotrope lineare Elastizität ASCII-Bezeichnung Weitere optionale Bez. E Young's modulus PR Poisson's ratio Symbole E Die Kriterien E > 0 und 0 0.5 werden in FEMCard Basic bei der Startparametereingabe und während der Parameteridentifikation überprüft und ggf. korrigiert. Bemerkung: Bei der 1D Formulierung des Materialmodelles entfällt die Poissonzahl als Materialparameter. 41

6.1.2 SMALL strain orthotropic ELASTICITY ELASTICITY ISOTROPIC SMALL STRAIN 6.1.2.1 Orthotropes lineares Elastizitätsgesetz Orthotrope Materialien besitzen eine Materialsymmetrie bzgl. drei senkrecht aufeinander stehenden Ebenen und 9 unabhängige elastische Konstanten. Diese sind die drei Elastizitätsmoduln in jede der drei Materialeigenrichtungen drei Querkontraktionszahlen, die die Kopplung zwischen den axialen und transversalen Dehnungen beschreiben und drei Schubmoduln, welche das Verhältnis zwischen den drei Modi von Schubspannungen und dehnungen beschreiben. Die Spannungs-Dehnungs-Beziehung mit dem Elastizitätstensor D lautet in Voigtscher Notation 1 ε D σ (6.3) 1 Ex yx Ey zx Ez 0 0 0 yy xy Ex 1 Ey zy Ez 0 0 0 yy zz xz Ex yz Ey 1 Ez 0 0 0 zz 0 0 0 1 G xy xy 0 0 xy 0 0 0 0 1 G 0 xz xz xz 0 0 0 0 0 1 G yz yz y z (6.4) 6.1.2.2 Materialparametersatz Die Materialparameter und Bezeichnungen in der FEMCard Basic Benutzeroberfläche lauten (siehe Tabelle 6): Tabelle 6: Materialparameter für orthotrope lineare Elastizität ASCII-Bezeichnung Weitere optionale Bez. Symbole E_x Young's modulus along axis X E_y Young's modulus along axis Y E_z Young's modulus along axis Z E x E y E z 42

nu_xy Poisson's ratio nu_xy nu_xz Poisson's ratio nu_xz nu_yz Poisson's ratio nu_yz G_xy shear modulus G_xy G_xz shear modulus G_xz G_yz shear modulus G_yz xy xz yz G xy G xz G yz Die Kriterien für die Materialstabilität lauten E x,e y,e z,g xy,g xz,gyz 0 (6.5) E E (6.6) xy x y E E (6.7) xz x z E E (6.8) yz y z E E E E 1 2 (6.9) 2 y 2 z 2 z z xy yz xz xy yz xz Ex Ey Ex Ex Die Kriterien der Gleichungen (6.5)-(6.9) werden in FEMCard Basic bei der Startparametereingabe und während der Parameteridentifikation überprüft und ggf. korrigiert. Bemerkungen: B1: Für E E E E 2 0 (6.10) 2 y 2 z 2 z z xy yz xz xy yz xz Ex Ey Ex Ex ist das Materialverhalten inkompressibel. 43

B2: Aus den in Tabelle 6 aufgeführten (und von FEMCard Basic verwendeten) 9 unabhängigen elastischen Konstanten lassen sich die (von verschiedenen Finite-Elemente-Softwares verwendeten) weiteren elastischen Konstanten berechnen: a) Aufgrund der Symmetrie von D (siehe Gleichung (6.3)) gilt: E E E (6.11) y z z yx xy, zx xz, zy yz Ex Ex Ey b) Weiterhin gilt: Gyx G xy, Gzx G xz, Gzy Gyz (6.12) 44

6.1.3 SMALL strain transversely isotropic ELASTICITY, rotat. symm.: X ELASTICITY TRANSVERSELY ISOTROPIC SMALL STRAIN ROTATIONAL SYMMETRY: X Die Transversale Isotropie ist ein Sonderfall der Orthotropie (siehe Abschnitt 6.1.2). Es gelten die in Gleichung (6.4) dargestellte Spannungs-Dehnungs-Beziehung sowie die in Gleichungen (6.5)-(6.9) aufgezeigten Kriterien für die Materialstabilität. Zusätzlich gilt für die transversale Isotropie mit der Vorzugsrichtung X E z E (6.13) y (6.14) xz xy G yz Ey 21 yz (6.15) G xz G (6.16) xy 6.1.3.1 Materialparametersatz Die Materialparameter und Bezeichnungen in der FEMCard Basic Benutzeroberfläche lauten (siehe Tabelle 7): Tabelle 7: Materialparameter für transversale Isotropie mit Vorzugsrichtung X ASCII-Bezeichnung Weitere optionale Bez. Symbole E_x Young's modulus along axis X E_y Young's modulus along axis Y nu_xy Poisson's ratio nu_xy nu_yz Poisson's ratio nu_yz G_xy shear modulus G_xy E x E y xy yz G xy 45

Bemerkungen: B1: Die Kriterien der Gleichungen (6.5)-(6.9) werden in FEMCard Basic bei der Startparametereingabe und während der Parameteridentifikation überprüft und ggf. korrigiert. B2: Aus den in Tabelle 7 aufgeführten (und von FEMCard Basic verwendeten) 5 unabhängigen elastischen Konstanten lassen sich die (von verschiedenen Finite-Elemente-Softwares verwendeten) weiteren elastischen Konstanten berechnen: a) Aufgrund der Symmetrie von D (siehe Gleichung (6.3)) gilt: E E E E (6.17) y z y z yx xy, zx xz xy yx, zy yz yz Ex Ex Ex Ey b) Weiterhin gilt: Ey Gyx G xy, Gzx Gxz G xy, Gzy G yz 21 yz (6.18) 46

6.1.4 SMALL strain transversely isotropic ELASTICITY, rotat. symm.: Y ELASTICITY TRANSVERSELY ISOTROPIC SMALL STRAIN ROTATIONAL SYMMETRY: Y Die Transversale Isotropie ist ein Sonderfall der Orthotropie (siehe Abschnitt 6.1.2). Es gelten die in Gleichung (6.4) dargestellte Spannungs-Dehnungs-Beziehung sowie die in Gleichungen (6.5)-(6.9) aufgezeigten Kriterien für die Materialstabilität. Zusätzlich gilt für die transversale Isotropie mit der Vorzugsrichtung Y E z E (6.19) x E x xy yz (6.20) E y G xz Ez 21 xz (6.21) G xy G (6.22) yz 6.1.4.1 Materialparametersatz Die Materialparameter und Bezeichnungen in der FEMCard Basic Benutzeroberfläche lauten (siehe Tabelle 8): Tabelle 8: Materialparameter für transversale Isotropie mit Vorzugsrichtung Y ASCII-Bezeichnung Weitere optionale Bez. Symbole E_y Young's modulus along axis Y E_x Young's modulus along axis X nu_yz Poisson's ratio nu_yz nu_xz Poisson's ratio nu_xz G_yz shear modulus G_yz E y E x yz xz G yz 47

Bemerkungen: B1: Die Kriterien der Gleichungen (6.5)-(6.9) werden in FEMCard Basic bei der Startparametereingabe und während der Parameteridentifikation überprüft und ggf. korrigiert. B2: Aus den in Tabelle 8 aufgeführten (und von FEMCard Basic verwendeten) 5 unabhängigen elastischen Konstanten lassen sich die (von verschiedenen Finite-Elemente-Softwares verwendeten) weiteren elastischen Konstanten berechnen: a) Aufgrund der Symmetrie von D (siehe Gleichung (6.3)) gilt: E E E E E E (6.23) y x y z z x yx xy yz yz, zx xz xz, zy yz yz Ex E y Ex Ex Ey Ey b) Weiterhin gilt: E G G G, G G, G G z yx xy yz zx xz zy yz 21 xz (6.24) 48

6.1.5 SMALL strain transversely isotropic ELASTICITY, rotat. symm.: Z ELASTICITY TRANSVERSELY ISOTROPIC SMALL STRAIN ROTATIONAL SYMMETRY: Z Die Transversale Isotropie ist ein Sonderfall der Orthotropie (siehe Abschnitt 6.1.2). Es gelten die in Gleichung (6.4) dargestellte Spannungs-Dehnungs-Beziehung sowie die in Gleichungen (6.5)-(6.9) aufgezeigten Kriterien für die Materialstabilität. Zusätzlich gilt für die transversale Isotropie mit der Vorzugsrichtung Z E y E (6.25) x (6.26) yz xz G E x xy 21 xy (6.27) G yz G (6.28) xz 6.1.5.1 Materialparametersatz Die Materialparameter und Bezeichnungen in der FEMCard Basic Benutzeroberfläche lauten (siehe Tabelle 9): Tabelle 9: Materialparameter für transversale Isotropie mit Vorzugsrichtung Z ASCII-Bezeichnung Weitere optionale Bez. Symbole E_z Young's modulus along axis Z E_x Young's modulus along axis X nu_xz Poisson's ratio nu_xz nu_xy Poisson's ratio nu_xy G_xz shear modulus G_xz E z E x xz xy G xz 49

Bemerkungen: B1: Die Kriterien der Gleichungen (6.5)-(6.9) werden in FEMCard Basic bei der Startparametereingabe und während der Parameteridentifikation überprüft und ggf. korrigiert. B2: Aus den in Tabelle 9 aufgeführten (und von FEMCard Basic verwendeten) 5 unabhängigen elastischen Konstanten lassen sich die (von verschiedenen Finite-Elemente-Softwares verwendeten) weiteren elastischen Konstanten berechnen: a) Aufgrund der Symmetrie von D (siehe Gleichung (6.3)) gilt: E E E E (6.29) y z z z yx xy xy, zx xz, zy yz xz zx Ex Ex Ey Ex b) Weiterhin gilt: E G G, G G, G G G x yx xy zx xz zy yz xz 21 xy (6.30) 50

6.2 Hyperelastizät 6.2.1 Allgemeine Anmerkungen 6.2.2 LARGE strain NEO-HOOKEan HYPERelasticity 6.2.3 LARGE strain MOONEY-Rivlin HYPERelasticity 6.2.4 LARGE strain OGDEN HYPERelasticity 51

6.2.1 Allgemeine Anmerkungen 6.2.1.1 Isotrope Hyperelastizität: Formulierung mittels Invarianten In Abschnitt 3.3 wurden der rechte Cauchy-Green-Tensor C und der linke Cauchy-Green-Tensor b in ihren zugehörigen Spektralzerlegungen dargestellt mit 3 C Nˆ N ˆ (6.31) a1 2 a a a und 3 b nˆ n ˆ. (6.32) a1 2 a a a Für Isotropie kann die freie Energie Funktion via der Invarianten ihrer Argumente ausgedrückt werden. Somit gilt C I1 C, I2 C, I3 C I1 b, I2 b, I3 b. (6.33) Da C und b dieselben Eigenwerte haben, gilt für die Definition ihrer Invarianten 2 2 2 tr I tr C b, (6.34) 1 1 2 3 I 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 tr tr tr tr 1 2 2 3 3 1 2 C C 2 b b, (6.35) I 2 2 2 2 det J det C b. (6.36) 3 1 2 3 Mittels eines additiven Splits von in Anteile, welche die isochoren und volumetrischen Verzerrungsmaße getrennt enthalten, erhält man vol I1, I2 J dev. (6.37) Hierbei werden die deviatorischen Verzerrungsinvarianten I 1 und I 2 berechnet mittels I J I (6.38) 2/3 1 1 I J I. (6.39) 4/3 2 2 Für die deviatorischen Streckungen a ergibt sich analog 1/3 a J a (6.40) und mit 1 2 3 1 gilt somit 52

I 2 2 2 I1 1 2 3, (6.41) ˆ ˆ ˆ. (6.42) 2 2 2 2 1 2 3 6.2.1.2 Bemerkung zu kompressiblen hyperelastischen Materialmodellen Für die im folgenden betrachteten hyperelastischen Materialmodelle können jeweils der initiale Schubmodul (initial shear modulus) 0 und initiale Kompressionsmodul (initial compression modulus) k 0 bestimmt werden. Die sich hieraus ergebende Poissonzahl hy lautet 3k 2 6k 2 hy 0 0 0 0 (6.43) Die Bedingung hy 0 0.5 wird in FEMCard Basic bei der Startparametereingabe und während der Parameteridentifikation überprüft und ggf. korrigiert. 6.2.1.3 Drucker Stabilität FEMCard Basic führt keine vollständige Untersuchung der identifizierten Materialparametersätze auf Materialstabilität (Drucker Stabilität) für hyperelastische Materialmodelle aus. Es liegt in der Verantwortung des Benutzers, die hyperelastischen Materialmodelle und zugehörigen Werte der Materialparameter auf Materialstabilität zu prüfen. Warn- und Informationsmeldungen bei der Startparametereingabe für hyperelastische Materialmodelle geben hierzu zusätzliche Hinweise. 53

6.2.2 LARGE strain NEO-HOOKEan HYPERelasticity ELASTICITY ISOTROPIC LARGE STRAIN (HYPERELASTICITY) 3D, MEAS=TRUE COMPRESSIBLE NEO-HOOKE ELASTICITY ISOTROPIC LARGE STRAIN (HYPERELASTICITY) 3D, MEAS=TRUE INCOMPRESSIBLE NEO-HOOKE ELASTICITY ISOTROPIC LARGE STRAIN (HYPERELASTICITY) 3D, MEAS=NOM. COMPRESSIBLE NEO-HOOKE ELASTICITY ISOTROPIC LARGE STRAIN (HYPERELASTICITY) 3D, MEAS=NOM. INCOMPRESSIBLE NEO-HOOKE 6.2.2.1 Verzerrungsenergiefunktion Die Verzerrungsenergiefunktion für das kompressible Neo-Hooke Materialmodell lautet Mit den Materialparametern C 10 und D 1. 1 J 2 NH,cpr. C10 I1 3-1 D (6.44) 1 Der initiale Schubmodul und initiale Kompressionsmodul (siehe Abschnitt 6.2.1.2) betragen für NH,cpr. 0 2C10, (6.45) k 2 D. (6.46) 0 1 Die Verzerrungsenergiefunktion für das inkompressible Neo-Hooke Materialmodell lautet mit dem Materialparameter C 10. NH, incpr. C10 I1 3 (6.47) 6.2.2.2 Materialparametersatz in FEMCard Basic Die Materialparameter und Bezeichnungen in der FEMCard Basic Benutzeroberfläche lauten (siehe Tabelle 10): Tabelle 10: Materialparameter für das Neo-Hooke Materialmodell ASCII-Bezeichnung. C10 Symbole C10 D1 Bei der inkompressiblen Formulierung des Materialmodelles entfällt D1 als Materialparameter. 54 D1

