41 Der Satz über implizite Funktionen

41 Der Satz über implizite Funktionen 203 41 Der Satz über implizite Funktionen Lernziele: Resultate: Satz über implizite Funktionen Methode: Implizite Differentiation Kompetenzen: (Lokale) Auflösung von Gleichungen nach einigen Variablen 41.1 Gleichungen von zwei Variablen. Es wird zunächst die implizite Definition von ebenen Kurven durch Gleichungen f(x,y) = 0 (1) besprochen, wobei f eine C 1 -Funktion auf einer offenen Menge D R 2 ist. Die Lösungsmenge S = N 0 (f) von (1) ist eine Niveaumenge von f und geometrisch der Schnitt des Graphen Γ(f) von f mit der xy-ebene. Natürlich kann S = (etwa für f(x,y) = x 2 +y 2 +1) oder S = D (für f = 0) sein; in schönen Fällen aber ist S lokal eine Kurve in D. 41.2 Beispiel. a) Die Kreisgleichung f(x,y) := x 2 +y 2 1 = 0 (2) besitzt die folgenden Auflösungen nach y: y = + 1 x 2 für y > 0, y = 1 x 2 für y < 0. Ist insbesondere (a,b) eine Lösung von (2) mit b > 0, so gilt x 2 +y 2 1 = 0 y = + 1 x 2 für (x,y) nahe (a,b), und entsprechendes hat man für b < 0. Im Fall b = 0, also a = ±1, ist eine solche Auflösung von (2) nach y nahe (a,b) offenbar nicht möglich, da für x nahe a und x a die Gleichung (2) keine Lösung oder zwei Lösungen y nahe b besitzt. Man beachte, daß die Ableitung y f(a,b) = 2b von f nach y genau für b = 0 verschwindet. b) Entsprechendes gilt für die Auflösung von (2) nach x; diese ist nahe (a,b) mit a 2 +b 2 1 = 0 genau für a 0 eindeutig möglich, also genau dann, wenn x f(a,b) = 2a 0 gilt. Allgemein kann (1) in einer Umgebung einer Lösung (a, b) D nach y aufgelöst werden, wenn y f(a,b) 0 gilt. Dies gilt auch für den Fall mehrerer Veränderlicher x (Tupel in R n werden mit (x,y) R n 1 R bezeichnet):

204 VI. Differentialrechnung in mehreren Veränderlichen 41.3 Satz (über implizite Funktionen). Es seien D R n offen, f C 1 (D,R) und (a,b) D mit f(a,b) = 0, so daß y f(a,b) 0 gilt. Dann gibt es einen offenen Würfel V mit Zentrum a in R n 1 und ein offenes Intervall I um b in R mit V I D, so daß für jedes x V die Gleichung f(x,y) = 0 in I genau eine Lösung y besitzt. Die dadurch definierte Funktion g : x y von V nach I erfüllt g(a) = b und ist C 1 mit xj g(x) = x j f(x,g(x)) y f(x,g(x)), x V, j = 1,...,n 1. (3) Beweis. a) Es sei y f(a,b) > 0 (im Fall y f(a,b) < 0 betrachtet man einfach f ). Da y f stetig ist, gibt es α > 0 und b 1 < b < b 2 mit R := K α (a) [b 1,b 2 ] D und y f > 0 auf R. b) Für x K α (a) sind die Funktionen f x : y f(x,y) streng monoton wachsend auf [b 1,b 2 ]; insbesondere gilt f(a,b 1 ) < 0 = f(a,b) < f(a,b 2 ). Da f stetig ist, gibt es einen offenen Würfel V K α (a) mit Zentrum a und f(x,b 1 ) < 0 < f(x,b 2 ) für x V. Nach dem Zwischenwertsatz hat somit die Gleichung f(x,y) = 0 für x V genau eine Lösung y I := (b 1,b 2 ). Dies definiert die gesuchte Funktion g : x y von V nach I mit g(a) = b. c) Es seien x V, y = g(x) und ε > 0 mit [y ε,y + ε] I. Wie in b) findet man δ > 0, so daß die Gleichung f(ξ,η) = 0 für ξ K δ (x) genau eine