Hans Walser, [20131013], [20160331], [20160401] Quetschwürfel 1 Worum geht es? Es wird auf die Problematik der in Schulen weitverbreiteten Schrägbilder eingegangen. 2 Das Bild In Schulbüchern und Arbeitsblättern sieht man oft Würfel -Darstellungen wie etwa in der Abbildung 1. H E D C A B Abb. 1: Was ist denn das? Ein Würfel kann es allerdings nicht sein. Wenn wir frontal auf eine Würfelseite sehen, ist bei einem massiven Würfel nichts von den anderen Würfelseiten sichtbar. Dies lässt sich leicht an einem Würfelmodell überprüfen. 3 Rekonstruktion und Modell Wir nehmen nun an, die Abbildung 1 zeige das Orthobild (Orthogonalprojektion, Normalprojektion) eines Spates mit lauter gleich langen Kanten. Damit können wir den Spat rekonstruieren. Rechnerisch geht das etwa so: Wir wählen ein räumliches kartesisches Koordinatensystem so dass A 0,0,0 ( ), B( 1,0,0 ) und ( ). Die Kantenlänge ist also 1. Nun ist zu beachten, dass die y-achse nicht durch E 0,0,1 den Punkt D verläuft, sondern orthogonal zum rontquadrat ABE hinter A in die Tiefe. ür den Punkt D lesen wir zunächst die zwei Koordinaten x D = 5 3 und z D = 2 ab. Da 5 ( ). Entspre- die Kante AD die Länge 1 haben soll, folgt y D = 2 3, also D 5 5 3, 2 5 chend lassen sich die Koordinaten der restlichen Punkte berechnen. Mit Vektorgeometrie lassen sich nun auch die Winkel BAD = arccos 3 5 DAE = arccos 2 5 ( ) 66.42 bestimmen. Die Abbildung 2 zeigt eine Abwicklung des Spates. 3, 2 5 ( ) 53.13 und
Hans Walser: Quetschwürfel 2/17 Abb. 2: Abwicklung des Quetschwürfels Ein aus diese Abwicklung gebautes Papier- oder Kartonmodell kann nun entsprechend der Abbildung 1 gesehen werden (Abb. 3a). Ein Würfel ist es aber nicht (Abb. 3b). Es ist im wörtlichen Sinn eine falsche Schachtel. a) b) Abb. 3: Quetschwürfel 4 Vergleich mit Normalprojektion Die Abbildung 4 zeigt den Vergleich mit der Normalprojektion eines echten Würfels. Die angedeuteten Seitenflächen sind in den beiden Darstellungen kongruent.
Hans Walser: Quetschwürfel 3/17 Abb. 4: Quetschwürfel und Würfel 5 ehlende Eindeutigkeit Die Abbildung 5 zeigt eine Serie von Schrägbildern. Welches ist der Würfel? Abb. 5: Welches ist der Würfel? Die rage kann nicht entschieden werden. Nach den Regeln des Schrägbildes muss die Tiefendimension (Richtung nach hinten ) zusätzlich mit einer Einheit versehen werden. Anders gesagt: Es muss zusätzlich gesagt werden, welches der Würfel ist (Eichwürfel). Die Abbildung 6 zeigt dieselbe Würfelserie in Normalprojektion. Die farbige rechte Seitenfläche ist jeweils übernommen worden. Abb. 6: Alles Würfel 6 Argumente für das Schrägbild 6.1 Schattenbild Das Schattenbild eines Kantenwürfels ist (wegen der großen Entfernung der Sonne von der Erde) annähernd ein Schrägbild. Dieses ist also natürlich.
