1 Goldener Schnitt Definition und Satz 1.1 (Goldener Schnitt) Sei AB die Strecke zwischen den Punkten A und B. Ein Punkt S von AB teilt AB im Goldenen Schnitt, falls sich die größere Teilstrecke M (Major) zur kleineren Teilstrecke m (minor) so verhält wie die Gesamtstrecke a := AB zum größeren Teil M. In Formeln: M m = a M und a = m + M. Das Verhältnis M m hat den Wert 1+ 1, 618 033 989 und wird im Allgemeinen mit τ (griechisch: tau) bezeichnet. Beweis: Wir haben: a M = M m (1) und a = (m + M). () Multiplizieren wir (1) mit dem gemeinsamen Nenner: Setzen wir nun Gleichung () ein: und teilen durch m : mm am = M. a=(m+m) (m + M) m = m + mm = M ; :m 1 + M m = ( M m ). 1
Daraus ergibt sich die quadratische Gleichung ( ) M M m m 1 = 0. Welche für M m die Lösungen (pq Formel) 1 und hat, die positive Lösung ist gleich τ. 1 + q.e.d. Definition 1. (Folge) Eine Zuordnung f : oder f : heißt Folge. Die Werte a n := f (n) heißen Folgenglieder und man schreibt f = (a n ). Definition 1.3 (Fibonacci Folge) Eine Fibonacci Folge ist eine Zahlenfolge, bei der jedes Glied gleich der Summe aus den zwei vorhergehenden Gliedern ist: f 1 = 1 und f = 1, f n = f n + f n 1. Diese Definition ist rekursiv, weshalb die Voraussetzungen f 1 = 1 und f = 1 zur vollständigen Definition gehören. Die ersten Folgenglieder sind: 1, 1,, 3,, 8, 13, 1, 34,, 89, 144, 33, 377, 610, 987,...
Was hat das aber mit dem Goldenen Schnitt zu tun? Sehr viel, wie wir bald sehen werden. Berechnet man den Quotienten zweier aufeinanderfolgender Folgenglieder f n+1 f n, so merkt man, dass sich dieser immer mehr an τ = 1+ annähert. Zuerst geben wir der Folge der Quotienten einen Namen: q n := f n+1 f n. Und beweisen dann, dass q n gegen τ strebt: q n n τ oder lim n q n = τ. Vorerst müssen wir die Folge (q n ) genauer untersuchen. Das Einzige, was uns dafür zur Verfügung steht, ist das Bildungsgesetz (die Rekursionsformel) der Fibonacci Folge. Damit folgt: q n = f n+1 f n = f n + f n 1 f n = 1 + f n 1 f n = 1 + 1 q n 1. Nehmen wir an die Folge (q n ) habe einen Grenzwert, welcher immer eindeutig ist. Gehen wir auf beiden Seiten der Rekursionsformel für die q n zum Grenzwert über, so erhalten wir die Gleichung q = 1 + 1 q also q q 1 = 0. Für diese Gleichung haben wir bereits in Satz und Definition 1.1 die Lösungen 1 und τ = 1+ bestimmt. Die erste negative Lösung scheidet aus, da die Folge nie negativ wird. D.h. falls die Folge (q n ) konvergiert, so hat sie den Grenzwert τ. 3
Also ist ab n = Wir betrachten 1 < q n. q n+1 q n = f n+ f n+1 f n+1 f n = f n+ f n f n+1 f n+1 f n =: Die ersten Werte von z n sind 1, 1, 1, 1, 1. z n f n+1 f n. Tatsächlich lässt sich z n auf z n 1 zurückführen, denn es ist z n + z n 1 = f n+ f n fn+1 + f n+1 f n 1 fn = (f n+1 + f n ) f n fn+1 + f n+1 f n 1 fn = f n+1 (f n f n+1 ) + f n+1 f n 1 Also ist für alle n = f n+1 (f n (f n + f n 1 )) + f n+1 f n 1 = f n+1 f n 1 + f n+1 f n 1 = 0. z n = ( 1) n. Das bedeutet, dass die Folge q n abwechselnd steigt und fällt, und 1 zwar um immer kleinere Beträge (nämlich um f n+1 f n ); und diese gehen sogar gegen Null, da f n gegen unendlich strebt. 4
