Wahrscheinlichkeitsrechnung Teil Einführung in die Grundbegriffe Sekundarstufe Datei Nr 30 Stand September 2009 Friedrich W Buckel INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK wwwmathe-cdde
Inhalt Zufallsexperimente, Ereignisse und Wahrscheinlichkeiten Zufallsexperimente, Ergebnisse und Ereignisse Elementarereignis, sicheres und unmögliches Ereignis 3 Wie viele Ereignisse kann es geben? 7 2 Laplace-Experimente und ihre Wahrscheinlichkeit 9 3 Laplace-Experimente 2 Art 20 4 Experimente, bei denen die Elementarereignisse experimentell bestimmt werden 22 Fortsetzung in der Datei 302
30 Stochastik Einführung Teil Zufallsexperimente, Ereignisse und Wahrscheinlichkeiten Zufallsexperimente, Ergebnisse und Ereignisse Will man Vorhersagen über das Eintreten bestimmter Ereignisse (z B beim Würfeln) machen, dann muss auch sicher stehen, dass das Ergebnis nur durch den Zufall beeinflusst wird Manipulationen (wie gezinkte Würfel) müssen ausgeschlossen sein Thema dieses Heftes wird es sein, Vorhersagen über das Eintreten bestimmter Ergebnisse zu machen, die bei einem nur durch den Zufall gesteuerten Experiment, also einem Zufallsexperiment, eintreten können Wir müssen die Fachsprache dazu beherrschen Dies sind die wichtigsten Fachbegriffe: Zufallsexperimente sind beispielsweise a) Würfeln, 2 das Werfen einer Münze, 3 das Drehen eines Glücksrades, 4 das Ziehen einer Spielkarte, 5 das Entnehmen einer Kugel aus einem Topf b) Führt man die in a) genannten Experimente mehrfach nacheinander aus, dann spricht man von mehrstufigen Zufallsexperimenten Dabei muss man bisweilen auf folgendes achten: Man kann einen Würfel dreimal nacheinander werfen oder aber mit drei Würfeln zugleich werfen 2 Man kann eine gezogene Spielkarte vor dem nächsten Zug wieder zurücklegen, so dass sie beim nächsten Zug wieder zur Verfügung steht 3 Analoges gilt für das Entnehmen einer Lottokugel aus einem Lostopf c) Als Zufallsexperimente gelten auch Spiele, wenn man voraussetzt, dass der nächste Spielzug wirklich vom Zufall bestimmt ist und nicht wie beim Schach durch Überlegung geplant wird Beim Ziehen einer Kugel aus einem Topf (man nennt sie in der Wahrscheinlichkeitsrechnung oft Urne) oder einer Spielkarte usw muss blind gezogen werden, dh man darf weder durch Sehen noch durch Tasten erkennen, welches Objekt man zieht, sonst liegt kein Zufallsexperiment mehr vor Umfragen (unter Personen) und Auswählen von Personen aus einer Gruppe usw sind nur dann Zufallsexperimente, wenn diese auch wieder blind geschehen Es gibt unzählige Arten von Zufallsexperimenten, die man sie nicht alle aufzählen kann Diese Liste umfasst nur häufig vorkommende Zufallsexperimente Im Laufe des Unterrichts werden weitere als Beispiele gestreift
