Die Wahrscheinlichkeitstheorie nach Laplace

THM Campus Friedberg 02.12.2012 Fachbereich: M, Maschinenbau Fach: Mathematik 3 Dozent: Dipl. Log. me. Stefan Kästner (FH) WS 2012/2013 Die Wahrscheinlichkeitstheorie nach Laplace Vorgelegt von: Gruppe 2

Inhalt 1.Einleitung... 2 Der Wahrscheinlichkeitsbegriff... 2 Geschichte der Wahrscheinlichkeitstheorie... 3 Die Person Marquis Pierre Simon de Laplace... 3 Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie... 4 2. Wahrscheinlichkeitsdefinition nach Laplace... 8 Definition Laplace-Experiment... 8 Definition Prinzip des unzureichenden Grundes... 9 Definition Laplace Wahrscheinlichkeit... 10 Wichtige Eigenschaften der Laplace-Wahrscheinlichkeit... 10 3. Beispiele... 11 Der Münzwurf... 11 Das Würfelspiel... 12 Lotto 6 aus 49... 13 Wahrscheinlichkeit bei Stichprobenprüfungen... 14 4. Kritik am Laplace schen Wahrscheinlichkeitsbegriff... 15 Beispiel: Werfen von zwei Spielwürfeln... 15 Literaturverzeichnis... 19 1

1.Einleitung Im Grunde ist Wahrscheinlichkeitsrechnung nur normaler gesunder Menschenverstand, ausgedrückt durch Mathematik. Sie versetzt uns in die Lage, Dinge exakt abzuschätzen, die wir in einer Art Instinkt fühlen, aber nicht erklären können. Pierre-Simon Laplace Der Wahrscheinlichkeitsbegriff Im Alltag werden viele Begriffe zur Beschreibung der Wahrscheinlichkeit verwendet. Hier werden Aussagen getroffen wie beispielsweise Morgen wird es wahrscheinlich schneien, Ich werde höchstwahrscheinlich im Wintersemester 2012/2013 die Mathematik 3 Klausur bestehen. 1 2 Diese Aussagen geben ausschließlich eine subjektive Einschätzung des zukünftigen Geschehens wieder. 3 Der in der Mathematik verwendete Wahrscheinlichkeitsbegriff trifft hingegen eine quantitative Aussage. 4 Die Wahrscheinlichkeitstheorie bildet die Grundlage für die induktive Statistik und fungiert als Bindeglied zwischen der Stichprobe und der Grundgesamtheit. 5 Quelle: Senger, Jürgen (2008), S.2 Abb.1 Die Ergebnisse eines Zufallsexperiments sind vor der Durchführung noch völlig offen. 6 Die Wahrscheinlichkeitstheorie ordnet diesen Ergebnissen Wahrscheinlichkeiten zu. 7 Unter der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses verstehen wir ein quantitatives Maß für die Sicherheit, mit der das Ereignis bei einem Zufallsexperiment eintritt. 8 1 vgl. Bartel, Hans (1978), S.82 2 vgl. Küchenhoff, Helmut et. al. (2006), S. 25 3 vgl. Bartel, Hans (1978), S.82 4 vgl. Bartel, Hans (1978), S.82 5 vgl. Senger, Jürgen (2008), S.2 6 vgl. Senger, Jürgen (2008), S.17 7 vgl. Senger, Jürgen (2008), S.17 8 Senger, Jürgen (2008), S.17 2