Hans Walser: Quetschwürfel 4/17 6.2 Einfachheit In Auseinandersetzung mit Lehrpersonen und Schulbuchautoren wird immer wieder die Einfachheit des Schrägbildes hervorgehoben. Schülerinnen und Schüler können auf Karopapier selber und rasch zeichnen. 7 Argumente gegen das Schrägbild Die Einfachheit ist richtig, solange wir uns auf Polyeder beschränken. Sobald krumme lächen (Zylinder, Kegel, Kugel) ins Spiel kommen wird die Sache problematisch. Die korrekten Schrägbildfiguren sehen unnatürlich aus. Die folgenden beiden Abbildungen basieren auf dem Schrägbild der Abbildung 1. Die Abbildung 7 zeigt einen dem Würfel einbeschriebenen geraden Kreiszylinder. Abb. 7: Quetschzylinder Zum Vergleich dazu die Darstellung desselben Zylinders in Normalprojektion (Abb. 8). Abb. 8: Zylinder Die menschliche Wahrnehmung ist sehr sensibel auf falsche Kreisbilder. Die Ellipse mit horizontaler Symmetrieachse (Abb. 8) wird als richtiges Kreisbild empfunden, die schiefe Ellipse (Abb. 7) als falsch. Das führt dann gelegentlich dazu, dass korrigiert wird wie etwa in Abbildung 9.
Hans Walser: Quetschwürfel 5/17 Abb. 9: Korrigierter Quetschzylinder Im Kontext des Würfels ist der ehler sofort einsichtig. Der Deckkreis müsste die Mittelpunkte der oberen Würfelkanten berühren, was er aber offensichtlich nicht tut. Bei der Darstellung des freistehenden Zylinders können wir kaum glauben, dass der Zylinder gleich dick wie hoch sein soll. Bei der Abbildung 8 ist dagegen alles in Ordnung. Die Abbildung 10 zeigt einen dem Würfel einbeschriebenen geraden Kreiskegel. Abb. 10: Quetschkegel Die iguren sehen echt bescheuert aus (Kommentar eines Kollegen). Zum Vergleich dazu die Normalprojektion desselben Kegels (Abb. 11).
Hans Walser: Quetschwürfel 6/17 Abb. 11: Kegel Der Umriss einer Kugel erscheint im Schrägbild als Ellipse (Abb. 12). Das sieht man am Schattenbild. In der Normalprojektion ergibt sich ein Kreis als Kugelumriss. Abb. 12: Schatten als Quetschkugel Der Umriss der Inkugel eines Würfels im Schrägbild ist eine Ellipse (Abb. 13). Der Äquator ist schief.
Hans Walser: Quetschwürfel 7/17 Abb. 13: Quetschkugel Diese Ellipse oft auf einen Kreis korrigiert. Dies ist einer der häufigsten Darstellungsfehlern in Schulbüchern und Unterrichtsmaterialien. Zum Vergleich zur Quetschkugel die Normalprojektion derselben Kugel (Abb. 14). Der Äquator ist horizontal. Abb. 14: Kugel Korrekte Kreis- und Kugelzeichnungen im Schrägbild sind (für uns heutige) nicht einfach herzustellen. Am besten ist es, dazu eine 3d-rafik-Software zu verwenden. 8 Didaktisches Wer macht es besser? Wir brauchen nicht lange zu suchen. Die Bauanleitungen von LEO verwenden ein Darstellungsprinzip (Normalprojektion oder Normalaxonometrie), das zum Würfelbild der Abbildung 15 führt. Damit werden schon Kinder im Vorschulalter mit guten Raumdarstellungen vertraut.
Hans Walser: Quetschwürfel 8/17 Abb. 15: Der schöne Würfel Und viele Software lädt zum Zeichnen von dreidimensionalen iguren ein. Meist steht dabei sogar eine Perspektive zur Verfügung. 9 Normalaxonometrie im Quadratraster Als Argument für den Schrägbild- Würfel wird oft die leichte Zeichenbarkeit im Karoraster verwendet. Tatsächlich können aber auch exakte normalaxonometrische Würfelbild im Quadratraster gezeichnet werden. Die Abbildungen 16 und 17 geben je ein Beispiel.
