Materialanleitung Wurzelbrett Groß oder klein- das ist hier die 1. Frage 1. Ein Unterschied besteht erstmal in der Größe der Zahlenwerte, die mit den Brettern bearbeitet werden können. Das kleine Wurzelbrett ist mit seinen 15 x 15 Mulden geeignet, um Zahlen mit 3-4 Stellen zu bearbeiten. Das heißt Zahlen in Quadrate zu zerlegen und darzustellen, um dann dessen Wurzel abzulesen. Die im Folgenden, beschriebenen Übungen 1-3 als Vorbereitung aufs Bruchrechnen und Wurzelziehen, sind mit dem kleinen Wurzelbrett nur bedingt umsetzbar. Um das grundsätzliche mathematische Prinzip und die dahintersteckende Systematik zu verdeutlichen, ist es jedoch ausreichend. Mit dem großen Wurzelbrett mit 30 x 30 Stecklöchern, kann man Übungen auch im Millionenbereich oder mit mehrstelligen Kommazahlen umsetzen.
2. Ein weiterer Unterschied liegt in der Handhabung. Das kleine Wurzelbrett ist mit Kugeln bestückt, die in Vertiefungen gelegt werden. Am großen Wurzelbrett arbeitet man mit Steckern, die fest ins Brett gesteckt werden. Die Entscheidung, welches Brett Sie sich anschaffen und nutzen wollen, ist abhängig von der Größe des Zahlenraumes, in dem Sie und die Kinder arbeiten möchten. Darüber hinaus sollten Sie die feinmotorischen Möglichkeiten der Kinder, (rollende Kugeln oder festsitzende Stecker) ebenfalls bei der Entscheidung mit bedenken. Was kann man mit dem Wurzelbrettern berechnen und darstellen? Erstmal vermutet man, bezugnehmend auf den Namen des Materials, das man damit nur aus einer Zahl die Wurzel ziehen kann. Das heißt, herausfinden welche Zahl mit sich selbst multipliziert ein Quadrat ergibt. Aber das Brett kann, wie viele andere Materialien auch vielfältiger eingesetzt werden. Die folgenden Anwendungsmöglichkeiten 1-3, sind: - festigend für die Kenntnisse des 1x1 und dessen Systematik - vorbereitend für die Bruchrechnung (kürzen/erweitern) - vorbereitend aufs Wurzelziehen
1. Das kleinste gemeinsame Vielfache (k.g.v.) Das k.g.v. gibt an, wenn mehrere Zahlen immer wieder vervielfacht werden, wann sie sich zum ersten Mal begegnen, also gleich groß sind. Diese Kenntnisse über das k.g.v. erleichtern das Bruchrechnen beim Kürzen und Erweitern erheblich. Die Zahlen, die ich überprüfen möchte, lege ich als Ziffern an den oberen Rand des Brettes. Nun vervielfache ich so lange jede Zahl, bis alle Zahlenreihen gleich lang sind. Dazwischen markiere ich jedes Vielfache, z.b. mit Papierstreifen, Strohhalmstückchen oder Holzstäbchen. Das k.g.v. von 2-3-4 ist also 12. Das heißt: Die Zahlen 2-3-4 sind alle als Multiplikationsfaktoren in der 12 enthalten.
Die beiden nächsten Übungen sind vorbereitend auf das Gegenteil vom k.g.v., auf den größten, gemeinsamen Teiler (g.g.t.) 2. Zerlegen einer Zahl Zerlegungsfaktor/en bestimmen am Beispiel der Zahl 18: 18 Kugeln oder Stecker werden abgezählt und dann in Gruppen zerlegt auf dem Wurzelbrett dargestellt. Die Ergebnisse werden jeweils auf Papier notiert. Die Kinder können mit dieser Übung herausfinden, dass die Zahl 18 in 2-3-6-9 er Gruppen zerlegt werden kann, nicht aber in 4-5-7-8-er Gruppen. usw..