Lösung η (y ε,y+ε) hat. Dannist η = g(ξ), und es gilt g(ξ) g(x) < ε für ξ x < δ; somit ist g : V I stetig. d) Für x,x + te j V sei y = g(x) I und k = g(x + te j ) g(x) R. Wegen f(ξ,g(ξ)) = 0 für ξ V hat man f(x+te j,y) = f(x+te j,y) f(x,y) = xj (x+τte j,y)t und f(x+te j,y) = f(x+te j,y) f(x+te j,y +k) = y (x+te j,y +θk)k mit geeigneten Zahlen τ, θ [0, 1] aufgrund des eindimensionalen Mittelwertsatzes. Für t 0 folgt g(x+te j ) g(x) t = k t = x j f(x+τte j,y) y f(x+te j,y +θk). (4) Aus t 0 folgt auch k 0 wegen c), und daher ergibt sich (3) sofort aus (4). Die Stetigkeit von xj g ist dann klar aufgrund von (3) und c). 41.4 Bemerkungen. a) Der Satz über implizite Funktionen besagt also {(x,y) V I f(x,y) = 0} = {(x,y) V I y = g(x)} = {(x,g(x)) x V}; die Niveaumenge S = N 0 (f) ist also in V I D durch den Graphen einer C 1 - Funktion g : V I gegeben: S (V I) = Γ(g).

41 Der Satz über implizite Funktionen 205 b) In der Situation von Satz 41.3 kann es zu x V weitere Lösungen y R\I von f(x,y) = 0 geben, so etwa y = 1 x 2 im Fall der Kreisgleichung (2) mit b > 0. c) Für f C k (D,R) ergibt sich aus (3) induktiv sofort auch g C k (V,R), k N. d) Es seien f C 1 (D,R) und q D mit f(q) = 0 und gradf(q) 0. Dann gibt es einen Index j mit xj f(q) 0, und die Gleichung f(x,y) = 0 läßt sich nahe q nach x j auflösen. 41.5 Implizite Differentiation. a) Formel (3) entsteht durch die implizite Differentiation d f(x,y) = d f(x,g(x)) = 0. (5) dx dx Sie drückt die Ableitung der Auflösung g durch x und g aus. Ist g nicht explizit bekannt, so liefert dies explizit nur den Wert g (a). b) Im Fall f(x,y) = x 2 +y 2 1 erhält man sofort 2x+2yy = 2x+2g(x)g (x) = 0, also g (x) = x (für y 0); folglich ist 0 der einzige kritische Punkt von g. y c) Durch weitere Differentiation lassen sich aus(3) auch höhere (partielle) Ableitungen von g gewinnen. Im C 2 -Fall hat man für n = 2 g (x) = 2 xf ( y f) 2 2 2 xyf x f y f + 2 yf ( x f) 2 ( y f) 3 (x,g(x)). (6) d) Im C k -Fall kann man mit Hilfe eines Ansatzes mit unbestimmten Koeffizienten das k-te Taylor-Polynom von g in a bestimmen, vgl. dazu etwa [A2], Beispiel 22.8. 41.6 Beispiele. a) Es werden normierte Polynome P(x,y) := y m + m 1 j=0 a j (x)y j (7) mit Koeffizienten a j C k (D,R), D R n offen, betrachtet. Hat P(a,y) eine einfache Nullstelle in b R, gilt also P(a,b) = 0 und y P(a,b) 0, so liefert der Satz über implizite Funktionen Umgebungen V R n von a und I R von b sowie eine Funktion g C k (V,I), so daß y = g(x) für (x,y) V I die einzige Lösung der Gleichung P(x, y) = 0 ist. Hat insbesondere P(a, y) genau m verschiedene reelle Nullstellen, so gilt dies auch für P(x,y) für x nahe a. b) Hat P(a,y) eine mehrfache Nullstelle in b R, so ist der Satz über implizite Funktionen { nicht anwendbar. Es sei etwa p 2, D = R und x p, x > 0 a(x) := 0, x 0. Die Gleichung P(x,y) := y2 a(x)y = 0 hat dann für x 0 nur die Lösung y = 0, für x > 0 aber die zwei Lösungen y = 0 und y = x p. Im Nullpunkt tritt also eine Verzweigung der Lösung auf.

