Fehler- und Ausgleichsrechnung (basierend auf Abschnitt IV. von Papula; Bd.3 ) Da Begriffe und Formeln aus der Statistik Wahrscheinlichkeitslehre Kombinatorik Stochastik benötigt werden, wird es zu Exkursionen kommen. Falls ein Begriff neu oder fremd ist, bitte nachfragen. 1
Messfehler = Messungenauigkeit Es hat sich seit Jahrhunderten eingebürgert, nicht Ungenauigkeit, sondern Fehler zu sagen, nicht Messungenauigkeit, sondern Messfehler, nicht Ungenauigkeitstheorie, sondern Fehlertheorie. Mit dem Wort 'Fehler' verbindet man ja eigentlich Begriffe wie Irrtum, Versehen das ist aber nicht gemeint, wenn man vom Messfehler spricht (= Messungenauigkeit). Die Angabe des Messfehlers bedeutet nicht, etwas sei falsch gemacht worden; sie liefert vielmehr ein notwendiges Maß für die Genauigkeit und Zuverlässigkeit der Messung. ( Insbesondere hat die Fehlerrechnung nicht den Sinn, am Schreibtisch, d.h. ohne Wiederholung der Messung, "falsche" Messwerte zu "richtigen" zu machen. ) 2
In der DIN NORM 1319 (Teil 3) wird empfohlen, die Bezeichnung Fehler durch Messabweichung zu ersetzen. Fehlerrechnung Messabweichungsrechnung Fehlerfortpflanzung Messabweichungsfortpflanzung. 3
Fehler- und Ausgleichsrechnung Die wahren Werte und tatsächlichen Fehler Bei einer sich wiederholenden Messung einer Größe X erhält man Messwerte x i ( i = 1,., n ), die stets mit einem kleinen Fehler Δx versehen sind. Wenn wir den wahren Wert von x als x w kennzeichnen, würde x i - x w = Δx iw den wahren Fehler beschreiben. In der Praxis bleiben wahren Werte und Fehler x w und Δx iw meistens unbekannt und müssen mit den zur Verfügung stehenden Daten abgeschätzt werden. 4
Fehler- und Ausgleichsrechnung 1. Fehlerarten a. Grobe Fehler entstehen durch fehlerhaftes Verhalten des Bearbeiters, Beobachters und sind somit stets vermeidbar. ( aus der Sicht der Mathematik ). Beispiele: Ablesefehler Benutzung defekter Messgeräte Notierung von falschen Werten 5
Messfehler, Fehlerberechnung und Fehlerabschätzung b. Systematische Fehler Systematische Fehler nennt man solche Fehleranteile, welche bei Wiederholung einer Messung unter identischen Messbedingungen einen konstanten Wert besitzen, d.h. jedes Mal in gleicher Größe und mit gleichem Vorzeichen auftreten. Daraus folgt, dass systematische Fehler durch Wiederholung der Einzelmessungen weder erkannt noch eliminiert werden können. Folgende Arten systematischer Fehler sind bei der Durchführung physikalisch-chemischer Messungen zu berücksichtigen: 6
Vernachlässigung von Umwelteinflüssen: Auftrieb der Luft bei Wägungen, Abweichung der Kalibrier- von der Messtemperatur... Unvollkommenheit der Messgeräte: Eigenverbrauch elektrischer Messinstrumente, Nichtlinearität, Kalibrierfehler, altersbedingte Änderungen des Messgerätes,... Unzulänglichkeiten von Seiten des Experimentators: Ungenügendes theoretisches Verständnis des Messvorganges, mangelnde Objektivität den eigenen Messungen gegenüber, regelmäßige Parallaxe beim Ablesen von Zeigerinstrumenten,... 7
Zur Entdeckung systematischer Fehler ist es häufig nützlich, die Messbedingungen zu verändern, wobei auch diejenigen Parameter variiert werden sollten, die aufgrund der Theorie des Messvorganges keinen Einfluss auf die unbekannte Messgröße haben sollten. Noch wirkungsvoller wäre es, die Messmethode oder das Messprinzip völlig zu ändern. Eine Korrektur erkannter systematischer Fehler ist nicht immer mit einem vertretbaren Aufwand durch Verbesserung der Messmethodik zu erreichen. Oft ist es jedoch möglich, ihren Einfluss auf das Ergebnis durch eine, meist nachträglich durchgeführte Korrektur zu eliminieren. 8