Geschichte der Wahrscheinlichkeitstheorie Die Wahrscheinlichkeitsrechnung wurde im 17. und 18. Jahrhundert entwickelt, um die Gewinnchancen bei Glücksspielen wie Würfeln, Kartenziehen und Münzwurf zu berechnen. 9 Bei Glücksspielen sind Ablauf und Ergebnis vom Zufall abhängig, wodurch es sich um Zufallsprozesse handelt. 10 Die Analyse von Zufallsprozessen zeigt, dass Zufallsprozesse Regelmäßigkeiten aufweisen und führt zur Definition der mathematischen Wahrscheinlichkeit. 11 Eine explizite Angabe der klassischen Wahrscheinlichkeit findet man erstmals in dem 1812 erschienenen Werk Théorie analytique des probabilités (Analytische Theorie der Wahrscheinlichkeiten) von Pierre Simon de Laplace. 12 Die Person Marquis Pierre Simon de Laplace Der Franzose Marquis Pierre Simon de Laplace (1749 1827) war einer der 13 14 bedeutendsten Mathematiker und Physiker Frankreichs. Laplace studierte ab dem Jahr 1766 Theologie und Philosophie, entdeckte aber schnell sein Interesse an der Mathematik. 15 Schon zwei Jahre später (1768) wechselte Laplace ohne Abschluss allerdings mit einem Empfehlungsschreiben seines Professors zu dem damals berühmtesten Mathematiker Frankreichs Jean Baptiste le Rond d Alembert nach Paris. 16 Ab dem Jahr 1771 arbeitete der junge Laplace als Lehrer für Geometrie, Trigonometrie, elementare Analysis und Statistik an der Pariser Militärakademie. Hier befasste er sich hauptsächlich mit den Themen Extremwertprobleme, Himmelsmechanik, Differentialgleichungen, Wahrscheinlichkeitsrechnung sowie Integralrechnung. 17 1794 war Laplace Professor für Mathematik an der École Polytechnique in Paris und gleichzeitig Vorsitzender der Kommission für Maße und Gewichte. 18 19 Laplace trug insbesondere mit seinem 9 vgl. Senger, Jürgen (2008), S.2 10 vgl. Senger, Jürgen (2008), S.2 11 Senger, Jürgen (2008), S.2 12 vgl. Engel, W. et.al. (Hrsg.) (1980), S. 256 13 vgl. Küchenhoff, Helmut et. al. (2006), S. 27 14 vgl. Büchter, Andreas (2007), S. 167 15 vgl. Romeike, Frank (2009), S.62 16 vgl. Romeike, Frank (2009), S.62 17 vgl. Romeike, Frank (2009), S.62 18 vgl. Henze, Norbert (2012), S.47 19 vgl. Büchter, Andreas (2007), S. 167 3

Werk Théorie analytique des probabilités (1812) zur Weiterentwicklung der Wahrscheinlichkeitsrechnung bei. 20 21 Laplace behandelt in seinen Veröffentlichungen unter anderem den Erwartungswert sowie die Sterblichkeit und die Lebenserwartung und widerlegt die von vielen Mathematikern angenommene These, dass eine strenge mathematische Behandlung der Wahrscheinlichkeit nicht möglich sei. 22 Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie Die Gesamtzahl aller möglichen Elementarereignisse bei einem Zufallsexperiment wird als Ergebnismenge Ω bezeichnet. 23 Bei Laplace-Experimenten ist diese Ergebnismenge endlich und setzt sich aus m verschiedenen Elementarereignissen zusammen. 24 Die einzelnen Elementarereignisse werden üblicherweise mit dem kleinen griechischen Buchstaben ω abgekürzt. 25 Dieser Zusammenhang lässt sich wie folgt zusammenfassen 26 : Ω = { ω 1,ω 2,... ω m } ( m endlich ) Die Anzahl m der möglichen Elementarereignisse und somit die Größe der Ergebnismenge Ω ist wiederum von der Fragestellung des Zufallsexperimentes abhängig. 27 Beim Würfeln mit einem einzelnen Würfel erhält man, z.b. für die unten genannten Fragestellungen, folgende Ereignismengen 28 : 1. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit eine 1 oder keine 1 zu würfeln? Ω 1 = { 1, keine 1 } 2. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit eine gerade oder ungerade Zahl zu würfeln? Ω 2 = { gerade, ungerade } 3. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit eine 1, 2, 3, 4, 5 oder 6 zu würfeln? Ω 3 = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } 20 vgl. Henze, Norbert (2012), S.47 21 vgl. Romeike, Frank (2009), S.62 22 in enger Anlehnung an Romeike, Frank (2009), S.62 23 vgl. Büchter, Andreas (2007), S. 162 ff. 24 vgl. ebd. 25 vgl. ebd. 26 vgl. ebd. 27 vgl. ebd. 28 vgl. ebd. 4