Hans Walser: Quetschwürfel 9/17 20 9 12 20 15 Abb. 16: Normalaxonometrie im Raster
Hans Walser: Quetschwürfel 10/17 16 15 12 15 20 Abb. 17: Normalaxonometrie im Raster Beide Lösungen haben den Nachteil, dass es vergleichsweise große Würfel gibt. Immerhin sind die Lösungen in einem 4mm Quadratraster auf DIN A4 Papier machbar. Es gibt unendlich viele exakte Rasterlösungen [Vgl. [20131014] ]. 10 Approximationen Normalaxonometrische Würfelbilder lassen sich natürlich auch approximativ in den Karoraster einpassen. Das gibt dann weniger große Bilder. Die Abbildung 18a) zeigt ein
Hans Walser: Quetschwürfel 11/17 normalaxonometrisches Würfelbild (die oberen vier Ecken passen nicht in den Raster), während die Abbildung 18b) eine in den Raster passende Approximation darstellt. Die Approximation ist um etwa 3.9% zu hoch. a) b) Abb. 18: Normalaxonometrie und Approximation Die Abbildung 19 zeigt eine Variante. Die Approximation im Raster (Abb. 19b) ist 1.8% zu niedrig. a) b) Abb. 19: Variante 11 Normalaxonometrie mit dynamischer eometrie Software Im olgenden eine rezeptmäßige Darstellung eines an sich exakten Vorgehens. Wir haben gesehen, dass unser efühl für eine korrekte Darstellung eng an die Darstellung eines Kreises als Ellipse verknüpft ist. 11.1 Rezept Wir orientieren uns an der Abbildung 8 und beginnen daher gleich mit der Ellipse. Wir wählen die beiden Brennpunkte und auf einer horizontalen eraden. Dazu die Mittelsenkrechte und darauf einen Punkt P (Abb. 20).
Hans Walser: Quetschwürfel 12/17 P Abb. 20: Start Nun zeichnen wir die Ellipse mit diesen beiden Brennpunkten durch P (Abb. 21). In dynamischer eometrie Software steht ein Button dazu zur Verfügung. P Abb. 21_ Ellipse Auf der Ellipse wählen wir einen Punkt Q und zeichnen den dazu diametralen Punkt (Abb. 22).
Hans Walser: Quetschwürfel 13/17 P Q Abb. 22: Punkt auf Ellipse und diametraler Punkt In diesen beiden Punkten zeichnen wir die Tangente an die Ellipse (Abb. 23). P Q Abb. 23: Tangenten Wir zeichnen die Mittelparallele zu den beiden Tangenten und schneiden sie mit der Ellipse. In den Schnittpunkten zeichnen wir erneut Tangenten an die Ellipse (Abb. 24).
Hans Walser: Quetschwürfel 14/17 P Q Abb. 24: Mittelparallele und weitere Tangenten Die vier Tangenten bilden ein Viereck. Dieses ist das Bild des Deckquadrates unseres Würfels. Die zum Deckquadrat senkrechten Würfelkanten sind parallel zur kurzen Ellipsenachse zu zeichnen (Abb. 25). P Q Abb. 25: Weitere Würfelkanten Die Länge der Bilder dieser Würfelkanten ist gleich dem Abstand der beiden Brennpunkte und (Abb. 26). Dies ist der ag dieser Konstruktion.
Hans Walser: Quetschwürfel 15/17 P Q Abb. 26: Abstand der Brennpunkte Nun können wir zum Würfelbild ergänzen und das Bild grafisch aufpeppen (Abb. 27). P Q Abb. 27: Bild des Würfels 11.2 Kommentare Das Verfahren ist rein planimetrisch und hat nichts mit 3d eometrie Software zu tun. Das wäre ein anderes Thema und sicher viel einfacher. Die lange Achse der Ellipse ist die wirkliche Kantenlänge des Würfels. Die eometrie der Kegelschnitte war zu Zeiten von Zirkel und Lineal eine aufwändige Sache. Mit dynamischer eometrie Software geht alles viel einfacher. Mit den vier Punkten,, P, Q können wir das Bild verändern. Mit dem Punkt Q können wir den Würfel um die senkrechte Achse drehen (Ab. 28). Die Ellipse bleibt unverändert.
Hans Walser: Quetschwürfel 16/17 Abb. 28: Drehen des Würfels Durch auf- und Abschieben des Punktes P wird der Würfel um eine horizontale Achse gekippt (Abb. 29). Abb. 29: Kippen des Würfels Bis jetzt haben wir immer nur stehende Würfel gezeichnet, die auf einer horizontalen Unterlage stehen. Durch Verändern der Brennpunkte, so dass sie nicht mehr auf einer horizontalen eraden liegen, erreichen wir Bilder von Würfeln, welche schief in den Raum eingebettet sind (Abb. 30).
Hans Walser: Quetschwürfel 17/17 Abb. 30: Schiefe Bettung