Beispiele: Systematische Kennlinienfehler (bei linearer Funktion) Quelle: TU Dresden (ff) 9
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c. Zufällige (oder statistische) Fehler Auch bei größtem Bemühen um eine exakte Wiederholung von Messungen stellt man fest, dass die numerischen Resultate in einem gewissen Streubereich liegen und die Abweichungen nach Betrag und Vorzeichen zufallsbedingt schwanken. Die gemessenen Werte sind in der Regel statistisch um einen Mittelwert herum verteilt. Diese statistisch schwankenden Messfehler nennt man zufällige Fehler, sie unterliegen den Gesetzen der Wahrscheinlichkeitsrechnung. 11
Teilgebiete der Statistik Deskriptive Statistik - Sammeln, Ordnen und Auswertung von Daten - Beschreibung und übersichtliche Darstellung von Daten - Ermittlung von Kenngrößen - Datenvalidierung ( Fehler, Trends, Häufungen, etc ) (Beschreibung = Deskription) Explorative Statistik - Weiterführung und Verfeinerung der deskriptiven Statistik - Suche nach Strukturen, Mustern und Besonderheiten Induktive Statistik - Mithilfe der Wahrscheinlichkeitsrechnung über die erhobenen Daten allgemeine Schlussfolgerungen ziehen, d.h. Verallgemeinerungen und Hochrechnungen. ( induktive = schließende = beurteilende ) 12
2.1 Grundbegriffe 2.2 Stichproben 2.3 Fehler, Ausreißer und fehlende Werte 2.4 Merkmale 2.5 Definition: Urliste, relative und absolute Häufigkeit 2.6 Tabellarische und graphische Darstellung: Häufigkeit 2.7 Klasseneinteilung (Klassierung) 2.8 Regeln für die Wahl von Klassen 2.9 Maßzahlen einer eindimensionalen Stichprobe (Lage und Streuung) 2.10 Lagemaße 2.11 Streuungsmaße 13
2.1 Grundbegriffe Grundgesamtheit: Alle Objekte, über die man eine Aussage gewinnen will, die man aber eventuell nicht vollständig erfassen kann. Stichprobe: Eine Teilmenge der Grundgesamtheit, die tatsächlich befragt wurden. Stichprobenumfang: Die Anzahl n der Objekte der Stichprobe heißt Stichprobenumfang. 14
2.2 Stichproben Methoden zur Durchführung von Stichprobenuntersuchungen Zufallsstichprobe Systematische Auswahl: objektives Kriterium Schichtenstichprobe Klumpenstichprobe Quotenstichprobe Repräsentative Stichprobe 15
2.3 Fehler, Ausreißer und fehlende Werte Behandlung von Datenausreißer Ausreißer Extremwert innerhalb einer Stichprobe, der nicht stimmen kann Ausreißer identifizieren Überprüfen und ggf. Korrigieren Datensatz streichen fehlerhafte Daten abändern ( z.b. Mittelwert einsetzen ) Datensatz beibehalten (Extremwert kommentieren) Unmögliche oder unplausible Werte Behandlung wie Ausreißer Fehler Behandlung wie Ausreißer, aber nie beibehalten! 16
2.4 Merkmale Klassifizierung von Merkmalen - qualitatives Merkmal, wenn seine Ausprägungen eine Qualität wiedergeben ( und nicht ein Ausmaß). Nominalskalierte Merkmale sind qualitativ und i.a. ordinal-skalierte Merkmale. - quantitatives Merkmal, wenn seine Ausprägungen ein Ausmaß bzw. eine Intensität widerspiegeln. Daher sind metrische Merkmale immer quantitativ ( messbar ). - Diskret, wenn es endlich viele oder abzählbar unendlich viele Ausprägungen hat (z.b. Geschlecht, Zähldaten, Freunde bei facebook ) - Stetig, wenn es alle Werte in einem reellen Intervall als Ausprägungen annehmen kann (z.b. Körpergröße). 17
