Einstiegsvoraussetzungen 1. Semester Bereich: Zahlen und Maße Mengen können Mengen angeben. verstehen die Begriffe Element von und Teilmenge und können sie anwenden. kennen die Mengenoperationen Vereinigung, Durchschnitt und Differenz. Zahlenmengen kennen die Zahlenmengen N, Z, Q und R und ihre Beziehung, kennen die Begriffe Teilbarkeit und Primzahlen kennen den Begriffe Gleitkommazahlen, können Brüche als Dezimalzahlen schreiben und umgekehrt können mit reellen Zahlen in Dezimal- und Bruchform rechnen verstehen die Notwendigkeit von Klammerungen und können Rechengesetze (Distributivgesetz) richtig anwenden Rechnen mit Zahlen und Größen können Prozentangaben als Anteile interpretieren können Grundwert, Prozentsatz und Prozentwert richtig zuordnen und untereinander in Beziehung setzen können Überschlagsrechnungen durchführen Rechnen mit Potenzen und Wurzeln verstehen Potenzen als Multiplikationen und Potenzen vereinfachen. verstehen Wurzelziehen als Umkehrung des Potenzierens können Zehnerpotenzen im Zusammenhang mit Einheiten als Vorsilbe angeben und umgekehrt können Maßzahlen zwischen verschiedenen Einheiten umrechnen LITEC HTL Paul Hahn Str. Seite 1 von 7
Übungsbeispiele: 1. Geben Sie die Mengen im aufzählenden Verfahren an: A = {x ϵ N 2 x < 5}, B = {x ϵ N x < 3}, C= {x ϵ Z -3 < x 4} Lösung: A = {2, 3, 4}; B = {0, 1, 2}; C = {-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4} 2. Stellen Sie folgende Mengen im beschreibenden Verfahren dar: A = {4, 5, 6}, B = {..,-2,-1} Lösung: A = {x ϵ N 4 x 6}, B = {x ϵ Z x -1} 3. Gegeben sind zwei Mengen A und B: Geben Sie ihre Vereinigungsmenge, Durchschnittmenge sowie die Differenzmengen A\B und B\A an: A = {-1, 0, 1, 2}, B = {2, 3, 4}. Ist {2, 3} eine Teilmenge von A oder B? Lösung: {-1, 0, 1, 2, 3, 4}; {2}; {-1, 0, 1}; {3, 4}, nein, ja 4. ggt (84, 140, 252) =? Lösung: 28 5. kgv (36, 54, 112) =? Lösung: 3024 6. Ein Raum mit der Länge a = 4,4 m und Breite b = 3,2 m soll mit quadratischen Platten verschnittfrei ausgelegt werden. Was ist die größtmögliche Seitenlänge der Platten? Lösung: 40 cm = 4 dm 7. Wandeln Sie in eine Dezimalzahl um: a) 3 16 b) 1 3 c) 5 27 d) 7 22 Lösung: 0,1875; 0, 3 ; 0, 185; 0,318 8. Schreiben Sie als Bruch an: a) 0,2 b) 0,01 c) 0,25 d) 0,44 Lösung: 1, 1, 1, 11 5 100 4 25 9. Schreiben Sie folgende Zahlen in der Gleitkommadarstellung: a) 2400 b) 389 000 c) 87,7 d) 0,473 e) 0,000 005 9 Lösung: 2,4 10 3 ; 3,89 10 5 ; 8,77 10 1 ; 4,73 10 1 ; 5,9 10 6 10. Umwanden von Gleitkommazahlen: Bestimmen Sie x. a) 9431,5 = 94,315 10 x b) 3485 = 0,03485 10 x c) 0,7043 = 70,43 10 x d) 9327 = x 10 3 e) 0,0009124 = x 10 6 f) 4,132 = x 10-4 g) 37214 10-7 = x 10-3 h) 4817 10 33 = x 10 38 i) 0,027 10 2 = x 10-2 Lösung: 2; 5; -2; 9,327; 912,4; 41320; 3,7214; 0,04817; 270 LITEC HTL Paul Hahn Str. Seite 2 von 7