Wenn die Ergebnismenge nicht so eindeutig wie bei einem Würfel ist, so muss man diese selbst festlegen. 29 Wichtig ist hierbei, dass wirklich alle Ergebnisse die auftreten können auch in der Ergebnismenge beinhaltet sind. 30 Fragt man beispielsweise nach der Lebenserwartung eines Menschen, so muss auch der medizinische Fortschritt berücksichtigt werden. 31 Vor einigen Jahrzehnten wäre eine Ergebnismenge Ω = { 0,1, 2,..., 100 } noch ausreichend gewesen. 32 Heutzutage würde man diese hingegen auf Ω = { 0,1, 2,..., 122 } erweitern. 33 Verfolgt man diesen Gedankengang der Erweiterung bis zum Ende, so kommt man zu einer Ergebnismenge, die unendlich groß, aber immer noch abzählbar ist. 34 Dies ist z.b. der Fall, wenn man beim Würfeln mit einem einzigen Würfel fragt: 4. Wie oft muss man würfeln, bis zum ersten Mal eine 1 erscheint? 35 Ω 4 = { 1, 2, 3, 4,... } = N Bei diesen unendlich großen aber dennoch abzählbaren Ergebnismengen spricht man auch von diskreten Ergebnismengen. 36 Nach der nunmehr erfolgten Erweiterung zu einer diskreten Ergebnismenge Ω, die m Elementarereignisse beinhaltet, kann man noch die Fragestellung erweitern. 37 Nachdem man beim Würfeln nach der Wahrscheinlichkeit, eine 1, 2, 3, 4, 5 oder 6 zu würfeln, gefragt hat, kann man in einem zweiten Schritt fragen ob es sich um eine gerade oder ungerade Augenzahl handelt. 38 An dieser Stelle greift man auf die Mengenlehre zurück und definiert, dass die Ergebnismenge Ω nicht mehr pauschal m Elementarereignisse ω beinhaltet, sondern 29 vgl. Büchter, Andreas (2007), S. 162 ff. 30 vgl. ebd. 31 vgl. ebd. 32 vgl. ebd. 33 vgl. ebd. 34 vgl. ebd. 35 vgl. ebd. 36 vgl. ebd. 37 vgl. ebd. 38 vgl. ebd. 5

generell nur noch Teilmengen. 39 Diese Teilmengen bezeichnet man als Ereignisse E => E Ω. 40 Das Elementarereignis ω wird jetzt als einelementige Teilmenge verstanden { ω } Ω. 41 Fasst man nun alle Teilmengen/Ereignisse zusammen und berücksichtigt dabei sogar das unmögliche Ereignis E =, so kommt man zu einer diskreten unendlich großen aber dennoch abzählbaren Ereignismenge. 42 Diese bezeichnet man als Potenzmenge P(Ω) von Ω. 43 P(Ω) = {, {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}, {2,4,6}, {1,3,5},..., {1,2,3,4,5,6} } 39 vgl. Büchter, Andreas (2007), S. 162 ff. 40 vgl. ebd. 41 vgl. ebd. 42 vgl. ebd. 43 vgl. ebd. 6

Grundbegriffe für diskrete Zufallsexperimente Begriff Definition Beispiel: E= { } Ereignis Elementarereignis Einelementige Teilmenge { ω } Ω E = { 1 } Man würfelt eine 1 Ereignis Teilmenge E Ω E 1 = { 2, 4, 6 } Ergebnismenge eines diskreten Zufallsexperiments Menge Ω aller Ergebnisse eines Zufallsexperiments Die Augenzahl ist gerade E 2 = { 1, 3, 5 } Die Augenzahl ist ungerade Ω = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } Ereignismenge Potenzmenge P(Ω) P(Ω) = {, {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}, {2,4,6}, {1,3,5},..., {1,2,3,4,5,6} } Sicheres Ereignis E = Ω E = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } Man würfelt eine Augenzahl zwischen 1 und 6 Unmögliches Ereignis E = E = {7} Man würfelt eine 7 Unvereinbare Ereignisse Gegenereignis des Ereignisses E UND-Ereignis zweier Ereignisse E 1 und E 2 ODER-Ereignisse zweier Ereignisse E 1 und E 2 E 1, E 2 Ω mit E 1 E 2 = Man würfelt eine gerade Zahl, die durch 5 teilbar ist E := Ω \ E E = Ω \ E = { 1, 3, 5 } E 1 E 2 E = { 4 } Gegenereignis von Die Augenzahl ist gerade Die gewürfelte Augenzahl ist gerade und eine 4 E 1 E 2 E 1 E 2 = { 1, 2, 4, 6 } Die Zahl ist gerade oder eine Eins Tabelle in naher Anlehnung an Büchter, Andreas (2007), S.164 7

