Bauingenieurwesen Universität Kassel- D-34109 Kassel Institut für Geote c hnik und Geohydr aulik Prof. Dr. rer. nat. Manfred Koch Universität Kassel Kurt-Wolters-Str. 3 34125 Kassel kochm@uni-kassel.de fon + 49-561 804-3198 fax + 49-561 804-3953 WS 2008/200 /2009 Studienbegleitende Prüfung (Diplom-Prüfungsordnung von 2004 / Bachelor) Physik für Bau- und Umweltingenieure 25. Februar 2009, 12-13:30 Uhr Prüfungsteilnehmer Korrekturbemerkungen ----------------------------- Name, Vorname ----------------------------- Matrikelnummer ----------------------------- Unterschrift Punktebilanz und Note Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Summe Max. Punk. 7 10 8 8 10 6 8 6 10 7 10 10 100 Punkte Note
Aufgabe 1 / Dichte Der mittlere Radius der Erde beträgt 6371km. Ihre Masse ist 5,974 10 24 kg. Bestimmen Sie die mittlere Dichte der Erde. Vergleichen Sie den gefundenen Wert mit von Ihnen aus der Werkstoffkunde bekanntem Gestein, welches auch beim Bauen vielleicht Verwendung findet. Was schließen Sie daraus bzg. des möglichen inneren Aufbaus der Erde? Hinweis: Volumen einer Kugel V =4/3 *pi*r 3 ρ = m/v Mit V= 4/3 *pi*r 3 =4/3 *pi*(6371*10 3 m) 3 = 1.083207 21 m 3 ρ = 5,974 10 24 / 1.083207 21 = 5515.105 kg/m 3 Die Dichte der meisten Gesteine liegt in der Größenordung von 2500-2800 kg/m 3 (s. http://de.wikipedia.org/wiki/gesteinsdichte). Es folgt, dass im Inneren der Erde eine wesentlich höhere Dichte als der obige mittlere Wert vorliegen muss. In der Tat besteht der Erdkern, der ab einer Tiefe von 2900 km beginnt, aus reinem Metall (Eisen/Nickel Gemisch), mit einer Dichte von 10000-12000 kg/m 3. (s. http://www.geologieinfo.de/geologie/dichte-gegen-teufe.html) Aufgabe 2 / Statik/Kräfte Zwei Kräfte F 1 = 500N und Winkel α 1 = 20 o gegen die Horizontale und F 2=700N und α 2 = -50 o ziehen an dem Mauerhaken. Welche Kraft muss dieser aushalten und in welche Richtung würde er im Falle des Ausreißens schießen? α2 α1 F1 α Berechung der resultierenden Kraft F R (vektoriell) F2 mit F R = F 1 + F 2 F 1 = F 1x i + F 1y j =!F 1! * cos α 1 +!F 1! cos (90-α 1) F 2 = F 2x i + F 2y j =!F 2! * cos α 2 +!F 2! cos (-90-α 2) Mit Werten: und F 1 = F 1x i + F 1y j = 500 * cos 20 i + 500 * cos 70 j = 469.8 i + 171 j F 2 = F 2x i + F 2y j = 700 * cos (-50) i - 700* cos (-40)j = 450.0 i - 536.2 j F R = 919.8 i - 365.2 j Magnitude F R = (919.8 2 + 365.2 2 ) 1/2 = 989.4 N Richtung der resultierenden Kraft: tan(α) = F ry /F Rx = -365.2/919.8 = -0.4 α = -21.6 0
Aufgabe 3 / Statik/Kräfte fte/momente Ermitteln Sie die Kraft, mit der der Tischlerhammer den Nagel aus dem Holz zieht, wenn die Kraft der Hand 50 N beträgt. Entnehmen Sie die fehlenden Größen aus der Zeichnung. F H α 2 r H Momentengleichgewicht: FN α1 rn mit M L = M R M L = F N*r N * sin α 1 und M R = F H*r H * sin α 2 Kraft F H greift senkrecht am Griff an, denn dann wird das maximale Drehmoment erreicht. Das gleiche gilt für die Nagelkraft F N. α 1 =α 2 F N*r N = F H*r H F N = F H*r H /r N = 50N* 0.3m/0.1m = 150N Die erzielte Nagelkraft F N ist also bedingt durch die Konstruktion des Hammers. Aufgabe 4 / Statik/ Kräfte/Momente Berechnen Sie die Zugkraft T, die das Bücherbord mit einer Tiefe von 0.38m aushalten muss, wenn das Gesamtgewicht Bord+ Bücher 70N beträgt. Momentengleichgewicht um Angelpunkt: M L = M R, mit M L = Moment der Zugkraft F T des Seils M R = Moment des Bordes + Bücher, wirkend im Schwerpunkt des Brettes M L = F T * r B * sin 40 0 = F T * 0.38m * sin 40 0 M R = G* r B /2 = 70N*0.38m/2 F T * 0.38m * sin 40 0 = 70N*0.38m/2 F T =70N /2 /sin 40 0 = 54.45N Aufgabe 5 /Newtonsche Dynamik Auf der internationalen Space Station (ISS) herrscht bekanntlich Schwerelosigkeit. Ein Astronaut möchte sich einen Softdrink gönnen. Das Getränk ist in einer undurchsichtigen, dunklen Plastikflasche mit Schraubverschluss und 1 Liter Volumen. Wie kann er feststellen, ob (a) die Flasche nicht leer ist und wenn ja (b) wie viel vielleicht noch drin sein könnte, nachdem er sich aus dem Müllbehälter noch eine garantiert leere Flasche als Vergleich besorgt hat?
