Elektromagnetische Felder in der Umgebung eines Schwarzschild-Loches

Elektromagnetische Felder in der Umgebung eines Schwarzschild-Loches DISSERTATION zur Erlangung des Grades eines Doktors der Naturwissenschaften der Fakultät für Physik und Astronomie der Ruhr-Universität Bochum von Pál Géza Molnár aus Winterthur (Schweiz) Bochum (2001)

Dissertation eingereicht am: 30.04.2001 Tag der Disputation : 02.07.2001 Referent: Prof. Dr. K. Elsässer Korreferent: Prof. Dr. R. Schlickeiser

1 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 3 I Elektrostatik 7 2 Die 2. Greensche Identität 9 3 Die Maxwellschen Gleichungen 15 4 Elektrostatisches Potential einer Testladungsverteilung 22 5 Drei Beispiele 31 5.1 Punkttestladung................................ 31 5.2 Ein Randwertproblem............................. 32 5.3 Geladene Hohlkugel............................... 33 6 Qualitatives Verhalten der Felder (1. Teil) 35 6.1 Multipolentwicklung.............................. 35 6.2 Asymptotische Felder für r 2m....................... 37 7 Die Kraft auf eine Ladungsverteilung 40

2 INHALTSVERZEICHNIS II Magnetostatik 49 8 Newman-Penrose-Koordinaten 51 9 Die Maxwellschen Gleichungen 55 10 Lösungen der Maxwellschen Gleichungen 59 10.1 Entkopplung und Separation.......................... 61 10.2 Die analytischen Lösungen........................... 63 11 Qualitatives Verhalten der Felder (2. Teil) 69 12 Das Goldreich-Julian-Modell 73 A Differentialgeometrie auf Mannigfaltigkeiten 80 A.1 Differenzierbare Mannigfaltigkeiten...................... 80 A.2 Geometrische Objekte auf Mannigfaltigkeiten................ 85 A.3 Kalkül auf Mannigfaltigkeiten......................... 95 A.3.1 k-formen................................ 95 A.3.2 Die äußere Ableitung.......................... 97 A.3.3 Die -Operation............................. 98 A.3.4 Das Kodifferential............................ 101 A.4 Der Stokessche Integralsatz.......................... 102 Literaturverzeichnis 105

3 Kapitel 1 Einleitung Die enormen Energieausbrüche von aktiven galaktischen Kernen und Doppelsternsystemen gehören zu den interessantesten Bereichen moderner Astrophysik. Um ihren Mechanismus verstehen zu können, braucht es eine gute Kenntnis der elektrischen und magnetischen Felder, wie sie z. B. in den Magnetosphären von Neutronensternen und Schwarzen Löchern auftreten. In einigen wenigen Fällen existieren analytische Lösungen sowohl für die Schwarzschild- wie auch für die Kerr-Metrik. Die meisten modernen Arbeiten benutzen diese Lösungen, um komplizierte Systeme am Rechner simulieren zu können. Trotzdem ist es wünschenswert, wie ich denke, die bereits gefundenen Speziallösungen zu verallgemeinern und so möglichst viele Konfigurationen abdecken zu können. Lange Zeit verlief die Suche nach stationären analytischen Lösungen sowohl elektrischer als auch magnetischer Felder parallel. Im Jahre 1968 bewies Israel das folgende Theorem [1]: Die Reissner-Nordström-Lösung ist die einzige statische, asymptotisch flache, elektrische Vakuumlösung der Einsteinschen Feldgleichungen, deren Flächen g 00 = const. geschlossen und einfach zusammenhängend sind und deren Ereignishorizont g 00 = 0 regulär ist. Ein Jahr vorher war ihm der analoge Beweis für die Schwarzschild-Lösung gelungen [2]. Unabhängig voneinander leiteten Hanni und Ruffini [3, 4] und Cohen und Wald [5] das elektrostatische Feld einer Punkttestladung, die sich im Schwarzschild-Raum in Ruhe befindet, her. Während diese Lösung eine für Multipolfelder ist, gelang Linet [6] eine algebraische Form der Lösung. Wie die Autoren die Ladung langsam ins Loch hinabsenkten, fanden sie, daß zwar das elektri-

4 KAPITEL 1. EINLEITUNG sche Feld der Ladung regulär bleibt, daß aber gleichzeitig alle Multipolmomente bis auf den Monopol verschwinden, sobald die Ladung den Horizont erreicht. Da schloßen sie mit Israels Theorem, daß auf diese Weise ein geladenes Schwarzes Loch, ein sogenanntes Reissner-Nordström-Loch, entsteht. Als dann in den frühen Siebzigern die Eindeutigkeitssätze über Schwarze Löcher bewiesen wurden (insbesondere die Theoreme von Carter [7], Hawking [8] und Robinson [9]), wurde schnell klar, daß ein isoliertes Schwarzes Loch nur dann ein elektromagnetisches Feld besitzt, wenn es eine Ladung trägt. Das dazu nahe verwandte Problem eines Magnetfeldes außerhalb eines kompakten magnetischen Sterns mit Oberflächenstrom betrachteten für Dipolfelder Ginzburg und Ozernoi [10], und für Multipolfelder Anderson und Cohen [11]. Petterson [12] präsentierte eine Rechnung für das quasistatische, axialsymmetrische Magnetfeld in einem Schwarzschild- Hintergrund. Seine Lösung gilt sowohl innerhalb als auch außerhalb des Radius, an dem sich die Quelle befindet. Alle Autoren fanden, daß das Magnetfeld für einen Beobachter verschwindet, wenn sich die Quelle dem Horizont nähert. Dies ist in Übereinstimmung mit einem Theorem von Price [13], das sagt, daß während des Prozesses eines Gravitationskollapses alle elektromagnetischen Multipolmomente der kollabierenden Materie verschwinden müssen bis auf das elektrische Monopolmoment. Doch leider werden die elektrischen und magnetischen Felder sehr groß, wenn die Quellen sehr nah am Horizont sind. Möglicherweise manifestiert sich in dieser Tatsache aber nur der Zusammenbruch der quasistatischen Betrachtung, und sie ist deshalb kein wirklicher Effekt. Eine zeitabhängige Untersuchung durch de la Cruz, Chase und Israel [14] unterstützt diese Möglichkeit. Ihr numerisches Resultat ist, daß das Magnetfeld während des Kollapses außerhalb der Sphäre zu Null wird. Als Wald [15] sowohl einen elektrostatischen, als auch einen magnetostatischen Multipol von fester Stärke in das Zentrum einer massiven, nicht rotierenden, sphärischen Schale plazierte und das zugehörige elektromagnetische Feld berechnete, fand er dasselbe Verhalten der Lösung. Wie sich die Schale ihrem eigenen Schwarzschild- Radius näherte, verschwanden alle elektrostatischen und magnetostatischen Multipolmomente außer das Monopolmoment, und das elektromagnetische Feld blieb auf der Schale endlich. Es vergeht kein Tag, an dem nicht Arbeiten zur Elektrodynamik in der Umgebung massiver Objekte erscheinen. Beim Studium der Literatur kann man schnell die Übersicht

5 verlieren. Deshalb möchte ich stellvertretend für viele Arbeiten diejenige von Ghosh [16] zitieren. Man findet in ihr viele Verweise auf andere Arbeiten. Ein lohnender Einstieg in einige Gebiete der Theoretischen Astrophysik bieten die Living Reviews, die man über das Internet erreichen kann [17]. Meine Arbeit habe ich in die zwei Teile Elektrostatik und Magnetostatik aufgeteilt. Ich beginne in Teil I mathematisch mit der Verallgemeinerung der 2. Greenschen Identität auf (pseudo-) Riemannsche Mannigfaltigkeiten. Wie die wohl bekannte 2. Greensche Identität es gestattet, Randwertprobleme in der üblichen Elektrostatik zu lösen, erlaubt meine Verallgemeinerung, elektrostatische Randwertprobleme in der Umgebung eines Schwarzschild-Loches zu lösen. Danach zeige ich, wie man die Maxwellschen Gleichungen im Rahmen des Differentialformenkalküls formulieren kann. Dies wird es uns ermöglichen, die 2. Greensche Identität elegant anzuwenden. In Kapitel 4 leite ich die Greensche Funktion einer Punkttestladungsverteilung her. Damit werden wir dann in der Lage sein, Randwertprobleme betrachten zu können. Einige Beispiele demonstriere ich in Kapitel 5 und in Kapitel 6 führe ich eine Multipolentwicklung durch. Mit ihr zeige ich, daß für einen weit von den Quellen entfernten Beobachter alle Multipolmomente einer elektrostatischen Ladungsverteilung verschwinden bis auf den Monopolterm, wenn sich die Ladung dem Horizont langsam nähert. Bis anhin konnte man das nur für eine Punktladung zeigen. Außerdem zeige ich, was ein Beobachter auf dem Horizont von den elektrischen Feldern wahrnimmt. Um eine Ladungsverteilung über einem Schwarzen Loch in Ruhe halten zu können, ist eine Kraft nötig. In Kapitel 7 berechne ich diese Kraft mit der Methode der Greenschen Funktionen. Es ergibt sich dabei eine abstoßende Selbstkraft der Ladung und, daß ihre analytische Form für alle statischen, punktartigen Testladungen dieselbe ist. Sie hängt nur von der Gesamtladung ab. Im zweiten Teil widme ich mich den stationären Magnetfeldern. Um ihre analytische Form erhalten zu können, brauchen wir die sogenannten Newman-Penrose-Koordinaten. In diesen Koordinaten leite ich die stationäre Lösung der elektromagnetischen Felder im Schwarzschild-Hintergrund her. Wir untersuchen dann das Verhalten der Felder, wenn die Quellen auf den Horizont abgesenkt werden. Es wird sich zeigen, daß von allen elektroma-