2. Wahrscheinlichkeitsdefinition nach Laplace Die Theorie des Zufalls (des hasards) besteht darin, alle Ereignisse derselben Art auf eine gewisse Anzahl gleich möglicher Fälle zurückzuführen, d. h. auf solche, über deren Existenz wir in gleicher Weise im Unklaren sind, und dann die Zahl der Fälle zu bestimmen, die dem Ereignis, dessen Wahrscheinlichkeit man sucht, günstig sind. Das Verhältnis dieser Zahl zu der aller möglichen Fälle ist das Maß dieser Wahrscheinlichkeit, die also nur ein Bruch ist, dessen Zähler die Zahl der günstigen Fälle, und dessen Nenner die Zahl aller möglichen Fälle ist. Pierre-Simon Laplace (Erschienen im Werk Philosophischer Versuch über die Wahrscheinlichkeiten im Jahr 1814) 44 Diese Definition des Wahrscheinlichkeitsbegriffs nach Pierre Simon Laplace gilt nur für gleichwahrscheinliche Elementarereignisse. 45 Bei dieser Vorstellung wird vorausgesetzt, dass alle Ergebnisse die gleiche Chance haben müssen, um eintreten zu können. 46 Diese idealisierte Form von Zufallsexperimenten, wird heute als Laplace- Experimente bezeichnet. 47 Definition Laplace-Experiment Ein Laplace-Experiment ist ein Zufallsexperiment mit einer endlich großen Ergebnismenge (Ω) aus endlich vielen gleichwahrscheinlichen (gleichmöglichen) Elementarereignissen (ω). 48 49 Ω = (ω 1, ω 2,... ω m ) Gleichmöglich bedeutet in diesem Zusammenhang, dass kein Elementarereignis (ω) in irgendeiner Weise gegenüber den anderen Elementarereignissen bevorzugt oder benachteiligt ist. 50 44 vgl. Romeike, Frank (2009), S.64 45 vgl. Neubert, Bernd (2012), S.28 46 vgl. Neubert, Bernd (2012), S.28 47 vgl. Senger, Jürgen (2008), S.17 48 vgl. Senger, Jürgen (2008), S.17 49 vgl. Papula, Lothar (1999), S.274 50 vgl. Papula, Lothar (1999), S.274 8

Damit, z.b. beim Werfen eines Würfels, alle 6 Elementarereignisse {1, 2, 3, 4, 5, 6} mit der gleichen Wahrscheinlichkeit auftreten, muss der Würfel folgende Eigenschaften aufweisen: gefertigt aus homogenem Material genaue kubische Form keine Vertiefungen oder Erhöhungen zur Darstellung der Augenzahl (alternativ: unterschiedlich große Vertiefungen zur Darstellung der Augenzahlen) Ein derart gefertigter Würfel ist ein fairer oder idealer Würfel. 51 52 (Siehe Abb.2) Abb.2 Quelle: Büchter, Andreas (2007), S.170 In Annäherung kann man diesen auch als Laplace-Würfel oder L-Würfel bezeichnen. 53 Weitere Beispiele für Laplace-Experimente sind: - Das Werfen einer idealen Münze - Das Ziehen einer Kugel aus einer idealen Urne - Das Ziehen einer Karte aus einem idealen Kartenspiel 54 Überall hier wird das Prinzip des unzureichenden Grundes angewendet. Definition Prinzip des unzureichenden Grundes Wenn man annehmen kann, dass ein Ereignis nicht eher als ein anderes eintreten wird, nimmt man alle Ereignisse als gleichwahrscheinlich an. 55 51 vgl. Büchter, Andreas (2007), S.170 52 vgl. Senger, Jürgen (2008), S.17 53 vgl. Büchter, Andreas (2007), S.170 54 vgl. Senger, Jürgen (2008), S.18 9