2.4 Merkmale Nominalskala Keine Möglichkeit zur Bildung einer Rangordnung (z.b. Haarfarbe, Religion, Geschlecht) Qualitativ Art des Merkmals Ordinalskala Natürliche Rangfolge, die Abstände zwischen den Ausprägungen sind nicht quantifizierbar (z.b. Schulnoten, Qualitätsstufen, Dienstränge) Quantitativ Intervallskala Merkmale in Zahlen, aber kein natürlicher Nullpunkt (Jahreszahlen, Breitengrade) Intervallskala natürlicher Nullpunkt (Alter, Größe, Einkommen) Absolutskala Einheit ist maßstabsunabhängig (Stückzahlen, Kinderzahl) 18
2.5 Definition: Urliste, relative und absolute Häufigkeit Beispiel: Lieferzeiten eines Lieferanten in Tagen 19
2.5 Definition: Urliste, relative und absolute Häufigkeit Hat man eine Stichprobe vom Umfang n erhoben, so kann man die gemessenen Merkmalsausprägungen ungeordnet aufschreiben. Die so entstandene Liste nennt man Urliste. Listet man alle Merkmalsausprägungen auf, dann heißt die n Anzahl H i = i=1 1 {x i = a k } die absolute Häufigkeit der Ausprägung a k und h i = 1 H n i die relative Häufigkeit der Ausprägung a k. 20
2.5 Definition: Urliste, relative und absolute Häufigkeit Hat man eine Stichprobe vom Umfang n erhoben, so kann man die gemessenen Merkmalsausprägungen ungeordnet aufschreiben. Die so entstandene Liste nennt man Urliste. Listet man alle Merkmalsausprägungen auf, dann heißt die n Anzahl H i = i=1 1 {x i = a k } die absolute Häufigkeit der Ausprägung a k und h i = 1 H n i die relative Häufigkeit der Ausprägung a k. Tage 1 2 3 4 5 6 7 H i 1 1 2 12 17 9 8 h i 2% 2% 4% 24% 34% 19% 16% 21
2.5 Definition: Urliste, relative und absolute Häufigkeit Häufigkeitsverteilung einer Stichprobe Stichprobenwerte werden ihrer Größe nach geordnet und dann wird festgestellt, wie oft jeder Wert vorkommt. Ist der Stichprobenwert a k genau n k -mal in der Stichprobe enthalten, so heißt diese Zahl absolute Häufigkeit H(a k ) des Stichprobenwertes a k ( k = 1,, l ; l < n ). Dividiert man die absolute Häufigkeit durch die Anzahl n der Stichprobenwerte, so erhält man die relative Häufigkeit h i (x i ) = 1 n H(x i), wobei gilt k 0 < h i < 1 und i=1 h i = h 1 + h 2 + h k = 1. Die relative Häufigkeit wird auch als empirische Dichte bezeichnet. 22
2.6 Darstellung von Häufigkeiten Nominale und ordinale Merkmale kann man als Tabellen oder / und als Balkendiagramme darstellen. Die Höhe des Balken entspricht der absoluten oder relativen Häufigkeit der entsprechenden Ausprägung. blond braun schwarz sonstige 235 431 337 121 20,91% 38,35% 29,98% 10,77% 500 45% 450 40% 400 350 300 250 200 150 100 35% 30% 25% 20% 15% 10% 50 5% 0 blond braun schwarz sonstige 0% blond braun schwarz sonstige 23
2.6 Darstellung von Häufigkeiten Die Darstellung als Tortendiagramm ist besonders bei nominalen Merkmalen sinnvoll (z.b. Parteien im Parlament). blond braun schwarz sonstige 235 431 337 121 20,91% 38,35% 29,98% 10,77% 337 121 235 blond braun schwarz sonstige 431 24
2.7 Klasseneinteilung Beispiel: Lebensdauer eines Ersatzteils: Stunden 0-100 101-200 201-300 301-400 401-500 501-600 30 110 290 370 490 520 70 120 280 305 415 540 170 260 345 460 580 150 220 350 435 130 230 380 425 240 320 470 360 330 25
2.7 Klasseneinteilung ( auch Klassierung genannt ) Definition: Ist h die empirische Dichte eines Merkmals X und ist K 1, K 2,, K n eine Partition des Wertebereichs von X, so ist die relative Klassenhäufigkeit h j gegeben durch h j = i x i K j } für 1 j n n 26
2.7 Klasseneinteilung Flächenregel: Bei der Darstellung der Häufigkeiten mittels Klassen sind keine festen Balkenbreiten vorgeschrieben, so dass die Fläche zählt und nicht die Höhe des Balken. A B C D E F A B C D E F Die Häufigkeit von D ist in beiden Fällen rechts und links gleich. 27