Man sagt: Die Zahlen 2-3-6-9 sind die Faktoren der Zahl 18. In der Übung mit anderen Zahlen werden die Kinder sehr schnell entdecken, das es Zahlen gibt die man nicht zerlegen kann. Diese Zahlen nennt man Primzahlen (z.b. 3, 11,23 ) 3. Primfaktorenzerlegung Bei der Primfaktorenzerlegung möchte man herausfinden, ob eine Zahl durch eine bestimmte Primzahl teilbar ist. Dabei geht man gewöhnlich die Primzahlen von unten (d.h. 2, 3, 5, 7...) durch und prüft, ob die zu zerlegende Zahl durch sie ohne Rest glatt teilbar ist. Im ersten Schritt der Übung schreibt man die Zahlen auf, die man bearbeiten möchte um herauszufinden, was ist ihr größter gemeinsamer Teiler (g.g.t) und legt sie aus. Nun teilt man die Zahlen durch die erste mögliche Primzahl, die 6 und 12 durch 2 und die 15 durch die 3, da sie nicht durch 2 teilbar ist. Das Ergebnis (den Quotienten) legt man, sichtbar abgetrennt durch ein Stäbchen, darunter aus. Die Primzahl durch die man geteilt hat, legt man als Merkstütze dazu.
Nun teilt man das Ergebnis wieder durch die kleinstmöglichste Primzahl. Bei der 6 lässt sich die 3 nur durch 3 teilen und es bleibt kein Rest. Die 6 ist nun fertig zerlegt. Es kann abgelesen werden, dass die 6 aus den Primfaktoren 2 und 3 besteht. (2 x 3 = 6) Die 15 ist ebenfalls fertig zerlegt, da das Ergebnis 5 eine Primzahl ist. Es kann ablesen werden, dass 15 die Primfaktoren 3 und 5 enthält (3 x 5=15) Die 12 hat als Ergebnis eine 6 und kann deshalb nochmal zerlegt werden. 6 ist teilbar durch die kleinste Primzahl 2 und das Ergebnis ist dann 3. Jede Zahl wird solange geteilt, bis komplett zerlegt ist und am Schluss eine Primzahl übrig bleibt. Bei der 12 erkennt man, dass diese in drei Primfaktoren zerlegt werden kann. In die 2-2-3 (2 x 2 x 3 = 12) Nun lässt sich leicht ablesen, alle 3 Zahlen sind durch 3 teilbar 3 ist der g.g.t. von 6-12 -15 Es ist empfehlenswert die Primzahlen bis 20 auswendig zu lernen, um z.b. in der Bruchrechnung schnell rechnen zu können Primzahlen bis 20: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19
4. Das Wurzel- oder Quadratwurzelziehen Wenn aus einer Zahl (z.b. 9) die Wurzel gezogen wird, errechnet man, welche Zahl mit sich selber mal genommen 9 ergibt. 3 x 3 = 9, das heißt die Wurzel von 9 ist 3 (mathematisch geschrieben 9 = 3) Das Wurzelbrett macht optisch deutlich, dass man mit Quadraten rechnen muss, um die Wurzel ziehen zu können. Eine Zahl zum Wurzelziehen muss erstmal in Zweiergruppen aufgeteilt werden, da nicht jeder Stellenwert in Quadratzahlen zu zerlegen ist. Die Einteilung in Zweiergruppen beginnt hinten bei der 1. Stelle, in unserem Falle der Einer: 1. Stelle: Einer =1 = 1 x 1, 1 ist eine Quadratzahl 2. Stelle: Zehner =10 = 1 x 10, 10 ist keine Quadratzahl. 3. Stelle: Hunderter = 100 = 10 x 10, 100 ist eine Quadratzahl 4. Stelle: Tausender =1000 = 10 x 100, 1000 ist keine Quadratzahl 5. Stelle: Zehntausender = 10.000 = 100 x 100, 10.000 ist eine Quadratzahl usw. 1. Praktisches Beispiel: 196 =??? Die Zahl 196 unter dem Wurzelzeichen bezeichnet man mathematisch als Radikand. Nach der Beschreibung oben kann man die 196 in 2 Gruppen einteilen, 1 / 96. Das heißt, das Ergebnis wird zweistellig. Zuerst wird die Zahl irgendwo am unteren rechten Rand auf dem Wurzelbrett dargestellt.