30 Stochastik Einführung Teil 2 An einem Zufallsexperiment interessiert uns stets ein Merkmal Beim Würfeln sind es die oben gezeigten Zahlen (auch Augen genannt), beim Ziehen einer Spielkarte kann es der Spielkartenwert sein oder die Farbe der Karte, beim Auswählen von Personen kann man gar viele Dinge erfragen usw Jedes Merkmal kann in verschiedenen Ausprägungen auftreten Die Menge aller möglichen Ausprägungen bilden die Ergebnismenge oder den Ergebnisraum Man bezeichnet diesen sehr oft mit S und bezeichnet diese Menge S auch als Grundmenge der Ergebnisse Man liest dafür auch das Wort Stichprobenraum a) Das Zufallsexperiment Würfeln hat bei einem normalen Würfel die Ergebnismenge S = { ;2;3;4;5,6} In dieser Schreibweise liegt bewusst ein Fehler: Man trennt die einzelnen Ergebnisse durch Semikola Zwischen 5 und 6 steht aber hier ein Komma Schüler sind da oft weniger genau und akzeptieren dieses Komma auch als Trennungszeichen zwischen den Ergebnissen Bei Zahl besteht jedoch die Verwechslungsgefahr mit Dezimalzahlen Hier ist es zwar klar, dass es beim Würfeln nicht das Ergebnis 5,6 geben kann, weil die Dezimalzahl Fünf-Komma-Sechs auf keinem Würfel aufgedruckt steht Also denken wir uns einen Würfel so beschriftet wie dieses Netz es zeigt, dann hat das Experiment einmal würfeln die Ergebnismenge 5,6 3 { } S = ; ; 2; 3,5;5,6 4 3 4 Die auf zwei Feldern stehende wird nur einmal in S aufgezählt (es sei denn, man hätte eine rote und eine 2 blaue aufgedruckt, dann wären dies unterscheidbare Ergebnisse Und das Ergebnis 5,6 ist jetzt eine einzige Zahl und auch wegen der Unterscheidung zwischen Kommata und Semikolon klar als solche erkennbar Übrigens eignen sich solche selbst erstellten Würfel gut zum Rechentraining mit rationalen Zahlen Das Zufallsexperiment Summe der Augenzahlen bei zweimaligem Würfeln wiederholt dann etwas die Rechenfähigkeiten Hier sind der Fantasie böser Lehrer keine Grenzen gesetzt b) Die Ergebnismenge beim Werfen einer Münze kann so aussehen: S { B;Z} oder Zahl), oder S = { W ;Z} (Wappen oder Zahl) 3,5 = (Bild c) Das Drehen des abgebildeten Glücksrades usw führt zur Ergebnismenge S = { ;2;3} 2 3
30 Stochastik Einführung Teil 3 Man muss auch zwischen Ergebnis und Ereignis unterscheiden: a) Beim Würfeln kann ein Spiel so aussehen: Wer eine gerade Zahl wirft, bekommt 0 Punkte oder darf um 0 vorrücken usw Hier wird man also belohnt, wenn das Ereignis gerade Zahl eintritt Dieses besteht aus den Ergebnissen 2, 4 oder 6 Daher sind Ereignisse mathematisch gesehen auch wieder Mengen Man schreibt das Ereignis A: Es wird eine gerade Zahl gewürfelt auch als A = { 2;4;6} und identifiziert sozusagen Ereignisse mit Mengen Hier weitere Beispiele zu Ereignissen, die beim Würfeln vorkommen können: B: Es wir eine Zahl gewürfelt, die größer als 3 ist : B = { 4;5;6} C: Es wird die Zahl 5 oder 6 gewürfelt : C = { 5;6} D: Es wird nicht die 2 gewürfelt : D = { ;3;4;5;6} E: Man würfelt weder die noch die 3 noch die 5 : E = { 2;4;6} Hier muss man erkennen, dass die Ereignisse A und E gleich sind! Wir halten fest: Ereignisse können durch ganz verschiedene Texte oder Eigenschaften beschrieben werden Wenn ihre Ergebnismengen übereinstimmen, sind sie mathematisch gesehen dasselbe Ereignis! F: Die gewürfelte Zahl ist 2 : F = { 2} G: Es wird die 5 gewürfelt : G = { 5} Ereignisse, die nur ein Ergebnis besitzen, nennt man Elementarereignisse Es gibt bei diesem Zufallsexperiment Würfeln genau 6 Elementarereignisse H: Es wird die Zahl 7 gewürfelt : H = { } Weil dies bei einem üblichen Würfel dies nicht möglich ist, besitzt