6.2.2.3 Materialparametersatz in Finite-Elemente-Software Das Materialmodell wird in den folgenden Finite-Elemente-Softwares folgendermaßen bezeichnet: Abaqus (Version 6.14) Software: Input File Usage: *HYPERELASTIC, NEO HOOKE Tabelle 11: Materialparameterbezeichnungen in Abaqus CAE Software Symbol FEMCard Basic Bezeichnung in Abaqus CAE Software C10 = C10 D1 = D1 Bei der inkompressiblen Formulierung des Materialmodelles gilt D1=0 in der Abaqus Software. ANSYS (Release 12.0) Software: ANSYS Preprocessor Software: Hyperelastic Neo-Hookean Tabelle 12: Materialparameterbezeichnungen in ANSYS Preprocessor Software Umrechnung und Symbol FEMCard Basic Bezeichnung in ANSYS Preprocessor Software 2 C10 = mu D1 = d Bei der inkompressiblen Formulierung des Materialmodelles gilt d=0 in der ANSYS Software. 55

Marc Mentat (2014.2.0) Software: Bei der kompressiblen Formulierung gilt: Material Properties: Type: Mooney Model: Five-Term (Parameter C10, C01, C11, C20, C30) Volumetric Behavior Series Expansion (Parameter D1, D2, D3, D4, D5) Tabelle 13: Materialparameterbezeichnungen in Marc Mentat (2014.2.0) Software Umrechnung und Symbol FEMCard Basic Bezeichnung in Marc Mentat Software C10 = C10 1 D1 = D1 Weiterhin gilt C01=C11=C20=C30=0 sowie D2=D3=D4=D5=0 in der Marc Mentat Software. Bei der inkompressiblen Formulierung gilt: Material Properties: Type: Mooney Model: Five-Term (Parameter C10, C01, C11, C20, C30) Volumetric Behavior Bulk Modulus Automatic Tabelle 14: Materialparameterbezeichnungen in Marc Mentat (2014.2.0) Software Umrechnung und Symbol FEMCard Basic Bezeichnung in Marc Mentat Software C10 = C10 Weiterhin gilt C01=C11=C20=C30=0 in der Marc Mentat Software. Bem.: Mit der Einstellung Volumetric Behavior Bulk Modulus Automatic in der Marc Mentat (2014.2.0) Software wird ein Bulk Modulus K=10000*C10 verwendet. Das Materialverhalten ist hierfür inkompressibel. Bemerkung: Die in diesem Unterabschnitt gemachten Angaben zu Materialparameterbezeichnungen und umrechnungen für Finite-Elemente-Softwares sind ohne Gewähr. 56

6.2.3 LARGE strain MOONEY-Rivlin HYPERelasticity ELASTICITY ISOTROPIC LARGE STRAIN (HYPERELASTICITY) 3D, MEAS=TRUE COMPRESSIBLE MOONEY-RIVLIN ELASTICITY ISOTROPIC LARGE STRAIN (HYPERELASTICITY) 3D, MEAS=TRUE INCOMPRESSIBLE MOONEY-RIVLIN ELASTICITY ISOTROPIC LARGE STRAIN (HYPERELASTICITY) 3D, MEAS=NOM. COMPRESSIBLE MOONEY-RIVLIN ELASTICITY ISOTROPIC LARGE STRAIN (HYPERELASTICITY) 3D, MEAS=NOM. INCOMPRESSIBLE MOONEY-RIVLIN 6.2.3.1 Verzerrungsenergiefunktion Die Verzerrungsenergiefunktion für das kompressible Mooney-Rivlin Materialmodell lautet 1 2 MR,cpr. C10 I1 3 C01 I2 3 J-1. (6.48) D1 Mit den Materialparametern C 10, C 01 und D 1. Der initiale Schubmodul und initiale Kompressionsmodul (siehe Abschnitt 6.2.1.2) betragen für MR,cpr. 0 10 01 2 c c, (6.49) k 2 D. (6.50) 0 1 Die Verzerrungsenergiefunktion für das inkompressible Mooney-Rivlin Materialmodell lautet mit den Materialparametern C 10 und C 01. MR,incpr. C10 I1 3 C01 I2 3 (6.51) 57

6.2.3.2 Materialparametersatz in FEMCard Basic Die Materialparameter und Bezeichnungen in der FEMCard Basic Benutzeroberfläche lauten (siehe Tabelle 15): Tabelle 15: Materialparameter für das Mooney-Rivlin Materialmodell ASCII-Bezeichnung. C10 C01 Symbole C10 C01 D1 Bei der inkompressiblen Formulierung des Materialmodelles entfällt D1 als Materialparameter. D1 6.2.3.3 Materialparametersatz in Finite-Elemente-Software Das Materialmodell wird in den folgenden Finite-Elemente-Softwares folgendermaßen bezeichnet: Abaqus (Version 6.14) Software: Input File Usage: *HYPERELASTIC, MOONEY-RIVLIN Tabelle 16: Materialparameterbezeichnungen in Abaqus CAE Software Symbol FEMCard Basic Bezeichnung in Abaqus CAE Software C10 = C10 C01 = C01 D1 = D1 Bei der inkompressiblen Formulierung des Materialmodelles gilt D1=0 in der Abaqus Software. 58

ANSYS (Release 12.0) Software: ANSYS Preprocessor Software: Hyperelastic Mooney-Rivlin 2 parameters Tabelle 17: Materialparameterbezeichnungen in ANSYS Preprocessor Software Umrechnung und Symbol FEMCard Basic Bezeichnung in ANSYS Preprocessor Software C10 = C10 C01 = C01 D1 = d Bei der inkompressiblen Formulierung des Materialmodelles gilt d=0 in der ANSYS Software. Marc Mentat (2014.2.0) Software: Bei der kompressiblen Formulierung gilt (s.a. Tabelle 18): Material Properties: Type: Mooney Model: Five-Term (Parameter C10, C01, C11, C20, C30) Volumetric Behavior Series Expansion (Parameter D1, D2, D3, D4, D5) Tabelle 18: Materialparameterbezeichnungen in Marc Mentat (2014.2.0) Software Umrechnung und Symbol FEMCard Basic Bezeichnung in Marc Mentat Software C10 = C10 C01 = C01 1 D1 = D1 Weiterhin gilt C11=C20=C30=0 sowie D2=D3=D4=D5=0 in der Marc Mentat Software. 59

Bei der inkompressiblen Formulierung gilt (s.a. Tabelle 19): Material Properties: Type: Mooney Model: Five-Term (Parameter C10, C01, C11, C20, C30) Volumetric Behavior Bulk Modulus Automatic Tabelle 19: Materialparameterbezeichnungen in Marc Mentat (2014.2.0) Software Umrechnung und Symbol FEMCard Basic Bezeichnung in Marc Mentat Software C10 = C10 C01 = C01 Weiterhin gilt C11=C20=C30=0 in der Marc Mentat Software. Bem.: Mit der Einstellung Volumetric Behavior Bulk Modulus Automatic in der Marc Mentat (2014.2.0) Software wird ein Bulk Modulus K=10000*(C10+C01) verwendet. Das Materialverhalten ist hierfür inkompressibel. Bemerkung: Die in diesem Unterabschnitt gemachten Angaben zu Materialparameterbezeichnungen und umrechnungen für Finite-Elemente-Softwares sind ohne Gewähr. 60

6.2.4 LARGE strain OGDEN HYPERelasticity ELASTICITY ISOTROPIC LARGE STRAIN (HYPERELASTICITY) 3D, MEAS=TRUE COMPRESSIBLE OGDEN, N=1,2,3 ELASTICITY ISOTROPIC LARGE STRAIN (HYPERELASTICITY) 3D, MEAS=TRUE INCOMPRESSIBLE OGDEN, N=1,2,3 ELASTICITY ISOTROPIC LARGE STRAIN (HYPERELASTICITY) 3D, MEAS=NOM. COMPRESSIBLE OGDEN, N=1,2,3 ELASTICITY ISOTROPIC LARGE STRAIN (HYPERELASTICITY) 3D, MEAS=NOM. INCOMPRESSIBLE OGDEN, N=1,2,3 Bemerkung: Die Konstante N bezeichnet die Anzahl an Ogden-Termen und wird über die Auswahl des Materialmodells definiert. Es gilt 1N 3. 6.2.4.1 Verzerrungsenergiefunktion Die Verzerrungsenergiefunktion für das kompressible Ogden Materialmodell lautet für eine Anzahl N an Ogden-Termen Mit den Materialparametern i, 2 1 N N OG,cpr. 2i i i i i 2 1 2 3 3-1 i 1 i i 1 D J. (6.52) i i und Der initiale Schubmodul und initiale Kompressionsmodul (siehe Abschnitt 6.2.1.2) betragen für OG,cpr. D i. N, (6.53) k 0 i i1 2 D. (6.54) 0 1 Die Verzerrungsenergiefunktion für das inkompressible Ogden Materialmodell lautet für eine Anzahl N an Ogden-Termen 2 N OG,incpr. i i i i 2 1 2 3 3. (6.55) i1 i Mit den Materialparametern i und i. 61

6.2.4.2 Materialparametersatz in FEMCard Basic Die Materialparameter und Bezeichnungen in der FEMCard Basic Benutzeroberfläche lauten für die Parameter i, i und Tabelle 20: Materialparameter für das Ogden Materialmodell D mit i i= 1,...,N (siehe Tabelle 20): ASCII-Bezeichnung. Symbole mu1,, mu3 1,, 3 alpha1,, alpha3 1,, 3 D1,, D3 D1,, D3 Bei der inkompressiblen Formulierung des Materialmodelles entfallen D1,, D3 als Materialparameter. 6.2.4.3 Materialparametersatz in Finite-Elemente-Software Das Materialmodell wird in den folgenden Finite-Elemente-Softwares folgendermaßen bezeichnet: Abaqus (Version 6.14) Software: Input File Usage: *HYPERELASTIC, OGDEN, N=1 *HYPERELASTIC, OGDEN, N=2 *HYPERELASTIC, OGDEN, N=3 Tabelle 21: Materialparameterbezeichnungen in Abaqus CAE Software Symbol FEMCard Basic Bezeichnung in Abaqus CAE Software 1,, = mu1,, mu3 3 1,, = alpha1,, alpha3 3 D1,, D3 = D1,, D3 Bei der inkompressiblen Formulierung des Materialmodelles gilt D1=D2=D3=0 in der Abaqus Software. 62

ANSYS (Release 12.0) software: ANSYS Preprocessor Software: Hyperelastic Ogden 1 term (2 terms/3 terms) Tabelle 22: Materialparameterbezeichnungen in ANSYS Preprocessor Software Umrechnung und Symbol FEMCard Basic Bezeichnung in ANSYS Preprocessor Software 2 1 = mu1 1 2 2 = mu2 2 2 3 = mu3 3 1,, = a_1,, a_3 3 D1,, D3 = d1,, d3 Bei der inkompressiblen Formulierung des Materialmodelles gilt d1=d2=d3=0 in der ANSYS Software. Marc Mentat (2014.2.0) Software: Material Properties: Type: Ogden Method: Entered Values # Terms: Anzahl N an Ogden-Termen in FEMCard Basic Tabelle 23: Materialparameterbezeichnungen in Marc Mentat (2014.2.0) Software Umrechnung und Symbol FEMCard Basic Bezeichnung in Marc Mentat Software 2 1 = Modulus(1) 1 2 2 = Modulus(2) 2 2 3 = Modulus(3) 3 1,, = Exponent(1),, Exponent(3) 3 63

Bei der kompressiblen Formulierung gilt zusätzlich zu Tabelle 23: Material Properties: Volumetric Behavior Series Expansion (Parameter D1, D2, D3, D4, D5) Tabelle 24: Materialparameterbezeichnungen in Marc Mentat (2014.2.0) Software Umrechnung und Symbol FEMCard Basic Bezeichnung in Marc Mentat Software 1 D1 = D1 1 D2 = D2 1 D3 = D3 Es gilt in der Marc Mentat Software: Für # Terms=1 sind D2=D3=D4=D5=0. Für # Terms=2 sind D3=D4=D5=0. Für # Terms=3 sind D4=D5=0. Bei der inkompressiblen Formulierung gilt zusätzlich zu Tabelle 23: Material Properties: Volumetric Behavior Bulk Modulus Automatic Bem.: Mit der o.g. Einstellung in der Marc Mentat (2014.2.0) Software wird ein Bulk Modulus K verwendet, für den das Materialverhalten inkompressibel ist. Bemerkung: Die in diesem Unterabschnitt gemachten Angaben zu Materialparameterbezeichnungen und umrechnungen für Finite-Elemente-Softwares sind ohne Gewähr. 64

6.3 Von Mises (Visko-) Plastizität 6.3.1 1D/3D SMALL strain Von Mises plasticity (rate independent, nonlinear isotropic hardening) 6.3.2 1D/3D SMALL strain von MISES VISCOPLASTICITY (Cowper- Symonds, nonl. isotr. hardening) 6.3.3 LARGE strain von MISES PLASTICITY (nonlinear isotropic hardening), MEAS=true 6.3.4 LARGE strain von MISES VISCOPLASTICITY (Cowper-Symonds, nonl. isotr. hardening), MEAS=true 65