11. Rechnen mit Gleichkommazahlen; das Ergebnis ist wieder als Gleitkommazahl anzugeben: a) 3 10 4 5 10 7 = b) 8 10 3 7 10 3 = c) 13 10 5 6 10 5 = d) 2,4 10 7 : (6 10 3 ) = e) 2,4 10 7 6,0 10 7 = f) 2,3 10 4 + 0,44 10 3 = g) 33 10 12 : (11 10 5 ) = h) 33 10 12 : 11 10 5 = i) 4 2,1 10 5 0,057 10 7 = j) (3 10 4 ) 2 = k) (2 10 3 ) 2 = l) 3,0: (2,0 10 3 ) 2 = Lösung: a) 15 10 3 b) 56 10 6 c) 7 10 5 d) 0,4 10 4 e) 3,6 10 7 f) 6,7 10 4 g) 3 10 7 h) 3 10 17 i) 2,7 10 5 j) 9 10 8 k) 0,25 10 6 l) 0,75 10 6 12. Wandeln Sie um: a) 4,32 km in m b) 0,14 µm in cm c) 0,0043 m 2 in cm 2 d) 3,28 10 5 mm 2 in dm 2 e) 0,83 dm 3 in ml f) 0,0034 t in kg g) 0,034 dag in mg h) 0,00072 g in µg i) 1 km/h in m/s j) 1 kg/m 3 in g/cm 3 k) 1 N/mm 2 in N/m 2 l) 1 kw/m 2 in W/cm 2 Lösung: a) 4,32 10 3 m; b) 1,4 10-5 cm; c) 43 (cm) 2 ; d) 32,8 (dm) 2 ; e) 830 ml; f) 3,4 kg; g) 340 mg; h) 720 µg; i) 0,278 m/s; j) 10-3 g/(cm) 3 ; k) 10 6 N/m 2 ; l) 0,1 W/(cm) 2. 13. Vereinfachen Sie zu einem durchgekürzten Bruch: a) 6 15 : ( 9 10 3 20 ) = b) 3 8 4 7 + 3 5 : 21 10 = c) 7 4 (2 3 5 ) : 14 25 = d) ( 7 10 7 3 : ( 3 10 26 45 )) : 13 = e) 4 9 : 11 27 + 13 27 : (8 9 7 12 ) = Lösungen: a) 8 15 ; b) 1 2 ; c) 3 4 ; d) 7 10 ; e) 8 3 14. Lösen Sie die Doppelbrüche und vereinfachen Sie durch Kürzen: a) 2 3 5 = b) 2 5 2 6 12 14 9 4 = c) 14 3 4 7 8 9 + 24 1 = Lösungen: a) ; b) 1 ; c) 5 21 10 8 4 15. Vereinfachen Sie die Potenzen so weit wie möglich: a) a 2 a 3 = b) a 5 : a 2 = c) (3a) 2 a = d) (a 4 ) 3 = e) (3x 2) 2 = f) (4a + 3b)(4a 3b) = g) a 4 = h) a 3 a 5 : a 2 a 4 = i) (6a 2 ) 3 (3a) 2 j) 2a3 12a 2 (2a 2 ) 2 = Lösungen: a) a 5 ; b) a 3 ; c) 9a 3 ; d) a 12 ; e) 9x 2 12x + 4; f) 16a 2 9b 2 ; g) a 2 ; h) a 6 a 4 = a 4 (a 2 1); i) 1944a 8 ; j) 6a 16. Bedeutung von negativen Hochzahlen: 10-2 = 10-3 = 3 10-1 = -10-2 = 1-10 -2 = 2-4 = (-3) 4 = Lösungen: 1 100 ; 1 1000 ; 3 10 ; 1 100 ; 99 100 ; 1 16 ; 81 LITEC HTL Paul Hahn Str. Seite 3 von 7
17. Überschlagsrechnung: 17,43 0,653 174,3 : 0,414 (73,11) 2 65,33 4,133 11 + 3397 : 81,3 18. Verschiedene Aufgaben zur Prozentrechnung a) In den USA wird in Restaurants ein Trinkgeld von 15 % erwartet. Wie hoch ist das Trinkgeld, wenn die Rechnung auf 24 $ lautet? b) Auf einen Rechnungsbetrag von 2.400 wird ein Preisnachlass von 5 % gewährt. Ermitteln Sie den ermäßigten Rechnungsbetrag. c) Ein Autohändler hat beim Verkauf eines Autos 1.920, das sind 8 % des Verkaufspreises, verdient. Ermitteln Sie den Verkaufspreis. d) Der Preis eines Fahrrades steigt um 12 % gegenüber dem alten Verkaufspreis von 412,5. Wie lautet der neue Verkaufspreis. e) Eine Rechnung ist auf 450 inklusive Mehrwertsteuer (20%) ausgestellt. Berechnen Sie die Mehrwertsteuer. f) Der Preis eines technischen Gerätes wurde von 200 um 20 % gesenkt. Bald darauf wurde der Preis jedoch wieder um 5 % erhöht. Begründen Sie, dass die Preissenkung gegenüber dem ursprünglichen Preis nicht 20 % - 5 % = 15 % beträgt. Lösungen: a) $3,6; b) 2280; c) 24000; d) 462; e) 75; f) Preissenkung um 16% LITEC HTL Paul Hahn Str. Seite 4 von 7