H kein Ergebnis Man schreibt dann die leere Menge als Ereignismenge auf Ereignisse, zu denen es kein Ergebnis gibt, nennt man das unmögliche Ereignis Es gibt übrigens nur ein unmögliches Ereignis: H : Es wird die Zahl 8 gewürfelt ist nämlich dieselbe leere Menge I: Es wird eine Zahl kleiner als 9 gewürfelt Dies ist das sichere Ereignis, denn es tritt bei jedem Wurf ein Seine Ergebnismenge ist die Grundmenge I= S= { ;2;3;4;5;6} Es gibt sehr viel mehr Ereignisse, aber doch nicht beliebig viele Man kann im Unterricht die Kinder einmal alle denkbaren Ergebnismengen, also Ereignisse aufschreiben lassen Dabei muss man beachten, dass die Reihenfolge der Ergebnisse in einer Menge unwichtig ist Also stellen { 2;3;5} = { 2; 5;3} = { 3;2;5} = { 3;5;2} = { 5;2;3} = { 5;3;2} dieselbe Menge dar, die man übrigens verbal so beschreiben kann: Es wird eine Primzahl gewürfelt (Eine Primzahl besitzt genau 2 Teiler, die und sich selbst Daher ist keine Primzahl) Wir werden später zeigen, dass es beim Würfeln 64 mögliche Ereignisse gibt
30 Stochastik Einführung Teil 4 b) Das Zufallsexperiment Werfen einer Münze besitzt die Ergebnismenge S = { W ;Z} Wir wollen jetzt einmal alle möglichen Ereignisse finden, die es dazu gibt Dazu müssen wir uns gemerkt haben: Jedes Ereignis ist eine Menge, deren Elemente aus der Ergebnismenge S stammen, die also Element von S sind Man sagt daher: Jede Teilmenge der Menge S ist ein Ereignis Auf der Suche nach allen möglichen Ereignissen, die beim Werfen einer Münze eintreten können, müssen wir also sämtliche Teilmengen von S bestimmen Schritt: Es gibt 2 Teilmengen mit nur einem Element (Elementarereignisse): A W B = Z = { } und { } 2 Schritt: Das Ereignis C = {} besitzt kein Element aus S Eine Beispiel für eine verbale Beschreibung ist Man wirft die Zahl 7 Da es (zumindest in Deutschland) keine Münze mit dem Wert 7 gibt, liegt hier das unmögliche Ereignis vor 3 Schritt: Das Ereignis Man wirft Zahl oder Wappen wird durch die Grundmenge dargestellt Diese gilt auch als Teilmenge, sozusagen von sich selbst Es hat sich bewährt, dass man jede Menge auch als Teilmenge von sich selbst bezeichnet, oft sagt man dann auch unechte Teilmenge dazu Ergebnis: Die Grundmenge S = { W ;Z} besitzt 4 Teilmengen: 2 mit je einem Element, dazu die leere Menge und die Grundmenge selbst Das gilt natürlich auch für jedes andere Zufallsexperiment, dessen Grundmenge nur aus zwei Elementen besteht Denken wir uns einen Stapel mit 0 Karten, von denen 3 rot und 7 schwarz sind, dann gehört zum Zufallsexperiment Ziehen einer Karte die Grundmenge S = { r ;s} Und genau wie oben gibt es dazu 4 Teilmengen, also kann man genau vier mögliche Ereignisse erwarten Und immer gehören das unmögliche Ereignis { } und das sichere Ereignis S dazu c) Das Drehen des abgebildeten Glücksrades Aufgabe: führt zur Ergebnismenge S = { ;2;3} 2 3 Schreibe alle 8 Teilmengen auf, die es zu dieser Grundmenge gibt Versuche auch, zu jeder dieser Mengen (= zu jedem Ereignis) eine verbale Beschreibung zu finden Denke daran, dass man jedes Ereignis auf beliebig viele Arten beschreiben kann Hier sind also der Fantasie wenig Grenzen gesetzt Die Antwort steht auf der nächsten Seite
