20.4 Gleichmäßige Konvergenz von Folgen und Reihen von Funktionen

20 Gleichmäßige Konvergenz für Folgen und Reihen von Funktionen 20.1 Folgen und Reihen von Funktionen 20.3 Die Supremumsnorm 20.4 Gleichmäßige Konvergenz von Folgen und Reihen von Funktionen 20.7 Das Cauchy-Kriterium für die gleichmäßige Konvergenz 20.10 Abelsches Kriterium für gleichmäßige Konvergenz 20.13 Ein gleichmäßiger Limes stetiger Funktionen ist stetig 20.18 Gliedweise Differentiation von Reihen von Funktionen Sei D eine beliebige nicht-leere Menge. Wir betrachten in diesem Paragraphen Folgen (f n ) n m, deren Glieder f n reelle Funktionen auf dem gemeinsamen Definitionsbereich D sind. Solche Funktionenfolgen sind also Abbildungen von Z m in R D, den Raum aller Funktionen von D in R. 20.1 Folgen und Reihen von Funktionen Sei D eine nicht-leere Menge. Eine Abbildung von Z m in R D, definiert durch n f n, heißt Folge in R D oder eine Funktionenfolge oder auch eine Folge von Funktionen auf D. Für Funktionenfolgen schreibt man (f n ) n m oder (f n ) oder auch f m, f m+1, f m+2.... Ist m = 1, so schreiben wir auch wieder (f n ) n N. Man definiert dann die Konvergenzmenge und die Funktion K := {a D : (f n (a)) n m ist konvergent in R} lim n f n : K R durch (lim n f n )(a) := lim n f n (a) für a K. Dann heißt f := lim n f n die Grenzfunktion der Folge (f n ) n m. Man sagt: (f n ) konvergiert punktweise auf K gegen f. Ist K = D, so läßt man den Zusatz auf K auch weg. C 1 [20] 1

Kapitel IV Differenzierbare Funktionen Die unendliche Reihe k=m f k (mit der Funktionenfolge (f n ) n m als Gliederfolge) ist die Funktionenfolge ( n k=m f k) n m. Die gemäß definierte Funktion lim n n k=m f k heißt die durch die Reihe k=m f k definierte Funktion. Diese Grenzfunktion wird ebenfalls mit k=m f k bezeichnet. 20.2 Beispiele Sei t 0 R und f n := a n (x t 0 ) n mit a n R für n N 0. Die unendliche Reihe n=0 a n(x t 0 ) n heißt dann die Potenzreihe mit dem Mittelpunkt t 0 und den Koeffizienten a n. Der Frage, wie in diesem Fall die Konvergenzmenge K aussieht und welche Eigenschaften die durch diese Reihe definierte Funktion hat, werden wir uns im nächsten Paragraphen zuwenden. Sei D := [0, 1] und f n := x n [0, 1]. Dann ist K = [0, 1] für (f n ) n N, und es gilt (siehe Beispiel 7.21(iv)): { 0 für t [0, 1[ (lim n f n )(t) = 1 für t = 1. Dieses Beispiel zeigt schon, daß die Grenzfunktion einer Folge von stetigen, ja sogar differenzierbaren Funktionen nicht stetig zu sein braucht. (iii) Sei D := R und f n = n 1 x für n N. Dann ist K = ]1, [ für die durch die Reihe n=1 n 1 x definierte Funktion, die sogenannte Riemannsche Zetafunktion (siehe 17.8 und das Ende von 17). (iv) Sei D := R und f n := n 1 die durch die Reihe n=2 1 n(ln(n)) x 1 (ln(n)) x für 2 n N. Dann ist K = ]1, [ für definierte Funktion (siehe 17.8). (v) (Spezialisierung von :) Betrachte f n := xn n!. Dann hat die Potenzreihe n=0 xn n! den Konvergenzbereich