2.8 Regeln für die Wahl von Klassen Sei x 1,, x n eine Stichprobe vom Umfang n. Bei der Klassifizierung in k Klassen müssen folgende Regeln ( besser Tipps ) beachtet werden: Anzahl der Klassen: k n für n 400 Wählen Sie die Klassengrenzen (möglichst) äquidistant Bestimmen Sie die Höhe der Histogramm-Rechtecke proportional zur Klassenhäufigkeit Bilden Sie bei n = 100 mindestens k = 10, bei n 1000 k = 13 und k = 16 bei n 10.000 (ex-din 55 302, Blatt 1) Jeder Stichprobenwert muss eindeutig zu einer Klasse gehören (Klassengrenzen!) Klassen müssen nicht gleich breit sein (Flächenregel! ). 28
2.9 Maßzahlen ( Lage und Streuung ) Verteilungen können verschiedene Formen zeigen: symmetrisch, U-förmig, gleichverteilt, links-/rechts-teilig, schief, bimodal, usw. Grafik: q-das 29
2.9 Maßzahlen ( Lage und Streuung ) Statistische Maßzahlen Mittelwerte Darstellung der zentralen Tendenz einer Beobachtungsreihe Streuungsmaße Angabe der Streuung der Einzelwerte um ihren Mittelwert Mittelwerte können unterschieden werden in lagetypische Mittelwerte und in rechnerische Mittelwerte. 30
2.10 Lagemaße Definition: Modalwert x mod Die Ausprägung x i einer Stichprobe eines Merkmals X, die die größte absolute Häufigkeit aufweist, heißt Modalwert x mod. Definition: Median x med ( = x ) Der Median oder Zentralwert der Stichprobe ist die Zahl x med, für die 50% aller Stichprobenwerte kleiner oder gleich und mindestens 50% größer oder gleich x med sind. Beispiel: Für {x i } = { 4, 1, 37, 2, 1 } ist x med = 2 31
2.10 Lagemaße Definition: arithmetisches Mittel x arith Das arithmetische Mittel einer Stichprobe mit n Werten ist gegeben durch x arith = 1 n Üblicherweise gilt x = x arith. n i=1 x i. Definition: geometrisches Mittel x geom Das geometrische Mittel einer Stichprobe mit n Werten ist gegeben durch x geom = n n i=1 x i. Beispiel: Bakterienpopulation {x i } = { 2, 8 } ist x geom = 4 32
2.10 Lagemaße Definition: harmonisches Mittel x harm Das harmonische Mittel x harm einer Stichprobe mit n Werten ist gegeben durch x harm = 1 n n i=1 1 x i 1 33
2.11 Streuungsmaße Definition: Spannbreite ( engl. Range ) Die Spannbreite einer Stichprobe ist die Differenz zwischen dem größten und dem kleinsten Stichprobenwert. Range = MAXIMUM ( x i ) MINIMUM ( x i ) Definition: mittlerer Fehler m Der mittlere Fehler m einer Stichprobe ist m = Definition: mittlerer Fehler m 2 1 n n i=1 (x i x ) 2 Der mittlere (wahre) Fehler m einer Stichprobe ist m = 2 1 n n i=1 x i x w 2 34
2.11 Streuungsmaße Definition: Varianz Die Varianz einer Stichprobe ist s² = 1 n 1 n i=1 (x i x ) 2. Definition: Standardabweichung 2 Die positive Wurzel s = s 2 Stichprobe. s = 2 1 n 1 heißt Standardabweichung der n i=1 (x i x ) 2 35
2.11 Streuungsmaße Satz: Sind die Werte x i einer Stichprobe mit n Werten, x das arithmetische Mittel und s die Standardabweichung, dann liegen alle Stichproben im Intervall x - n 1 s; x + n 1 s x - n 1 2 1 n 1 n i=1 (x i x ) 2 ; x + n 1 2 1 n 1 n i=1 (x i x ) 2 x - 2 n i=1 (x i x ) 2 2 n i=1 ; x + (x i x ) 2 36
2.11 Streuungsmaße Definition: Quantile und Quartile Sei x 1,, x n eine geordnete Stichprobe und sei 0 < p < 1, dann heißt x np +1 falls np N x p = 1 x np + x np+1 falls np N das p-quantil. 2 k bezeichnet den ganzzahligen Anteil einer Zahl, d.h. die Stellen nach dem Komma werden abgeschnitten. Beispiele : k = k für k N ; π = 3. Der Median x entspricht dem 0,5-Quantil, d.h. x = x 0,50. Die Quantile x (= x 0,50 ), x 0,25 und x 0,75 heißen Quartile. 37