6 KAPITEL 1. EINLEITUNG gnetischen Multipolmomenten nur der Monopolterm übrigbleibt. Als Abschluß betrachte ich in Kapitel 12 die elektrischen und magnetischen Felder eines rotierenden, magnetischen Sterns. Mit meinen Lösungen wiederhole ich die nichtrelativistische Rechnung von Goldreich und Julian [18] und bestimme das Verhältnis von elektrischer zu gravitativer Beschleunigung einer Punktladung auf der Oberfläche des Sterns. Die mathematischen Hilfsmittel der Differentialgeometrie auf Mannigfaltigkeiten, die wir vor allem in Teil I brauchen, erörtere ich so ausführlich wie nötig, dabei so einfach wie möglich im Anhang. Ich stütze mich dabei auf die Bücher von Bröcker und Jänich [19] und Straumann [20]. Scheck [21] bietet in seinem Mechanikbuch eine gut lesbare Einführung in das Gebiet.

7 Teil I Elektrostatik

9 Kapitel 2 Die 2. Greensche Identität In der üblichen Elektrodynamik lernt man im Kapitel Elektrostatik, wie man mit Hilfe der sogenannten Greenschen Identitäten elektrostatische Probleme mit Randbedingungen in den Griff bekommt. Diese Identitäten sind Integralidentitäten zwischen zwei beliebigen skalaren Feldern ϕ und ψ. Die Herleitung erfolgt durch eine einfache Anwendung des Gaußschen Integralsatzes im dreidimensionalen Euklidischen Raum [22, Kap. 1.8]. Wir wollen elektrostatische Felder von Ladungsverteilungen untersuchen, die sich in der Umgebung eines Schwarzschild-Loches befinden. Ein Schwarzschild-Loch besitzt eine Raumzeit-Geometrie, die komplizierter ist als die eines Euklidischen Raumes. Mathematisch gesprochen handelt es sich um eine pseudo-riemannsche Mannigfaltigkeit. Die Definition findet man im Anhang auf Seite 94. Um unser Problem lösen zu können, müssen wir also zuerst die wohlbekannten Greenschen Identitäten verallgemeinern. In verschiedenen Lehrbüchern findet man Rechnungen zu diesem Thema. Loomis und Sternberg [23] und H. Flanders [24] geben eine Herleitung für Funktionen auf dem n- dimensionalen Euklidischen Raum. W. Thirring präsentiert eine Version [25], die leider für unsere Zwecke nicht angepaßt ist. Am weitesten gehen H. Holmann und H. Rummler [26]. In 21 ihres Buches zeigen sie das Resultat für Riemannsche Mannigfaltigkeiten. Doch, wie oben erwähnt, brauchen wir eine Verallgemeinerung für pseudo-riemannsche Mannigfaltigkeiten. In diesem Kapitel zeige ich, wie man dies mit einfachen mathematischen Mitteln, die ich im Anhang darlege, bewerkstelligen kann. Mein Ergebnis gilt sowohl für Riemannsche wie für pseudo-riemannsche Mannigfaltigkeiten.

10 KAPITEL 2. DIE 2. GREENSCHE IDENTITÄT Sei (M, g) eine n-dimensionale, orientierte, (pseudo-) Riemannsche Mannigfaltigkeit, D ein Bereich von M mit glattem Rand und D kompakt. Für die beiden Formen α p (M) und β q (M) gibt die anti-leibniz-regel (siehe (A.49) auf Seite 98) d(α β) = dα β + ( 1) p α dβ. (2.1) Seien u, v p (M) jetzt zwei p-formen. Dann bekommen wir mit (2.1) d(u dv) = du dv + ( 1) p u d dv. (2.2) Der Operator ist der sogenannte Hodgesche Sternoperator. Er führt eine p-form in eine (n p)-form über. Man nennt ω n p (M) auch das Hodge-duale von ω p (M). Der Abschnitt A.3.3 des Anhangs auf Seite 98 erklärt in groben Zügen, wie man diesen Operator einführen kann. Mit der Gleichung (A.58) definiert man die Wirkung von auf eine p-form komponentenweise. Wenden wir nun auf (2.2) den Stokesschen Integralsatz (A.68) an, so folgt unmittelbar u dv = d(u dv) = D D D du dv + ( 1) p D u d dv. (2.3) Beim nächsten Schritt ist es wichtig, daß die Beziehung du dv = dv du gilt. Denn du und dv sind (p + 1)-Formen und deshalb erfüllen sie die Gleichung (A.61) des Anhangs über das Skalarprodukt. Wenn wir (2.3) noch einmal hinschreiben, aber diesesmal mit vertauschten u und v, und dann von (2.3) subtrahieren, ergibt sich (u dv v du) = ( 1) p (u d dv v d du). (2.4) D D Die rechte Seite von (2.4) formen wir nun so um, daß das sogenannte Kodifferential δ erscheint. Für jede Form ω k (M) gilt (siehe (A.59) auf Seite 100) was uns sofort die nützliche Beziehung liefert. Wir setzen ω = d dv und k = n p und erreichen ω = ( 1) k(n k) sgn(g) ω, (2.5) ( 1) k(k n) sgn(g) ω = ω (2.6) d dv = ( 1) (n p)(n p n) sgn(g) d dv = ( 1) p(p n) sgn(g) d dv. (2.7)

11 Jetzt sind wir soweit, das Kodifferential δ : q (M) q 1 (M) einzuführen. Die Definition (A.62) befindet sich im Anhang auf Seite 101 und lautet δ := sgn(g) ( 1) nq+n d. (2.8) Wir lösen (2.8) nach d auf, d = ( 1) nq n sgn(g) δ, (2.9) und setzen (2.9) in (2.7) ein. So bekommen wir für d dv (und in analoger Weise für d du) (q = p + 1) d dv = ( 1) p δdv, d du = ( 1) p δdu. (2.10) Wir haben hierzu folgende Beziehung gebraucht: ( 1) p(p n) ( 1) nq n = ( 1) p2 pn ( 1) n(p+1) n = ( 1) p2 2pn 2n = ( 1) p2 = ( 1) p. Mit diesem Zwischenergebnis (2.10) läßt sich (2.4) umformen zu (u dv v du) = (u δdv v δdu). (2.11) D D Wir erinnern noch einmal an die Tatsache, daß für zwei p-formen α, β α β = β α gilt, und verwenden das in (2.11), um als ein erstes Resultat (u dv v du) = (δdv u δdu v) (2.12) D D zu erhalten. Als nächstes betrachten wir die Kombination δu v n 1 (M). Benützen wir wieder die anti-leibniz-regel (A.49) und den Stokesschen Integralsatz (A.68), so folgt δu v = dδu v + ( 1) p 1 δu d v. (2.13) D D D

12 KAPITEL 2. DIE 2. GREENSCHE IDENTITÄT Genau wie oben schreiben wir (2.13) noch einmal hin, aber mit vertauschten u und v, und subtrahieren die neue Gleichung von (2.13): (δu v δv u) = (dδu v dδv u) D D + ( 1) p 1 (δu d v δv d u). (2.14) D Im zweiten Term auf der rechten Seite von (2.14) können wir u und v vertauschen. Dies sieht man mit Hilfe der Definition des Kodifferentials (2.8) so: δu d v = sgn(g) ( 1) np+n d u d v = sgn(g) ( 1) np+n d v d u = δv d u. (2.15) Wir setzen (2.15) in (2.14) ein und sehen sofort, daß sich der zweite Term auf der rechten Seite von (2.14) weghebt, und so bleibt (δv u δu v) = (dδv u dδu v). (2.16) D D Als letzten Schritt addieren wir (2.12) und (2.16) und bekommen so die 2. Greensche Identität für p-formen auf einer (pseudo-) Riemannschen Mannigfaltigkeit (δv u δu v + u dv v du) = ( v u u v), (2.17) D wobei := d δ + δ d der sogenannte Laplace-Beltrami-Operator ist. Am Ende dieses Kapitels möchte ich zeigen, wie sich die klassische Vektoranalysis in (2.17) wiederfindet. Sei M jetzt der n-dimensionale Euklidische Vektorraum und g die zugehörige Euklidische Metrik. (M, g) stellt damit einen der einfachsten Spezialfälle einer Riemannschen Mannigfaltigkeit dar. Für die Nullformen u ϕ 0 (M) und v ψ 0 (M) wird (2.17) mit Hilfe von (2.9) und δu = δv = 0 zu [ n i 1 ψ ϕ ( 1) x i dx1 dx i dx n D i=1 ψ n ( 1) i=1 i 1 ϕ D x i dx1 dx i dx n = (ϕ ψ ψ ϕ) dx 1 dx n. (2.18) D ]