K = R. Die durch die Reihe definierte Funktion stellt die Exponentialfunktion dar (siehe z.b. 10.12). Die punktweise Konvergenz einer Funktionenfolge (f n ) auf K gegen f besagt: Für jedes a K und jedes ε R + gibt es ein n 0, so daß für alle n n 0 gilt: f n (a) f(a) < ε. Es ist sehr wichtig zu bemerken, daß das zu ε gehörige n 0 nicht nur von ε, sondern in der Regel auch noch von a abhängt. Daher kann es für jedes auch noch so große n immer noch viele Punkte geben, wo f n (a) weit von f(a) entfernt ist, auch wenn der Konvergenzbereich K gleich einem Intervall [c, d] ist. Man betrachte hierzu Beispiel 20.2. Ist etwa ε = 1/2 dann gibt es zu jedem n Elemente t [0, 1[ mit f n (t) f(t) = t n 1/2, nämlich alle t [ 1 n 2, 1[. Es gibt daher eine Reihe von verschiedenen Konvergenzbegriffen, die beschreiben, daß die Funktionen f n insgesamt der Funktion f nahekommen. Einer dieser Konvergenzbegriffe ist die gleichmäßige Konvergenz, die sich besonders übersichtlich mit Hilfe einer speziellen Norm einführen läßt. [20] 2 C 1

Gleichmäßige Konvergenz für Folgen und Reihen von Funktionen Konvergieren f n gleichmäßig gegen f, so übertragen sich gewisse Eigenschaften von f n (z.b. Stetigkeit und Integrierbarkeit) auf die Grenzfunktion. Deshalb werden wir nach Einführung dieses Konvergenzbegriffes zunächst nach Kriterien für die gleichmäßige Konvergenz suchen. 20.3 Die Supremumsnorm Sei D eine nicht-leere Menge. Setze für f : D R f D := sup{ f(a) : a D}( [0, ]). Dann gilt für f, g : D R und α R: a) 0 D = 0; b) f D = 0 f = 0 (Definitheit); αf D = α f D für α 0 (Homogenität); (iii) f + g D f D + g D (Dreiecksungleichung). Es sei B(D) = {f R D : f beschränkt }. Es gilt: f B(D) f D [0, [. Beweis. Unter sup{ f(a) : a D} ist das gemäß 13.1 existierende Supremum in R zu verstehen; da D ist, ist sup{ f(a) : a D} [0, ]. a) 0 D = sup{ 0(a) : a D} = 0. b) Wegen f(a) f D für alle a D, folgt b). Es ist αf D = sup{ αf(a) : a D} = sup{ α f(a) : a D} = α sup{ f(a) : a D} = α f D. Übungsaufgabe 5(iii). Andern- (Für sup{ f(a) : a D} [0, [ folgt ( ) aus falls ist ( ) trivial. (iii) Es gilt für a D. (f + g)(a) f(a) + g(a) f D + g D und daher nach Definition von f + g D als kleinste obere Schranke von { (f + g)(a) : a D} auch Schließlich gilt: f B(D) f + g D f D + g D. Def.6.10(iii) f(d) beschränkt 2.10 r R + mit f(a) r für alle a D f D := sup{ f(a) : a D} [0, [. C 1 [20] 3

Kapitel IV Differenzierbare Funktionen 20.4 Gleichmäßige Konvergenz von Folgen und Reihen von Funktionen Sei D und (f n ) n m eine Folge in R D. (f n ) n m konvergiert gleichmäßig, wenn es eine Funktion f : D R gibt mit f n f D 0 für n. Man sagt dann auch: (f n ) konvergiert gleichmäßig gegen f. Die Reihe k=m f k konvergiert gleichmäßig (bzw. konvergiert gleichmäßig gegen f), wenn die Funktionenfolge ( n k=m f k) n m gleichmäßig (bzw. gleichmäßig gegen f) konvergiert. Die Definition der gleichmäßigen Konvergenz einer Funktionenfolge in 20.4 ist besonders prägnant und für Beweise sehr nützlich, ihre intuitive Interpretation geben wir nach 20.6. 