6.3.1 1D/3D SMALL strain Von Mises plasticity (rate independent, nonlinear isotropic hardening) PLASTICITY ISOTROPIC VON MISES RATE INDEPENDENT SMALL STRAIN 6.3.1.1 Geometrisch lineare Theorie Unter Berücksichtigung der geometrisch linearen Theorie ('SMALL strain') berechnet sich das totale Verzerrungsfeld zu 1 T ε 2 Xu Xu (6.56) Mit dem Verschiebungsfeld u. Weiterhin wird eine additive Zerlegung in einen elastischen ε e und plastischen Anteil ε p angenommen mit e p ε ε ε. Weiterhin wird die additive Zerlegung des Verzerrungstensors in einen deviatorischen und einen sphärischen (bzw. volumetrischen) Anteil betrachtet mit sph dev sph 1 dev 1 ε ε ε ; ε tr ε I ; ε ε trε I. (6.57) 3 3 6.3.1.2 Konstitutive Gleichungen K1) Kinematik: e p ε ε ε (6.58) K2) Interne Variablen: p, ε K3) Freie Energie: e e ( ε, ) ( ε ) ( ) (6.59) K4) Spannung: sph dev p σ 3K ε 2 [ ε ε ] (6.60) K5) Fließbedingung: dev 3 / 2 σ h( ) 0 (6.61) K6) Isotrope Verfestigung: h( ) y H [ y - y ] [1 exp( )] (6.62) 0 0 66

K7) Assoziierte Fließregel: p 3 ε Ν ; Ν σ 2 σ σ dev dev (6.63) K8) Belastungs- / Entlastungsbedingungen: 0 ; 0 ; 0 (6.64) K9) Materialparameter: T κ [K,, y 0, y,, H] (6.65) Bemerkungen: B1: Innerhalb der Identifikationsroutine werden der Elastizitätsmodul E und die Poissonzahl anstelle des Kompressionsmoduls K und des Schubmoduls verwendet. Hierbei gelten die Beziehungen und E 9K [3K ] (6.66) [3K 2 ] [6K 2 ]. (6.67) Bei der 1D Formulierung des Materialmodelles entfällt die Poissonzahl als Materialparameter. B2: Die äquivalente plastische Dehnung entspricht der internen Variablen, für die gilt p = 2 / 3 ε. (6.68) B3: Der in FEMCard Basic verwendete Algorithmus zur numerischen Integration der o.g. Gleichungen basiert auf der Radial-Return Methode (siehe beispielsweise Simo (4)). B4: Das korrespondierende geometrisch nichtlineare Materialmodell für Von Mises Plastizität ist in Abschnitt 6.3.3 dargestellt. 67

6.3.1.3 Materialparametersatz in FEMCard Basic Die Materialparameter und Bezeichnungen in der FEMCard Basic Benutzeroberfläche lauten (siehe Tabelle 25): Tabelle 25: Materialparameter für Von Mises Plastizität mit Materialparametern für isotrope Verfestigungsfunktion ASCII-Bezeichnung Weitere optionale Bez. E Young's modulus PR Poisson's ratio Y_0 initial yield limit Y_inf saturated yield limit Omega exponential hardening modulus H linear hardening modulus Symbole E y 0 y H Nach erfolgter Materialparameterermittlung wird zusätzlich zu den o.g. Materialparametern eine Tabelle mit den äquivalenten plastischen Dehnungen und den zugehörigen Fließspannungen ausgegeben (in pdf- und ASCII-Format, siehe auch Tabelle 26). Tabelle 26: Isotrope Verfestigung für Von Mises Plastizität als Tabellenwerte 'equivalent plastic strain [-]' 'yield stress' 0 Y_0 0.1 68

Bemerkungen: B5: Die mit der Verfestigungsfunktion (6.62) erstellte Tabelle 26 hat einen Wertebereich [0, 0.1] für die äquivalenten plastischen Dehnungen. Der obere Wert von 0.1 10% äquivalenten plastischen Dehnungen wurde aus technischen Gründen gewählt. Der zulässige Bereich der geometrisch linearen Theorie ist hierbei deutlich überschritten. B6: Die Tabellenwerte können nur für den mit Messdaten belegten Bereich der plastischen Verformung gültig sein. Es liegt in der Verantwortung des Benutzers, die Werte der Materialparameter auf Gültigkeit zu prüfen. B7: Die Kriterien E, y 0,y,,H> 0 sowie 0 0.5 und y > y0 werden in FEMCard Basic bei der Startparametereingabe und während der Parameteridentifikation überprüft und ggf. korrigiert. 6.3.1.4 Materialparametersatz in Finite-Elemente-Software Zusammen mit den Materialparametern E (Young s modulus) und PR (Poisson s ratio) lässt sich Tabelle 26 in einer Vielzahl von Finite-Elemente-Softwares zur Simulation von Von Mises Plastizität mit isotroper Verfestigung verwenden. Neben der Eingabe der plastischen Verfestigungskurve über die o.g. Tabellenwerte lässt sich in bestimmten Finite-Elemente-Softwares die plastische Verfestigungskurve ebenfalls über die Verfestigungsfunktion (6.62) angeben. Verwendung der Verfestigungsfunktion (6.62) in der Marc Mentat (2014.2.0) Software: Material Properties: Type: Elastic-Plastic Isotropic Young's modulus E, Poisson's ratio PR Plasticity Properties Yield Criterion: Von Mises Method: Table Hardening Rule: Isotropic Strain Rate Method: Piecew. Lin. Yield Stress: 1 Table: MATERIAL-1 69

Tables MATERIAL-1 Independent Variable V1 Type: eq_plastic_strain Formula: Y_0 + H *v1 + (Y_inf - Y_0)*(1-exp(-Omega*v1)) Hierbei bezeichnen die Symbole E, PR, Y_0, H, Y_inf, Omega die von FEMCard Basic ermittelten Werte entsprechend Tabelle 25. Bemerkung: Die in diesem Unterabschnitt gemachten Angaben zu Materialparameterbezeichnungen und umrechnungen für Finite-Elemente-Softwares sind ohne Gewähr. 70

6.3.2 1D/3D SMALL strain von MISES VISCOPLASTICITY (Cowper-Symonds, nonl. isotr. hardening) PLASTICITY ISOTROPIC VON MISES RATE DEPENDENT COWPER-SYMONDS OVER- STRESS POWER LAW SMALL STRAIN Dieses Materialmodell ist eine Erweiterung der geometrisch linearen ratenunabhängigen Von Mises Plastizität aus Abschnitt 6.3.1, bei der das plastische Verhalten dehnratenabhängig ist. Die Berechnung der viskoplastischen deviatorischen Verzerrungsgeschwindigkeiten erfolgt nach dem Cowper-Symonds Überspannungsmodell dev D pow 3 / 2 σ h( ) 1 pow n (6.69) welches identisch mit dem Perzyna Überspannungsmodell ist (für die Variablenund Materialparameterbezeichnungen siehe die folgenden Unterabschnitte 6.3.2.2 und 6.3.2.3). 6.3.2.1 Geometrisch lineare Theorie Unter Berücksichtigung der geometrisch linearen Theorie ('SMALL strain') berechnet sich das totale Verzerrungsfeld zu 1 T ε 2 Xu Xu (6.70) Mit dem Verschiebungsfeld u. Weiterhin wird eine additive Zerlegung in einen elastischen ε e und plastischen Anteil ε p angenommen mit e p ε ε ε. Weiterhin wird die additive Zerlegung des Verzerrungstensors in einen deviatorischen und einen sphärischen (bzw. volumetrischen) Anteil betrachtet mit sph dev sph 1 dev 1 ε ε ε ; ε tr ε I ; ε ε trε I. (6.71) 3 3 6.3.2.2 Konstitutive Gleichungen K1) Kinematik: e p ε ε ε (6.72) K2) Interne Variablen: p, ε 71

K3) Freie Energie: e e ( ε, ) ( ε ) ( ) (6.73) K4) Spannung: sph dev p σ 3K ε 2 [ ε ε ] (6.74) K5) Statische Fließfunktion: dev 3 / 2 σ h( ) (6.75) K6) Isotrope Verfestigung: h( ) y H [ y - y ] [1 exp( )] (6.76) 0 0 K7) Assoziierte Fließregel bzw. viskoplastische Evolutionsgleichung: p 3 ε Ν ; Ν σ 2 σ σ dev dev (6.77) pow n dev pow 3 / 2 σ D 1 wenn σ, h( ) 0 h( ) 0 wen n σ, h( ) 0 (6.78) K8) Materialparameter: κ [K,, y,,, (6.79) pow pow T 0 y H, D, n ] Bemerkungen: B1: Innerhalb der Identifikationsroutine werden der Elastizitätsmodul E und die Poissonzahl anstelle des Kompressionsmoduls K und des Schubmoduls verwendet. Hierbei gelten die Beziehungen und E 9K [3K ] (6.80) [3K 2 ] [6K 2 ]. (6.81) Bei der 1D Formulierung des Materialmodelles entfällt die Poissonzahl als Materialparameter. 72

B2: Die äquivalente plastische Dehnung entspricht der internen Variablen, für die gilt p = 2 / 3 ε. (6.82) B3: Der in FEMCard Basic verwendete Algorithmus zur numerischen Integration der o.g. Gleichungen basiert auf der Radial-Return Methode (siehe beispielsweise Simo und Hughes (5)). B4: Das korrespondierende geometrisch nichtlineare Materialmodell für dehnratenabhängige Von Mises Plastizität ist in Abschnitt 6.3.4 dargestellt. 6.3.2.3 Materialparametersatz in FEMCard Basic Die Materialparameter und Bezeichnungen in der FEMCard Basic Benutzeroberfläche lauten (siehe Tabelle 27): Tabelle 27: Materialparameter für ratenabhängige Von Mises Plastizität mit Materialparametern für isotrope Verfestigungsfunktion ASCII-Bezeichnung Weitere optionale Bez. Symbole E Young's modulus PR Poisson's ratio Y_0 initial yield limit Y_inf saturated yield limit Omega exponential hardening modulus H linear hardening modulus D_pow power law multiplier n_pow power law exponent E y 0 y H pow D pow n 73

Nach erfolgter Materialparameterermittlung wird zusätzlich zu den o.g. Materialparametern eine Tabelle mit den äquivalenten plastischen Dehnungen und den zugehörigen Fließspannungen ausgegeben (in pdf- und ASCII-Format, siehe auch Tabelle 28). Tabelle 28: Isotrope Verfestigung für Von Mises Plastizität als Tabellenwerte 'equivalent plastic strain [-]' 'yield stress' 0 Y_0 0.1 Bemerkungen: B5: Die mit der Verfestigungsfunktion (6.76) erstellte Tabelle 28 hat einen Wertebereich [0, 0.1] für die äquivalenten plastischen Dehnungen. Der obere Wert von 0.1 10% äquivalenten plastischen Dehnungen wurde aus technischen Gründen gewählt. Der zulässige Bereich der geometrisch linearen Theorie ist hierbei deutlich überschritten. B6: Die Tabellenwerte können nur für den mit Messdaten belegten Bereich der plastischen Verformung gültig sein. Es liegt in der Verantwortung des Benutzers, die Werte der Materialparameter auf Gültigkeit zu prüfen. B7: Die Kriterien E, y 0,y,,H> 0 sowie pow pow D, n 0 sowie 0 0.5 und y > y0 werden in FEMCard Basic bei der Startparametereingabe und während der Parameteridentifikation überprüft und ggf. korrigiert. 74

6.3.2.4 Materialparametersatz in Finite-Elemente-Software Zusammen mit den Materialparametern E (Young s modulus) und PR (Poisson s ratio) lässt sich Tabelle 28 in einer Vielzahl von Finite-Elemente-Softwares zur Simulation von Von Mises Plastizität mit isotroper Verfestigung verwenden. Das Überspannungsmodell, welches die Dehnratenabhängigkeit beschreibt, wird in der folgenden Finite-Elemente-Software folgendermaßen bezeichnet: Abaqus (Version 6.14) Software: Input File Usage: *RATE DEPENDENT, TYPE=POWER LAW Tabelle 29: Materialparameterbezeichnungen in Abaqus CAE Software Symbol FEMCard Basic Bezeichnung in Abaqus CAE Software pow D = Multiplier pow n = Exponent ANSYS (Release 12.0) Software: ANSYS Preprocessor Software: Visco-Plasticity Options: Perzyna Model Tabelle 30: Materialparameterbezeichnungen in ANSYS Preprocessor Software Umrechnung und Symbol FEMCard Basic Bezeichnung in ANSYS Preprocessor Software pow D = Gamma pow 1n = m Neben der Eingabe der plastischen Verfestigungskurve über die o.g. Tabellenwerte lässt sich in bestimmten Finite-Elemente-Softwares die plastische Verfestigungskurve ebenfalls über die Verfestigungsfunktion (6.76) angeben. 75

Im Folgenden wird die Verwendung der von FEMCard Basic ermittelten Parameter in der Marc Mentat (2014.2.0) Software beschrieben. Marc Mentat (2014.2.0) Software: Material Properties: Type: Elastic-Plastic Isotropic Young's modulus E, Poisson's ratio PR Plasticity Properties Yield Criterion: Von Mises Method: Table Hardening Rule: Isotropic Strain Rate Method: Cowper-Symonds (s.a. Tabelle 31) Yield Stress: 1 Table: MATERIAL-1 Tabelle 31: Materialparameterbezeichnungen in Marc Mentat (2014.2.0) Software Umrechnung und Symbol FEMCard Basic Bezeichnung in Marc Mentat Software pow D = Coefficient C pow n = Inverse Exponent P Bei Verwendung der Verfestigungsfunktion (6.76) in der Marc Mentat (2014.2.0) Software gilt: Tables MATERIAL-1 Independent Variable V1 Type: eq_plastic_strain Formula: Y_0 + H *v1 + (Y_inf - Y_0)*(1-exp(-Omega*v1)) Hierbei bezeichnen die Symbole E, PR, Y_0, H, Y_inf, Omega die von FEMCard Basic ermittelten Werte entsprechend Tabelle 27. Bemerkung: Die in diesem Unterabschnitt gemachten Angaben zu Materialparameterbezeichnungen und umrechnungen für Finite-Elemente-Softwares sind ohne Gewähr. 76