2.11 Streuungsmaße Boxplot Ein Boxplot stellt den Median x, die Quartile x 0,25 und x 0,75 und die Spannweite x max - x min in einer Graphik dar. Der Abstand zwischen oberem und unterem Quartil x 0,75 - x 0,25 heißt Quartilsabstand (interquartile range). Der Boxplot (auch Box-Whisker-Plot oder deutsch Kastengrafik) stellt graphisch die Verteilung wichtiger Daten dar. Er fasst dabei verschiedene robuste Streuungs- und Lagemaße in einer Darstellung zusammen. Ein Boxplot soll schnell einen Eindruck darüber vermitteln, in welchem Bereich die Daten liegen und wie sie sich über diesen Bereich verteilen. 38
2.11 Streuungsmaße Boxplot 39
2.11 Streuungsmaße Boxplot 40
3. Fehlerfortpflanzung 3.1 maximaler Absolutfehler Wir betrachten die Größe Z, die durch zwei direkt messbare Größen X und Y bestimmt werden kann: z = f(x,y). Wie wirkt sich bei einer einmaligen Messung von x und y ein Fehler in x und y auf z aus? Δx = x i - x ; Δy = y k - y ; Δz = z ik - z z ik = f ( x i ; y k ) Taylor-Reihenentwicklung um x und y " z ik = f ( x +Δx, y+δy ) = z ik = f ( x, y ) + f x (x,y) Δx + f y (x,y) Δy Da f ( x, y ) = z ist, folgt Δz = z ik - z = f x (x,y) Δx + f y (x,y) Δy 41
3. Fehlerfortpflanzung 3.1 maximaler Absolutfehler Δz = z ik - z = f x (x,y) Δx + f y (x,y) Δy Um zu sehen, wie sich bei einer Einzelmessung von x und y ein Fehler Δx in x und Δy in y auf z = f(x,y) auswirkt, muss man den Fehler Δx mit der partiellen Ableitung von f nach x und den Fehler Δy mit der partiellen Ableitung von f nach y multiplizieren und die Produkte addieren. Da die Vorzeichen verschieden sein können, können sich die Fehler teilweise oder völlig kompensieren. Daher fragt man nach dem maximal möglichen Fehler und definiert den maximalen und relativen Absolutfehler Δz und Δz z. Δz = z ik - z f x (x,y) Δx + f y (x,y) Δy Δz z f x(x,y) Δx z + f y(x,y) Δy z 42
3. Fehlerfortpflanzung 3.2 Gaußsches Fehlerfortpflanzungsgesetz Δz = z ik - z = f x (x,y) Δx + f y (x,y) Δy Um die mögliche Kompensation von Fehlern mit verschiedenen Vorzeichen zu verhindern, können beide Seiten der Gleichung quadriert werden. (Δz i ) 2 = (f x (x,y) Δx i + f y (x,y) Δy i ) 2 (Δz i ) 2 = ( f 2 x (x,y) Δx i 2 + 2f x f y Δx i Δy i + f 2 y (x,y) Δy i 2 ) (Δz i ) 2 = ( f 2 x (x,y) Δx i 2 + 0 + f 2 y (x,y) Δy i 2 ) (Δz i ) 2 = f 2 x (x,y) Δx i 2 + f 2 y (x,y) Δy i 2 (Δz i ) 2 = f 2 x (x,y) Δx i 2 + f 2 y (x,y) Δy i 2 43
3. Fehlerfortpflanzung 3.2 Gaußsches Fehlerfortpflanzungsgesetz Δz = z ik - z = f x (x,y) Δx + f y (x,y) Δy Varianz von z : s² z = 1 n 1 n i=1 (z i z ) 2 = 1 n 1 (Δz i ) 2 s² z = f 2 x (x,y) Δx i 2 1 + n 1 f2 y (x,y) Δy i 2 s² z = f 2 x (x,y) s² x + f 2 y (x,y) s² y 1 n 1 s² z = f x (x,y) s x 2 + f y (x,y) s y 2 Gaußsches Varianzfortpflanzungsgesetz 44
3. Fehlerfortpflanzung 3.2 Gaußsches Fehlerfortpflanzungsgesetz Durch Wurzelziehen erhält man das Gaußsches Fehlerfortpflanzungsgesetz für die Standardabweichung der Einzelmessung s z = f x (x,y) s x 2 + f y (x,y) s y 2 Das Gaußsches Fehlerfortpflanzungsgesetz für die Standardabweichung des Mittelwertes s z = f x (x,y) s x 2 + f y (x,y) s y 2 da s z = s z n, s x = s x n, s y = s y n gilt. 45
3. Fehlerfortpflanzung 3.3 Vergleich lineare und Gaußsche Fehlerfortpflanzungz lineares Fehlerfortpflanzungsgesetz für die SMeßungenauigkeit der Einzelmessung Δz = z ik - z f x (x,y) Δx + f y (x,y) Δy Gaußsches Fehlerfortpflanzungsgesetz für die Standardabweichung der Einzelmessung s z = f x (x,y) s x 2 + f y (x,y) s y 2 46