20.5 Gleichmäßige Konvergenz impliziert punktweise Konvergenz Sei (f n ) n m eine Folge in R D. Konvergiert (f n ) n m gleichmäßig gegen f : D R, dann konvergiert (f n ) n m auch punktweise gegen f. Ist die Reihe k=m f k gleichmäßig konvergent, dann konvergiert sie gleichmäßig und punktweise gegen k=m f k. Beweis. Sei a D. Es ist nach Definition 20.1 zu zeigen: (1) f n (a) f(a) für n. Sei hierzu ε R + gewählt, dann gibt es ein n 0 Z m mit (siehe Definition 20.4) (2) f n f D < ε für alle n n 0. Aus f n (a) f(a) f n f D folgt wegen (2) die Behauptung (1). Es ist (s n ) n m definiert durch s n := f m +...+f n nach Definition gleichmäßig konvergent gegen eine Funktion f und somit nach auch punktweise konvergent gegen f. Die punktweise Grenzfunktion war aber in 20.1 mit k=m f k bezeichnet worden. Beispiel 20.2 zeigt, daß es punktweise konvergente Funktionenfolgen gibt, die nicht gleichmäßig konvergent sind. Der Unterschied zwischen punktweiser Konvergenz und gleichmäßiger Konvergenz kommt noch einmal zum Ausdruck in der folgenden (ε, n 0 )-Formulierung: [20] 4 C 1

Gleichmäßige Konvergenz für Folgen und Reihen von Funktionen 20.6 (ε, n 0 )-Formulierung der punktweisen und gleichmäßigen Konvergenz Sei (f n ) n m eine Folge in R D und f : D R. Dann gilt: (f n ) konvergiert punktweise gegen f [( ε R + )( a D)( n 0 Z m ) : f n (a) f(a) < ε für n n 0 ]. (f n ) konvergiert gleichmäßig gegen f [( ε R + )( n 0 Z m )( a D) f n (a) f(a) < ε für n n 0 ]. Beweis. Die Definition der Konvergenz einer Zahlenfolge in R (siehe Definition 7.5) zeigt, daß die in angegebene Bedingung bedeutet: Für jedes a D konvergiert f n (a) gegen f(a), d.h. (f n ) konvergiert punktweise gegen f. : Sei ε R +. Dann gibt es ein n 0 Z m mit (siehe Definition 20.4) (1) f n f D < ε für n n 0. Da für alle a D aber f n (a) f(a) f n f D ist, folgt die angegebene Bedingung aus (1). : Sei ε R +, dann ist auch ε 2 R + und nach dem angegebenen Kriterium, gibt zu ε/2 ein n 0 Z m, so daß für alle n n 0 gilt: (2) f n (a) f(a) < ε/2 für a D. Aus (2) folgt aber daher für n n 0, daß f n f D ε/2 < ε ist, d.h. f n konvergiert gleichmäßig gegen f. Die (ε, n 0 )-Bedingung in 20.6, die die gleichmäßige Konvergenz von f n gegen f beschreibt, läßt sich auf folgende Weise veranschaulichen: Sei etwa D := [a, b] und ε R +, dann ist f n (a) f(a) < ε für a D und n n 0 äquivalent zu f(a) ε < f n (a) < f(a) + ε für a D und n n 0. Der Graph von f n muß daher für alle n n 0 in dem ε-streifen um den Graphen von f liegen : u f + ε f n f f ε a b t C 1 [20] 5