Definition Laplace Wahrscheinlichkeit Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses P(E) wird als Quotient aus der Anzahl E der für das Ereignis günstigen Ergebnisse und der Anzahl Ω aller möglichen Ergebnisse berechnet. 56 Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses: ( ) I I h = IΩI h Ω = " ü " " ö h " Der Buchstabe P für Wahrscheinlichkeit kommt von dessen lateinischer Übersetzung 57 58 probabilitas. Wichtige Eigenschaften der Laplace-Wahrscheinlichkeit 59 1. Für die klassische Wahrscheinlichkeit P(E) gilt: 0 P(E) 1 2. Die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Ereignisse ist gleich 1: ( ) = ({ }) (Ω) = ({ }) = i({ω i}) = 1 Ω 3. Die Wahrscheinlichkeit eines sicheren Ereignisses ist gleich 1: P(Ω) = 1 4. Die Wahrscheinlichkeit eines unmöglichen Ereignisses ist gleich 0: P( ) = 0 55 vgl. Senger, Jürgen (2008), S.17 56 Neubert, Bernd (2012), S.28 57 vgl. Büchter, Andreas (2007), S.168 58 vgl. Büchter, Andreas (2007), S.168 59 vgl. Neubert, Bernd (2012), S.28 10

3. Beispiele Der Wahrscheinlichkeitsbegriff und auch die Wahrscheinlichkeitsrechnung sind stark durch das Glücksspiel geprägt. Deshalb liegt es nahe, Beispiele aus diesem Bereich zur Einführung in die Berechnung der Wahrscheinlichkeit zu wählen. Im Folgenden wird zusätzlich noch auf die Anwendung der Wahrscheinlichkeitsrechnung bei Stichprobenprüfungen von Fertigungslosen in der Industrie eingegangen. Der Münzwurf 60 Die Wahrscheinlichkeit bei einem Münzwurf, dass das Ereignis Zahl eintritt, liegt bei 0,5. Der mathematische Beweis für diese Aussage kann mit Hilfe der von Laplace aufgestellten Wahrscheinlichkeitsrechnung erbracht werden. Zuerst müssen die für den Versuch günstigen Ausgänge analysiert werden. Bei diesem Versuch gibt es genau zwei Ereignisse, das Ereignis A = Zahl und das Ereignis B = Kopf. Hieraus folgt, dass die Summe der positiven Ereignisse gleich 1 ist g(a)=1. Die Summe aller möglichen Versuchsausgänge, also Ereignis A und B, ist k=2. A: Die Münze zeigt die Zahl Damit ergibt sich: ( ) = ( ) = 1 =, = % 2 60 vgl. Neubert, Bernd (2012), S.28 11

Das Würfelspiel Die Wahrscheinlichkeit bei dem Spiel Mensch ärgere dich nicht, z.b. die Augenzahl 6 zu würfeln. 61 A: Die Augenzahl 6 wird gewürfelt. Für den Spieler günstiges Ereignis: g(a)=1 Würfel mit der Augenzahl 6 Summe der möglichen Ereignisse: k=6 Würfel mit der Augenzahl 1 bis 6 ( ) = ( ) = Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, eine gerade oder eine ungerade Augenzahl bei einem Würfelspiel zu würfeln? 62 A 1: Es wird eine gerade Augenzahl gewürfelt. A 2: Es wird eine ungerade Augenzahl gewürfelt. Für den Spieler günstiges Ereignis: Fall 1: (gerade Augenzahl) g(a)=3 Würfel mit der Augenzahl (2, 4, 6) Fall 2: (ungerade Augenzahl) g(a)=3 Würfel mit der Augenzahl (1, 3, 5) Summe der möglichen Ereignisse: k=6 Würfel mit der Augenzahl 1 bis 6 ( ) = ( ) = 3 6 = 1 =, = % 2 Bei diesem Beispiel kann man die allgemeingültige Beziehung erkennen, dass die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis eintritt und die Gegenwahrscheinlichkeit in der Summe immer 1 ergeben. 61 vgl. Senger, Jürgen (2008), S.19 62 vgl. Papula, Lothar (1999), S.278 12