Die Masse der vollen Flasche ist m= ρ *V = 1000kg/m 3 *0.001m 3 = 1kg. Die Masse der leeren Flasche ist fast! Null. Im schwerelosen Raum hat der Körper zwar keine schwere Masse mehr, aber seine träge Masse ist unverändert vorhanden. Wegen des Einstein schen Äquivalenzprinzips sind beide Massen identisch. Anwendung einer beschleunigenden Muskelkraft F auf die Flasche mit der Masse m ergibt eine Beschleunigung a = F/m. Also wird die volle Flasche weniger stark als die leere oder auch teilgefüllte Flasche beschleunigt werden und entsprechend eine geringere Endgeschwindigkeit erreichen. Falls der Astronaut keine Ahnung hat, welche Masse die leere Flasche wirklich hat, kann er die Menge an Flüssigkeit in der vollen Flaschen nicht bestimmen, sondern nur die Aussage machen, dass wohl etwas mehr als nichts drin sein muss. Andererseits kann er, wenn er eine wirklich volle Flasche vor sich hat, die Masse der leeren Flasche durch Vergleich der Beschleunigungen bestimmen, also a v = F/m v und a l= F/m l M l = F/a l = m v a v /a l. Danach wiederholt er die Beschleunigungsexperimente mit den teilgefüllten Flaschen im Vergleich zur leeren (oder auch zur vollen) Flasche. Aufgabe 6 /Newtonsche Dynamik Ein Junge gibt einem Ball mit der Masse 0,5 kg in der Zeit von 0,2 s aus der Ruhe eine Geschwindigkeit von 8 ms -1. Welche Kraft übt er auf den Ball aus? Lösung ng: Beschleunigung a = v/t = 8m/s / 0.2 s = 40m/s 2 Kraft F= m*a = o.5kg* 40m/s 2 = 20N Aufgabe 7 /Reibung A) Welche Kraft ist nötig, um einen Schrank mit einem Gewicht von 1000 N auf waagerechter Unterlage zu verschieben, wenn die Reibungszahl µ=0,4 beträgt? Der Schrank soll dann im Keller abgestellt werden, wobei man sich eines schiefen Holzbrettes behilft, das auf die Kellertreppe gelegt wird. B) Wie groß muss der Gefällewinkel des Brettes mindestens sein, damit der Schrank bei der genannten Reibungszahl gerade ins Rutschen gerät? Reibungskraft F R = µ * F N = 0.4*1000N = 400N Für den kritischen Winkel α gilt nach Zerlegung der Kraftkomponenten und der obigen Definition: tan α = µ α α = 21.8 o
Aufgabe 8 /beschleunigte Bewegung Ein Auto beschleunigt gleichmäßig in 12 s von 0 auf 100 kmh -1. Welchen Weg hat es in dieser Zeit zurückgelegt? Beschleunigung a = v/t = 100/3.6m/s /12 s = 2.31m/s 2 Weg x = ½*a *t 2 = ½*2.31m/s 2 *(12s) 2 = 166.32m Aufgabe 9 / beschleunigte Bewegung Ein Auto steigert seine Geschwindigkeit gleichmäßig von v 1 = 120 kmh -1 auf v 2 = 150 kmh -1. Wie groß ist die Beschleunigung und der zurückgelegte Weg, wenn die Geschwindigkeitserhöhung in der Zeit von 10 Sekunden erfolgt? v = 1 120/3.6 =33.3 m/s; v 2 = 150/3.6 = 41.7 m/s. Beschleunigung a = (v 1 v 2) /t = (41.7 m/s-33.3m/s)/10s = 0.84m/s Weg x = v 1*t + ½*a*t 2 = 33m/s*10s + ½*0.84m/s*(10s) 2 = 332m + 42m =374m Aufgabe10 /freier Fall Von der Spitze eines Turmes lässt man einen Stein fallen. Nach 4 Sekunden sieht man ihn auf dem Boden aufschlagen. Fragen: A) Wie hoch ist der Turm? B) Mit welcher Geschwindigkeit trifft der Stein auf den Erdboden auf? A) s=1/2*g*t 2 = ½* 9.81m/s 2 *(4s) 2 = 78.5m B) v=g*t = 9.81m/s 2 *4s = 39.2m/s Aufgabe 11 /Drehbewegung/Zentripetalkraft