13 Das Symbol dxi bedeutet, daß jeweils im i-ten Summand das i-te Differential dx i wegzulassen ist. = n i=1 2 ( x i ) 2 ist der übliche Laplace-Operator. Die Ausdrücke mit der Summe erhält man ohne großen Aufwand so: Zuerst bildet man aus der 0-Form ψ die 1-Form dψ mit (A.48): dψ = n i=1 ψ x i dxi. Für dψ müssen wir dx i bilden. Die Formel (A.60) sagt uns, daß dx i das Dachprodukt der anderen dx j ist ohne dx i selbst, was wir mit dx i kennzeichnen. Das Vorzeichen ( 1) i 1 entsteht durch die Permutation der ε ijkl. übersetzen zu können, betrachten wir folgende Objekte [27]: Um (2.18) in die klassische Vektoranalysis 1) das vektorielle Streckenelement ds = (dx 1,..., dx n ), 2) das vektorielle Flächenelement ds = (ds 1,..., ds n ), ds i := ( 1) i 1 dx 1 dx i dx n, 3) das Volumenelement dv = dx 1 dx n. Die Operation grad erhält man, wenn man die Differentiale der Funktion ϕ, ψ : D R bildet, dϕ = grad ϕ ds, dψ = grad ψ ds. Mit diesen Elementen wird aus (2.18) (ϕ grad ψ ψ grad ϕ) ds = (ϕ ψ ψ ϕ) dv. (2.19) D D In Abschnitt A.4 des Anhangs auf Seite 103 erzähle ich, daß D eine (n 1)-dimensionale, orientierte Untermannigfaltigkeit von M ist. Für unseren Spezialfall bedeutet dies, daß D eine Hyperfläche des R n ist, deren Orientierung durch das Einheitsnormalenfeld n : D R n gegeben ist [27, 20]. Weiter gilt für jedes stetige Vektorfeld f = (f 1,..., f n ) : D R n und jede kompakte Teilmenge K D [27, 20. Satz 3] f(x) ds(x) = < f(x), n(x) > ds(x). K K

14 KAPITEL 2. DIE 2. GREENSCHE IDENTITÄT Hier in unserem Fall ist f = ϕ grad ψ ψ grad ϕ. Wenn wir dies noch in der Gleichung (2.19) berücksichtigen, so erhalten wir die 2. Greensche Identität, wie man sie üblicherweise in den Lehrbüchern findet, [22, Kap. 1.8] oder [27, 15. Satz 4]: ( ϕ ψ n ψ ϕ ) ds = (ϕ ψ ψ ϕ) dv. (2.20) n D D

15 Kapitel 3 Die Maxwellschen Gleichungen Nachdem wir gesehen haben, wie sich die 2. Greensche Identität mit p-formen schreiben läßt, müssen wir auch die Maxwellschen Gleichungen mit Differentialformen formulieren, denn nur dann können wir die Randwertprobleme elegant lösen. Da die differentialgeometrische Schreibweise auch nicht mehr jung ist, gibt es verschiedene Lehrbücher [20, 25,28,29], die sie erläutern. Aber bis auf Thirring [25] und Straumann [20] nutzt niemand die grosse Kraft des sogenannten äußeren Kalküls. Leider ist der Formalismus auch in der heutigen Theoretischen Physik noch nicht weit verbreitet. Deshalb führe ich diejenigen Einzelheiten in diesem Kapitel vor, die wir brauchen werden. Ich beginne dabei mit der Tensorschreibweise. In der Absicht, die Maxwellschen Gleichungen in eine lorentzinvariante Form zu bringen, fasst man die Ladungsverteilung ϱ und die Stromdichte j zu einem Vierervektor j µ zusammen, und die elektromagnetischen Felder E und B werden zu Komponenten eines antisymmetrischen Tensorfeldes 2. Stufe F µν. Die Maxwellschen Gleichungen lauten dann mit c = 1 und η µν = diag(1, 1, 1, 1) [22]: F µν, ν = 4πj µ, (3.1) F µν, λ + F νλ, µ + F λµ, ν = 0, (3.2)

16 KAPITEL 3. DIE MAXWELLSCHEN GLEICHUNGEN wobei 0 E 1 E 2 E 3 E (F µν ) = 1 0 B 3 B 2 E 2 B 3 0 B 1 E 3 B 2 B 1 0 (3.3) und j µ = (ϱ, j). (3.4) Aus der Gleichung (3.1) folgt automatisch die Stromerhaltung j µ, µ = 0, (3.5) da F µν antisymmetrisch ist. Gleichung (3.2) stellt die Integrabilitätsbedingung für die lokale Existenz eines elektromagnetischen Potentials A µ dar mit F µν = A ν, µ A µ, ν. (3.6) Bei Anwesenheit eines Gravitationsfeldes müssen wir die Krümmung der Raumzeit mitberücksichtigen. Zudem fordern wir, daß sich F µν und j µ (a) wie Tensorfelder transformieren und (b) in einem lokalen Inertialsystem auf (3.3) bzw. (3.4) reduzieren. Man erfüllt diese Forderungen, indem man die gewöhnliche Differentiation durch die sogenannte kovariante Ableitung ersetzt. Symbolisch ersetzt man das Komma in den Differentialgleichungen durch ein Semikolon. Die Einzelheiten zur kovarianten Ableitung erklären die Lehrbücher, von denen ich [20, 28 30] nennen möchte. Die Maxwellschen Gleichungen in einem Gravitationsfeld sehen dann so aus: F µν ; ν = 4πj µ, (3.7) F µν ; λ + F νλ ; µ + F λµ ; ν = 0, (3.8) mit F µν = g µα g νβ F αβ. (3.9)

17 Da F µν und F µν antisymmetrisch sind, lassen sich (3.7) und (3.8) etwas umformen. In den Standardlehrbüchern wird dies vorgeführt, und man kommt zu den Ausdrücken 1 g ν ( g F µν ) = 4πj µ, (3.10) F µν, λ + F νλ, µ + F λµ, ν = 0. (3.11) Aus (3.7) oder (3.10) leitet man die Kontinuitätsgleichung j µ ; µ = 0 (3.12) oder µ ( g j µ ) = 0 (3.13) her. Genau wie im gravitationsfreien Fall folgt auch hier die lokale Existenz eines elektromagnetischen Potentials A µ aus der Integrabilitätsbedingung (3.11). Wir werden die Maxwellschen Gleichungen jetzt mit Differentialformen schreiben. Dazu fassen wir den antisymmetrischen Tensor F µν als Komponenten einer 2-Form F in der beliebig gewählten Basis {dx µ } auf und schreiben F = 1 F 2 µν dx µ dx ν. (3.14) Mit Hilfe von (A.50) aus dem Anhang bilden wir die totale Ableitung und bekommen df = 1 2 F µν, λ dx λ dx µ dx ν. (3.15) Wir teilen die Summe in drei Terme auf und permutieren die Indizes. Das dürfen wir, da ja über alle Indizes summiert wird. df = 1 6 ( Fµν, λ dx λ dx µ dx ν + F νλ, µ dx µ dx ν dx λ +F λµ, ν dx ν dx λ dx ) µ. In den beiden letzten Termen erstellen wir die Reihenfolge (λ, µ, ν). Wir beachten dabei die Antisymmetrie dx µ dx ν = dx ν dx µ : df = 1 (F 6 µν, λ + F νλ, µ + F λµ, ν ) dx λ dx µ dx ν.