Kapitel IV Differenzierbare Funktionen Mit Hilfe des Cauchy-Kriteriums für reelle Zahlenfolgen (siehe 8.5) können wir nun ein Cauchy-Kriterium für die gleichmäßige Konvergenz von Funktionenfolgen herleiten. Das Cauchy-Kriterium für die gleichmäßige Konvergenz von Reihen von Funktionen ergibt sich dann unmittelbar aus dem Cauchy-Kriterium für die gleichmäßige Konvergenz von Funktionenfolgen (vgl. auch die Herleitung des Cauchy-Kriteriums für Reihen in 9.8 aus dem Cauchy-Kriterium für reelle Zahlenfolgen). 20.7 Das Cauchy-Kriterium für die gleichmäßige Konvergenz Sei (f n ) n m eine Folge in R D. Dann gilt: (f n ) n m ist genau dann gleichmäßig konvergent, wenn es zu jedem ε R + ein n 0 Z m gibt, so daß f n0 +n f n0 D < ε für alle n N ist. Die Reihe k=m f k ist genau dann gleichmäßig konvergent, wenn es zu jedem ε R + ein n 0 Z m gibt, so daß f n0 +1 + f n0 +2 +... + f n0 +n D < ε für alle n N ist. Beweis. : Aus f n f gleichmäßig folgt f k f D < ε/2 für alle k n 0 mit einem geeigneten n 0 Z m. Somit gilt für n N f n0 +n f n0 D Für beachte, daß aus 20.3 folgt: f n0 +n f D + f f n0 D < ε 20.3(iii) f f n0 D = 1 f n0 f D = f n0 f D. : Sei a D. Da f n 0 +n(a) f n0 (a) f n0 +n f n0 D ist, folgt aus der Voraussetzung und dem Cauchy-Kriterium für reelle Zahlenfolgen (siehe 8.5), daß (f n (a)) n m in R konvergiert. Daher gibt es eine Funktion f : D R mit f n (a) f(a) für alle a D. Wir zeigen: (f n ) n m konvergiert gleichmäßig gegen f. Sei hierzu ε R +. Dann gibt es nach Voraussetzung ein n 0 Z m mit (2) f n f n0 D < ε/3 für jedes n n 0. Es reicht zu zeigen, daß f n f D < ε für alle n n 0 gilt. Sei dazu a D beliebig. Nach (1) gibt es zu jedem a D ein n(a) Z m mit o.b.d.a. n(a) n 0 und (3) f n(a) (a) f(a) < ε/3. Für n n 0 erhalten wir somit f n (a) f(a) = f n (a) f n0 (a) + f n0 (a) f n(a) (a) + f n(a) (a) f(a) < (3) f n (a) f n0 (a) + f n0 (a) f n(a) (a) + f n(a) (a) f(a) f n f n0 D + f n0 f n(a) D +ε/3 < (2) Nach 20.6 folgt hieraus die gleichmäßige Konvergenz von (f n ) n m gegen f. [20] 6 C 1 ε.

Gleichmäßige Konvergenz für Folgen und Reihen von Funktionen Die Reihe k=m f k ist genau dann gleichmäßig konvergent, wenn die Folge (s n ) n m mit s n := n k=m f k gleichmäßig konvergent ist. Dieses ist nach genau dann der Fall, wenn es zu jedem ε R + ein n 0 Z m gibt mit f n0 +1 +... + f n0 +n D = s n0 +n s n0 D < ε für alle n N. 20.8 Normal konvergente Reihen sind gleichmäßig konvergent Sei (f n ) n m eine Folge in R D. Ist n=m f n D konvergent (man nennt dann die Reihe n=m f n normal konvergent), so ist die Reihe n=m f n gleichmäßig konvergent. Gibt es eine konvergente Reihe n=m b n mit nicht negativen Gliedern b n und gilt f n (a) b n für alle a D und n m, so ist n=m f n normal und damit gleichmäßig konvergent. Beweis. Sei ε R +. Dann gibt es nach dem Cauchy-Kriterium für Reihen in R (siehe 9.6) ein n 0 mit (1) f n0 +1 D +... + f n0 +n < ε für alle n N. Nun ist (benutze 20.3(iii)) (2) f n0 +1 +... + f n0 +n D f n0 +1 D +... + f n0 +n D. Mit (1) und (2) folgt die Behauptung aus 20.7. Nach Voraussetzung folgt f n D b n für alle n m. Nach dem Majorantenkriterium (siehe 10.1) ist daher n=m f n D konvergent, d.h. n=m f n ist normal konvergent. Die gleichmäßige Konvergenz folgt somit aus. 20.9 Beispiel Die Reihe ist für jedes α > 1 gleichmäßig konvergent auf [ α, [, d.h. n=1 n=1 1 n x 1 n x [α, [ ist gleichmäßig konvergent. Beweis. Nach 17.4 ist n x auf [α, [ monoton wachsend für alle n N und somit gilt: n 1 a n 1 α für alle a D := [α, [. Da nach 17.8 aber n=1 n 1 α konvergent ist, folgt die Behauptung aus 20.8 mit b n := 1/n α und f n := n 1 x D. C 1 [20] 7