6.3.3 LARGE strain von MISES PLASTICITY (nonlinear isotropic hardening), MEAS=true PLASTICITY ISOTROPIC VON MISES RATE INDEPENDENT LARGE STRAIN 6.3.3.1 Kinematik Die grundlegende kinematische Beziehung bei diesem Materialmodell für finite Plastizität ist die multiplikative Zerlegung des Deformationsgradientens in einen elastischen und einen plastischen Anteil mit (siehe Simo (4)) F F F. (6.83) e p Sich hieraus ergebende Verzerrungsmaße sind beispielsweise der elastische linke Cauchy-Green-Tensor b F F (6.84) T e e e sowie der inverse plastische rechte Cauchy-Green-Tensor C F F F b F. (6.85) -1-1 -T -1 -T p p p e Bei der Von Mises Plastizitätstheorie ist die plastische Deformation isochor, hieraus folgt Jp det F p 1 und somit gilt J Je. Die Lie-Ableitung des elastischen linken Cauchy-Green-Tensors lautet -1 -T T -1 T L v( be ) F t F be F F F tcp F. (6.86) Bemerkung: Für die in Gleichung (6.86) dargestellte Lie-Ableitung wird die Pullback-Operation von b e zu der Referenzkonfiguration berechnet, welches ergibt, worauf die materielle Zeitableitung angewendet wird und das Ergebnis mittels Push-forward in die Momentankonfiguration abgebildet wird. Der isochore elastischen linken Cauchy-Green-Tensor ist (siehe auch Gleichung (3.7)) J 2/3, J det e e -1 C p b b F. (6.87) 6.3.3.2 Zusammenfassung der konstitutiven Gleichungen K1) Kinematik: F F F (6.88) e p K2) Interne Variablen:,be 77

K3) Freie Energie: ( b, ) ( b ) ( ) (6.89) e e K4) Spannung: a) Kirchhoff-Spannungen dev 1 ττ τ I b e K J (6.90) 3 : ln ln b) (Wahre) Cauchy-Spannungen K5) Fließbedingung: σ τ (6.91) J true 1 dev 3 / 2 τ h( ) 0 (6.92) K6) Isotrope Verfestigung: K7) Assoziierte Fließregel: h( ) J y H [ y - y ] [1 ex p( )] (6.93) 0 0 1 3 2 L( τ τ 2 τ dev -1 v be ) be Ν ; Ν dev (6.94) K8) Belastungs- / Entlastungsbedingungen: 0 ; 0 ; 0 (6.95) K9) Materialparameter: T κ [K,, y 0, y,, H] (6.96) Bemerkungen: B1: Innerhalb der Identifikationsroutine werden der Elastizitätsmodul E und die Poissonzahl anstelle des Kompressionsmoduls K und des Schubmoduls verwendet. Hierbei gelten die Beziehungen und E 9K [3K ] (6.97) 78

[3K 2 ] [6K 2 ]. (6.98) B2: Die interne Variable entspricht der äquivalenten logarithmischen plastischen Dehnung. B3: Der in FEMCard Basic verwendete Algorithmus zur numerischen Integration der o.g. Gleichungen basiert auf der Radial-Return Methode (siehe beispielsweise Simo (4)). B4: Das korrespondierende geometrisch lineare Materialmodell für Von Mises Plastizität ist in Abschnitt 6.3.1 dargestellt. 6.3.3.3 Materialparametersatz in FEMCard Basic Die Materialparameter und Bezeichnungen in der FEMCard Basic Benutzeroberfläche lauten (siehe Tabelle 32): Tabelle 32: Materialparameter für Von Mises Plastizität mit Materialparametern für isotrope Verfestigungsfunktion ASCII-Bezeichnung Weitere optionale Bez. Symbole E Young's modulus PR Poisson's ratio Y_0 initial yield limit Y_inf saturated yield limit Omega exponential hardening modulus H linear hardening modulus E y 0 y H Nach erfolgter Materialparameterermittlung wird zusätzlich zu den o.g. Materialparametern eine Tabelle mit den äquivalenten logarithmischen plastischen Dehnungen und den zugehörigen wahren Fließspannungen ausgegeben (in pdf- und ASCII-Format, siehe auch Tabelle 33). 79

Tabelle 33: Isotrope Verfestigung für Large Strain Von Mises Plastizität als Tabellenwerte 'equivalent logarithmic plastic strain [-]' 'true yield stress' 0 Y_0 2 Bemerkungen: B5: Die mit der Verfestigungsfunktion (6.93) erstellte Tabelle 33 hat einen Wertebereich [0, 2] für die äquivalenten logarithmischen plastischen Dehnungen. Der obere Wert von 2 für die äquivalenten logarithmischen plastischen Dehnungen wurde aus technischen Gründen gewählt. B6: Die Tabellenwerte können nur für den mit Messdaten belegten Bereich der plastischen Verformung gültig sein. Es liegt in der Verantwortung des Benutzers, die Werte der Materialparameter auf Gültigkeit zu prüfen. B7: Die Kriterien E, y 0,y,,H> 0 sowie 0 0.5 und y > y0 werden in FEMCard Basic bei der Startparametereingabe und während der Parameteridentifikation überprüft und ggf. korrigiert. 6.3.3.4 Materialparametersatz in Finite-Elemente-Software Zusammen mit den Materialparametern E (Young s modulus) und PR (Poisson s ratio) lässt sich Tabelle 33 in einer Vielzahl von Finite-Elemente-Softwares zur Simulation von Von Mises Plastizität mit isotroper Verfestigung verwenden. Neben der Eingabe der plastischen Verfestigungskurve über die o.g. Tabellenwerte lässt sich in bestimmten Finite-Elemente-Softwares die plastische Verfestigungskurve ebenfalls über die Verfestigungsfunktion (6.62) angeben. 80

Verwendung der Verfestigungsfunktion (6.62) in der Marc Mentat (2014.2.0) Software: Material Properties: Type: Elastic-Plastic Isotropic Young's modulus E, Poisson's ratio PR Plasticity Properties Tables MATERIAL-1 Yield Criterion: Von Mises Method: Table Hardening Rule: Isotropic Strain Rate Method: Piecew. Lin. Yield Stress: 1 Table: MATERIAL-1 Independent Variable V1 Type: eq_plastic_strain Formula: Y_0 + H *v1 + (Y_inf - Y_0)*(1-exp(-Omega*v1)) Hierbei bezeichnen die Symbole E, PR, Y_0, H, Y_inf, Omega die von FEMCard Basic ermittelten Werte entsprechend Tabelle 32. Bemerkung: Die in diesem Unterabschnitt gemachten Angaben zu Materialparameterbezeichnungen und umrechnungen für Finite-Elemente-Softwares sind ohne Gewähr. 81

6.3.4 LARGE strain von MISES VISCOPLASTICITY (Cowper-Symonds, nonl. isotr. hardening), MEAS=true PLASTICITY ISOTROPIC VON MISES RATE DEPENDENT COWPER-SYMONDS OVER- STRESS POWER LAW LARGE STRAIN Dieses Materialmodell ist eine Erweiterung der geometrisch nichtlinearen ratenunabhängigen Von Mises Plastizität aus Abschnitt 6.3.3, bei der das plastische Verhalten dehnratenabhängig ist. Die Berechnung der viskoplastischen deviatorischen Verzerrungsgeschwindigkeiten erfolgt nach dem Cowper-Symonds Überspannungsmodell dev D pow 3 / 2 σ h( ) 1 pow n (6.99) welches identisch mit dem Perzyna Überspannungsmodell ist (für die Variablenund Materialparameterbezeichnungen siehe die folgenden Unterabschnitte 6.3.4.1 und 6.3.4.2). 6.3.4.1 Kinematik Die grundlegende kinematische Beziehung bei diesem Materialmodell für finite Plastizität ist die multiplikative Zerlegung des Deformationsgradientens in einen elastischen und einen plastischen Anteil mit (siehe Simo (4)) F F F. (6.100) e p Sich hieraus ergebende Verzerrungsmaße sind beispielsweise der elastische linke Cauchy-Green-Tensor b F F (6.101) T e e e sowie der inverse plastische rechte Cauchy-Green-Tensor C F F F b F. (6.102) -1-1 -T -1 -T p p p e Bei der Von Mises Plastizitätstheorie ist die plastische Deformation isochor, hieraus folgt Jp det F p 1 und somit gilt J Je. Die Lie-Ableitung des elastischen linken Cauchy-Green-Tensors lautet -1 -T T -1 T L v( be ) F t F be F F F tcp F. (6.103) 82

Bemerkung: Für die in Gleichung (6.103) dargestellte Lie-Ableitung wird die Pullback-Operation von b e zu der Referenzkonfiguration berechnet, welches ergibt, worauf die materielle Zeitableitung angewendet wird und das Ergebnis mittels Push-forward in die Momentankonfiguration abgebildet wird. Der isochore elastischen linken Cauchy-Green-Tensor ist (siehe auch Gleichung (3.7)) J 2/3, J det e e -1 C p b b F. (6.104) 6.3.4.2 Zusammenfassung der konstitutiven Gleichungen K1) Kinematik: F F F (6.105) e p K2) Interne Variablen:,be K3) Freie Energie: ( b, ) ( b ) ( ) (6.106) e e K4) Spannung: a) Kirchhoff-Spannungen dev 1 ττ τ I b e K J (6.107) 3 : ln ln b) (Wahre) Cauchy-Spannungen K5) Statische Fließfunktion: σ τ (6.108) J true 1 dev 3 / 2 τ h( ) (6.109) K6) Isotrope Verfestigung: h( ) J y H [ y - y ] [1 ex p( )] (6.110) 0 0 83

K7) Assoziierte Fließregel bzw. viskoplastische Evolutionsgleichung: 1 3 2 L( τ τ 2 τ dev -1 v be ) be Ν ; Ν dev (6.111) pow n dev pow 3 / 2 τ D 1 wenn τ, h( ) 0 h( ) 0 wen n τ, h( ) 0 (6.112) K8) Materialparameter: κ [K,, y,,, (6.113) pow pow T 0 y H, D, n ] Bemerkungen: B1: Innerhalb der Identifikationsroutine werden der Elastizitätsmodul E und die Poissonzahl anstelle des Kompressionsmoduls K und des Schubmoduls verwendet. Hierbei gelten die Beziehungen und E 9K [3K ] (6.114) [3K 2 ] [6K 2 ]. (6.115) B2: Die interne Variable entspricht der äquivalenten logarithmischen plastischen Dehnung. B3: Der in FEMCard Basic verwendete Algorithmus zur numerischen Integration der o.g. Gleichungen basiert auf der Radial-Return Methode (siehe beispielsweise Simo und Hughes (5)). B4: Das korrespondierende geometrisch lineare Materialmodell für Von Mises Plastizität ist in Abschnitt 6.3.2 dargestellt. 84

6.3.4.3 Materialparametersatz in FEMCard Basic Die Materialparameter und Bezeichnungen in der FEMCard Basic Benutzeroberfläche lauten (siehe Tabelle 34): Tabelle 34: Materialparameter für ratenabhängige Von Mises Plastizität mit Materialparametern für isotrope Verfestigungsfunktion ASCII-Bezeichnung Weitere optionale Bez. E Young's modulus PR Poisson's ratio Y_0 initial yield limit Y_inf saturated yield limit Omega exponential hardening modulus H linear hardening modulus D_pow power law multiplier n_pow power law exponent Symbole E y 0 y H pow D pow n Nach erfolgter Materialparameterermittlung wird zusätzlich zu den o.g. Materialparametern eine Tabelle mit den äquivalenten logarithmischen plastischen Dehnungen und den zugehörigen wahren Fließspannungen ausgegeben (in pdf- und ASCII-Format, siehe auch Tabelle 35). Tabelle 35: Isotrope Verfestigung für Large Strain Von Mises Plastizität als Tabellenwerte 'equivalent logarithmic plastic strain [-]' 'true yield stress' 0 Y_0 2 85

Bemerkungen: B1: Die mit der Verfestigungsfunktion (6.110) erstellte Tabelle 35 hat einen Wertebereich [0, 2] für die äquivalenten logarithmischen plastischen Dehnungen. Der obere Wert von 2 für die äquivalenten logarithmischen plastischen Dehnungen wurde aus technischen Gründen gewählt. B2: Die Tabellenwerte können nur für den mit Messdaten belegten Bereich der plastischen Verformung gültig sein. Es liegt in der Verantwortung des Benutzers, die Werte der Materialparameter auf Gültigkeit zu prüfen. B3: Die Kriterien E, y 0,y,,H> 0 sowie pow pow D, n 0 sowie 0 0.5 und y > y0 werden in FEMCard Basic bei der Startparametereingabe und während der Parameteridentifikation überprüft und ggf. korrigiert. 6.3.4.4 Materialparametersatz in Finite-Elemente-Software Zusammen mit den Materialparametern E (Young s modulus) und PR (Poisson s ratio) lässt sich Tabelle 35 in einer Vielzahl von Finite-Elemente-Softwares zur Simulation von Von Mises Plastizität mit isotroper Verfestigung verwenden. Das Überspannungsmodell, welches die Dehnratenabhängigkeit beschreibt, wird in der folgenden Finite-Elemente-Software folgendermaßen bezeichnet: Abaqus (Version 6.14) Software: Input File Usage: *RATE DEPENDENT, TYPE=POWER LAW Tabelle 36: Materialparameterbezeichnungen in Abaqus CAE Software Symbol FEMCard Basic Bezeichnung in Abaqus CAE Software pow D = Multiplier pow n = Exponent 86