18 KAPITEL 3. DIE MAXWELLSCHEN GLEICHUNGEN Der Vergleich mit (3.11) zeigt, daß die homogenen Maxwellschen Gleichungen wie folgt geschrieben werden können: Mit der Stromdichte j µ definiert man die Stromform J als df = 0. (3.16) J = j µ dx µ. (3.17) Die Formel (A.64) aus dem Anhang liefert uns die Koordinatendarstellung von δf : (δf ) µ = 1 g ( g F µν ), ν. Ein Vergleich mit (3.10) führt uns zur Form der inhomogenen Maxwellschen Gleichungen: δf = 4πJ. (3.18) Da δ δ = 0 (Gleichung (A.63)) gilt, erhalten wir mit (3.18) die Kontinuitätsgleichung δj = 0. (3.19) Die integrale Form hiervon lautet mit dem Stokesschen Integralsatz (A.68) J = 0. Für Flächen konstanter Zeit zeigt Thirring [25], daß J = Q (3.20) gelten muß. Q erweist sich als Gesamtladung. Gleichung (3.16) impliziert mit dem Lemma von Poincaré (Lemma A.2 auf Seite 98) die (lokale) Existenz eines Potentials A = A µ dx µ mit Wie man leicht einsieht, ist F = da = A µ, ν dx ν dx µ F = da. (3.21) = 1 2 A µ, ν dx ν dx µ + 1 2 A µ, ν dx ν dx µ = 1 2 A µ, ν dx ν dx µ + 1 2 A ν, µ dx µ dx ν = 1 2 (A ν, µ A µ, ν ) dx µ dx ν,

19 oder F µν = A ν, µ A µ, ν. Die Darstellung (3.21) ist nicht eindeutig. Wie in der gewöhnlichen Elektrodynamik ändert sich die Feldstärkeform F nicht, wenn wir die folgenden Eichtransformationen ausführen: Ã = A + dλ. (3.22) Λ ist dabei eine skalare Funktion oder Nullform. Nun kann man z. B. erreichen, daß A δa = 0 (3.23) erfüllt. Unter (3.22) ändert sich nämlich die verallgemeinerte Divergenz von A gemäß δã = δa + δdλ, und deshalb kann (3.23) erfüllt werden. Da die Koordinatendarstellung von (3.23) δa = A µ ; µ = 1 g ( ga µ ), µ = 0 ist, möchte ich (3.23) Lorentzsche Eichbedingung nennen. Die Lorentzeichung bleibt erhalten, wenn bei Umeichungen (3.22) die Eichfunktion Λ durch δdλ = 0 eingeschränkt wird. Grundsätzlich ist dann δa = 0. Setzen wir (3.21) in die inhomogenen Maxwellschen Gleichungen (3.18) ein, so werden die Feldgleichungen für das Potential A zu δda = 4πJ. (3.24) Im folgenden wollen wir in der Lorentzeichung arbeiten. Wir dürfen dann zu (3.24) einen Term dδa dazuaddieren und kommen zum Ausdruck A = 4πJ. (3.25) = d δ + δ d ist wieder der Laplace-Beltrami-Operator aus Kapitel 2. Wir wollen nun die 2. Greensche Identität (2.17) verwenden, um Lösungen der Maxwellschen Gleichungen (3.25) zu produzieren. Dazu definieren wir uns zwei neue 1-Formen G, δ D 1 (M), für die gelten soll G = 4πδ D. (3.26)

20 KAPITEL 3. DIE MAXWELLSCHEN GLEICHUNGEN G soll Greenform und δ D Diracform heißen, und die Komponentenfunktionen von δ D sollen Deltafunktionen auf M sein. Setzen wir u = A und v = G, so liefert uns (2.17) den Ausdruck (δg A δa G + A dg G da) D = D ( G A A G). (3.27) Wenn die Hyperfläche D ins Unendliche rückt und die Randwerte schnell genug abfallen, verschwindet das Oberflächenintegral und (3.27) wird zu δ D A = J G. (3.28) D D Dieses Ergebnis gilt für jedes Koordinatensystem. Wir wählen speziell eine (lokale) orthonormale Basis von 1-Formen {θ µ }, so daß 1 0 0 0 0 1 0 0 g = g µν θ µ θ ν mit g µν =. (3.29) 0 0 1 0 0 0 0 1 In dieser Basis lauten unsere 1-Formen A = A 0 θ 0 + A 1 θ 1 + A 2 θ 2 + A 3 θ 3, G = G 0 θ 0 + G 1 θ 1 + G 2 θ 2 + G 3 θ 3, δ D = δ(x x )(θ 0 + θ 1 + θ 2 + θ 3 ) mit δ D = 1. Für (3.28) brauchen wir A und G, d. h. wir müssen θ µ bilden. Die Regel dazu gibt uns die Formel (A.60) auf Seite 101 aus dem Anhang. So ist z. B. D θ 0 = 1 3! ε j 1 j 2 j 3 j 4 g 0j 1 θ j 2 θ j 3 θ j 4 = 1 6 ε 0ijk θ i θ j θ k = θ 1 θ 2 θ 3. Analog berechnet man θ 1 = θ 0 θ 2 θ 3, θ 2 = θ 0 θ 1 θ 3, θ 3 = θ 0 θ 1 θ 2.

21 Mit diesem Hilfsresultat wird (3.28) in der speziellen Basis {θ µ } zu A 0 (x) + A 1 (x) + A 2 (x) + A 2 (x) [ ] = j 0 (x )G 0 (x, x ) + j 1 (x )G 1 (x, x ) + j 2 (x )G 2 (x, x ) + j 3 (x )G 3 (x, x ) D θ 0 (x )θ 1 (x )θ 2 (x )θ 3 (x ). (3.30) Wir bekommen also keine Lösung für jedes A µ (x) einzeln, sondern nur für eine Kombination der A µ. Nur für den Fall, daß die Funktionen A µ in (3.25) bzw. G µ in (3.26) entkoppeln, wie das im Minkowski-Raum der Fall ist, können wir schreiben: A µ (x) = j µ (x )G µ (x, x )θ 0 (x )θ 1 (x )θ 2 (x )θ 3 (x ). (3.31) D Es sollte nicht erstaunen, daß die A µ gekoppelt sind. Sobald der Raum nicht mehr die Struktur eines Minkowski-Raumes hat, sorgen die Komponenten der Metrik g µν für die Kopplung der Feldkomponenten. Im nächsten Kapitel beschränken wir uns auf elektrostatische Probleme und wir werden sehen, wie sich Randwertprobleme lösen lassen.

22 Kapitel 4 Elektrostatisches Potential einer Testladungsverteilung Jetzt wollen wir die elektrostatischen Felder bestimmen, die eine beliebige, statische Ladungsverteilung in der Nähe eines Schwarzschild-Loches erzeugt. Wir müssen dazu die Maxwellschen Gleichungen A = 4πJ (3.25) lösen. Wie wir im letzten Kapitel gesehen haben, genügt es, die Gleichung G = 4πδ D (3.26) zu betrachten. G und J zusammen ergeben, in die 2. Greensche Identität (2.17) eingesetzt, die allgemeine Lösung A(x). Randwerte mitberücksichtigen. Wir werden sogar, um den allgemeinsten Fall zu lösen, Die Schwarzschild-Lösung ist diejenige Lösung der Einsteinschen Feldgleichungen, die das Gravitationsfeld außerhalb einer sphärisch symmetrischen Massenverteilung beschreibt. Der Name der Lösung geht auf den deutschen Astronomen Karl Schwarzschild zurück, der sie nur 2 Monate, nachdem Einstein seine Feldgleichungen publiziert hatte, fand. Wir werden die üblichen Schwarzschild-Koordinaten benützen, in denen sich die Metrik in der Form ds 2 = ( 1 2m r ) ( dt 2 1 2m r ) 1 dr 2 r 2 ( dϑ 2 + sin 2 ϑ dϕ 2) (4.1)