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit mit zwei Würfeln eine Gesamtaugenzahl von 6 zu würfeln? 63 A: Es wird die Gesamtaugenzahl 6 gewürfelt. Für den Spieler günstiges Ereignis: g(a)= 5 = {(1, 5)(2, 4)(3, 3)(4, 2)(5, 1)} Summe der möglichen Ereignisse: k= 6 6 = 36 mögliche Kombinationen der Würfel ( ) = ( ) = 5 =, =, % 36 Lotto 6 aus 49 Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit beim Lotto 6 aus 49, ohne Zusatzzahl mit einem Sechser-Tipp Sechs Richtige zu haben? Zur Lösung dieser Fragestellung mit Hilfe der Laplace-Annahme muss zuerst geklärt werden, wie viele Möglichkeiten bestehen, aus einer Urne mit 49 Kugeln 6 Kugeln ohne zurücklegen und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge zu ziehen. Hierzu bilden wir den Binomialkoeffizienten von. In diesem Beispiel ist n die Anzahl aller Kugeln n=49 und k die Anzahl der gezogenen Kugeln k=6 Damit ergibt sich 49 48 47 46 45 44 = = 13983816 1 2 3 4 5 6 A: Es werden genau 6 richtige Zahlen gezogen. Summe der möglichen Ereignisse: k = 13983816 Für den Spieler günstiges Ereignis: g(a)=1 ( ) = ( ) = =, 63 vgl. Prof. Dr. Padberg, Friedhelm (2011), S.117 13

Wahrscheinlichkeit bei Stichprobenprüfungen In einer Warenlieferung von 100 Rc-Helikoptern befinden sind 15 defekte Helikopter. Ein Kunde nimmt sich einen Helikopter und bezahlt ihn an der Kasse. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Helikopter nach dem Auspacken zu Hause funktioniert? 64 A: Der Kunde nimmt einen funktionsfähigen Helikopter mit nach Hause Für den Kunden günstiges Ereignis: g(a)= 100-15 = 85 funktionsfähige Helikopter Summe der möglichen Ereignisse: k=100 alle Helikopter ( ) = ( ) = 85 =, 100 Der VW Konzern produziert in seinem Werk in Baunatal jeden Tag 50000 DSG- Getriebe. 100 von den heute gefertigten Getrieben sind mit fehlerhaften Wellendichtringen ausgestattet. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Fehler bei einer Stichprobenprüfung auffällt? 65 A: Ein defektes Getriebe wird geprüft. Anzahl der für die Stichprobe günstige Ereignisse: g(a)= 100 Anzahl der defekten Getriebe Summe der möglichen Ereignisse: k=50000 alle Getriebe ( ) = ( ) = 100 50000 = =, % 64 vgl. Papula, Lothar (1999), S.278 65 vgl. Engel, W. et.al. (Hrsg.) (1980), S. 34-35 14