ANSYS (Release 12.0) Software: ANSYS Preprocessor Software: Visco-Plasticity Options: Perzyna Model Tabelle 37: Materialparameterbezeichnungen in ANSYS Preprocessor Software Umrechnung und Symbol FEMCard Basic Bezeichnung in ANSYS Preprocessor Software pow D = Gamma pow 1n = m Neben der Eingabe der plastischen Verfestigungskurve über die o.g. Tabellenwerte lässt sich in bestimmten Finite-Elemente-Softwares die plastische Verfestigungskurve ebenfalls über die Verfestigungsfunktion (6.110) angeben. Im Folgenden wird die Verwendung der von FEMCard Basic ermittelten Parameter in der Marc Mentat (2014.2.0) Software beschrieben. Marc Mentat (2014.2.0) Software: Material Properties: Type: Elastic-Plastic Isotropic Young's modulus E, Poisson's ratio PR Plasticity Properties Yield Criterion: Von Mises Method: Table Hardening Rule: Isotropic Strain Rate Method: Cowper-Symonds (s.a. Tabelle 38) Yield Stress: 1 Table: MATERIAL-1 Tabelle 38: Materialparameterbezeichnungen in Marc Mentat (2014.2.0) Software Umrechnung und Symbol FEMCard Basic Bezeichnung in Marc Mentat Software pow D = Coefficient C pow n = Inverse Exponent P 87

Bei Verwendung der Verfestigungsfunktion (6.110) in der Marc Mentat (2014.2.0) Software gilt: Tables MATERIAL-1 Independent Variable V1 Type: eq_plastic_strain Formula: Y_0 + H *v1 + (Y_inf - Y_0)*(1-exp(-Omega*v1)) Hierbei bezeichnen die Symbole E, PR, Y_0, H, Y_inf, Omega die von FEMCard Basic ermittelten Werte entsprechend Tabelle 34. Bemerkung: Die in diesem Unterabschnitt gemachten Angaben zu Materialparameterbezeichnungen und umrechnungen für Finite-Elemente-Softwares sind ohne Gewähr. 88

6.4 Ramberg-Osgood (Deformation Plasticity) Das Ramberg-Osgood Materialmodell wird auch als deformation plasticity Materialmodell bezeichnet. Es soll hier jedoch darauf hingewiesen werden, dass dieses Materialmodell nichtlinear elastisches Verhalten beschreibt und somit keine Fließbedingung vorliegt. Die nichtlinearen Verzerrungsanteile treten bei beliebig kleinen Spannungen auf und sind gegeben durch inkompressibles assoziiertes plastisches Fließen senkrecht zu der von Mises Fließfläche. 6.4.1 1D SMALL strain deformation plasticity (rate independent RAM- BERG-OSGOOD) DEFORMATION PLASTICITY SMALL STRAIN 1D Die 1D Formulierung des nichtlinear elastischen Ramberg-Osgood Materials lautet nro 1 α ro E E σ 0 (6.116) mit dem Materialparametersatz κ [E, σ,α,n ] (6.117) T 0 ro ro 6.4.2 3D SMALL strain deformation plasticity (rate independent RAM- BERG-OSGOOD) DEFORMATION PLASTICITY SMALL STRAIN 3D 6.4.2.1 Geometrisch lineare Theorie Unter Berücksichtigung der geometrisch linearen Theorie ('SMALL strain') berechnet sich das totale Verzerrungsfeld zu 1 T ε 2 Xu Xu (6.118) mit dem Verschiebungsfeld u. Weiterhin wird die additive Zerlegung des Verzerrungstensors in einen deviatorischen und einen sphärischen (bzw. volumetrischen) Anteil betrachtet mit sph dev sph 1 dev 1 ε ε ε ; ε tr ε I ; ε ε trε I. (6.119) 3 3 89

6.4.2.2 Dreidimensionale Verallgemeinerung des Ramberg-Osgood-Gesetzes Die dreidimensionale Verallgemeinerung der Gleichung (6.116) erfolgt über ein lineares St. Venant-Kirchhoff Material für den linearen Anteil sph 12 1 ε σ I I (6.120) E 3 lin : 1 E dev l in dev ε σ (6.121) und die dreidimensionale Verallgemeinerung des nichtlinearen plastischen Anteils ε dev nlin 3 α ro 2 E 32 σ σ 0 dev nro 1 σ dev (6.122) Das plastische Fließen ist inkompressibel und somit gilt ε 0. Für die Dehnungen folgt mit sph lin dev lin dev nlin sph nl in ε ε ε ε (6.123) nro 1 dev 1 2 1 1 dev 3 α 32 σ ro dev ε σ : I I σ σ E 3 E 2 E σ0. (6.124) Der Materialparametersatz lautet somit κ [E,, σ,α, n ]. (6.125) T 0 ro ro 90

6.4.2.3 Materialparametersatz in FEMCard Basic Die Materialparameter und Bezeichnungen in der FEMCard Basic Benutzeroberfläche lauten (siehe Tabelle 39): Tabelle 39: Materialparameter für Ramberg-Osgood (Deformation Plasticity) ASCII-Bezeichnung Weitere optionale Bez. Symbole E Young's modulus PR Poisson's ratio sig_0 yield stress alpha_ro yield offset n_ro hardening exponent E σ 0 α ro n ro Bemerkung: Die Kriterien E, σ, 0 αro >0 sowie 0 0.5 und n ro >1 werden in FEMCard Basic bei der Startparametereingabe und während der Parameteridentifikation überprüft und ggf. korrigiert. 91

6.4.2.1 Materialparametersatz in Finite-Elemente-Software Die Materialparameter für das Ramberg-Osgood Materialmodell lassen sich in einer Vielzahl von Anwendungen verwenden. Diese Materialmodell wird in der Abaqus (Version 6.14) Software als Deformation Plasticity bezeichnet: Abaqus (Version 6.14) Software: Input File Usage: *DEFORMATION PLASTICITY Tabelle 40: Materialparameterbezeichnungen in Abaqus CAE Software Symbol FEMCard Basic Bezeichnung in Abaqus CAE Software E = Young's modulus = Poisson's ratio σ = Yield Stress 0 α = Yield Offset ro n = Exponent ro Bemerkung: Die in diesem Unterabschnitt gemachten Angaben zu Materialparameterbezeichnungen und umrechnungen für Finite-Elemente-Softwares sind ohne Gewähr. 92

6.5 Hill- (Visko-) Plastizität 6.5.1 Namenskonvention Die Beschreibung der in FEMCard Basic enthaltenen Materialmodelle für Hill- (Visko-) Plastizität in Unterkapitel 6.5 ist jeweils abschnittsweise abhängig von in der Baumansicht enthaltenen Bezeichnungen. Die in FEMCard Basic implementierten Materialmodelle für Hill-(Visko-) Plastizität sind (jeweils analoge Bezeichnungen bei Materialmodellen mit rotational symmetry: Y bzw. rotational symmetry: Z ): PLASTICITY TRANSVERSELY ISOTROPIC HILL (RIJ) RATE INDEPENDENT SMALL STRAIN ROTATIONAL SYMMETRY: X LARGE STRAIN WITH TRANSVERSELY ISOTROPIC ELASTICITY SMALL strain transv. isotr. HILL (Rij) PLASTICITY (nonl. isotr. hardg.), rotat. symm: X, (w. transv. isotr. Elasticity) WITH ISOTROPIC ELASTICITY SMALL strain transv. isotr. HILL (Rij) PLASTICITY (nonl. isotr. hardg.), rotat. symm: X, (w. isotr. Elasticity) ROTATIONAL SYMMETRY: X UNIAX/BIAX: MEAS=TRUE, SHEAR: MEAS=ENGR. WITH TRANSVERSELY ISOTROPIC ELASTICITY LARGE strain transv. isotr. HILL (Rij) PLASTICITY (nonl. isotr. hardg.), rotat. symm: X, (w. transv. isotr. Elasticity); Uniax/Biax: MEAS=true, Shear: Meas=engr. WITH ISOTROPIC ELASTICITY LARGE strain transv. isotr. HILL (Rij) PLASTICITY (nonl. isotr. hardg.), rotat. symm: X, (w. isotr. Elasticity); Uniax/Biax: MEAS=true, Shear: Meas=engr. 93

RATE DEPENDENT COWPER-SYMONDS OVERSTRESS POWER LAW SMALL STRAIN ROTATIONAL SYMMETRY: X LARGE STRAIN WITH TRANSVERSELY ISOTROPIC ELASTICITY SMALL strain transv. isotr. HILL (Rij) VISCOPLASTI. (Cowper-Symonds, nonl. isotr. hardg.), rotat. symm: X, (w. transv. isotr. Elasticity) WITH ISOTROPIC ELASTICITY SMALL strain transv. isotr. HILL (Rij) VISCOPLASTI. (Cowper-Symonds, nonl. isotr. hardg.), rotat. symm: X, (w. isotr. Elasticity) ROTATIONAL SYMMETRY: X UNIAX/BIAX: MEAS=TRUE, SHEAR: MEAS=ENGR. WITH TRANSVERSELY ISOTROPIC ELASTICITY LARGE strain transv. isotr. HILL (Rij) VISCOPLASTI. (Cowper-Symonds, nonl. isotr. hardg.), rotat. symm: X, (w. transv. isotr. Elasticity); Uniax/Biax: MEAS=true, Shear: Meas=engr. WITH ISOTROPIC ELASTICITY LARGE strain transv. isotr. HILL (Rij) VISCOPLASTI. (Cowper-Symonds, nonl. isotr. hardg.), rotat. symm: X, (w. isotr. Elasticity); Uniax/Biax: MEAS=true, Shear: Meas=engr. ORTHOTROPIC HILL (RIJ) RATE INDEPENDENT SMALL STRAIN WITH ORTHOTROPIC ELASTICITY SMALL strain orthotropic HILL (Rij) PLASTICITY (nonl. isotr. hardg.), (w. orthotropic Elasticity) 94

WITH ISOTROPIC ELASTICITY SMALL strain orthotropic HILL (Rij) PLASTICITY (nonl. isotr. hardg.), (w. isotr. Elasticity) LARGE STRAIN UNIAX/BIAX: MEAS=TRUE, SHEAR: MEAS=ENGR. WITH ORTHOTROPIC ELASTICITY LARGE strain orthotropic HILL (Rij) PLASTICITY (nonl. isotr. hardg.), (w. orthotropic Elasticity); Uniax/Biax: MEAS=true, Shear: Meas=engr. WITH ISOTROPIC ELASTICITY LARGE strain orthotropic HILL (Rij) PLASTICITY (nonl. isotr. hardg.), (w. isotr. Elasticity); Uniax/Biax: MEAS=true, Shear: Meas=engr. RATE DEPENDENT COWPER-SYMONDS OVERSTRESS POWER LAW SMALL STRAIN WITH ORTHOTROPIC ELASTICITY SMALL strain orthotropic HILL (Rij) VISCOPLASTI. (Cowper- Symonds, nonl. isotr. hardg.), (w. orthotropic Elasticity) WITH ISOTROPIC ELASTICITY SMALL strain orthotropic HILL (Rij) VISCOPLASTI. (Cowper- Symonds, nonl. isotr. hardg.), (w. isotr. Elasticity) LARGE STRAIN UNIAX/BIAX: MEAS=TRUE, SHEAR: MEAS=ENGR. WITH ORTHOTROPIC ELASTICITY LARGE strain orthotropic HILL (Rij) VISCOPLASTI. (Cowper- Symonds, nonl. isotr. hardg.), (w. orthotropic Elasticity); Uniax/Biax: MEAS=true, Shear: Meas=engr. WITH ISOTROPIC ELASTICITY LARGE strain orthotropic HILL (Rij) VISCOPLASTI. (Cowper- Symonds, nonl. isotr. hardg.), (w. isotr. Elasticity); Uniax/Biax: MEAS=true, Shear: Meas=engr. 95

6.5.2 Small strain Hill (Visco-)plasticity HILL (RIJ) SMALL STRAIN 6.5.2.1 Geometrisch lineare Theorie Unter Berücksichtigung der geometrisch linearen Theorie ('SMALL strain') berechnet sich das totale Verzerrungsfeld zu 1 T ε 2 Xu Xu (6.126) Mit dem Verschiebungsfeld u. Weiterhin wird eine additive Zerlegung in einen elastischen ε e und plastischen Anteil ε p angenommen mit e p ε ε ε. 6.5.2.2 Quadratische Hill-Fließfunktion Die quadratische Hill-Fließfunktion (1948, siehe Hill (6)) ist eine orthotrope Erweiterung der von Mises Fließfunktion. Orthotrope Materialien besitzen eine Materialsymmetrie bzgl. drei senkrecht aufeinander stehenden Ebenen. Für den Fall, dass die Achsen des xyz-koordinatensystems mit den drei Achsen der Material- Orthotropie übereinstimmen lautet die Hill-Fließfunktion 2 2 2 2 2 2 yy zz zz yy 2 yz 2 zx 2 xy F G H L M N h. (6.127) Die Materialparameter F, G, H, L, M, N aus der o.g. Darstellung der Hill-Fließfunktion lassen sich in dimensionslose Materialparameter R, Ryy, Rzz, Rxy, R yz, R xz überführen mit 2 F 1 1 1 1 1 1 1 h 2 2 2 2 2 2 2 ˆ ˆ ˆ yy zz 2 R yy R zz R (6.128) 2 G 1 1 1 1 1 1 1 h 2 2 2 2 2 2 2 ˆ ˆ ˆ zz yy 2 Rzz R R yy (6.129) 2 H 1 1 1 1 1 1 1 h 2 2 2 2 2 2 2 ˆ ˆ ˆ yy zz 2 R R yy Rz z (6.130) 2 h 3 L (6.131) 2 ˆ 2R 2 2 yz yz 2 h 3 M (6.132) 2 ˆ 2R 2 2 xz xz 96