Begonnen wird, wie bei der Division, mit der größten Stelle, in diesem Fall mit dem Hunderter. Der eine Hunderter wird an den oberen linken Rand gesteckt. Er kann alleine als Quadrat stehen. Nun kommt die Zehnerstelle an die Reihe. Zehner für Zehner werden abwechselnd in eine Reihe waage- und senkrecht seitlich neben und unter dem Hunderter gleichmäßig aufgeteilt. 1 Zehner ist zu viel und bleibt übrig. Dieser Zehner lässt sich nun nicht mehr verteilen, weil sonst eine Reihe 5 Zehner hätte und die andere Reihe nur 4 Zehner Deshalb muss man den einen Zehner nun gegen 10 Einer eintauschen.
Nun haben wir nicht mehr 6 Einer, sondern 16 Einer Die Einer werden nun Reihe für Reihe in das entstandene Quadrat zwischen den Zehnern gesteckt, bis es vollständig ausgefüllt ist. Es bleibt kein Einer übrig. Das heißt, die Wurzel aus 196 hat eine glatte Zahl als Ergebnis (mathematische Bezeichnung des Ergebnisses beim Wurzelziehen: Radix)
Das Ergebnis ist ablesbar am unteren oder am rechten seitlichen Rand : 14 Also: 196 =14 und 14 x 14 ist 196 2. Praktisches Beispiel 59049 =??? Wie schon bekannt teilen wir die Zahl in Zweiergruppen auf: 5/90/49 und wissen somit, das Ergebnis wird 3 stellig. Zahl darstellen. Nicht vergessen eine Lücke für die Hunderterstelle zu lassen. Sie hat zwar keinen Wert, braucht aber einen Platz Der Verteilprozess mit Bildung der Quadrate beginnt mit der größten Stelle: Zehntausend. Die 5 enthält die Quadratzahl 4 Mit 4 Steckern wird ein Quadrat gesteckt- einer bleibt übrig
Umtausch des Zehntausenders in 10 Tausender. Statt 9 Tausender sind es nun 19 Tausender zum Verteilen. Diese werden nun gleichmäßig in Reihen rechts oben und links unten verteilt, damit die Form eines neuen Quadrates entstehen kann. 3 bleiben übrig Die 3 Tausender müssen in 30 Hunderter getauscht werden.
Nun sind es statt Null Hunderter, 30 Hunderter die verteilt werden können. Der entstandene quadratische Raum wird zunächst mit 16 Hundertern ausgefüllt. Die übrigen 14 Hunderter werden nun gleichmäßig an den Seiten verteilt und angelegt, damit das Quadrat weiter wachsen kann. 2 bleiben übrig
Die 2 Hunderter müssen in 20 Zehner getauscht werden. und statt 4 Zehnern sind nun 24 Zehner zu verteilen. Diese werden gleichmäßig zu beiden Seiten des Hunderterquadrates verteilt. Es bleibt keiner übrig.
Im letzten Schritt werden nun die 9 Einer in den freien quadratischen Raum zwischen den Zehnern verteilt. Es bleibt keiner übrig. Das Ergebnis ist wieder unten und links an der Seite abzulesen Also: 59.049 = 243 und 243 x 243 = 59.049 Viel Spaß und Erfolg beim Lernen und Üben mit dem Wurzelbrett im Namen der Montessori Lernwelten wünscht Annemarie Petry-Fandel