Bereich: Algebra und Geometrie Terme können Terme vereinfachen und die grundlegenden Rechenoperationen anwenden kennen die binomischen Formeln und können sie anwenden Rechnen mit Gleichungen und Ungleichungen können Gleichungen lösen können Formeln nach einer vorgegebenen Variablen umstellen ( auflösen ) - Formelumformungen Lineare Gleichungssysteme mit 2 Variablen können lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen durch Substitution oder mittels Additionsverfahren lösen Elementare Geometrie und Trigonometrie kennen die wichtigsten Dreiecke und Vierecke kennen Bezeichnung und Zusammenhänge ihrer Bestimmungsstücke (Pythagoräischer Lehrsatz, Ähnlichkeit, Flächeninhalt, Um- und Inkreis, Höhen und Schwerlinien) kennen Inhalt- und Umfangsformel eines Kreises Übungsbeispiele: 1. Lösen Sie folgende (Un)Gleichungen nach der auftretenden Variablen: a) s + 2(1 3s) = 2 s b) 1 (d + 1) = 2 3d c) 0,1 (c + 3) = 0,02 + 0,3 c d) 2(1 4x) = (1 + 2x) e) k 2 = 4 k 3 f) c 1 = 2c 11 3 g) 3 4 = 7 h) 1 = 4 x x+2 2x 5 2x 5 i) 2x + 1 5x 8 j) 3(x + 4) < 5x + 7 Lösungen: a) s = 0; b) d = 1; c) c = 7/5; d) x = 1/2; e) k = 8/5; f) c = 6; g) x = -3; h) x = 3; i) x 3; j) x > 2,5 LITEC HTL Paul Hahn Str. Seite 5 von 7
2. Berechnen Sie die gesuchten Variablen: a) 2a b = 3(a + b) c a =? a = c 4b b) a b = a + b b =? b = a c) x = ab y a d) a = b + b 1 k xy a 1 b =? y =? a =? b = x(y a), y = ab + a, a x xy a = b+x b =? k =? x =? b = ak axy+1 axy bxy+b 1, k =, x = bk ak+b 1 k xy+1 e) n = a n a + z a =? b =? a = n bz, b = b b z 3b+2 2a 2 = 3 a =? b =? a =, b = f) a+2 a b 2 3 a b by ay 3. Vereinfachen Sie die Terme so weit wie möglich: a) 4a 5b + [-3a (5b + a)] = b) 3x (4 + (-2x (3 + 5x) 2) + 6x) = c) 15c x (- 4a) : (5c) = d) (-2x) 3y : (4xy) = e) 3x 2(4-3(2x - 1) + 2(1 x (3x + 1))) 4 = Lösungen: a) 10b; b) 4x + 1; c) -12ax; d) -1,5; e) 31x-18 4. Lösen Sie folgende Gleichungssysteme: a) 2x + y = 4 b) 4x 7y = 2 c) 5x 3y = 15 3x 2y = 13 x + 3y = 10-2x + 7y = -6 Lösungen: a) (3/-2); b) (4/2); c) (3/0) 5. Geometrie a) Geben Sie φ in Abhängigkeit von α und β an. Für welchen Winkel β gilt φ = 2α? b) Ein Helm hat, von der Seite betrachte, den skizzierten Querschnitt. Berechnen Sie den Inhalt und den Umfang der dargestellten Fläche. c) Ein Dreieck ABC wird durch eine Parallele zu a in der gezeichneten Weise geteilt. In welchem Verhältnis stehen die beiden Teilflächen? Wie groß ist die Seite a? Ist das Dreieck rechtwinkelig? Lösungen: a) φ = 90 + α β, β = 3α 90 ; b) A 644,6 (cm) 2 ; U = 106,4cm; c) a = 756,25 mm; nein LITEC HTL Paul Hahn Str. Seite 6 von 7
Bereich Funktionale Zusammenhänge kennen den Begriff der Funktion, der Definition- und Wertemenge können einige Eigenschaften von Funktionen angeben und an Beispielen veranschaulichen verstehen Funktionen als Modelle zur Beschreibung der Abhängigkeit zwischen Größen können Funktionen durch Wertetabellen und grafisch im rechtwinkeligen Koordinatensystem darstellen verstehen die Begriffe direkte und indirekte Proportionalität Übungsbeispiele: 1. Geben Sie an, ob es sich beim dargestellten Zusammenhang zwischen zwei Größen um eine Funktion handelt. Begründen Sie Ihre Antwort. 2. Zeichnen Sie den Graphen der Funktion f: y = 2x 1, D = [0,4]. Drücken Sie folgende Aussagen unter der Verwendung Funktionswert und Stelle in Worten aus und kontrollieren Sie an Hand der Zeichnung: a) f(2) =3 b) f(1) < 2 c) f(4) > f(2) d) f(x) ϵ 7 für alle x ϵ D e) f(x + 1) = f(x) + 2 für alle x + 1 ϵ D sowie x ϵ D 3. In folgenden Geschwindigkeit-Zeit-Diagrammen ist die Fahrt eines PKWs dargestellt. Beschreiben Sie die Fahrt. LITEC HTL Paul Hahn Str. Seite 7 von 7