2 h 3 N (6.133) 2 ˆ 2R 2 2 xy xy Hierbei ist h die Referenzfließspannung, welche für dieses Materialmodell in Gleichung (6.145) über die Funktion für die isotrope Verfestigung definiert werden wird. Weiterhin entsprechen ˆ, ˆ ˆ yy, zz den jeweiligen uniaxialen Fließspannungen in die Richtungen x, y und z, während ˆ xy, ˆ ˆ xz, yz den jeweiligen Fließspannungen bei reinem Schub entlang den entsprechenden Ebenen orthogonal zu den Hauptrichtungen der Orthotropie entsprechen. Die dimensionslosen Materialparameter sind somit folgendermaßen definiert ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ R R R R, h h h h h h yy zz xy yz xz, yy, zz, xy, Ryz Rxz. (6.134) Wird für die Tensoren die Voigtsche Notation verwendet, so dass beispielsweise für die Spannungen σ yy zz xy xz yz gilt, kann weiterhin die Matrix Q definiert werden mit (siehe De Borst und Feenstra (7)) G H -H -G 0 0 0 -H F H -F 0 0 0 2 -G -F F G 0 0 0 Q (6.135) 3 0 0 0 2 N 0 0 0 0 0 0 2 L 0 0 0 0 0 0 2M und eine zu Gleichung (6.127) äquivalente Darstellung für die Hill-Fließfunktion kann dargestellt werden mit T 3 2 T σ Qσ h. (6.136) Bemerkung: Für Werte R R yy Rzz Rxy R yz Rxz 1 entspricht die Hill-Fließfunktion der von Mises Fließfunktion. Die Hill-Fließfunktion ist wie die von Mises Fließfunktion nicht abhängig vom hydrostatischen Druck. 97

6.5.2.3 Konvexität der Hill-Fließfläche Im Gegensatz zur von Mises Fließfunktion ist die Hill-Fließfunktion für bestimmte Kombinationen von Parametern R, R yy,r zz (bzw. F, G, H ) in Verbindung mit bestimmten Spannungszuständen nicht definiert, bzw. die zugehörige Fließfläche ist nicht konvex. Für konvexe Fließflächen muss die Matrix Q positiv semi-definit sein. Gilt R, Ryy, Rzz, Rxy, Ryz, Rxz >0, muss somit gelten F G H F F G G F H G H H 2 2 2 0. (6.137) FEMCard Basic führt keine Untersuchung der identifizierten Materialparametersätze R, R yy,r zz auf Einhaltung der in Gleichung (6.137) genannten Bedingung aus. Es liegt in der Verantwortung des Benutzers, zu überprüfen, ob die ermittelten Parameter für die in den Berechnungen jeweils vorliegenden Spannungszustände zulässig sind. 6.5.2.4 Zusammenfassung der konstitutiven Gleichungen K1) Kinematik: e p ε ε ε (6.138) K2) Interne Variablen: p, ε K3) Freie Energie: e e ( ε, ) ( ε ) ( ) (6.139) K4) Spannung: e σdε (6.140) Elastizitätsgesetz, zugehöriger Teil-Materialparametersatz und Kriterien/Abfragen für die zugehörige Materialstabilität: a. ORTHOTROPIC WITH ORTHOTROPIC ELASTICITY Siehe SMALL strain orthotropic ELASTICITY (s. Abschnitt 6.1.2) b. TRANSVERSELY ISOTROPIC ROTATIONAL SYMMETRY: X WITH TRANSVERSELY ISOTROPIC ELASTICITY Siehe SMALL strain transversely isotropic ELASTICITY, rotat. symm.: X (s. Abschnitt 6.1.3) c. TRANSVERSELY ISOTROPIC ROTATIONAL SYMMETRY: Y WITH TRANSVERSELY ISOTROPIC ELASTICITY 98

Siehe SMALL strain transversely isotropic ELASTICITY, rotat. symm.: Y (s. Abschnitt 6.1.4) d. TRANSVERSELY ISOTROPIC ROTATIONAL SYMMETRY: Z WITH TRANSVERSELY ISOTROPIC ELASTICITY Siehe SMALL strain transversely isotropic ELASTICITY, rotat. symm.: Z (s. Abschnitt 6.1.5) e. WITH ISOTROPIC ELASTICITY Siehe 3D SMALL strain ELASTICITY (s. Abschnitt 6.1.1) K5) Statische Fließfunktion: 3 2 T σ Qσ h( ) (6.141) Die Kriterien R, Ryy, Rzz, Rxy, Ryz, Rxz >0 für den Teilparametersatz, welcher zur Definition der Matrix Q benötigt wird, werden in FEMCard Basic bei der Startparametereingabe und während der Parameteridentifikation überprüft und ggf. korrigiert. Es findet für die statische Fließfunktion in FEMCard Basic keine weitere Stabilitätsuntersuchung statt (siehe hierzu auch Unterabschnitt 6.5.2.3). Für die transversal isotropen Hill-Materialmodelle gelten folgende Abhängigkeiten: a. TRANSVERSELY ISOTROPIC ROTATIONAL SYMMETRY: X 3 R =R ; R =R ; R = (6.142) 4 R 1 zz yy xz xy yz 2 yy b. TRANSVERSELY ISOTROPIC ROTATIONAL SYMMETRY: Y 3 R =R ; R =R ; R = (6.143) 4 R 1 zz yz xy xz 2 c. TRANSVERSELY ISOTROPIC ROTATIONAL SYMMETRY: Z 3 R =R ; R =R ; R = (6.144) 4 R 1 yy yz xz xy 2 K6) Isotrope Verfestigung: h( ) y H [ y - y ] [1 exp( )] (6.145) 0 0 99

Die Kriterien y 0,y,,H>0 sowie y > y0 für den zur isotropen Verfestigungsfunktion zugehörigen Teilparametersatz werden in FEMCard Basic bei der Startparametereingabe und während der Parameteridentifikation überprüft und ggf. korrigiert. K7) Assoziierte Fließregel: p 3 Qσ ε Ν ; Ν (6.146) σ 2 T σ Qσ Evolutionsgleichung für interne Variable : a.... RATE INDEPENDENT 0 ; 0 b.... RATE DEPENDENT COWPER-SYMONDS OVERSTRESS POWER LAW D 1 pow h( ) 2 T 3 0 pow n Qσ 1 wenn σ, h( ) 0 σ Qσ wenn σ, h( ) 0 (6.147) Bemerkungen: Die Berechnung der viskoplastischen deviatorischen Verzerrungsgeschwindigkeiten erfolgt nach dem Cowper-Symonds Überspannungsmodell welches identisch mit dem Perzyna Überspannungsmodell ist. Die Kriterien 100 D pow pow, n 0 für den zur Überspannungsfunktion zugehörigen Teilparametersatz werden in FEMCard Basic bei der Startparametereingabe und während der Parameteridentifikation überprüft und ggf. korrigiert. B1: Die äquivalente plastische Dehnung entspricht der internen Variablen, für die gilt p = 2 / 3 ε. (6.148) B2: Der in FEMCard Basic verwendete Algorithmus zur numerischen Integration der o.g. Gleichungen basiert auf der Radial-Return Methode. Für den Return-Mapping Algorithmus für die statische Fließfunktion (Gleichung (6.141)) siehe De Borst und Feenstra (7). Für die Radial-Return Methode bei Viskoplastizität allgemein siehe beispielsweise Simo (4)).

K8) Materialparameter: Für das Beispiel von ORTHOTROPIC... RATE DEPENDENT COWPER- SYMONDS OVERSTRESS POWER LAW WITH ORTHOTROPIC ELASTICITY lautet der Materialparametersatz: κ [E,E,E,,,,G,G,G,,,,,,, x y z xy xz yz pow pow T xy xz yz R Ryy Rzz Rx y Rxz R yz y 0, y,,h, D, n ] (6.149) 6.5.2.5 Materialmodelle und Materialparametersätze Für das Beispiel von ORTHOTROPIC... RATE DEPENDENT COWPER-SYMONDS OVERSTRESS POWER LAW WITH ORTHOTROPIC ELASTICITY lauten die Materialparameter und Bezeichnungen in der FEMCard Basic Benutzeroberfläche (siehe Tabelle 41): Tabelle 41: Materialparameter für Orthotrope Hill Viskoplastizität mit Materialparametern für isotrope Verfestigungsfunktion ASCII-Bezeichnung Weitere optionale Bez. Symbole E_x Young's modulus along axis X E_y Young's modulus along axis Y E_z Young's modulus along axis Z nu_xy Poisson's ratio nu_xy nu_xz Poisson's ratio nu_xz nu_yz Poisson's ratio nu_yz G_xy shear modulus G_xy G_xz shear modulus G_xz G_yz shear modulus G_yz R_ E x E y E z xy xz yz G xy G xz G yz R 101

R_yy R yy R_zz R zz R_xy R xy R_xz R xz R_yz R yz Y_0 initial yield limit Y_inf saturated yield limit Omega exponential hardening modulus H linear hardening modulus D_pow power law multiplier n_pow power law exponent y 0 y H pow D pow n Nach erfolgter Materialparameterermittlung wird zusätzlich zu den o.g. Materialparametern eine Tabelle mit den äquivalenten plastischen Dehnungen und den zugehörigen Fließspannungen ausgegeben (in pdf- und ASCII-Format, siehe auch Tabelle 42). Tabelle 42: Isotrope Verfestigung für Hill Plastizität als Tabellenwerte 'equivalent plastic strain [-]' 'yield stress' 0 Y_0 0.1 102

Bemerkungen: B1: Die mit der Verfestigungsfunktion (6.145) erstellte Tabelle 42 hat einen Wertebereich [0, 0.1] für die äquivalenten plastischen Dehnungen. Der obere Wert von 0.1 10% äquivalenten plastischen Dehnungen wurde aus technischen Gründen gewählt. Der zulässige Bereich der geometrisch linearen Theorie ist hierbei deutlich überschritten. B2: Die Tabellenwerte können nur für den mit Messdaten belegten Bereich der plastischen Verformung gültig sein. Es liegt in der Verantwortung des Benutzers, die Werte der Materialparameter auf Gültigkeit zu prüfen. 6.5.2.6 Materialparametersatz in Finite-Elemente-Software Zusammen mit den Elastizitätskonstanten E, bzw. E x,e y,e z, xy, xz, yz,g xy,g xz,gyz und Tabelle 42 lassen sich die Konstanten R, Ryy, Rzz, Rxy, R xz, R yz in einer Vielzahl von Finite-Elemente-Softwares zur Simulation von Hill-Plastizität mit isotroper Verfestigung verwenden. Bei Verwendung der transversal isotropen Materialmodelle der Hill-Plastizität sind hierbei die Abhängigkeiten der Elastizitätskonstanten untereinander (siehe Abschnitte 6.1.3-6.1.5) und der Konstanten R untereinander (siehe Gleichungen (6.142)-(6.144)) zu beachten. ij Es gilt in den folgenden Finite-Elemente-Softwares: Abaqus (Version 6.14) Software: Input File Usage: *PLASTIC *POTENTIAL Tabelle 43: Materialparameterbezeichnungen in Abaqus CAE Software Symbol FEMCard Basic Bezeichnung in Abaqus CAE Software R = R11 R = R22 yy R = R33 zz 103

R = R12 xy R = R13 xz R = R23 yz Das Überspannungsmodell, welches die Dehnratenabhängigkeit beschreibt, wird in der Abaqus (Version 6.14) Software folgendermaßen bezeichnet: Input File Usage: *RATE DEPENDENT, TYPE=POWER LAW Tabelle 44: Materialparameterbezeichnungen in Abaqus CAE Software Symbol FEMCard Basic Bezeichnung in Abaqus CAE Software pow D = Multiplier pow n = Exponent ANSYS (Release 12.0) Software: ANSYS Preprocessor Software: Structural Nonlinear Inelastic Rate Independent/Rate Dependent Isotropic Hardening Plasticity Hill Plasticity Multilinear Tabelle 45: Materialparameterbezeichnungen in ANSYS Preprocessor Software Umrechnung und Symbol FEMCard Basic Bezeichnung in ANSYS Preprocessor Software R = r R = ryy yy R = rzz zz R = rxy xy R = ryz yz R = rxz xz 104

Das Überspannungsmodell, welches die Dehnratenabhängigkeit beschreibt, wird in der ANSYS (Release 12.0) Software folgendermaßen bezeichnet: ANSYS Preprocessor Software: Visco-Plasticity Options: Perzyna Model Tabelle 46: Materialparameterbezeichnungen in ANSYS Preprocessor Software Umrechnung und Symbol FEMCard Basic Bezeichnung in ANSYS Preprocessor Software pow D = Gamma pow 1n = m Neben der Eingabe der plastischen Verfestigungskurve über die o.g. Tabellenwerte (siehe Tabelle 42) lässt sich in bestimmten Finite-Elemente-Softwares die plastische Verfestigungskurve ebenfalls über die Verfestigungsfunktion (6.145) angeben. Im Folgenden wird die Verwendung der von FEMCard Basic ermittelten Parameter in der Marc Mentat (2014.2.0) Software beschrieben. Marc Mentat (2014.2.0) Software: Material Properties: Type: Elastic-Plastic Orthotropic Bem: Allgemein gilt E z zx xz (siehe auch Abschnitte 6.1.2-6.1.5 für Ex die Beziehungen zwischen den Elastizitätskonstanten) Plasticity Properties Yield Criterion: Hill Method: Table Hardening Rule: Isotropic Strain Rate Method: Cowper-Symonds (s. Tabelle 48) Yield Stress: 1 Table: MATERIAL-1 (s.u.) Direct Stress bzw. Shear Stress Yield Ratios (s. Tabelle 47) 105

Tabelle 47: Materialparameterbezeichnungen in Marc Mentat (2014.2.0) Software Umrechnung und Symbol FEMCard Basic Bezeichnung in Marc Mentat Software R = Yrdir1 R = Yrdir2 yy R = Yrdir3 zz R = Yrshr1 xy R = Yrshr2 yz R = Yrshr3 xz Tabelle 48: Materialparameterbezeichnungen in Marc Mentat (2014.2.0) Software Umrechnung und Symbol FEMCard Basic Bezeichnung in Marc Mentat Software pow D = Coefficient C pow n = Inverse Exponent P Bei Verwendung der Verfestigungsfunktion (6.145) in der Marc Mentat (2014.2.0) Software gilt: Tables MATERIAL-1 Independent Variable V1 Type: eq_plastic_strain Formula: Y_0 + H *v1 + (Y_inf - Y_0)*(1-exp(-Omega*v1)) Hierbei bezeichnen die Symbole Y_0, H, Y_inf, Omega die von FEMCard Basic ermittelten Werte entsprechend Tabelle 41. Bemerkung: Die in diesem Unterabschnitt gemachten Angaben zu Materialparameterbezeichnungen und umrechnungen für Finite-Elemente-Softwares sind ohne Gewähr. 106

