Musterlösung zu Blatt, Aufgabe Analysis II MIIA SoSe 7 Martin Schottenloher Musterlösung zu Blatt, Aufgabe I Aufgabenstellung Berechnen Sie folgende komplexe Kurvenintegrale vgl. 3.9: a zn dz für n N, t tb + ta, t [, ] mit a, b C, a b, b zm dz für m Z, t re it, t [, 2π] mit r > fest, c z dz für t t, t [, ], d z dz für t eiπ t, t [, π]. II Beweisidee Worum geht's?: Das komplexe Kurvenintegral und dessen Berechnung! Wie mach' ich das?: Man benutze dazu den zitierten Punkt 3.9 des Sktipts Skript: Satz 3.9.. Für ein Gebiet Ω C und eine stetige Funktion f : Ω C betrachte man auch das komplexe Kurvenintegral. Dabei wird in der Integraldenition das Skalarprodukt, : C C C durch die komplexe Multiplikation : C C C ersetzt. Für stückweise stetig dierenzierbare Kurven : [a, b] Ω bedeutet das b fdz ft tdt a Damit sind alle notwendigen Hilfsmittel gegeben. Man veriziere noch, dass i in Teilaufgabe i stückweise stetig dierenzierbar ist. a, c sind Strecken und damit stetig dierenzierbar, b, d als Exponentialfunktionen ebenfalls. Auÿerdem muss f stetig sein, was aber sowohl für die Potenzfunktionen, als auch für die Betragsfunktion gilt. III Lösung a Wir benutzen 3.9.. fdz ft tdt ftb + ta tb + ta dt tb + ta n b adt tb a + a n b adt Wurde in der Vorlesung nicht behandelt
Musterlösung zu Blatt, Aufgabe Analysis II MIIA SoSe 7 Martin Schottenloher Man verwende unter anderem den Binomischen Lehrsatz, wobei man vorher edoch vereinfachen sollte fdz tb a + a n b adt n b at a n b adt b a n b a t a n dt An dieser Stelle hat man etzt nur noch ein Polynom, das zu integrieren ist. fdz ft tdt b a n b a a n t dt n b a b a a n t+ + b a n b a a n + n b + a a n + + n b a b a a n + n b a + a n + Es folgen einige Umformungen, die ein schöneres Ergebnis liefern. n fdz b a + a n + n b a + a n + k n!!n! b a+ a n +! +!n! b a+ a n! +! +! b a+ a n 2
Musterlösung zu Blatt, Aufgabe Analysis II MIIA SoSe 7 Martin Schottenloher b a + a n + b a + a n+ + + n+ b a a n+ b n+ n+ a n+ }{{} a n+ b n+ n+ a n+ n+ + b a a n+ n+ a n+ + b a a n+ bn+ a n+ a n+ + b a + a n+ a n+ + b n+ Abbildung : a 3 + 2i,b 6 + 4i 3
Musterlösung zu Blatt, Aufgabe Analysis II MIIA SoSe 7 Martin Schottenloher b Zu beachten bei diesem Kurvenintegral ist, dass man eine Division durch vermeidet: fdz ft tdt r m+ i fre it re it dt re imt rie it dt r m+ i e im+t dt e im+t dt ] 2π r m+ i m + eim+t für m r m+ i m + eim+2π m + eim+ r m+ i Für den Spezialfall m kann man das Integral ebenfalls berechnen Abbildung 2: Einheitskreislinie bei positiven Umlaufsinn 4
Musterlösung zu Blatt, Aufgabe Analysis II MIIA SoSe 7 Martin Schottenloher fdz i ft tdt t t dt rie it dt reit idt dt i t] 2π 2πi 2πi [Der Spezialfall wird im Skript unter 3.9.3 für beliebige Wege betrachtet]. c Da t reell ist, vereinfacht sich der Betrag wesentlich fdz ft tdt t2 2 ] ft t dt t dt t dt t dt + tdt + + t2 2 ] t dt tdt 2 + 2 2 2 2 2 + 2 d Um im Folgenden den Betrag berechnen zu können, muss man sich klar machen, dass der Betrag eines Punktes auf der Einheitskreislinie gerade ist, denn es wird entlang selbiger integriert, auch wenn sie im Uhrzeigersinn durchlaufen wird, mit Anfangspunkt -. Man kann 5
Musterlösung zu Blatt, Aufgabe Analysis II MIIA SoSe 7 Martin Schottenloher Abbildung 3: t t, t [, ] die Ableitung aber auch umgehen, wenn man zunächst ft berechnet. fdz ft tdt fe iπ t tdt e iπ t tdt e iπ e it tdt }{{} e iπ }{{} e it tdt Kreislinie tdt tdt t] π e iπ t] π e iπ π e iπ 2 6
Musterlösung zu Blatt, Aufgabe Analysis II MIIA SoSe 7 Martin Schottenloher Anmerkungen Die Teilaufgabe a lässt sich wesentlich vereinfachen, sofern man die komplexe Substitutionsregel zur Verfügung hat. Dazu muss man edoch wissen, dass fz z n holomorph d.h. komplex dierenzierbar ist. Dann ist tn tdt zn dz b a a b a a zn dz b a zn dz b n+ a n+ n+. Der Spezialfall von Teilaufgabe b ist der klassische Beweis dafür, dass die Funktion fz z keine auf ganz C \ {} denierte Stammfunktion besitzt. Es wird in der Funktionentheorie allgemein gezeigt, dass für ede Funktion fz, die eine Stammfunktion auf ganz C \ {} besitzt, das Kurvenintegral entlang eines geschlossenen Weges d.h. Anfangs- und Endpunkt sind gleich, z.b. einfach durchlaufene Einheitskreislinie stets ist. Der Logarithmus bildet demnach keine Stammfunktion zu fz z auf ganz C\{}, nährt man sich nämlich der negativen reellen Achse an, so macht der Logarithmus einen Sprung um 2π. Sei a < und reell: lim x a Imx > lim x a Imx < log z log a + πi log z log a πi IV Nutzen und Anwendungen Die Aufgabe stellt einen Ausug in die Funktionentheorie dar. Diese behandelt allgemein die Frage, wann Funktionen komplex-dierenzierbar holomorph bzw. analytisch sind, wann eine Stammfunktion existiert, usw. Insbesondere nden sich hier auch die komplexen Kurvenintegrale. Pascal Reisert. Juli 27 7