23 schreibt. Die Konstante m ist eine vereinfachte Schreibweise für m = GM c 2. G ist Newtons Gravitationskonstante und c ist die Lichtgeschwindigkeit. Ich setze beide Größen gleich Eins. In den Lehrbüchern [20,28 30] wird gezeigt, daß die Konstante Mc 2 gleich der totalen Energie des Systems ist. Wir dürfen M deshalb als Gesamtmasse der sphärisch symmetrischen Massenverteilung auffassen. Wichtig zu sagen ist, daß (4.1) asymptotisch flach ist. Im Limes r geht (4.1) in die Minkowski-Metrik über, wobei die räumlichen Koordinaten in Kugelkoordinaten ausgedrückt sind. Wir können also für unsere elektrostatische Lösung erwarten, daß sie für r zur üblichen Lösung im dreidimensionalen Euklidischen Raum wird [22]. Wir setzen die Einsformen A und J in Schwarzschild-Koordinaten an: A = A t dt + A r dr + A ϑ dϑ + A ϕ dϕ, J = J t dt + J r dr + J ϑ dϑ + J ϕ dϕ, (4.2) und rechnen damit (3.25) aus. Nach einer etwas längeren Rechnung bekommt man: ( 1 2m ) 1 r r [ ] 2 r r 2 1 A t,r + 1 2m/r A 1 t,tt r 2 sin ϑ ϑ[ sin ϑ A t,ϑ ] A r,t r ( 1 2m r ) 1 r 2 sin 2 ϑ A t,ϕϕ = 4πj t, [ ( 1 1 1 2m/r A r,tt r r 2 r [r 2 1 2m ) ]] A r r ( ) 1 r 2 sin ϑ 1 ϑ [sin ϑa r,ϑ ] r 2 sin 2 ϑ A 1 r,ϕϕ + A t,t r 1 2m/r 2 + r 3 sin ϑ 2 ϑ [sin ϑa ϑ ] + r 3 sin 2 ϑ A ϕ,ϕ = 4πj r, [( 1 1 2m/r A ϑ,tt r 1 2m r ) ] A ϑ,r 1 [ ] 1 r 2 ϑ sin ϑ ϑ [sin ϑa ϑ ] 2 ( 1 2m r r 1 r 2 sin 2 ϑ A ϑ,ϕϕ ) A r,ϑ + 2 cos ϑ r 2 sin 3 ϑ A ϕ,ϕ = 4πj ϑ, (4.3a) (4.3b) (4.3c) [( 1 1 2m/r A ϕ,tt r 1 2m r ) ] A ϕ,r sin ϑ r 2 ϑ 1 r 2 sin 2 ϑ A ϕ,ϕϕ 2 r [ 1 ] sin ϑ A ϕ,ϑ ( 1 2m r ) A r,ϕ = 4πj ϕ. (4.3d)

24 KAPITEL 4. POTENTIAL EINER TESTLADUNGSVERTEILUNG Da die Ladungsverteilung eine statische Konfiguration sein soll, dürfen wir natürlich die Funktionen A µ unabhängig von der Zeit wählen. Ein Blick auf die Gleichungen (4.3a 4.3d) belehrt uns, daß in diesem Fall das elektrostatische Potential A t von den anderen A i (i = r, ϑ, ϕ) entkoppelt. Darüberhinaus wollen wir auch keine Ströme zulassen, was natürlich bedeutet, daß die räumlichen Komponenten der Stromform J gleich Null zu setzen sind, j i = 0 (i = r, ϑ, ϕ). So dürfen wir, ohne zu zögern, A i = 0 setzen. Es bleibt uns als einzige nichttriviale Gleichung (µ = t) ( 1 2m r ) 1 r [ ] 2 r r 2 1 A t,r + r 2 sin ϑ 1 ϑ[ sin ϑ A t,ϑ ] + r 2 sin 2 ϑ A t,ϕϕ = 4πj t. (4.4) An dieser Stelle ersetzen wir jetzt A durch die Greenform G und J durch die Diracform δ D. Es ist dann G = G t dt und δ D = δ t dt. δ D soll die Normierung δ D = 1 erfüllen, was uns zu δ t = 1 2m r r 2 sin ϑ δ(r r ) δ(ϑ ϑ ) δ(ϕ ϕ ) (4.5) führt. Die Normierung folgt, wenn wir in (3.20) die Einheitsladung einsetzen. Wir lösen zuerst die homogene Gleichung von (4.4). Machen wir den Separationsansatz G t (x, x ) = l,m R l (r, r )Y lm (ϑ, ϕ), x = (r, ϑ, ϕ), (4.6) erhalten wir die folgende Gleichung für R l (r, r ) ( 1 2m r ) [ d r 2 dr ] l l(l + 1)R l (r, r ) = 0. (4.7) dr dr Nun haben unabhängig voneinander Israel [1] und Anderson und Cohen [11] die Lösungen der Gleichung (4.7) gefunden. Sie transformierten auf eine neue Radialkoordinate u = r 1, führten eine neue Funktion U 1+u m l(u) = R 1 u l(u) ein und formten (4.7) um zu ( ) [ 1 u 2 U l (u) 2u U l (u) + l(l + 1) 1 ] U 1 u 2 l (u) = 0. (4.8) Die Lösungen von (4.8) sind die zugeordneten Legendrefunktionen 1. und 2. Art, P 1 l (u) und Q 1 l (u) [31]. Für den weiteren Gang der Handlung wählen wir den Weg von Cohen und Wald [5]. Sie berechneten die beiden linear unabhängigen Lösungen der Gleichung

25 (4.7) zu 1, für l = 0 (Definition), g l (r) = 2 l l! (l 1)! m l (r 2m) dp ( l r ) (4.9a) (2l)! dr m 1, für l 0, (2l + 1)! ( f l (r) = 2 l (l + 1)! l! m (r 2m)dQ l r ) l+1 dr m 1, (4.9b) wobei P l und Q l die zwei Arten der Legendrefunktionen sind [31]. Danach notierten sie drei Eigenschaften der g l (r) und f l (r), die für die folgende Analyse wichtig sein werden: (I) Für l = 0 ist g 0 (r) = 1 (nach Definition) und f 0 (r) = 1/r. (II) Im Limes r ist der führende Term von g l (r) gleich r l für alle l, während der führende Term von f l (r) gleich 1/r l+1 ist. (III) Am Horizont, d. h. für den Fall r 2m, bleibt f l (r) endlich konstant, aber df l /dr steigt an wie ln(1 2m r 1 ) für alle l 0. Da im wesentlichen g l (r) = (r 2m) (Polynom in r) gilt, folgt im Limes r 2m g l (r) 0 wie (r 2m) für alle l 0. Jetzt haben wir alles beisammen, um die homogene Lösung von (4.4) hinzuschreiben: [A lm g l (r) + B lm f l (r)] Y lm (ϑ, ϕ), für r > r, G t (x, x l,m ) = (4.10) [C lm g l (r) + D lm f l (r)] Y lm (ϑ, ϕ), für r < r. l,m Die Konstanten A lm, B lm, C lm und D lm werden wir mit Hilfe der Randbedingungen bestimmen. Damit die Felder bei r = 2m und für r regulär sind, muß für r > r A lm = 0 und für r < r D lm = 0 sein (siehe Eigenschaft (II) und (III)). Dann verschwindet G t bei r = 2m und für r. Wir wollen ein Dirichlet-Problem mit Randflächen lösen. Da die Schwarzschild-Koordinaten, mit denen wir arbeiten, sphärische Koordinaten sind, bietet es sich an, die Randflächen als konzentrische Sphären bei r = a und r = b zu wählen, auf denen G t (x, x ) für x verschwinden soll. Das Verschwinden von G t (x, x ) impliziert C lm g l (a) + D lm f l (a) = 0, für r = a, (4.11a) A lm g l (b) + B lm f l (b) = 0, für r = b. (4.11b)

26 KAPITEL 4. POTENTIAL EINER TESTLADUNGSVERTEILUNG Mit d lm := C lm /f l (a) = D lm /g l (a) und b lm := A lm /f l (b) = B lm /g l (b) wird Gleichung (4.10) zu b lm [g l (b)f l (r) f l (b)g l (r)] Y lm (ϑ, ϕ), für r > r, G t (x, x l,m ) = d lm [g l (a)f l (r) f l (a)g l (r)] Y lm (ϑ, ϕ), für r < r. l,m Selbstverständlich fordern wir auch die Stetigkeit von G t bei r = r, was uns zu (4.12) b lm [g l (b)f l (r ) f l (b)g l (r )] = d lm [g l (a)f l (r ) f l (a)g l (r )] (4.13) führt. Der Übersicht halber definieren wir eine neue Konstante a lm := b lm g l (a)f l (r ) f l (a)g l (r ) = die es uns gestattet, (4.10) in der Form d lm g l (b)f l (r ) f l (b)g l (r ), G t (x, x ) = l,m a lm R l (r, r )Y lm (ϑ, ϕ) (4.14) zu schreiben mit [g l (a)f l (r ) f l (a)g l (r )][g l (b)f l (r) f l (b)g l (r)], für r > r, R l (r, r ) = [g l (b)f l (r ) f l (b)g l (r )][g l (a)f l (r) f l (a)g l (r)], für r < r. (4.15) Wir setzen (4.14), (4.15) und (4.5) in (4.4) ein, multiplizieren beide Seiten mit r 2 und gelangen so zu l,m a lm [( 1 2m r ) ( d r 2 dr ) ] l l(l + 1)R l (r, r ) Y lm (ϑ, ϕ) dr dr = 4π sin ϑ ( 1 2m r ) δ(r r )δ(ϑ ϑ )δ(ϕ ϕ ). (4.16) Um a lm zu bestimmen, multiplizieren wir (4.16) mit sinϑ Yl m (ϑ, ϕ) und integrieren über ϑ und ϕ. Die Orthogonalitätsrelation der Kugelflächenfunktionen Y lm (ϑ, ϕ) bringt die Summe l,m zum Verschwinden und es bleibt [ ( d a lm r 2 dr ) ] l l(l + 1) dr dr 1 2m R l r Eine letzte Integration über ein infinitesimales Interval bei r ergibt [ 4π Ylm(ϑ, ϕ ) = a lm r 2 dr l (r > r ) r 2 dr l (r < r ) dr dr r=r = a lm r 2 [g l (a)f l (b) g l (b)f l (a)] = 4π δ(r r ) Y lm(ϑ, ϕ ). (4.17) r=r [ g l (r ) df l dr (r ) f l (r ) dg l dr (r ) = a lm r 2 [g l (a)f l (b) g l (b)f l (a)] W (g l, f l, r ). (4.18) ] ]