206 VI. Differentialrechnung in mehreren Veränderlichen Satz 41.3 wird nun auf Gleichungssysteme verallgemeinert. Für eine Funktion f C 1 (D,R m ) schreibt man die Variablen des R n = R p R m in der Form (x,y) und die Funktionalmatrix in der Form Df(x,y) = (D x f(x,y), D y f(x,y)) mit (8) D x f(x,y) := ( xj f i (x,y))i=1...m j=1...p, D y f(x,y) := ( yj f i (x,y)) i=1...m. (9) j=1...m 41.7 Satz (über implizite Abbildungen). Es seien k N { },1 m < n, p := n m N, D R n offen, f C k (D,R m ) und (a,b) D mit f(a,b) = 0, so daß D y f(a,b) invertierbar ist. Dann gibt es offene Würfel W 1 mit Zentrum a in R p und W 2 mit Zentrum b in R m mit W 1 W 2 D, so daß für jedes x W 1 die Gleichung f(x,y) = 0 in W 2 genau eine Lösung y besitzt. Die dadurch definierte Funktion g : x y liegt in C k (W 1,R m ) und erfüllt g(a) = b, g(w 1 ) W 2 sowie Dg(x) = (D y f(x,g(x))) 1 D x f(x,g(x)), x W 1. (10) Beweis. a) Wegen GL(R m ) = {T L(R m ) dett 0} ist GL(R m ) in L(R m ) offen; daher kann man nach eventueller Verkleinerung von D annehmen, daß D y f(x,y) für alle (x, y) D invertierbar ist. b) Zunächst gelte zusätzlich D y f(a,b) = I. Der Beweis wird durch Induktion über m geführt. Die Behauptung ist im Fall m = 1 schon gezeigt, und sie gelte nun für Systeme mit weniger als m Gleichungen. c)wegen fm y m (a,b) = 1 liefertsatz41.3einenoffenenwürfelv mitzentrum(a,b 1,...,b m 1 ) in R n 1 und ein offenes Intervall I mit Zentrum b m in R mit V I D und eine Funktion h C k (V,I) mit h(a,b 1,...,b m 1 ) = b m und f m (x,y 1,...,y m 1,y m ) = 0 y m = h(x,y 1,...,y m 1 ) (11) für (x,y 1,...,y m 1,y m ) V I. Man definiert dann eine Funktion φ C k (V,R m 1 ) durch φ i (x,y 1,...,y m 1 ) := f i (x,y 1,...,y m 1,h(x,y 1,...,y m 1 )) (12) für i = 1,...,m 1. Offenbar gilt dann f(x,y 1,...,y m 1,y m ) = 0 y m = h(x,y 1,...,y m 1 ) und (13) für (x,y 1,...,y m 1,y m ) V I. φ(x,y 1,...,y m 1 ) = 0 d) Die Kettenregel liefert φ i = f i + f i y m h und somit φ i (a,b 1,...,b m 1 ) = f i (a,b)+ f i y m (a,b) h (a,b 1,...,b m 1 ) = δ ij für i = 1,...,m 1.

