Stichworte aus der 12. Vorlesung: Zur Erinnerung Aggregatzustände: Dehnung Scherung Torsion Hysterese Reibung: fest, flüssig, gasförmig Gleit-, Roll- und Haftreibung Hydrostatik ideale Flüssigkeit Druck hydrostatischer Druck Experimentalphysik I SS 2010 13-1
Statischer Druck in Flüssigkeiten Druck im Flüssigkeitsvolumen (mit Schweredruck/ Eigengewicht, kein äußerer Druck): Hydrostatischer Druck: Gewichtskraft des Flüssigkeitsvolumens: dfg = ρ g dv dv = A dz dfg dp = A 0 0 dv p( z) = ρ g = g dz = g z z A ρ ρ 0 z0 M M g fl fl p( H ) = ρ g H = g H = V A Die Kraft auf die Fläche A ist gegeben durch das Gewicht der über der Fläche liegenden Flüssigkeitssäule mit dem Querschnitt A Vernachlässigung der Kompressibilität κ = - 1/V ( V/ p) 0 (Dichte-Änderung ( ρ/ p) 0, ρ(p) = ρ(0) + ( ρ/ p) dp ρ(0)) Experimentalphysik I SS 2010 13-2
Statischer Druck in Flüssigkeiten Druckmessung: F F F 1 2 1 = M = M = F wenn 2 fl fl g = ρ A H g g = ' ρ ' ρ ρ H ρ = A H = ' ρ H = H ' H g ' ' stationäre Situation, Flüssigkeit im Verbindungsrohr in Ruhe Kommunizierende Röhren: Rohrsystem gefüllt mit Flüssigkeit (mit überall gleicher Dichte!): In stationärer Situation ist Steighöhe in allen Bereichen eines Rohrsystems gleich ( kommunizierende Röhren ) Experimentalphysik I SS 2010 13-3
kommunizierende Röhren oder Wasserversorgung durch Hochbehälter Druckverlust durch Strömung und Reibung muss noch berücksichtigt werden (später) Druck p L in den Leitungen p L < ρ g H H keine Versorgung ohne Pumpen Wasserversorgung bis maximal zu dieser Höhe (ohne Pumpen) Wasserspeicher (Hochbehälter) H Experimentalphysik I SS 2010 13-4
Kommunizierende Röhren Wasserversorgung durch Hochdruckbehälter: Hydrostatisches Paradoxon: Druck in gegebener Höhe hängt NUR von der Höhendifferenz zur Wasseroberfläche ab, NICHT von der Form der Wassersäule Experimentalphysik I SS 2010 13-5
Hydrostatischer Druck (Beispiele) Wassersäule: 10 m H 2 0-Säule ρ g H 10 3 kg/m 3 10 m/s 2 ] 10 m = 10 5 kg/ms 2 = 10 5 Pascal = 1 bar = 10 5 N/m 2 In 10 000 m Meerestiefe: p = 1 000 bar Kraft auf Staudamm: Höhe H, Länge L Experimentalphysik I SS 2010 13-6
Hydrostatischer Druck (Beispiele) Hydrostatisches Paradoxon: 1 Liter 100 Liter Experimentalphysik I SS 2010 13-7
Hydrostatisches Paradoxon Steigrohr Querschnitt 1 cm 2 = 10-4 m 2 Volumen V Steig = 10-3 m 3 10 m V Steig = 10-3 V B p B+S = 11 p B p B+S = 1.1 bar 1 m z.b.: Volumen V B = 1 m 3 p B = Druck zusätzlich zu Luftdruck p B = 0.1 bar Experimentalphysik I SS 2010 13-8
Hydrostatisches Paradoxon h << h falls p(h) << p(h ) wäre: F(h ) >> F(h) Volumen V müsste sich nach links bewegen nicht stationär h = 10 m Säule unter Steigrohr zwingend! Stirnfläche A Säule nicht unter Steigrohr h = 1 m Volumen zwischen den Säulen z grad x p = 0!! F(h) V F(h ) p(h)?? p(h ) x Experimentalphysik I SS 2010 13-9
Hydrostatisches Paradoxon p Hydr = 0 p( h 1 ) h 1 p( h 1 + h 2 ) h 2 h 3 p( h 1 + h 2 + h 3 ) Experimentalphysik I SS 2010 13-10
Steigen Schweben Sinken Gleichgewicht der Kräfte: Kraft durch hydrostatischen Druck und Schwerkraft F hydro = F p (h) F p (h + h) = ρ 1 A h g F Grav. = ρ 2 A h g h + h ρ 2 ρ 2 > ρ 1 Sinken ρ 2 = ρ 1 Schweben ρ 2 < ρ 1 Steigen ρ 2 h ρ 1 F Σ = F Grav F hydro = (ρ 2 - ρ 1 )A h g Experimentalphysik I SS 2010 13-11
Auftrieb Gleichgewicht der Kräfte: ΔF Hydro = F p (h) - F p (h + Δh) = ρ A Δh g = F Grav F Σ = ΔF Hydro + F Grav = 0 Experimentalphysik I SS 2010 13-12
Auftrieb: Beispiel Cartesischer Taucher: Druck in der Flüssigkeit wird erhöht durch externe Kraft F. Gas im Taucher ist stark kompressibel, wird zusammengedrückt. Flüssigkeit dringt in den Taucher ein, dadurch sinkt das Gewicht der verdrängten Flüssigkeit, der Auftrieb verringert sich. Taucher sinkt ab, wenn F Grav > F Hydro. Taucher steigt, wenn F zurückgenommen wird. Experimentalphysik I SS 2010 13-13
Auftrieb in Luft Auftrieb in Luft: Der Auftrieb ist gleich dem Gewicht des verdrängten Gases. Wie für Flüssigkeiten, nur ist ρ Gas «ρ Fl (typ. Faktor 1000). Gleichgewicht in Luft: D 1 = (m 1 m 1,Luft ) g r 1 = (m 2 - m 2,Luft ) g r 2 = D 2 Ungleichgewicht im Vakuum: m 1 g r 1 < m 2 g r 2 wegen m 2,Luft >m 1,Luft wegen V 2 > V 1. Glaskolben sinkt. Experimentalphysik I SS 2010 13-14
Kompressionsmodul K und Kompressibilität κ: Beispiel: ΔV/V = -1/K Δp = -κ Δp Kompression Ein U-Boot (m = 10 5 kg, V 100 m 3 ) sei so austariert, dass ρ UB = ρ Wasser in einer Tiefe von h = -2000 m. Was passiert, wenn das U-Boot ab- oder auftaucht? κ Wasser = 5x10-10 m 2 /N; κ Stahl 10-11 m 2 /N «κ Wasser Falls κ UB «κ Wasser : Wenn das U-Boot um 1000 m sinkt, steigt der Druck um Δp = ρ Wasser g Δh = 10 7 Pa. Dadurch Dichteänderung Δρ / ρ Wasser = κ Wasser Δp = 0,5 %. Dadurch Auftrieb F = Δρ V g = (Δρ/ρ) m g = 5000 N (nach oben). Wenn U-Boot steigt, Kraft nach unten stabil. Falls κ UB» κ Wasser instabil. In beiden Fällen: U-Boot schwer in beliebigen Tiefen manövrierbar. (Ballast nur begrenzt hilfreich.) Ziel: Stärke der Aussenwand und verstärkende Strukturen so einstellen, dass κ UB = κ Wasser ρ UB = ρ Wasser gilt überall. Experimentalphysik I SS 2010 13-15