27 W (g l, f l, r ) heißt Wronski-Determinante von g l und f l bei r. Darunter hat man die Determinante W (r) = u 1... u n u 1... u n.. 1... u (n 1) n u (n 1) (4.19) von n linear unabhängigen Lösungen u 1 (r),..., u n (r) einer linearen Differentialgleichung der Form u (n) + a n 1 (r)u (n 1) + + a 0 (r)u = b(r) zu verstehen [32]. Für W (r) besteht die Beziehung In unserem Fall ist a n 1 = a 1 (r) = 2 r ( r ) W (r) = W (r 0 ) exp a n 1 (s) ds r 0 und deshalb. (4.20) Wir folgern also sofort die interessante Beziehung W (g l, f l, r) = W (g l, f l, r 0 ) r 2 0 r 2. (4.21) r 2 W (g l, f l, r) = const. (4.22) Die noch unbekannte Konstante ermitteln wir, indem wir W (g l, f l, r) für große r ausdrücken. Das gelingt uns mit Hilfe der Eigenschaft (II), die die führenden Terme von g l und f l nennt. Damit ergibt Gleichung (4.22) für alle r [ r 2 W (g l, f l, r) = r 2 r l (l + 1) 1 r 1 l+2 r ] l 1 l r l+1 = (2l + 1). (4.23) Indem wir (4.23) in (4.18) einsetzen und nach a lm auflösen, berechnen wir a lm zu a lm = 4π 2l + 1 1 g l (a)f l (b) g l (b)f l (a) Y lm(ϑ, ϕ ). (4.24) Jetzt sind wir fertig und können sagen, die Lösung von (4.4) lautet G t (x, x ) = 4π Ylm (ϑ, ϕ )Y lm (ϑ, ϕ) [ ] l,m (2l + 1) 1 g l(a)f l (b) f l (a)g l (b) ( g l (r < ) g ) ( l(a) f l (a) f l(r < ) f l (r > ) f ) l(b) g l (b) g l(r > ), (4.25) wobei r < (r > ) der kleinere (größere) Wert von r und r ist.

28 KAPITEL 4. POTENTIAL EINER TESTLADUNGSVERTEILUNG Wir sagten zu Beginn dieses Kapitels, daß jede Lösung unserer Erwartung nach für große r, d. h. weit weg von der Gravitationsquelle, in die wohlbekannte Lösung der gewöhnlichen Elektrostatik übergehen soll, weil die Raumzeit-Geometrie asymptotisch flach ist. Daß diese Erwartung uns nicht getrogen hat, sehen wir sofort, wenn wir in (4.25) die g l und f l durch ihre führenden Terme ersetzen (Eigenschaft (II)) und das Ergebnis G t (x, x ) = 4π ) ( ) Ylm (ϑ, ϕ )Y lm (ϑ, ϕ) [ l,m (2l + 1) 1 ( ) ] a 2l+1 (r l< a2l+1 1 rl > r< l+1 r> l+1 b 2l+1 b mit Formel (3.125) aus Jacksons Elektrodynamik [22] vergleichen. Es besteht vollkommene Übereinstimmung. Die allgemeine Lösung für A t (x) zu finden, ist jetzt nicht mehr schwierig. Sie folgt unmittelbar aus (3.27). Wir haben alles, was wir brauchen. Unter dem Randintegral bleibt nur ein Term übrig, da δg = δa = 0 (Lorentz-Eichung) und G t (x, x ) ja auf der Fläche D verschwindet (Dirichlet-Problem). In den Integranden auf der rechten Seite von (3.27) setzen wir (3.25) und (3.26) ein und kommen so zu unserer Lösung für das elektrostatische Potential in der Schwarzschild-Geometrie A t (x) = j t (x ) G t (x, x ) r 2 sin ϑ 1 2m dr dϑ dϕ r D 1 4π D A t (x ) G t(x, x ) r r 2 sin ϑ dϑ dϕ. (4.26) Wir vernachlässigen die Integration über t, da aufgrund der statischen Ladungsverteilung keine der Funktionen in (4.26) von der Zeit abhängt. Um für eine vorgegebene Ladungsverteilung das Feld berechnen zu können, müssen wir wissen, wie j t (x) für die entsprechende Ladungsverteilung aussieht. Es läßt sich ein Ausdruck finden, der für jede beliebige Ladungsverteilung das zugehörige j t (x) bestimmt. Wir greifen für die Herleitung auf Gleichung (3.19) zurück. Mit der Definition (A.62) für δ sieht man, daß wir die Kontinuitätsgleichung auch so d J = 0 (4.27) schreiben dürfen. (A.68), so daß wir Wir integrieren (4.27) und benutzen den Stokesschen Integralsatz J = Q (4.28)

29 bekommen. Wir kennen diesen Ausdruck schon von (3.20). Die Integrationskonstante Q ist selbstverständlich die Gesamtladung des Systems. (4.28) in Koordinaten ausgedrückt lautet D j t (x) r 2 sin ϑ 1 2m r dr dϑ dϕ = Q. (4.29) Unsere Lösung (4.25) ist eine unendliche Reihe von orthogonalen Polynomen. Doch es existiert auch eine algebraische Lösung. 1976 präsentierte Linet solch eine Lösung für eine Punktladung bei (r 0, ϑ 0, ϕ 0 ) mit r 0 > 2m [6]. Er bekam seine Lösung, indem er ein früheres Ergebnis von Copson [33] modifizierte. Copson hatte zwar 1928 die Maxwellschen Gleichungen für eine Punktladung im Schwarzschild-Feld gelöst, aber dabei nicht an die Asymptotik gedacht, so daß seine Lösung asymptotisch den falschen Wert lieferte. Dies war Linet aufgefallen und er behob den Fehler durch Addition einer Konstanten. Linets Lösung ist A L t (x) = em r 0 r e (r m)(r 0 m) m 2 λ(ϑ, ϕ) (4.30) r 0 r [(r m) 2 + (r 0 m) 2 m 2 2(r m)(r 0 m)λ(ϑ, ϕ) + m 2 λ 2 (ϑ, ϕ)] 1/2 mit λ(ϑ, ϕ) = cos ϑ cos ϑ 0 + sin ϑ sin ϑ 0 cos(ϕ ϕ 0 ). (4.31) Für uns ist es kein Problem, diese Lösung zu verallgemeinern. Anlehnend an (4.26) bekommen wir A L t (x) = D j t (x ) G L t (x, x ) r 2 sin ϑ 1 2m r dr dϑ dϕ, (4.32) G L t (x, x ) = m r r 1 (r m)(r m) m 2 λ(ϑ, ϕ), (4.33) r r [(r m) 2 + (r m) 2 m 2 2(r m)(r m)λ(ϑ, ϕ) + m 2 λ 2 1/2 (ϑ, ϕ)] λ(ϑ, ϕ) = cos ϑ cos ϑ + sin ϑ sin ϑ cos(ϕ ϕ ). (4.34) Linet hat keine Randflächen bei r = a und r = b betrachtet, was für unsere Lösung (4.25) gleichbedeutend ist mit a 2m, b. Möchte man Randwerte mitberücksichtigen, muß man zu (4.33) eine Lösung der homogenen Gleichung addieren, die vollständig durch die Wahl der Randbedingungen bestimmt ist. Ein Verfahren, das man aus der üblichen

30 KAPITEL 4. POTENTIAL EINER TESTLADUNGSVERTEILUNG Elektrostatik kennt. So haben wir also mit der 2. Greenschen Identität die Elektrostatik in der Schwarzschild-Raumzeit erschöpfend gelöst. Die Lösung liegt sowohl in Form einer unendlichen Reihe orthogonaler Polynome vor als auch in algebraischer Form. Und im Grenzübergang großer r ergeben sich die altbekannten Gleichungen der gewöhnlichen Elektrostatik [22].