Kapitel IV Differenzierbare Funktionen Für das folgende wichtige Kriterium für gleichmäßige Konvergenz benötigen wir noch eine Vorüberlegung. Seien (a n ) n m und (b n ) n m zwei reelle Zahlenfolgen, so setze A n := n k=m a k für jedes n m. Wir zeigen nun die folgende Identität: (+) n k=m a kb k = A n b n+1 + n k=m A k(b k b k+1 ). Beweis. Setze A m 1 := 0. Dann ist a k = A k A k 1 für k = m,..., n und somit erhalten wir n k=m a kb k = n k=m (A k A k 1 )b k = n k=m A kb k n k=m A k 1b k = n k=m A kb k n 1 k=m A kb k+1 = n k=m A kb k n k=m A kb k+1 + A n b n+1 = n k=m A k(b k b k+1 ) + A n b n+1. 20.10 Abelsches Kriterium für gleichmäßige Konvergenz Seien (f n ) n m und (g n ) n m zwei Folgen in R D. Es sei (I) (II) k=m f k gleichmäßig konvergent; ( a D) sei (g n (a)) n m monotone Folge; (III) sup{ g n D : n m} <. Dann konvergiert k=m f kg k gleichmäßig. Beweis. Setze F n := n k=m f k und F := k=m f k. Dann folgt durch Anwendung von (+) auf die jeweiligen Funktionswerte die Gleichung n+l k=n+1 f kg k = n+l k=m f kg k n k=m f kg k = (+) F n+l g n+l+1 + n+l k=m F k(g k g k+1 ) F n g n+1 n k=m F k(g k g k+1 ) = F n+l g n+l+1 F n g n+1 + n+l k=n+1 F k(g k g k+1 ). Subtrahiert man rechts 0 = F (g n+l+1 g n+1 + n+l k=n+1 (g k g k+1 )), so erhält man { n+l (1) k=n+1 f kg k = (F n+l F )g n+l+1 (F n F )g n+1 + n+l k=n+1 (F k F )(g k g k+1 ). Nach (II) gibt es ein c R + mit (2) g n D c für alle n Z m. Sei nun ε R +. Dann gibt es nach (I) ein n 0 Z m mit (3) F n F D < ε/4c für n n 0. Aus (1) erhalten wir nun eine Abschätzung, die für l N und alle a D gilt: (4) n 0 +l k=n 0 +1 f ε k(a)g k (a) < 4c c + 4c ε c + ε n0 +l 4c k=n (1),(2),(3) 0 +1 g k(a) g k+1 (a). [20] 8 C 1

Gleichmäßige Konvergenz für Folgen und Reihen von Funktionen Da (g k (a)) k m nach (I) monoton ist, hat man für alle l N (5) n0 +l k=n 0 +1 g k(a) g k+1 (a) = g n0 +1(a) g n0 +l+1(a) 2c. (2) Aus (4) und (5) erhalten wir daher (6) n 0 +l k=n 0 +1 f kg k D < ε für alle l N. Die Behauptung folgt nun aus dem Cauchy-Kriterium 20.7. 20.11 Korollar Seien (a n ) n m und (b n ) n m zwei reelle Folgen. Es sei (I) k=m a k konvergent; (II) (b n ) n m eine monotone und beschränkte Folge. Dann ist k=m a kb k konvergent. Beweis. Zur Anwendung von 20.10 betrachte die konstanten Funktionen Aus 20.10 folgt dann die Behauptung. f k (a) := a k, g k (a) = b k für a D. Im folgenden untersuchen wir die Stetigkeit bzw. Differenzierbarkeit von Grenzfunktionen. Wir betrachten daher D R. Um hieran zu erinnern, bezeichnen