Eine solche Folge hat stets einen Grenzwert. Er wird von den Folgen q n und q n+1 eingeschachtelt, d.h. er liegt zwischen je zwei aufeinanderfolgenden Gliedern. Nennen wir ihn q. Aus den vorigen Betrachtungen folgt dann q = 1 + 1 q und, weil q n > 0 ist q = τ = 1 + Bemerkung 1.4 (Binetsche Formel) Wenn man ein bestimmtes Glied f n der Fibonacci Folge ausrechnen will, kann man auch die Binetsche Formel anwenden: f n = 1 (τ n ( τ) n). 1.1 Das Pentagramm Mit am eindrucksvollsten tritt der Goldene Schnitt im regulären Fünfeck in Erscheinung: Im regelmäßigen Fünfeck sind alle Seiten gleich lang und alle Innenwinkel sind 108. Die Diagonalen sind ebenfalls gleich lang und teilen sich paarweise im Goldenen Verhältnis: Der längere Diagonalenabschnitt ist so lang wie eine Seite Diagonale und Seite stehen im Verhältnis τ.
Verlängert man die Seiten, bis sie sich schneiden, so entsteht das Sternfünfeck, auch Pentagramm genannt. Es ist (bis auf Spiegelung) die τ fache Vergrößerung des blauen Pentagramms, welches aus den Diagonalen des ursprünglichen Fünfecks besteht. A S B A S = S B T B = A B A C = A B S B C S T B Das gleichschenklige Dreieck, bei dem die Schenkel τ mal so lang sind wie die Basis, nennt man goldenes Dreieck. 1 1 D.h. jede Sternspitze des Pentagramms ist ein goldenes Dreieck. 1 τ 1 1 τ Zusammen mit dem zweiten vorkommenden Dreieck bilden sie die Grundlage für die Penrose Pflasterung. 6
Penrose Dreiecke Wenn wir mit diesen beiden Dreiecken weiterarbeiten wollen, müssen wir eine Markierung an die Dreiecke anbringen, um die Symmetrie zu brechen, so daß die Abbildung der Dreiecke eindeutig wird: π 3π B Sir Roger Penrose A π π π π.1 Erste Inflation Als Abbildung verwenden wir die Inflation, d.h. wir bauen die Dreiecke aus sich selbst nach. Die nullte Inflation ist dann gleich den Steinen selbst: infl 0 (A) = A und infl 0 (B) = B. Die ersten Inflationen (dies sind die Definierenden der Inflation) sind: infl 1 (A): infl 1 (B): A B B A B In j e d e m Superdreieck tritt j e d e s der beiden Grunddreiecke auf! 7
. Zweite Inflation Wir betrachten ab jetzt nur noch das Dreieck B. infl (B):.3 Sechste Inflation infl 6 (B): 8
.4 Dreiecke Romben Aus je zwei gleichen Dreiecken wird jetzt durch Löschung der Mittelgeraden ein Rombus: und Aus infl 6 (B) wird nun: Diese Penrose Pflasterung ist z.b. im Foyer des Audimax zu sehen. 9
. Ecksterne In dieser Penrose Pflasterung haben wir die folgenden Ecksterne: 10
3 Überdeckung Über diese Ecksterne werden jetzt folgende 4 Steine gelegt: A B 1 B C Bestehend aus zwei Längen im Verhältnis + τ = 4 cos (18 ) = (1 + cos (36 )) a b und drei Winkeln 108 16 144. 3.1 Markierte Romben Diese Überdeckung wird mittels zusätzlich markierter Romben vollzogen: und 11
Also wird aus den Ecksternen: Und somit: 4 mal das reguläre Fünfeck A 1 mal das andere Sechseck B 1 mal das eine Sechseck B 1 mal das Siebeneck C 1
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