Der knatternde Lärm eines Hubschraubers ist bedingt, dass an der Rotorspitze ständig sogenannte Überschnallknalls entstehen. Dies ist der Fall, wenn die Rotorspitzengeschwindigkeit größer als die Schallgeschwindigkeit (v schall = 330m/s) wird. Berechnen Sie a) die kritische Frequenz des Rotors, bei der diese Überschallknalls gerade entstehen, wenn der Radius des Rotors r = 7,00 m beträgt. Wie groß ist b) die Zentripetalbeschleunigung, die die Rotorspitze dann erfährt? a) Ω = 2π /T = 2π f v = Ω *r Ω = v/r =2π f f= v/(2π* r) = 330m/s /(2π* 7m) = 7.5 U/s = 450 U/min
b) a z = v 2 /r = (330m/s) 2 /7m =15557 m/s 2 ~1586 g Aufgabe 12 /Zentripetalkraft/Gravitation Sie haben neulich in den Nachrichten gehört, dass zwei ausrangierte Satelliten, die in einer Höhe von etwa 800km seit vielen Jahren um die Erde kreisten, zusammen gestoßen sind. A) Berechnen Sie deren Kollisionsgeschwindigkeit. Danach sind die beiden Satelliten in viele kleine Brocken zerborsten. Diese Brocken werden noch viele Jahre als sogenannter Weltraumschrott durch das All schwirren. Es ist anzunehmen dass infolge der Kollision ein großer Teil der kinetischen Energie der Satelliten verbraten worden ist und der Schrott nun eine viel kleinere Geschwindigkeit als die ursprüngliche der Satelliten hat. Der Schrott wird dann eventuell ein anderes Bahnorbital einnehmen. Frage: B) wird dieser Schrott theoretisch dann zu einer Gefahr für die ISS, die in etwa 350 km Höhe um die Erde kreist, werden können? Gegeben: Masse der Erde m E = 6*10 24 kg, Gravitationskonstante γ= 6,7*10-11 m 3 /kg s 2 Radius der Erde r E=6378 km A) Auf der Satellitenbahn in einen Abstand von r km vom Erdmittelpunkt herrscht Gleichgewicht zwischen Zentrifugalkraft F z und Gravitationskraft F G γ m s*m e /r 2 = m s Ω 2 *r = m s v 2 /r v 2 /r = γ m e /r 2 v= (γ m e /r) 1/2 = (6.7*10-11 *6*10 24 /((6378+800)*10 3 )) 1/2 = 7483.6 m/s = 26941km/h B) Wenn die Bahngeschwindigkeit v des Satelliten, bzw. des Schrottes, abnimmt, wird nach obiger Formel r größer. Das heißt, dass theoretisch das Orbital des genannten Schrotts sich in einer größeren Höhe als 800km von der Erdoberfläche einstellen sollte, damit weiterhin Gleichgewicht zwischen Gravitations- und Zentrifugalkraft herrschen kann. Allerdings müsste der Schrott zuvor auf dieses höhere Orbital geschleudert werden, d.h. es muss Arbeit gegen das Gravitationsfeld geleistet werden. Dies könnte durch eine vertikale Stoßkomponente während des Zusammenstoßes der beiden Satelliten verursacht werden. Da dies doch relativ unwahrscheinlich bei einem frontalen Zusammenstoß sein wird, muss man davon ausgehen, dass wegen der verminderten Geschwindigkeit der Schrott runter fällt, so dass er rein theoretisch die tiefer liegende ISS treffen könnte. Letztendlich wird der Schrott beim Eintauchen in die Atmosphäre zum großen Teil jedoch verglühen, ähnlich einer Sternschnuppe. Die vor kurzem durchgeführte Notfall-Operation, bei der Astronauten der ISS die Station für einige Stunden verlassen mussten, um einer potentiellen Kollision von Schrott mit der Station zu entgehen, ist durch andere herumschwirrende Brocken verursacht worden.