wir die Elemente von D in der Regel wieder mit t. 20.12 Anwendung des Abelschen Kriteriums auf Potenzreihen Es sei r R + und n=0 a nr n eine konvergente Reihe. Für t 0 R gilt dann: n=0 a n(x t 0 ) n ist gleichmäßig konvergent auf [t 0, t 0 + r]. Beweis. Zur Anwendung von 20.10 wähle m := 0 und D := [t 0, t 0 + r] und setze (1) f n (t) := a n r n für t D. Dann ist (I) von 20.10 wegen der Konvergenz von n=0 a nr n erfüllt. Setze (2) g n := (x t 0) n D. Es gilt g n+1 (t) g n (t) wegen 0 t t 0 r 1 für t D. Also ist (II) von 20.10 erfüllt. (III ) folgt aus 0 g n (t) 1. Somit ist n=0 a n(x t 0 ) n = n=0 f n g n nach 20.10 gleichmäßig konvergent auf D := [t 0, t 0 + r]. Beispiel 20.2 zeigte, daß der punktweise Limes einer Folge von stetigen Funktionen nicht stetig zu sein braucht. Fordert man jedoch statt punktweiser die gleichmäßige Konvergenz, so kann dies nicht eintreten: r n C 1 [20] 9

Kapitel IV Differenzierbare Funktionen 20.13 Ein gleichmäßiger Limes stetiger Funktionen ist stetig Sei t 0 D R und (f n ) n m eine Folge in R D von in t 0 stetigen Funktionen. Konvergiert (f n ) n m gleichmäßig gegen f, so ist f in t 0 stetig. Konvergiert die Reihe k=m f k gleichmäßig, so ist die Grenzfunktion k=m f k in t 0 stetig. Beweis. Sei ε R + gewählt. Dann gibt es ein n 0 Z m mit (1) f n0 f D < ε/3. Da f n0 in t 0 stetig ist, gibt es ein δ R + mit (2) t U δ (t 0 ) D f n0 (t) f n0 (t 0 ) < ε/3. Somit erhalten wir für t U δ (t 0 ) D : f(t) f(t 0 ) f(t) f n0 (t) + f n0 (t) f n0 (t 0 ) + f n0 (t 0 ) f(t 0 ) f f n0 D + f n0 (t) f n0 (t 0 ) + f n0 f D < ε, (1),(2) d.h. f ist in t 0 stetig. Es liefert s n := n k=m f k eine Folge (s n ) n m von in t 0 stetigen Funktionen, die gleichmäßig gegen k=m f k konvergiert (siehe 20.5). Die Behauptung folgt daher aus. 20.14 Lokal gleichmäßige Konvergenz Sei D R und (f n ) n m eine Folge in R D. Die Folge (f n ) n m heißt lokal gleichmäßig konvergent [gegen f], wenn es zu jedem t D eine Umgebung U von t gibt, so daß die Folge (f n D U) n m gleichmäßig konvergent [gegen f (D U)] ist. Die Reihe k=m f k heißt lokal gleichmäßig konvergent, wenn die Folge (s n ) n m mit s n = f m +... + f n lokal gleichmäßig konvergent ist. Da Stetigkeit eine lokale Eigenschaft ist, ergibt sich aus Satz 20.13 fast unmittelbar: 20.15 Der Grenzwert einer lokal gleichmäßig konvergenten Folge stetiger Funktionen ist stetig Sei D R und (f n ) n m eine Folge in R D von stetigen Funktionen. Konvergiert (f n ) n m lokal gleichmäßig gegen f, so ist f stetig. Konvergiert die Reihe k=m f k lokal gleichmäßig, so ist die Grenzfunktion k=m f k stetig. [20] 10 C 1