30 Stochastik Einführung Teil 5 Lösung Schritt: Wenn das Rad an einer Zahl stehen bleibt, dann ist ein Elementarereignis eingetreten Davon gibt es diese drei: A: Es erscheint die Zahl : A = { }, B: Es erscheint eine Gerade Zahl : B = { 2}, C: Man erhält weder noch 2 : C = { 3} 2 Schritt: Es gibt Ereignisse (= Teilmengen), die genau zwei Ergebnisse besitzen: D: Es erscheint eine Zahl, die kleiner als 3 ist D = { ; 2}, E: Es erscheint eine Zahl größer als : E = { 2;3} F: Wir erhalten eine ungerade Zahl : F = { ;3} 3 Schritt: Das unmögliche Ereignis: U = { } Man könnte es z B so beschreiben: Man erhält die Zahl 5 4, Schritt: Das sichere Ereignis: S = { ;2;3} Eine mögliche Beschreibung ist etwa: Man erhält eine Zahl kleiner als 4 Aufgabe: Wir untersuchen weitere Ereignisse zu diesem Experiment Da es keine anderen als die oben genannten acht gibt, kann man sie diesen zuordnen: A, B, C, D, E, F, U oder S Führe das aus: E : Man erhält eine Zahl, die Teiler von 8 ist E 2 : Man erhält eine Zahl, die kleiner als 0 ist E 3 : Man erhält eine Primzahl E 4 : Man erhält eine Zahl, die ungleich ist E 5 : Man erhält keine Primzahl E 6 : Man erhält die Lösung der Gleichung 2 x+ 3 = 3 E 7 : Man erhält eine gerade Zahl E 8 : Man erhält eine Zahl, die folgende Eigenschaft hat: Addiert man zu ihrem Quadrat die 6, dann erhält man ihren fünffachen Wert E 9 : Man erhält eine Zahl, die blau ist E 0 : Man erhält eine Zahl, deren Farbe rot oder schwarz ist Die Lösungen stehen auf der nächsten Seite:
30 Stochastik Einführung Teil 6 Lösung E = D = { ; 2} Man erhält eine Zahl, die Teiler von 8 ist E 2 = S = { ;2;3} Man erhält eine Zahl, die kleiner als 0 ist E 3 = E = { 2;3} Man erhält eine Primzahl E 4 = E = { 2;3} Man erhält eine Zahl, die ungleich ist E 5 = A = { } Man erhält keine Primzahl E 6 = U = { } Man erhält die Lösung der Gleichung 2 x+ 3 = 3 Die Lösung ist 5, und die gehört nicht zur Grundmenge S E 7 = B = {} 2 Man erhält eine gerade Zahl E 8 = E = { 2;3} Man erhält eine Zahl, die folgende Eigenschaft hat: Addiert man zu ihrem Quadrat die 6, dann erhält man ihren fünffachen Wert Am schnellsten geht es, wenn man die Probe für alle drei Zahlen der Grundmenge durchführt: x = : 2 + 6 = 7 und 5 = 5 stimmt nicht x = 2: 2 2 + 6 = 0 und 2 5 = 0 stimmt! x = 3: 2 3 + 6 = 5 und 3 5 = 5 stimmt E 9 = B = {} 2 Man erhält eine Zahl, die blau ist Hat man eine Schwarz-weiß-Kopie der Aufgabe, dann ist E = U= {} E 0 = F = { ;3} Man erhält eine Zahl, deren Farbe rot oder schwarz ist Hat man eine Schwarz-weiß-Kopie der Aufgabe, dann ist E S { ;2;3} denn sind alle Zahlen schwarz 9 9 = =, d) Das Drehen des abgebildeten Glücksrades führt zur Ergebnismenge S = { ;2;3;4} Die Aufzählung aller Teilmengen gestaltet sich hier etwas aufwendiger 2 4 3 Wie immer gehören die leere Menge {} für das unmögliche Ereignis und die Grundmenge S = { ;2;3;4} für das sichere Ereignis dazu Dann die vier Elementarereignisse (die je nur Ergebnis zulassen): {} ; { 2; } { 3 };{ 4 } Nun folgen die Teilmengen, die genau 2 Ergebnisse (Elemente von S) enthalten und schließlich diejenigen mit 3 Ergebnissen Schreibe sie bitte selbst auf!