31 Kapitel 5 Drei Beispiele Wir betrachten nun ein paar Beispiele, die mit unserer Methode natürlich leicht zu beherrschen sind. Wir fangen mit dem Einfachsten an. 5.1 Punkttestladung Eine Punkttestladung der Ladung Q befinde sich am Ort r = R > 2m, ϑ = θ, ϕ = φ. Es sollen keine Randwerte vorgegeben sein, d. h. a 2m und b. Die Ladungsdichte j t lesen wir von der Beziehung (4.29) ab: j t (x ) = Q 1 2m/r r 2 sin ϑ δ(r R) δ(ϑ θ) δ(ϕ φ). (5.1) Die Greensfunktion G t wird unter Zuhilfenahme der Eigenschaften (II) und (III) zu G t (x, x ) = l,m 4π 2l + 1 g l(r < )f l (r > )Y lm(ϑ, ϕ )Y lm (ϑ, ϕ). (5.2) (5.1) und (5.2) setzen wir in (4.26) ein, beachten dabei, daß A t (x ) = 0 ist auf D, und bekommen A t (r, ϑ, ϕ) = Q l,m 4π 2l + 1 g l(r < )f l (r > )Y lm(θ, φ)y lm (ϑ, ϕ). (5.3) r < bzw. r > sind wieder der kleinere bzw. größere Wert von r und R. Es ist fast überflüssig zu sagen, daß beim Grenzübergang R, r das altbekannte Potential einer

32 KAPITEL 5. DREI BEISPIELE Punktladung herauskommt. Setzen wir θ gleich Null, ergibt sich aus (5.3) die von Cohen und Wald [5] hergeleitete Lösung. Diese und Linets Lösung (4.30) sind nach meinen Literaturrecherchen die bis anhin einzigen, analytisch formulierten Lösungen. 5.2 Ein Randwertproblem Als ein Beispiel mit Randwert wollen wir einen konzentrischen Ladungsring mit Gesamtladung Q betrachten. Der Ring befinde sich bei r = R > 2m, ϑ = π 2 innerhalb einer Sphäre vom Radius b > R mit dem auf ihrer Oberfläche vorgegebenen Potential V (ϑ, ϕ ). Für das Oberflächenintegral in (4.26) brauchen wir die Ableitung von G t am Ort der Sphäre r = b. Mit dem Grenzübergang a 2m in (4.25) ist die Ableitung gleich G t r = 4π ( Ylm (ϑ, ϕ )Y lm (ϑ, ϕ) dfl (r ) g l (r) r =b (2l + 1) dr f ) l(b) dg l (r ) l,m r =b g l (b) dr. (5.4) r =b Folglich beträgt das Potential innerhalb einer Sphäre bei r = b, gemäß (4.26), Φ(x) = [ ] V (ϑ, ϕ )Ylm(ϑ, ϕ ) sin ϑ dϑ dϕ l,m ( b2 g l (r) dfl (r ) f ) l(b) dg l (r ) Y 2l + 1 dr g l (b) dr lm (ϑ, ϕ). (5.5) r =b Die Ladungsdichte des Ringes lesen wir wieder von (4.29) ab: r =b j t (x ) = Q 2π 1 2m/r r 2 sin ϑ δ(r R) δ(ϑ π 2 ). (5.6) Da unser Problem axial symmetrisch ist, setzen wir den Index m = 0. Man soll diesen Index nicht mit dem m der Metrik (4.1) verwechseln. Doch es sollte durch die Schreibweise klar sein, was jeweils gemeint ist. So wird (4.26) mit (4.25) und a 2m zu [ A t (x) = Q ( 1) n (2n)! 2 2n (n!) g 2n(r 2 < ) f 2n (r > ) f ] 2n(b) g 2n (b) g 2n(r > ) P 2n (cos ϑ)+φ(x). (5.7) n=0 Wir haben dabei von der Beziehung ( 1) n (2n)! für l = 2n, P l (0) = 2 2n (n!) 2 0 für l = 2n + 1, Gebrauch gemacht [31]. (5.8)

5.3. GELADENE HOHLKUGEL 33 5.3 Geladene Hohlkugel Um ein Schwarzschild-Loch befinde sich eine geladene Hohlkugel der Gesamtladung Q mit innerem Radius R 1 und äußerem Radius R 2. Wir wollen das Potential in den drei Bereichen r < R 1, R 1 r R 2 und r > R 2 berechnen. Zuerst suchen wir einen Ausdruck für j t (x ). Gemäß (4.29) ist j t (x ) = Q 1 2m/r 2π 2 (R 2 R 1 ) r 2 sin ϑ [ ] Θ(r R 1 ) Θ(r R 2 ), (5.9) wobei Θ die Heavyside-Funktion bezeichnet. Um es einfach zu halten, verzichten wir auf Randwerte (a 2m, b ). Die sphärische Symmetrie des Problems bringt die Summe dank l = m = 0 zum Verschwinden. Mit Eigenschaft (I) erhalten wir von (4.26) A t (r) = Q R 2 R 1 0 [ ] 1 Θ(r R 1 ) Θ(r R 2 ) dr. (5.10) r > Das Integrationsgebiet [2m, ) besteht aus den drei Bereichen I = [2m, R 1 ], II = [R 1, R 2 ] und III = [R 2, ) mit r [R 1, R 2 ]. Für die Lösung A t (x) müssen wir also das Integral für jeden Bereich extra auswerten. Bereich I: Es gilt grundsätzlich r r, deshalb r > = r. Damit folgern wir aus (5.10) also A I t(r) = Q R 2 R 1 A I t(r) = R 2 R 1 1 r dr = Q ln r R 2 R 1 R 2, R 1 Q R 2 R 1 ln R 2 R 1 = const. (5.11) Innerhalb der Hohlkugel gibt es kein Feld, was auch zu erwarten war. Bereich II: Die Variable r befindet sich jetzt im Intervall [R 1, R 2 ]. Beim Integrieren soll man r als fest betrachten, so daß die Integrationsvariable r [R 1, R 2 ] einmal R 1 r r erfüllt, und ein andermal r r R 2. Wir sind deshalb gezwungen, das Integral in zwei Terme aufzuteilen. Aus (5.10) folgt A II t (r) = Q R 2 R 1 R 2 R 1 1 r > dr = Q R 2 R 1 r R 1 1 r dr + Q R 2 R 1 R 2 r 1 r dr

34 KAPITEL 5. DREI BEISPIELE und somit A II t (r) = Q R 2 R 1 ( r R1 r + ln R ) 2. (5.12) r Bereich III: Hier gilt grundsätzlich r r oder r > = r, so daß (5.10) A III t (r) = Q r (5.13) ergibt, die alte Coulombsche Lösung. Auf dieselbe Weise könnte man auch eine geladene Scheibe betrachten. Aus Symmetriegründen wäre nur m = 0 und man müßte die zugeordneten Legendrefunktionen integrieren, was ein kleiner Aufwand wäre, aber dank [31] nicht unmöglich. Wir haben Linets Lösung (4.33) bewußt nicht verwendet, da die Integration bis auf den Fall der Punktladung stets erheblich aufwendig, manchmal unmöglich ist. Man kann sich noch viele verschiedene Aufgaben ausdenken und sie alle in der oben gezeigten Art lösen. Aber wir wollen es hier gut sein lassen.

35 Kapitel 6 Qualitatives Verhalten der Felder (1. Teil) Wir kehren jetzt wieder zur Theorie zurück, indem wir fragen, wie sich elektrostatische Felder in der näheren Umgebung eines Schwarzschild-Loches verhalten. Zuerst führen wir in Abschnitt 6.1 eine Multipolentwicklung durch, und zwar nach dem Vorbild der gewöhnlichen Elektrostatik. Diese Entwicklung benutzen wir dann in Abschnitt 6.2, um zu erfahren, was ein Beobachter in den folgenden zwei Situationen wahrnimmt: 1) Der Beobachter befindet sich auf dem Horizont. 2) Die Ladung nähert sich allmählich dem Horizont. Es versteht sich von selbst, daß diese Ergebnisse über den Rahmen der gewöhnlichen Elektrostatik hinausgehen. 6.1 Multipolentwicklung Wir nehmen an, eine Ladungsverteilung j t sei innerhalb einer Sphäre vom Radius R > 2m um den Ursprung lokalisiert und die Ladungen seien im Raum zwischen r = 2m und R. Außerhalb der Sphäre sollen keine Ladungen vorhanden sein. Da wir nur an den Momenten außerhalb der Ladungsverteilung interessiert sind, gilt r < = r und r > = r. Bei