6.5.3 Large strain Hill (Visco-)plasticity HILL (RIJ) LARGE STRAIN 6.5.3.1 Bemerkungen zur numerischen Umsetzung Die geometrisch nichtlineare Implementierung der Hill (Visko-) Plastizität in FEMCard Basic verwendet eine multiplikative Zerlegung des Deformationsgradienten in einen elastischen und einen plastischen Anteil, lineare Hyperelastizität und eine exponentielle Abbildung zur numerischen Integration der plastischen Dehnungen wie sie in Caminero et al. (8) vorgeschlagen wurde. Hierbei sind sowohl der Aufbau der quadratischen Hill-Fließfunktion und alle Parameterbezeichnungen und Überprüfungen in FEMCard Basic analog zu dem korrespondierenden Modell für kleine Verzerrungen in Abschnitt 6.5.2. Dies gilt somit für: die Elastizitätskonstanten E, bzw. E x,e y,e z, xy, xz, yz,g xy,g xz,gyz, die dimensionslosen Parameter R, Ryy, Rzz, Rxy, R xz, R yz, die Parameter der isotropen Verfestigungsfunktion y 0,y,,H sowie der zugehörigen Tabelle mit den äquivalenten logarithmischen plastischen Dehnungen und den zugehörigen wahren Fließspannungen, die Parameter pow pow D, n des Cowper-Symonds Überspannungsmodells (Perzyna Überspannungsmodell). Entsprechend dem Vermerk Uniax/Biax: MEAS=true, Shear: Meas=engr. werden als eigegebene Messdaten und ausgegebene Simulationsdaten folgende Daten verwendet: Für die Versuchstypen Uniaxial und Biaxial sind als Dehnungsmesswerte die logarithmischen Dehnungen (siehe Abschnitt 4.2.1 und Gleichungen (4.4)-(4.6)) und die wahren (Cauchy) Spannungen (siehe Gleichung (3.31)) einzugeben. Für den Versuchstyp Simple Shear (siehe auch Abschnitt 5.4) wird für eine bessere Benutzerfreundlichkeit auch für die 'Hill LARGE strain'-materialmodelle immer die Ingenieurdehnung und -spannung für die Messdateneingabe verwendet und in FEMCard Basic unter Berücksichtigung der geometrisch nichtlinearen Theorie verarbeitet. Es werden hier somit dieselben Messwerttypen wie für den Versuchstyp Shear bei 'SMALL strain'-materialmodellen verwendet. 107

6.6 Viskoelastizität 6.6.1 SMALL strain VISCOELASTICITY 6.6.2 LARGE strain OGDEN VISCOELASTICITY 108

6.6.1 SMALL strain VISCOELASTICITY VISCOELASTICITY SMALL STRAIN 1-5 RELAXATION MODULE(S) Bemerkung: Die Konstante N G bezeichnet die Anzahl an Relaxations-Termen ( Relaxation-Modules ) und wird über die Auswahl des Materialmodells definiert. Es gilt 1NG 5. 6.6.1.1 Motivation: Generalisiertes Maxwell-Modell in 1D Als Ausgangspunkt wird zuerst das generalisierte Maxwell-Modell in 1D betrachtet, bei dem zu einer Feder mit der Steifigkeit E eine Anzahl von N Maxwell-Elementen parallel geschaltet ist. Die Maxwell-Elemente wiederum bestehen jeweils aus einer Feder mit Steifigkeit E i und einem Dämpfer mit der Dämpfungskonstanten i, welche in Reihe geschaltet sind. Für die Relaxationszeiten jedes Maxwell-Elementes gilt i i E i. 6.6.1.2 Geometrisch lineare Theorie Unter Berücksichtigung der geometrisch linearen Theorie ('SMALL strain') berechnet sich das totale Verzerrungsfeld zu 1 T ε 2 Xu Xu (6.150) Mit dem Verschiebungsfeld u. Weiterhin wird die additive Zerlegung des Verzerrungstensors in einen deviatorischen und einen sphärischen (bzw. volumetrischen) Anteil betrachtet mit sph dev sph 1 dev 1 ε ε ε ; ε tr ε I ; ε ε trε I. (6.151) 3 3 6.6.1.3 Konstitutive Gleichungen Bei dem in FEMCard Basic implementierten Modell für lineare Viskoelastizität unter Berücksichtigung der geometrisch linearen Theorie ist der viskose Anteil der Deformation nur von den deviatorischen Verzerrungen und Spannungen abhängig. Somit wird die Volumendilatation als rein elastisch angenommen. Die dreidimensionale Verallgemeinerung des oben genannten generalisierten Maxwell-Modells liefert in der integralen Darstellungsform das Faltungsintegral (siehe beispielsweise Simo und Hughes (5)) 109

t dev ε sph σ t 2 G t s ds 3K ε, (6.152) 0 wobei s die Integrationsvariable mit der Dimension der Zeit t ist. Für t 0 gilt hierbei, dass s ε σ 0. Die Gewichtung ist die Schub-Relaxationsfunktion, welche die viskoelastische Charakteristik des Materials bestimmt. Diese ist gegeben durch die Prony-Reihe N G i i, (6.153) i=1 t t G G G exp mit den elastischen Schubmoduln G i und Relaxationszeiten i für jede Prony- Komponente. Der elastische Gleichgewichts-Schubmodul G bestimmt den Grenzwert, gegen den die deviatorischen Spannungen bei aufgebrachten konstanten deviatorischen Dehnungen mit der Zeit gehen. Das unmittelbare elastische Anfangsverhalten wird durch den spontanen elastischen Schubmodul G 0 bestimmt, für den gilt N G G G G (6.154) 0 i i=1 Der Schubmodul G 0 bestimmt somit die deviatorischen Dehnungen, welche sich unmittelbar nach der Aufbringung von deviatorischen Spannungen einstellen. Mittels der Beteiligungsfaktoren (bzw. relativen Moduln) g i und g mit G N G i g i, g 1 g i, 0 g 1 G0 i=1 (6.155) kann die Schub-Relaxationsfunktion auf den spontanen elastischen Schubmodul bezogen werden und man erhält bzw. N G Gt G0 g gi expt i (6.156) i1 N G Gt G0 1 gi 1 expt i. (6.157) i=1 110

Bemerkungen: B1: Innerhalb der Identifikationsroutine werden der Elastizitätsmodul E und die Poissonzahl anstelle des Kompressionsmoduls K und des Schubmoduls verwendet. Hierbei gelten die Beziehungen E9K G [ 3K G ] (6.158) 0 0 und [3K 2 G ] [6K 2G ]. (6.159) 0 0 B2: Für den in FEMCard Basic verwendeten Algorithmus zur numerischen Integration der o.g. Gleichungen siehe beispielsweise Simo und Hughes (5). 6.6.1.4 Materialparametersatz in FEMCard Basic Die Materialparameter und Bezeichnungen in der FEMCard Basic Benutzeroberfläche lauten (siehe Tabelle 49): Tabelle 49: Materialparameter für das viskoelastische Materialmodell bei kleinen Verzerrungen ASCII-Bezeichnung Weitere optionale Bez. E Young's modulus PR Poisson's ratio g_1 shear relaxation modulus tau_1 relaxation time g_5 shear relaxation modulus tau_5 relaxation time Symbole E g 1 1 g 5 5 111

Bemerkung: B3: Die Kriterien E, i >0 sowie 0 0.5 sowie g i 0 und N G i werden in i=1 g 1 FEMCard Basic bei der Startparametereingabe und während der Parameteridentifikation überprüft und ggf. korrigiert. 6.6.1.5 Materialparametersatz in Finite-Elemente-Software Für das Materialmodell müssen in einigen Finite-Elemente-Softwares die Paare g i und i in der Reihenfolge aufsteigender Relaxationszeiten angegeben werden. Das Materialmodell wird in den folgenden Finite-Elemente-Softwares folgendermaßen bezeichnet: Abaqus (Version 6.14) Software: Abaqus CAE Software: Elastic Type: Isotropic Moduli time scale (for viscoelasticity): Instantaneous Viscoelastic Domain: Time Time: Prony Input File Usage: *Elastic, moduli=instantaneous *Viscoelastic, time=prony 112

Tabelle 50: Materialparameterbezeichnungen in Abaqus CAE Software Symbol FEMCard Basic Bezeichnung in Abaqus CAE Software E = Young's modulus = Poisson's ratio g 1,, g = g_i_prony 5 (Zeilen 1 bis 5) - 0 = k_i_prony (Zeilen 1 bis 5) 1,, = tau_i_prony 5 (Zeilen 1 bis 5) Für die Umrechnung der Parameter des Materialmodelles gilt k_i_prony=0 in der Abaqus Software. ANSYS (Release 12.0) software: ANSYS Preprocessor Software: Structural Linear Elastic Isotropic Structural Nonlinear Viscoelastic Prony Shear Response Tabelle 51: Materialparameterbezeichnungen in ANSYS Preprocessor Software Umrechnung und Symbol FEMCard Basic Bezeichnung in ANSYS Preprocessor Software E = EX = PRXY g 1,, g = a1,, a5 5 1,, = t1,, t5 5 113

Marc Mentat (2014.2.0) Software: Vorabbemerkungen: Entsprechend Gleichung (6.155)(a) gilt Gi G0gi. Weiterhin gilt für den spontanen elastischen Schubmodul G 0 G 0 E 21 (6.160) und somit erhält man für die elastischen Schubmoduln E Gi g 21 i. (6.161) Eingabe in der Marc Mentat (2014.2.0) Software: Material Properties: Type: Elastic-Plastic Isotropic Young's modulus, Poisson's ratio (siehe Tabelle 52) Viscoelasticity Model: Prony Series Deviatoric Behavior # Terms: Anzahl an Relaxations-Termen Parameter siehe Tabelle 52 Volumetric Behavior # Terms: 0 N G in FEMCard Basic 114

Tabelle 52: Materialparameterbezeichnungen in Marc Mentat (2014.2.0) Software Umrechnung und Symbol FEMCard Basic Bezeichnung in Marc Mentat Software E = Young's modulus = Poisson's ratio E g 21 1 = Shear_Constant(1) = Time(1) 1 E g 5 21 = Shear_Constant(5) = Time(5) 5 Bemerkung: Die in diesem Unterabschnitt gemachten Angaben zu Materialparameterbezeichnungen und umrechnungen für Finite-Elemente-Softwares sind ohne Gewähr. 115

6.6.2 LARGE strain OGDEN VISCOELASTICITY Wie auch bei dem viskoelastischen Materialmodell bei kleinen Verzerrungen (siehe Abschnitt 6.6.1) dient für das in FEMCard Basic implementierte Materialmodell für Visko-Hyperelastizität bei großen Verzerrungen das generalisierte Maxwell-Material als zugrundeliegende Materialstruktur. Es wird hierbei das Materialmodell für geometrisch nichtlineare Viskoelastizität, wie es in Simo und Hughes (5) aufgeführt ist, eingesetzt, wobei für den hyperelastischen Anteil der freien Energie Funktion eine Ogden-Verzerrungsenergiefunktion verwendet wird und hier zudem die Ratenabhängigkeit der volumetrischen Anteile der Deformation berücksichtigt werden kann. Aufgrund der linearen Ratengleichungen, die in diesem Modell verwendet werden, wird hier ein lineares viskoelastisches Modell beschrieben. Die in FEMCard Basic implementierten Materialmodelle für finite Viskoelastizität sind: VISCOELASTICITY LARGE STRAIN 3D, MEAS=TRUE COMPRESSIBLE OGDEN, N=1,,3 1,..,5 RELAXATION MODULE(S) INCOMPRESSIBLE OGDEN, N=1,,3 3D, MEAS=NOM. 1,..,5 RELAXATION MODULE(S) COMPRESSIBLE OGDEN, N=1,,3 1,..,5 RELAXATION MODULE(S) INCOMPRESSIBLE OGDEN, N=1,,3 1,..,5 RELAXATION MODULE(S) Bemerkungen: B1: Entsprechend dem Vermerk MEAS=true werden als eigegebene Messdaten und ausgegebene Simulationsdaten wahre (Cauchy) Spannungen (siehe Gleichung (3.31)) und logarithmische Dehnungen verwendet (siehe auch Abschnitt 4.2.1). 116

B2: Entsprechend dem Vermerk MEAS=nom werden als eigegebene Messdaten und ausgegebene Simulationsdaten nominelle Spannungen (siehe Gleichung (3.32)) und nominelle Dehnungen verwendet (siehe auch Abschnitt 4.2.2). B3: Die Konstante N bezeichnet die Anzahl an Ogden-Termen und wird über die Auswahl des Materialmodells definiert. Es gilt 1N 3. 6.6.2.1 Kinematik Die kinematische Grundlage des Materialmodells ist die multiplikative Zerlegung des Deformationsgradientens in einen volumetrischen und einen isochoren Anteil (siehe auch Abschnitt 3.3) 1/3 F J F, J det F. (6.162) 1/3 Der Tensor F ist isochor ( det F J det F 1), mit der Jacobideterminante J wird die Volumenänderung während der Deformation beschrieben. Wie ebenfalls in Abschnitt 3.3 beschrieben kann der rechte Cauchy-Green-Tensor T C F F (6.163) mittels der zugehörigen Spektralzerlegung dargestellt werden mit 3 C Nˆ N ˆ. (6.164) a1 2 a a a Entsprechend Gleichung (6.40) ergibt sich für die deviatorischen Streckungen a 1/3 a J a (6.165) wobei 1 2 3 1 gilt. Der isochore elastische rechte Cauchy-Green Tensor lautet T 2/3 C F F J C. (6.166) 117