4. Kritik am Laplace schen Wahrscheinlichkeitsbegriff Obwohl es sich bei der Laplace-Wahrscheinlichkeit eigentlich gar nicht um eine Definition handelt, sondern nur um eine Vorschrift zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit, wurde sie doch häufig als Definition verstanden, gegen die dann Einwände geltend gemacht wurden. 66 Die Annahme der Gleichwahrscheinlichkeit der Ereignisse, setzt immer einen idealen Würfel, Münze etc. voraus und engt damit die Anwendungsmöglichkeiten stark ein. 67 Der klassische Wahrscheinlichkeitsbegriff ist in der Praxis relativ selten anzutreffen da es sich hier vermehrt um asymmetrische Würfel, Münzen etc. handelt, bei denen die Ergebnisse nicht gleichwahrscheinlich sind (Beispiel: Wahrscheinlichkeit einer 68 69 Maschine, Ausschuss zu erzeugen). Ein Lösungsversuch für solche praxisnahen Beispiele besteht darin, zunächst Wurfversuche durchzuführen, die Ergebnisse tabellarisch zu dokumentieren und dann mit Hilfe dieses Erkenntnisstandes eine Aussage über die gefragte Wahrscheinlichkeit zu machen. 70 Die Grenzen des Laplace-Ansatzes zeigen sich nicht nur bei unsymmetrischen Würfeln sondern auch beim Definieren der Ergebnismengen so wie im anschließenden Beispiel Werfen von zwei Spielwürfeln. 71 Beispiel: Werfen von zwei Spielwürfeln Das nachfolgende Zufallsexperiment wurde aus dem Lehrbuch Elementare Stochastik von Andreas Büchter übernommen und soll die Grenzen der Laplace Wahrscheinlichkeitsannahme aufzeigen: Das Zufallsexperiment besteht aus dem Werfen zweier normaler Spielwürfel. Im Folgenden sind drei verschiedene Möglichkeiten ( a, b, c ) beschrieben, eine Ergebnismenge Ω zu definieren: 66 Prof. Dr. Padberg, Friedhelm (2011), S.87 67 Senger, Jürgen (2008), S.20 68 vgl. Degen, Horst (2012), S.123 69 Senger, Jürgen (2008), S.20 70 Prof. Dr. Padberg, Friedhelm (2011), S.88 71 vgl. Büchter, Andreas (2007), S.168 15

a. Für zwei optisch für uns nicht unterscheidbare Würfel wird die Ergebnismenge definiert durch Schaue auf die möglichen Zahlenpaare der obenliegenden Flächen. Wir bezeichnen dabei mit (1,3) das ungeordnete Paar, also (1,3) = (3,1). (Abb. 3 links): Ω 1 = {(1,1). (1.2),...(1,6), (2,2), (2,3),..., (4.6). (5,5), (5.6). (6.6)}. Ω 2 = 21. b. Für einen roten und einen blauen Würfel definieren wir ebenfalls die Ergebnismenge durch Schaue auf die möglichen Zahlenpaare der oben liegenden Flächen. Jetzt steht in der ersten Komponente die Zahl des roten Würfels, in der zweiten die Zahl des blauen Würfels. Wir bezeichnen dabei mit (1 3) das geordnete Paar, also (1 3) (3 1). (Abb. 3 rechts): Ω 2 = {(1 1). (1 2),..., (1 6). (2 1), (2 2),..., (5 5). (5 6). (6 1),... (6 6)}. Ω 2 = 36. Quelle: Büchter, Andreas (2007), S.165 Abb.3 Im Gegensatz zu den Elementen von Ω 1 kommt es bei den Elemente von Ω 2 auf die Reihenfolge an. Bei der Ergebnismenge Ω 2 gilt (3 4) (4 3). Bei Ω 1 werden beide Fälle durch (3,4) dargestellt, die Reihenfolge der beiden Zahlen ist irrelevant. 16

c. Für zwei beliebige Würfel wird die Ergebnismenge durch Schaue auf die Summe der Zahlen auf den oben liegenden Flächen." festgelegt: Ω 3 = {2,3,...,11,12}. Ω 3 = 11. Nun soll das Ereignis E die Summe der beiden oben liegenden Zahlen ist 10 betrachtet werden. Bei den drei Ergebnismengen ergibt sich E 1 = {(4,6),(5,5)}. E 2 = {(4 6),(5 5),(6 4)}, E 3 = {10}. Auflistung der Ergebnismengen: Ω 1 = {(1,1), (1,2)...,(1,6),(2,2), (2,3)...(4,6), (5,5), (5,6), (6,6)}, Ω 1 =21, Ω 2 = {(1 1), (1 2),... (1 6), (2 1),(2 2),...,(5 5), (5 6), (6 1),... (6 6)}, Ω 2 = 36, Ω 3 = {2,3,...,11,12}. Ω 3 = 11 Wer nur eine dieser Möglichkeiten als Ergebnismenge angesetzt hat, ist schnell versucht, ohne weitere Überlegungen alle Ergebnisse als gleichwahrscheinlich anzusehen. Die Elementarereignisse hätten dann alle die Wahrscheinlichkeit 1/21 bei Ω 1, 1/36 bei Ω 2 und 1/11 bei Ω 3. Für das Ereignis E: Die Summe der beiden Würfelzahlen ist 10." ergäben sich damit die drei verschiedenen Laplace-Wahrscheinlichkeiten P(E 1 ) = P({(4,6),(5,5)})= 2/21, P (E 2 ) = P({(4 6),(5 5),(6 4)}) = 3/36, P (E 3 ) = P ({10}) = 1/11, was sicher nicht gleichzeitig gelten kann. 17