41 Der Satz über implizite Funktionen 207 Nach Induktionsvoraussetzung gibt es offene Würfel W 1 mit Zentrum a in R p und W mit Zentrum (b 1,...,b m 1 ) in R m 1 mit W 1 W V, so daß für jedes x W 1 das Gleichungssystem φ(x,y 1,...,y m 1 ) = 0 in W genau eine Lösung (y 1,...,y m 1 ) besitzt. Die dadurch definierte Funktion ψ : x (y 1,...,y m 1 ) liegt in C k (W 1,R m 1 ) und erfüllt ψ(a) = (b 1,...,b m 1 ) sowie ψ(w 1 ) W. e) Man setzt nun W 2 := W I R m ; für (x,y) W 1 W 2 V I gilt dann nach (13): f(x,y 1,...,y m 1,y m ) = 0 y m = h(x,y 1,...,y m 1 ) und Daher gilt die Behauptung mit g C k (W 1,W 2 ), φ(x,y 1,...,y m 1 ) = 0 y m = h(x,y 1,...,y m 1 ) und y i = ψ i (x) für i = 1,...,m 1 y i = ψ i (x) für i = 1,...,m 1 und (14) y m = h(x,ψ 1 (x),...,ψ m 1 (x)). g(x) := (ψ 1 (x),...,ψ m 1 (x),h(x,ψ 1 (x),...,ψ m 1 (x))). (15) f) Nun sei D y f(a,b) invertierbar. Mit T := D y f(a,b) 1 GL(R m ) erfüllt dann die Funktion F : (x,y) Tf(x,y) die Bedingung D y F(a,b) = I. Nach den Beweisteilen b) e) hat man die behauptete Auflösung für das System F(x,y) = 0 und damit auch für das System f(x,y) = 0. g) Zum Beweis von (10) setzt man G 0 (x) := (x,g(x)) und beachtet f G 0 0 auf W 1. Differentiation liefert 0 = D(f G 0 )(x) = Df(G 0 (x))dg 0 (x) ( ) ( I = D x f(g 0 (x)),d y f(g 0 (x)) Dg(x) = D x f(g 0 (x))+d y f(g 0 (x))dg(x); ) nach a) existiert (D y f(g 0 (x))) 1, und damit folgt die Behauptung (10). Analog zu 41.4 hat man: 41.8 Bemerkungen. a) Der Satz über implizite Abbildungen besagt also {(x,y) W 1 W 2 f(x,y) = 0} = {(x,y) W 1 W 2 y = g(x)} = {(x,g(x)) x W 1 }; dieniveaumengen 0 (f) istalsoinw 1 W 2 D durchdengrapheneinerc k -Funktion g : W 1 W 2 gegeben: N 0 (f) (W 1 W 2 ) = Γ(g). b) In der Situation von Satz 41.7 kann es zu x W 1 weitere Lösungen y R m \W 2 von f(x,y) = 0 geben, so etwa y = 1 x 2 im Fall der Kreisgleichung (2) mit

208 VI. Differentialrechnung in mehreren Veränderlichen b > 0 (vgl. Beispiel 41.2). c) Es seien f C k (D,R m ) und q D mit f(q) = 0 und rkdf(q) = m. Dann gibt es Indizes j 1,...,j m, so daß { j1 f(q),..., jm f(q)} eine Basis von R m ist. Sind i 1,...,i p die übrigen Indizes, so setzt man x := (z i1,...,z ip ), y := (z j1,...,z jm ) und erhält in einer Umgebung W 1 W 2 D von q =: (a,b) eine Auflösung der Gleichung f(x,y) = 0 in der Form y = g(x) mit einer eindeutig bestimmten C k - Funktion g : W 1 W 2. d) Eine allgemeinere Gleichung f(z) = ξ schreibt man in der Form f(z) ξ = 0 und betrachtet (z,ξ) R n+m als Variable. Ist f(q) c = 0 und rkd z f(q) = m, so liefert der Satz über implizite Abbildungen wie in c) in einer Umgebung W 1 W 2 W 3 D R m von (q,c) = (a,b,c) eine Auflösung der Gleichung f(x,y) ξ = 0 in der Form y = g(x,ξ) mit einer eindeutig bestimmten C k -Funktion g : W 1 W 3 W 2.