30 Stochastik Einführung Teil 7 Teilmengen mit 2 Elementen: { } { } { } { 2;3 },{ 2;4} { 3; 4} ; 2, ; 3, ; 4, (Erklärung: In der Reihe stehen die drei Teilmengen, die mit beginnen, darunter diejenigen, die mit 2 beginnen, und schließlich gibt es noch ein Paar, das mit 3 beginnt Die Paare { 2; },{ 3; },{ 3;2 },{ 4; },{ 4;2} und { 4;3 } sind identisch mit { ; 2 }, { ; 3 }, { 2;3 }, { ; 4 }, { 2;4 } und { } in einer Menge keine Rolle spielt! 3;4, weil die Reihenfolge der Aufzählung Teilmengen mit 3 Elementen: { ;2;3 } ; { ;2;4 } ;{ ;3;4 } ;{ 2;3;4 } Diese sind wieder leichter zu finden: Wenn drei von vier Elemente vorhanden sein sollen, dann fehlt immer eines, also zuerst die 4, dann die 3, dann 2 und am Ende die Zahl Wir addieren zusammen: Leere Menge, Grundmenge, 4 Elementarereignisse, 6 Ereignisse mit 2 Ergebnissen und 4 mit 3 Ergebnissen Das sind zusammen 6 mögliche Ereignisse Hier eine Zusammenstellung der bisherigen Ergebnisse: Anzahl der Elemente S = (Beispiel) Anzahl der Teilmengen (Ereignisse) 2 {W;Z} 4 3 { ; 2 ; 3 } 8 4 { ; 2 ; 3, 4 } 6 Man kann folgendes feststellen: Mit zunehmender Anzahl von Ergebnissen (d h Elementen in S) verdoppelt sich die Zahl der Ereignisse Vermutung: Wenn man aus einem Stapel mit 5 Spielkarten { ;2;3;4;5 } eine Karte zieht, Dies bedeutet verallgemeinert: dann gibt es 32 mögliche Ereignisse Hat ein Zufallsexperiment insgesamt n Elementarereignisse, dann gibt es dazu z = 2 n Ereignisse In einer Tabelle sieht das so aus: n 2 3 4 5 6 7 8 9 0 2 z 2 4 8 6 32 64 28 256 56 024 2048 4096 AUFGABE: Notiere alle 32 Teilmengen von S= { ;2;3;4;5}
30 Stochastik Einführung Teil 8 Lösung Unmögliches Ereignis: {} Elementarereignisse: {}{}{}{}, 2, 3, 4 und {} 5 Ereignisse mit 2 Elementen: Ereignisse mit 3 Elementen: Ereignisse mit 4 Elementen: { } { } { } { } { 2;3 },{ 2; 4 },{ 2;5 }, { 3;4 },{ 3;5} und { 4;5} ; 2, ; 3, ; 4, ; 5, { } { } { } { ; 3 ; 4 },{ ; 3 ; 5 }, { ; 4 ; 5 }, { 2;3;4 },{ 2;3;5 }, { 2;4;5} { 3;4;5} ;2;3, ;2;4, ;2;5, { ; 2 ; 3 ; 4 ; 5}; { ; 2;3; 4 ;5};{ ;2; 3 ;4;5}; ; 2 ;3;4;5 ; ;2;3;4;5 { } { } mit und 2 mit und 3 mit und 4 mit 2 und 3 mit 2 und 4 mit 2 und 4 Hier fehlt jeweils eines der 5 Elemente Das sichere Ereignis: S { ; 2;3; 4 ; 5} = Das sind zusammen 32 Ereignisse (Teilmengen von S) Ergänzung: Für Interessierte sei verraten, wieso sich die Anzahl der Teilmengen verdoppelt, wenn man ein Element mehr dazu nimmt: Man nehme das Beispiel (d) her, dort hat S = { ; 2;3; 4} schon 6 Ereignisse Diese sind alle ohne die Zahl 5 Nehmen wir überall noch die 5 dazu, kommen nochmals 6 Teilmengen dazu, und man hat genau die 32 Mengen von oben!