Gleichmäßige Konvergenz für Folgen und Reihen von Funktionen Beweis. Sei t 0 D. Dann gibt es nach Voraussetzung eine Umgebung U in t 0 mit f n D U konvergiert gleichmäßig gegen f D U. Nun sind alle f n D U in t 0 stetig (siehe 14.7). Daher ist f D U in t 0 stetig (siehe 20.13). Nach 14.7 ist daher auch f in t 0 stetig. Die Reihe (s n ) n m und s n = f m +... + f n konvergiert lokal gleichmäßig gegen k=m f k. Da alle s n stetig sind, folgt die Behauptung aus. 20.16 Die Riemannsche Zetafunktion ist stetig Die auf ]1, [ durch ζ(s) := n=1 1 n s für s ]1, [ definierte Riemannsche Zetafunktion ist stetig. Beweis. Setze zur Anwendung von 20.15 f n := n 1 x D mit D := ]1, [. Nach 17.4 sind alle f n stetig. Wählt man zu t 0 ]1, [ ein ε R + mit t 0 ε > 1, so ist die Reihe n=1 f n D U ε (t 0 ) wegen D U ε (t 0 ) [t 0 ε, [ nach 20.9 gleichmäßig konvergent. Die Stetigkeit von ζ = n=1 f n folgt nun aus 20.15. Ein zu Satz 20.15 analoger Satz für das Kriterium Differenzierbarkeit ist nicht gültig. Genauer heißt dies: (1) Aus der lokal gleichmäßigen Konvergenz einer Folge differenzierbarer Funktionen f n kann nicht auf die Differenzierbarkeit der Grenzfunktion f geschlossen werden und (2) selbst wenn die Grenzfunktion f differenzierbar ist, kann nicht auf die lokal gleichmäßige nicht einmal auf die punktweise Konvergenz der Folge (f n) gegen f geschlossen werden, siehe 22.11. Es gilt aber: 20.17 Differenzierbarkeit der Grenzfunktion Seien I ein offenes Intervall und (f n ) n m eine Folge in R I. Es sei ferner (I) f n für jedes n m differenzierbar; (II) (f n ) n m punktweise gegen f konvergent; (III) (f n) n m lokal gleichmäßig konvergent. Dann gilt: f ist differenzierbar. (f n ) n m konvergiert lokal gleichmäßig gegen f. (iii) (f n) n m konvergiert lokal gleichmäßig gegen f. C 1 [20] 11

Kapitel IV Differenzierbare Funktionen Beweis. Sei g die Grenzfunktion in (III). Sei t 0 I beliebig und wähle [a, b] I mit t 0 ]a, b[, so daß (1) f n [a, b] gleichmäßig gegen g [a, b] konvergiert. Nach (III) ist eine solche Wahl von [a, b] möglich. Es reicht zu zeigen: (2) (f n [a, b]) n m konvergiert gleichmäßig gegen f [a, b]; (3) f [a, b] ist in t 0 differenzierbar mit g(t 0 ) = f (t 0 ). Aus (2) folgt dann nämlich. Aus (3) folgt zunächst die Differenzierbarkeit von f in t 0, also da t 0 I beliebig war, die Differenzierbarkeit von f, d.h.. Da (f n) n m lokal gleichmäßig gegen g konvergiert und g = f ist, folgt (iii). Zu (2): Sei ε R +. Dann gibt es ein n 0 Z m mit (benutze 20.7 für (5)) (4) f n (t 0 ) f m (t 0 < ε/3 für n, m n 0. (III) (5) f n f m ε [a,b] < 3(b a)+3 für n, m n 0. (1) Nach dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung (siehe 19.2) angewandt auf f n f m gilt: Für t [a, b] und n, m n 0 ist (6) f n (t) f m (t) (f n (t 0 ) f m (t 0 )) f n f m ε [a,b] t t 0 3(b a)+3 t t 0 < 3 ε. (5) Also folgt mit Hilfe der Ungleichung α β + α β für t [a, b] und n, m n 0 : f n (t) f m (t) f n (t 0 ) f m (t 0 ) + 3 ε 2ε 3. (6) (4) Daher folgt mit m wegen (II) f n (t) f(t) 2 3 ε für alle t [a, b] und n n 0. Also ist f n f [a,b] < ε für alle n n 0, d.h. es gilt (2). Zu (3): Aus (6) folgt nach Divison durch t t 0 fn 0 (t) fn 0 (t 0) t t (7) 0 fm(t) fm(t 0) t t 0 ε für m n 0 und t [a, b] \ {t 0 }. 3(b a)+3 < ε 3 Aus (5) und (7) erhalten wir mit Hilfe der Dreiecksungleichung ( fn 0 (t) fn 0 (t 0) t t (8) 0 f n 0 (t 0 )) ( fm(t) fm(t 0) t t 0 f m(t 0 )) < 3 2ε für m n 0 und t [a, b] \ {t 0 }. Aus (8) folgt mit m aus (1) und (II ) fn 0 (t) fn 0 (t 0) t t (9) 0 f n 0 (t 0 ) ( f(t) f(t 0) t t 0 g(t 0 )) 2 3 ε für t [a, b] \ {t 0 }. [20] 12 C 1