Im Folgenden sollen die Fragen geklärt werden, ob die Laplace-Annahme überhaupt in einem der drei Fälle sinnvoll ist. Wenn ja, bei welchem? Aufgrund dessen sollen nun die Ergebnismengen analysiert werden. Zuerst wird z. B. der eine Würfel geworfen, wofür es 6 gleichberechtigte Ergebnisse gibt. Bei jedem Ergebnis dieses Würfels gibt es dann im zweiten Wurf 6 gleichberechtigte Ergebnisse des anderen Würfels, sodass wir insgesamt von 36 verschiedenen gleichberechtigten Möglichkeiten beim Wurf des Würfel-Paars ausgehen können. Dagegen müssen bei der ersten Ergebnismenge, bei der von zwei optisch nicht unterscheidbaren Würfeln ausgegangen wurde, für das Ergebnis (5,5) beide Würfel die 5 oben zeigen, wogegen für das Ergebnis (4,6) der erste 4 und der zweite 6 oder umgekehrt zeigen können, die Chance für dieses Ergebnis ist also größer. Schließlich ist bei der dritten Ergebnismenge das Ergebnis 12 nur mit einer einzigen Wurfkombination zu erreichen, während das Ergebnis 10 durch drei verschiedene Wurfkombinationen, nämlich (4 6), (5 5) und (6 4), erreicht werden kann. Nur bei der zweiten Ergebnismenge ist also die Laplace-Annahme sinnvoll! Ob für ein Zufallsexperiment die Laplace-Annahme zutrifft, ist nicht nachweisbar, allerdings kann die getroffene Annahme, z.b. empirisch durch eine Versuchsreihe, geprüft werden. 18

Literaturverzeichnis Bartel, Hans (1978): Kombinatorik und Wahrscheinlichkeit. 1. Aufl., Würzburg Büchter, Andreas; Henn, Hans-Wolfgang (2007): Elementare Stochastik. Eine Einführung in die Mathematik der Daten und des Zufalls, 2. Aufl., Berlin Degen, Horst; Lorscheid, Peter (2012): Statistik-Lehrbuch. Methoden der Statistik im wissenschaftlichen Bachelor-Studium, 4. Aufl., München Engel, W. et. al. (Hrsg.) (1980): Wahrscheinlichkeitstheorie und mathematische Statistik, 2. Aufl., Berlin Henze, Norbert (2012): Stochastik für Einsteiger, Wiesbaden Küchenhoff, Helmut et. al. (2006): Statistik für Kommunikationswissenschaftler, 2. Aufl., Konstanz Neubert, Bernd (2012): Daten, Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit, Offenburg Papula, Lothar (1999): Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler. Band 3. Vektoranalysis, Wahrscheinlichkeitsrechnung, Mathematische Statistik, Fehler- und Ausgelichsrechnung, 3. Aufl., Wiesbaden Prof. Dr. Padberg, Friedhelm (2011): Elementare Stochastik. Mathematische Grundlagen und didaktische Konzepte, 3. Aufl., Heidelberg Romeike, Frank; Hager Peter (2009): Erfolgsfaktor Risiko-Management 2.0: Methoden, Beispiele, Checklisten. Praxisbuch für Industrie und Handel, Wiesbaden Senger, Jürgen (2008): Induktive Statistik. Wahrscheinlichkeitstheorie, Schätz und Testverfahren. München 19