30 Stochastik Einführung Teil 9 2 Laplace-Experimente und ihre Wahrscheinlichkeit Lesetext zur Einführung Unser Ziel ist es, die Chancen für das Eintreten eines bestimmten Ereignisses bei der Durchführung eines Zufallsexperiments zahlenmäßig zu erfassen Dies ist quasi ein Blick in die Zukunft: Was können wir erwarten? Wie man den Blick in die Vergangenheit schafft, das wurde in 40 besprochen Wenn man das in Frage kommende Experiment ganz oft durchführt, kann man die Ergebnisse statistisch erfassen und auswerten Die Auswertung kann ganz einfach dadurch geschehen, dass man die relative Häufigkeit der einzelnen Ergebnisse oder Ereignisse berechnet Wenn man hier möglichst aussagekräftige Werte bekommen will, muss man das Experiment möglichst oft durchführen Beispiel : Man wirft eine Münze mit den Oberflächen Wappen und Zahl Das Zufallsexperiment Werfen einer Münze hat somit die Ergebnismenge S = { W ;Z} Wenn man nur 0-mal wirft, kann es sein, dass man 3-mal Wappen und 7-mal Zahl bekommt oder 6-mal Wappen und 4-mal Zahl Wenn die Münze gleichmäßig gearbeitet (man sagt ideal ) ist, dann wird aber folgendes eintreten: Je öfter man wirft, desto mehr nähern sich die relativen Häufigkeiten beider Ergebnisse dem Wert 0,5 Das passt zur Vorstellung der gleichen Chancen beider Seiten Es wird aber sicher bei 00 000 Würfen nur sehr selten auf genau 50 000-mal W und 50 000-mal Z hinauslaufen, aber wir können dann vielleicht so um 49 000-mal W und 5 000-mal Z bekommen, was den relativen Häufigkeiten 49 000 Wappen 00 000 h = = 0,49 bzw h Zahl = 0,5 entspricht Die Mathematiker formulieren es so: Mit zunehmendem Umfang der Stichprobe bzw mit zunehmender Anzahl der Würfe stabilisieren sich die relativen Häufigkeiten Wenn beide Seiten der Münze die gleichen Wahrscheinlichkeiten haben, dann ist dies die ideale relative Häufigkeit genau 0,5, und dies nennt man dann die Wahrscheinlichkeit dieser beiden Ergebnisse Beispiel 2: Beim Werfen eines Würfels können wir 6 Ergebnisse erwarten Ist der Würfel ideal, dann ist jede Zahl gleichberechtigt Dann werden sich die relativen Häufigkeiten nach häufigem Würfeln bei stabilisieren, denn die Summe aller relativen Häufigkeiten ist, und alle sind im Idealfall gleich 6 groß Also sagt man: Jedes Ergebnis tritt mit der Wahrscheinlichkeit auf Das ist dann die 6 Vorhersage der zu erwartenden relativen Häufigkeit bei häufigem Würfeln Beispiel 3: Das Glücksrad heißt ideal, wenn alle drei Sektoren gleich (kongruent) sind, also dieselben Innenwinkel besitzen (und das Rad sonst auch gleichmäßig gearbeitet ist) Dann hat jede Zahl dieselbe Wahrscheinlichkeit Würde man sehr oft spielen, dann würden sich die relativen Häufigkeiten h(), h(2) und h(3) - 2 3 deren Summe ja ist - wegen der gleichen Chancen bei einpendeln 3 Man ordnet daher jedem der Elementarereignisse {, } { 2, } { 3 } die Wahrscheinlichkeit zu! 3
30 Stochastik Einführung Teil 0 2 Merke Ein Experiment, bei dem alle Ergebnisse (Ausgänge) die gleichen Wahrscheinlichkeiten besitzen, nennt man ein Laplace-Experiment Alle möglichen Elementarereignisse haben dann die gleiche Wahrscheinlichkeit Besitzt die Ergebnismenge n Ergebnisse, dann ist die Wahrscheinlichkeit von jedem Elementarereignis n Dies ist die vorhergesagte relative Häufigkeit, der man sich nähern würde, wenn man das Experiment sehr oft durchführen würde 3 Formulierungen Beispiel : Werfen einer Münze Dieses Zufallsexperiment hat die Ergebnismenge S = { W ;Z} Man kann nun sagen: Das Ergebnis W (Wappen) tritt mit der Wahrscheinlichkeit p W = auf, oder: 2 Das Ereignis { W } besitzt die Wahrscheinlichkeit P( { W }) = 2 Entsprechend gilt: Das Ergebnis Z (Zahl) tritt mit der Wahrscheinlichkeit p Z = auf, oder: 2 P Z = ( ) 2 Das Ereignis { Z } besitzt die Wahrscheinlichkeit { } Erklärung der Schreibweise: Die Schreibweise p W verwendet man für die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses oder Merkmals Für die Wahrscheinlichkeit von Ereignissen verwendet man in der Regel das große P mit zwei Klammern, zwischen die man das Ereignis schreibt, also P( ) Wenn A das Ereignis A = { ;3} ist, dann bezeichnet man mit P(A) seine Wahrscheinlichkeit Man kann aber auch statt A die Mengenschreibweise verwenden, dann aber kommen eben die P ;3 ist dann die Wahrscheinlichkeit P(A) ( ) Mengenklammern noch dazu: { } Die richtige Verwendung der Klammern ist sehr wichtig Falsch und damit sogar sinnlos wäre beispielsweise die Schreibweise P;3, ( ) denn zwischen den runden Klammern steht jetzt keine Menge und daher auch kein Ereignis! ( ) Falsch ist auch { } will P { A } bedeutet nämlich die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses { } P A, wenn man damit die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A bezeichnen ( ) A, also des Eintretens des Ergebnisses A (etwa ein As in einem Stapel Spielkarten), nicht des Ereignisses A
30 Stochastik Einführung Teil Schüler haben da lange Verständnisprobleme, weil die mathematische Fachsprache sehr genau ist Man darf die Begriffe Ergebnis und Ereignis nicht verwechseln Beispiel 2: Würfeln Wenn beim Würfeln die Zahl 5 als Ergebnis auftritt, dann ist das Ereignis { 5 } eingetreten Bei einem idealen Würfel (also einem Würfel, bei dem also alle 6 Ergebnisse mit der gleichen Wahrscheinlichkeit eintreten, man nennt einen solchen Würfel auch Laplace-Würfel oder kurz L-Würfel), sind die Wahrscheinlichkeiten für alle Ergebnisse Das kann man so schreiben: 6 p = p = p = p = p = p = 2 3 4 5 6 6 Natürlich sind dann auch die Wahrscheinlichkeiten für die 6 Elementarereignisse {} bis { 6 } 6 Das ist genau dasselbe, nur man muss es jetzt, weil man von Ereignissen spricht, mit der Mengenschreibweise notieren: P {} = P 2 = P 3 = P 4 = P 5 = P 6 = ( ) ({ }) ({ }) ({ }) ({ }) ({ }) 6 4 Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen mit mehr als einem Ergebnis Lesetext: Bleiben wir beim Beispiel Würfeln MERKE: Welche Wahrscheinlichkeit besitzt das Ereignis A: Man würfelt eine gerade Zahl? Wir können A als Menge A = { 2;4;6} schreiben und zeigen damit, welche Ergebnisse möglich sind, damit wir sagen können, das Ereignis A ist eingetreten Jeder stellt sofort fest: Das ist genau die Hälfte aller Möglichkeiten, also wird die Wahrscheinlichkeit sein (D h wenn man sehr oft würfelt, wird die relative Häufigkeit 2 für das Eintreten des Ereignisses A etwa 0,5 sein) Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses B = { ;6} ist PB ( ) =, denn hier liegen zwei 3 günstige Ergebnisse vor Wenn eines von diesen vorkommt, dann ist das Ereignis B eingetreten Das sind 2 von 6 Möglichkeiten, also ein Drittel aller Ergebnisse Das Ereignis C = { 3;4;5;6} (eine Zahl größer als 2 würfeln) hat vier günstige von insgesamt 6 möglichen Ergebnissen ein Damit können wir in 4 von 6 Fällen mit C rechnen 4 2 Die Wahrscheinlichkeit von C ist daher PC ( ) = = 6 3 Umfasst die Ergebnismenge eines Zufallsexperiments genau n Elemente und bezieht sich ein Ereignis E auf insgesamt g Elemente, dann berechnet man die Wahrscheinlichkeit für g das Eintreten des Ereignisses E durch die Formel PE ( ) = m Anzahl der für E günstigen Ergebnisse ( ) ( ) Anzahl der möglichen Ergebnisse PE = also PE = g m
30 Stochastik Einführung Teil 2 5 Musterbeispiele und Aufgaben Beispiel Das Glücksrad 2 4 3