Gleichmäßige Konvergenz für Folgen und Reihen von Funktionen Nun gibt es zu ε R + ein δ R + mit (10) fn 0 (t) fn 0 (t 0) t t 0 f n 0 (t 0 ) < ε/3 für 0 < t t 0 < δ. Aus (9) und (10) folgt daher (11) f(t) f(t 0) t t 0 g(t 0 ) < ε für 0 < t t 0 < δ, d.h. es gilt (3). Umschreiben von 20.17 auf Reihen liefert: 20.18 Gliedweise Differentiation von Reihen von Funktionen Seien I ein offenes Intervall und (f n ) n m eine Folge in R I. Es sei ferner: (I) f n für jedes n m differenzierbar: (II) k=m f k punktweise konvergent; (III) k=m f k lokal gleichmäßig konvergent. Dann gilt: k=m f k ist differenzierbar. k=m f k konvergiert lokal gleichmäßig. (iii) ( k=m f k) = k=m f k. Beweis. Wende 20.17 an auf s n := n k=m f k. Wir überprüfen zunächst, daß (s n ) n m die Voraussetzungen von 20.17 erfüllt (mit s n an Stelle von f n ). Nach (I) ist jedes s n differenzierbar, es gilt also 20.17(I). Nach (II) ist (s n ) n m punktweise gegen f := k=m f k konvergent. Nach (III) ist schließlich (s n) n m lokal gleichmäßig konvergent. Also folgt f = k=m f k ist differenzierbar (benutze 20.17), d.h. es gilt. (s n ) n m konvergiert lokal gleichmäßig, (benutze 20.17), d.h. nach Definition k=m f k ist lokal gleichmäßig konvergent, d.h. es gilt. (s n) n m konvergiert lokal gleichmäßig gegen f = ( k=m f k) (benutze 20.17(iii)) und damit erst recht punktweise. Also gilt für t 0 I auch (iii), denn ( k=m f k) (t 0 ) = lim n s n(t 0 ) = lim n n k=m f k (t 0) = k=m f k (t 0). 20.19 Die Riemannsche Zetafunktion ist differenzierbar Die auf ]1, [ durch ζ(s) := n=1 n 1 s für s ]1, [ definierte Riemannsche Zetafunktion ist differenzierbar. Für die Ableitung gilt: ζ (s) = ln(n) n=2 n s. C 1 [20] 13

Kapitel IV Differenzierbare Funktionen Beweis. Zur Anwendung von 20.18 wähle I := ]1, [ und setze f n := n 1 x I. Dann ist (1) f n = n 1 x ln(n) I nach 18.7. Da f 1 = 0 ist, folgt die Aussage wegen (1) aus Satz 20.18, wenn die Voraussetzungen von 20.18 nachgewiesen sind. Die Voraussetzung (I) von 20.18 folgt aus (1); (II) von 20.18 gilt nach 17.8. Zum Nachweis von 20.18(III ) wähle t 0 I und hierzu ein ε R + mit (2) α := t 0 2ε > 1. Wir zeigen: (3) n=2 ln(n) n x ]t0 ε,t 0 +ε[ ist konvergent. Hieraus folgt dann nach 20.8 die Bedingung 20.18(III). Zu (3): Es ist (benutze 19.8(iv)) (4) ln(n) n ε für fast alle n. Also gilt für t ]t 0 ε, t 0 + ε[: (5) Also erhält man ln(n) n t (4) (6) ln(n) n x ]t0 ε,t 0 +ε[ (5),(2) n ε n t 0 ε = 1 n t 0 2ε für fast alle n. 1 n α für fast alle n. Da n=2 n 1 α konvergiert ist (benutze 17.8), folgt (3) aus (6) und dem Majorantenkriterium 10.1. [20] 14 C 1