6.6.2.2 Konstitutive Gleichungen Für eine Verzerrungsenergiefunktion der Form dev vol C C J, (6.167) welche additiv in Anteile, welche die isochoren und volumetrischen Verzerrungsmaße getrennt enthalten, zerlegt ist, ergeben die zweiten Piola-Kirchhoff Spannungen S dev vol C C J S 2 2 2 C C C S dev S hyd. (6.168) Für die deviatorischen Spannungen erhält man dev S und hydrostatischen dev C J dev S 2/3 DEV 2 C hyd S zweiten Piola-Kirchhoff, (6.169) wobei für den Deviator eines Tensors zweiter Stufe in der Referenzkonfiguration gilt sowie 1 1 DEV : : 3 C C, (6.170) S vol hyd 1 J J J C. (6.171) Die Cauchy-Spannungen berechnen sich allgemein zu true 1 T σ J F S F. (6.172) Es wird ein rheologisches Modell, welches aus R N Maxwell-Elementen parallel zu einer Zusatzfeder besteht, betrachtet. Die dreidimensionale Verallgemeinerung dieses generalisierten Maxwell-Modells liefert in der integralen Darstellungsform das Faltungsintegral für die zweiten Piola-Kirchhoff-Spannungen (siehe auch Simo und Hughes (5)) dev hyd t t t S S S, (6.173) 118

mit dem deviatorischen Anteil S J dev 2/3 s t dev d C t t g t s DEV 2 ds ds 0 C, (6.174) sowie dem volumetrischen Anteil mit t J t pt t S hyd C 1, (6.175) t vl o d J pt kt s ds ds J 0, (6.176) wobei s die Integrationsvariable mit der Dimension der Zeit t ist. Für t 0 gilt hierbei, dass S 0 und C I. Die Gewichtung der der beiden Faltungsintegrale in Gleichungen (6.174) und (6.176) ist die jeweilige dimensionslose Relaxationsfunktion, welche die viskoelastische Charakteristik des Materials bestimmt. Die Relaxationsfunktionen sind gegeben durch die Prony-Reihen sowie R N r r, (6.177) r=1 t t g g g exp R N r r, (6.178) r=1 t t k k k exp mit den jeweiligen Beteiligungsfaktoren (bzw. relativen Moduln) gr bzw. k r und Relaxationszeiten r für jede Prony-Komponente. Für das unmittelbare elastische Anfangsverhalten gilt t t (bzw. die relativen Moduln) g k 1. Es gilt weiterhin für die Beteiligungsfaktoren R N r, (6.179) r=1 g 1 g, 0 g 1 sowie R N r. (6.180) r=1 k 1 k, 0 k 1 119

6.6.2.3 Verzerrungsenergiefunktion Für die konstitutive Routine für finite Viskoelastizität wird eine Ogden-Verzerrungsenergiefunktionen für isotrope Hyperelastizität in Eigenrichtungen verwendet. Die Verzerrungsenergiefunktion für das kompressible Ogden Materialmodell lautet für eine Anzahl N an Ogden-Termen mit den Materialparametern i, 2 1 2i 3-1 D J, (6.181) N N i i i i 2 1 2 3 i1 i i1 i und D i. Die in Gleichung (6.181) sowie im folgenden Unterabschnitt 6.6.2.4 aufgeführten Materialparameter i beschreiben als spontane elastische Schubmoduln das unmittelbare deviatorische elastische Anfangsverhalten, während mittels der Parameter D das unmittelbare volumetrische elastische Anfangsverhalten ausgedrückt wird. i i 6.6.2.4 Materialparametersatz in FEMCard Basic Die Materialparameter und Bezeichnungen in der FEMCard Basic Benutzeroberfläche lauten für die Parameter i, g r, k r und r R ˆτ mit i und r= 1,...,N (siehe Tabelle 53): D mit i i= 1,...,N sowie für die Parameter Tabelle 53: Materialparameter für das viskoelastische Materialmodell bei großen Verzerrungen ASCII-Bezeichnung. Weitere optionale Bez. Symbole mu1,, mu3 1,, 3 alpha1,, alpha3 1,, 3 D1,, D3 g_1,, g_5 shear relaxation moduli k_1,, k_5 bulk relaxation moduli D1,, D3 g 1,, g 5 k 1,, k 5 tau_1,, tau_5 relaxation times 1,, 5 Bei der inkompressiblen Formulierung des Materialmodelles entfallen D1,, D3 und k 1,, k 5 als Materialparameter. 120

Der initiale Schubmodul (initial shear modulus) und initiale Kompressionsmodul (initial compression modulus) (siehe auch Abschnitt 6.2.1.2) betragen somit bei der kompressiblen Formulierung des Materialmodelles N, (6.182) k 0 i i1 2 D. (6.183) 0 1 Die sich hieraus ergebende Poissonzahl hy lautet 3k 2 6k 2 hy 0 0 0 0. (6.184) Bemerkungen: B1: Die Bedingung hy 0 0.5 wird in FEMCard Basic bei der Startparametereingabe und während der Parameteridentifikation überprüft und ggf. korrigiert. B2: Die Kriterien D i, r>0 sowie g r,kr 0 sowie N R r und r=1 g 1 N R r werden r=1 k 1 in FEMCard Basic bei der Startparametereingabe und während der Parameteridentifikation überprüft und ggf. korrigiert. B3: FEMCard Basic führt keine vollständige Untersuchung der identifizierten Materialparametersätze auf Materialstabilität (Drucker Stabilität) für das diesem Materialmodell finiter Viskoelastizität zugrundeliegende hyperelastische Materialmodell aus. Es liegt in der Verantwortung des Benutzers, das zugrundeliegende hyperelastische Materialmodell mit zugehörigen Werten der Materialparameter auf Materialstabilität zu prüfen. Warn- und Informationsmeldungen bei der Startparametereingabe geben hierzu zusätzliche Hinweise. 121

6.6.2.5 Materialparametersatz in Finite-Elemente-Software Für das Materialmodell müssen in einigen Finite-Elemente-Softwares die Paare g r und r bzw. k r und r in der Reihenfolge aufsteigender Relaxationszeiten angegeben werden. Das Materialmodell wird in den folgenden Finite-Elemente-Softwares folgendermaßen bezeichnet: Abaqus (Version 6.14) Software: Abaqus CAE Software: Hyperelastic Type: Isotropic Strain energy potential: Ogden Input source: Coefficients Moduli time scale (for viscoelasticity): Instantaneous Strain energy potential order: 1,,3 Viscoelastic Domain: Time Time: Prony Input File Usage (Hyperelasticity): *HYPERELASTIC, OGDEN, N=1 *HYPERELASTIC, OGDEN, N=2 *HYPERELASTIC, OGDEN, N=3 *Viscoelastic, time=prony 122

Tabelle 54: Materialparameterbezeichnungen in Abaqus CAE Software Symbol FEMCard Basic Bezeichnung in Abaqus CAE Software 1,, = mu1,, mu3 3 1,, = alpha1,, alpha3 3 D1,, D3 = D1,, D3 g 1,, g = g_i_prony 5 (Zeilen 1 bis 5) k 1,, k = k_i_prony 5 (Zeilen 1 bis 5) 1,, = tau_i_prony 5 (Zeilen 1 bis 5) Bei der inkompressiblen Formulierung des Materialmodelles gilt D1=D2=D3=0 sowie k_i_prony=0 in der Abaqus Software. ANSYS (Release 12.0) software: Hyperelastizität ANSYS Preprocessor Software: Hyperelastic Ogden 1 term (2 terms/3 terms) Tabelle 55: Materialparameterbezeichnungen in ANSYS Preprocessor Software Umrechnung und Symbol FEMCard Basic Bezeichnung in ANSYS Preprocessor Software 2 1 = mu1 1 2 2 = mu2 2 2 3 = mu3 3 1,, = a_1,, a_3 3 D1,, D3 = d1,, d3 123

Bei der inkompressiblen Formulierung des Materialmodelles gilt d1=d2=d3=0 in der ANSYS Software. Viskoelastizität: Shear Response ANSYS Preprocessor Software: Structural Nonlinear Viscoelastic Prony Shear Response Tabelle 56: Materialparameterbezeichnungen in ANSYS Preprocessor Software Umrechnung und Symbol FEMCard Basic Bezeichnung in ANSYS Preprocessor Software g 1,, g = a1,, a5 5 1,, = t1,, t5 5 Viskoelastizität: Volumetric Response Bei der inkompressiblen Formulierung des Materialmodelles entfallen diese Parameter in der ANSYS Software. ANSYS Preprocessor Software: Structural Nonlinear Viscoelastic Prony Volumetric Response Tabelle 57: Materialparameterbezeichnungen in ANSYS Preprocessor Software Umrechnung und Symbol FEMCard Basic Bezeichnung in ANSYS Preprocessor Software k 1,, k = a1,, a5 5 1,, = t1,, t5 5 124

Marc Mentat (2014.2.0) Software: Material Properties: Type: Ogden Method: Entered Values # Terms: Anzahl N an Ogden-Termen in FEMCard Basic Tabelle 58: Materialparameterbezeichnungen in Marc Mentat (2014.2.0) Software Umrechnung und Symbol FEMCard Basic Bezeichnung in Marc Mentat Software 2 1 = Modulus(1) 1 2 2 = Modulus(2) 2 2 3 = Modulus(3) 3 1,, = Exponent(1),, Exponent(3) 3 Bei der kompressiblen Formulierung gilt zusätzlich zu Tabelle 58: Material Properties: Volumetric Behavior Series Expansion (Parameter D1, D2, D3, D4, D5) Tabelle 59: Materialparameterbezeichnungen in Marc Mentat (2014.2.0) Software Umrechnung und Symbol FEMCard Basic Bezeichnung in Marc Mentat Software 1 D1 = D1 1 D2 = D2 1 D3 = D3 Es gilt in der Marc Mentat Software: Für # Terms=1 sind D2=D3=D4=D5=0. Für # Terms=2 sind D3=D4=D5=0. Für # Terms=3 sind D4=D5=0. 125

Bei der inkompressiblen Formulierung gilt zusätzlich zu Tabelle 58: Material Properties: Volumetric Behavior Bulk Modulus Automatic Bem.: Mit der o.g. Einstellung in der Marc Mentat (2014.2.0) Software wird ein Bulk Modulus K verwendet, für den das Materialverhalten inkompressibel ist. Viskoelastizität (Deviatoric Behavior): Material Properties: Viscoelasticity (Ogden) Model: Prony Series Deviatoric Behavior # Terms: Anzahl an Relaxation modules in FEMCard Basic Parameter siehe Tabelle 60 Tabelle 60: Materialparameterbezeichnungen in Marc Mentat (2014.2.0) Software Umrechnung und Symbol FEMCard Basic Bezeichnung in ANSYS Preprocessor Software g = Deviatoric Mult.(1) 1 = Time(1) 1 g = Deviatoric Mult.(5) 5 = Time(5) 5 126

Viskoelastizität (Dilatational Behavior): Bei der inkompressiblen Formulierung des Materialmodelles entfallen diese Parameter in der Marc Mentat Software bzw. es gilt # Terms=0. Material Properties: Viscoelasticity (Ogden) Model: Prony Series Dilatational Behavior # Terms: Anzahl an Relaxation modules in FEMCard Basic Parameter siehe Tabelle 61 Tabelle 61: Materialparameterbezeichnungen in Marc Mentat (2014.2.0) Software Umrechnung und Symbol FEMCard Basic Bezeichnung in ANSYS Preprocessor Software k = 1 Dilatational Mult.(1) = Time(1) 1 k = 5 Dilatational Mult.(5) = Time(5) 5 Bemerkung: Die in diesem Unterabschnitt gemachten Angaben zu Materialparameterbezeichnungen und umrechnungen für Finite-Elemente-Softwares sind ohne Gewähr. 127

Literaturverzeichnis 7 Literaturverzeichnis 1. Mahnken, R. und Stein, E. A unified approach for parameter identification of inelastic material models in the frame of the finite element method. Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. 1996, 136:225-258. 2. Mahnken, R. Identification of Material Parameters for Constitutive Equations. Encyclopedia of Computational Mechanics, 2:637-655. s.l. : Wiley, 2004. 3. Bosseler, Marc und Kleuter, Bernd. Universell anwendbares Verfahren zur Bestimmung von Materialkarten für die FE-Simulation. Vortrag auf der VDI- Konferenz, Simulation des Werkstoffverhaltens für automobile Anwendungen, 10.- 11.12.2013 in Baden Baden. [Online] www.parsolve.de. 4. Simo, J.C. Numerical Analysis and Simulation of Plasticity. s.l. : HANDBOOK OF NUMERICAL ANALYSIS, VOL. VI. Elsevier Science B.V., 1998. 5. Simo, J.C. und Hughes, T.J.R. Computational Inelasticity. s.l. : Springer, 1997. 6. Hill, R. A theory of the yielding and plastic flow of anisotropic metals. Proc. Roy. Soc. London. 1948, 193:281 297. 7. De Borst, René und Feenstra, Peter H. Studies in anisotropic plasticity with reference to the Hill criterion. Int. J. Numer. Meth. Engng. 1990, 29:315-336. 8. Caminero, Miguel Ángel, Montáns, Francisco Javier und Bathe, Klaus- Jürgen. Modeling large strain anisotropic elasto-plasticity with logarithmic strain and stress measures. Computers & Structures. 2011, 89:11-12. 128

Trademarks 8 Trademarks Abaqus, the 3DS logo, SIMULIA, CATIA, and Unified FEA are trademarks or registered trademarks of Dassault Systèmes or its subsidiaries in the United States and/or other countries. SIMULIA does not take any responsibility for FEMCard Basic. ANSYS, ANSYS Workbench, AUTODYN, CFX, FLUENT and any and all ANSYS, Inc. brand, product, service and feature names, logos and slogans are registered trademarks or trademarks of ANSYS, Inc. or its subsidiaries in the United States or other countries. All other brand, product, service and feature names or trademarks are the property of their respective owners. ANSYS, Inc. does not take any responsibility for FEMCard Basic. MSC.Software logo, MSC, MSC., MD Nastran, Adams, Dytran, Marc, Mentat, and Patran are trademarks or registered trademarks of MSC.Software Corporation or its subsidiaries in the United States and/or other countries. MSC.Software does not take any responsibility for FEMCard Basic. MATLAB and Simulink are registered trademarks of The MathWorks, Inc. See www.mathworks.com/trademarks for a list of additional trademarks. Other company, product, and service names may be trademarks or service marks of their respective owners. 129