36 KAPITEL 6. QUALITATIVES VERHALTEN DER FELDER (1. TEIL) unserer Betrachtung können wir auf Randwerte verzichten. Wir führen deshalb a 2m, b in (4.25) aus, berücksichtigen in (4.26), daß das Potential auf der Randfläche D verschwindet, und finden so die folgende Multipolentwicklung für das Potential A t A t = 4π l,m 1 2l + 1 f l(r) q lm Y lm (ϑ, ϕ), (6.1) wobei die Multipolmomente q lm definiert sind durch q lm = g l (r ) Y lm (ϑ, ϕ ) j t (r, ϑ, ϕ ) r 2 sin ϑ 1 2m dr dϑ dϕ. (6.2) r Wir werden nur die Momente mit m 0 angeben, da die Momente mit m < 0 über die Kugelflächenfunktionen durch miteinander verknüpft sind. Für l = 0 und l = 1 liefert (6.2) q l m = ( 1) m q lm (6.3) q 00 = Q, (6.4) 4π 3 q 11 = 8π (p x + ip y ), (6.5) 3 q 10 = 4π p z, wobei g1 (r) p = x j t (x) r 2 sin ϑ r 1 2m dr dϑ dϕ (6.6) r das elektrische Dipolmoment ist mit x = (x, y, z) und x = r sin ϑ cos ϕ, y = r sin ϑ sin ϕ, z = r cos ϑ. Für l = 2 haben wir q 22 = 1 15 12 2π (Q 11 + 2i Q 12 Q 22 ), q 21 = 1 15 3 8π (Q 13 + i Q 23 ), q 20 = 1 5 2 4π Q 33. (6.7) Q ij bezeichnet den spurlosen Quadrupoltensor g2 (r) Q ij = (3x r 2 i x j δ ij r 2 ) j t (x) r 2 sin ϑ 1 2m dr dϑ dϕ. (6.8) r Mit den Gleichungen (6.4), (6.5) und (6.7) beginnt die Entwicklung (6.1) von A t (x) in rechtwinkligen Koordinaten mit A t (x) = Q r + f 1(r) r p x + 1 2 f 2 (r) r 2 Q ij x i x j +... (6.9) i,j

6.2. ASYMPTOTISCHE FELDER FÜR R 2M 37 Die Komponenten des elektrischen Feldes können für einen gegebenen Multipol sehr einfach in sphärischen Koordinaten ausgedrückt werden. Wir wählen dazu die orthonormale Basis {θ µ } eines lokalen Bezugssystems. Für die Schwarzschild-Metrik (4.1) sind die {θ µ } gleich θ 0 = 1 2m r dt, 1 θ1 = dr, θ 2 = r dϑ, θ 3 = r sinϑ dϕ, (6.10) 1 2m r mit g = η µν θ µ θ ν. In dieser Basis berechnen sich die Komponenten des Feldtensors F = da mit A = A t dt zu F = A t,r θ 0 θ 1 1 A t,ϑ 1 2m r 1 r θ0 θ 2 1 A t,ϕ 1 2m r 1 r sin ϑ θ0 θ 3, (6.11) F 01 E r, F 02 E ϑ, F 03 E ϕ. (6.12) Für feste l, m hat das elektrische Feld die sphärischen Komponenten E r = 4π df l (r) 2l + 1 q lm Y lm (ϑ, ϕ), dr E ϑ = 4π f l (r) 2l + 1 q lm r 1 2m ϑ Y lm(ϑ, ϕ), r E ϕ = 4π f l (r) im 2l + 1 q lm r 1 2m sin ϑ Y lm(ϑ, ϕ). r (6.13) Für einen Dipol p entlang der z-achse reduzieren sich die Felder (6.13) auf die Form E r = p df 1(r) dr cos ϑ, E ϑ f 1 (r) = p r 1 2m r sin ϑ, E ϕ = 0. (6.14) 6.2 Asymptotische Felder für r 2m In Kapitel 4 habe ich erklärt, daß die Schwarzschild-Lösung die Raumzeit außerhalb einer sphärisch symmetrischen Massenverteilung beschreibt. Die zugehörige Metrik ist die Schwarzschild-Metrik (4.1). Eine weitere, schon lange bekannte Lösung ist die Reissner- Nordström-Lösung. Diese beschreibt die Raumzeit außerhalb einer sphärisch symmetrischen Massenverteilung, die zusätzlich eine Ladung Q trägt. Man könnte auch sagen,

38 KAPITEL 6. QUALITATIVES VERHALTEN DER FELDER (1. TEIL) daß sie die Lösung des Einstein-Maxwell-Systems für eine Punktladung ist. Die Reissner- Nordström-Metrik lautet ds 2 2mr Q2 = (1 + r 2 ) dt 2 (1 ) 1 2mr Q2 + dr 2 r ( 2 dϑ 2 + sin 2 ϑ dϕ 2). (6.15) r 2 Für Q = 0 reduziert sie sich auf (4.1). Zudem besitzt das Reissner-Nordström-Loch ein radiales elektrisches Feld der Größe F tr = Q r 2. (6.16) Cohen und Wald [5] untersuchten das Feld einer Punkttestladung in der Nähe eines Schwarzschild-Loches. Sie fanden dabei heraus, daß man aus dem Schwarzschild-Loch ein Reissner-Nordström-Loch produziert, wenn man die Punktladung langsam auf das Loch herabsenkt. Gilt das auch für eine beliebige Ladungsverteilung? Mit unseren Formeln ist das nicht schwierig zu beantworten. Doch betrachten wir zuerst den Fall, wo sich der Beobachter zwischen Ladung und Horizont befindet, d. h. bei 2m r < r. Es gilt r < = r und r > = r. Setzen wir die Gleichungen (4.25) und (4.26) (mit a 2m, b ) in (6.11) ein, werden die Feldkomponenten in der Orthonormalbasis (6.10) zu mit F 01 = 4π l,m 4π F 02 = r 1 2m r l,m 4π F 03 = r sin ϑ 1 2m r µ lm = 1 dg l (r) Y lm (ϑ, ϕ) µ lm, 2l + 1 dr 1 2l + 1 g l(r) Y lm(ϑ, ϕ) µ lm, ϑ l,m 1 2l + 1 g l(r) Y lm(ϑ, ϕ) µ lm, ϕ (6.17) j t (r, ϑ, ϕ ) f l (r ) Y lm(ϑ, ϕ ) r 2 sin ϑ 1 2m r dr dϑ dϕ. (6.18) Für r nahe bei 2m sehen wir unmittelbar mit der Eigenschaft (III) für die g l, daß F 01 endlich bleibt und F 02 F 03 O[(1 2m r )1/2 ]. Ein stationärer Beobachter, der sich in unmittelbarer Nähe des Horizonts befindet, d. h. bei r > r 2m, sieht also in erster Linie ein radiales elektrisches Feld. Man soll sich am Term (r 2 sin ϑ )/(1 2m r ) in (6.18) nicht stören, da er durch einen entsprechenden Term von j t (siehe (4.29)) aufgehoben wird. Man darf also schreiben j t (r, ϑ, ϕ ) = (1 2mr ) J(r, ϑ, ϕ ).

6.2. ASYMPTOTISCHE FELDER FÜR R 2M 39 Demnach bleiben die Feldkomponenten F 0i (i = 1, 2, 3) auf dem Horizont r = 2m endlich, wenn wir den Grenzübergang r 2m ausführen, d. h. wenn wir den Träger von J(r, ϑ, ϕ ) auf die Kugelschale r = 2m zusammenschrumpfen lassen. Eigenschaft (III) der f l garantiert das. Nun zum Fall r > r. Die hierfür verantwortlichen Gleichungen sind (6.13) und (6.2). Genau wie vorhin bereitet der Term (r 2 sin ϑ )/(1 2m ) in (6.2) keine Probleme, da ein r entsprechender Term in j t auftritt, der ihn zum Verschwinden bringt. Eigenschaft (III) sagt uns, daß für alle l 0 beim Grenzübergang r 2m g l (r ) 0 läuft. Daraus schließen wir, daß für r 2m alle Multipolmomente q lm (6.2) verschwinden außer der Monopol. Da q 00 = Q/ 4π und f 0 (r) = r 1, folgt das Resultat, daß für alle r > 2m E r = Q und E ϑ = E ϕ = 0 (6.19) r 2 für r 2m ist. Der Beobachter sieht also nur noch ein radiales Feld E r = Q/r 2, sobald die Ladung den Horizont erreicht. Ich halte noch einmal ausdrücklich fest: Obwohl die Ladungsverteilung zu Beginn keine Symmetrie besaß, nähert sich das elektrostatische Feld dem sphärisch symmetrischen Reissner-Nordström-Wert E r = Q/r 2 für r 2m an. An dieser Stelle kommt ein wichtiges Theorem von Israel [1] ins Spiel, das er 1968 bewies: Die Reissner-Nordström-Lösung ist die einzige statische, asymptotisch flache, elektrische Vakuumlösung der Einsteinschen Feldgleichungen, deren Flächen g 00 = const. geschlossen und einfach zusammenhängend sind und deren Horizont g 00 = 0 regulär ist. Deshalb müssen wir schließen, daß beim langsamen Absenken der Ladung auf den Horizont (r 2m) aus dem Schwarzschild-Loch ein Reissner-Nordström-Loch geworden ist. Und das gilt unabhängig von der Ausgangskonfiguration der Ladungsverteilung.