Grundgesamtheit Stichprobe Grundgesamtheit: z.b. alle schweizer WählerInnen Stichprobe: 1 000 repräsentative WählerInnen 1
Stichproben Eine Forscherin entwickelt ein neues Medikament. Bei einem Test an 10 Personen, bewirkt der neue Stoff bei 7 Personen eine Verbesserung. Bei den traditionellen Medikamenten tritt eine positive Wirkung nur bei 50% der Behandlungen ein. Weist die Untersuchung der Forscherin eine signifikante Messung auf oder ist sie zufällig? 2
Natürliche Streuung Wenn man 10 mal eine Münze wirft, dann müsste man der Wahrscheinlichkeit gemäss 5 mal Zahl und 5 mal Kopf werfen. Das ist aber unwahrscheinlich! Das Gleiche gilt bei Medikamenten, wenn bei 50% der Patienten eine Wirkung eintritt. Wenn man 10 Patienten das Medikament gibt, wirkt es nicht zwingend jedes Mal bei 5 und bei 5 nicht. 3
Ein Versuch Serie 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Wurf 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0 2 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 3 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 4 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 5 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 6 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 7 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 8 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 9 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 10 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 1 Mittel 40 20 60 40 50 20 30 40 70 50 40 80 80 30 50 4
Aufgabe Öffnet den Datenset binomial_würfe.sav 1. Berechnet die Anzahl Fälle >=70 und davon abgeleitet, wieviel Prozent das sind 2. Macht das Gleiche für alle Fälle >=70 oder <=30 5
Eine kleine Rechnung Von unseren 50 Wurfserien sind 9 mit einem Wert >= 70 9/0.5 = 18 In 18% der Fälle liegt der Wert durch zufällige Streuung im Bereich >= 70 6
Eine kleine Rechnung II Von unseren 50 Wurfserien sind 19 mit einem Wert >= 70 oder <= 30 19/0.5 = 38 In 38% der Fälle liegt der Wert durch zufällige Streuung im Bereich >= 70 oder <= 30 7
Bedeutung Wenn in 38% der Fälle ein Wert zufällig >= 70 oder <= 30 sein kann, ist das neue Medikament weder besser noch schlechter als die bestehenden Medikamente, mit einer Heilungschance von 50% 8
Binomialtest Script S. 209 Stichprobengrösse Einmal Samplesize 10, einmal 40 (simul.sav) 9
Normalverteilung Fläche = 1-3 -2-1 0 1 2 3 10
Beispiel von youtube www.youtube.com Key: normal distribution 11
Normalverteilung II Prob =.683 Prob =.954 Prob =.997-3 -2-1 0 1 2 3 12
Die schraffierte Fläche repräsentiert die Wahrscheinlichkeit eines Z-Wertes >=.5 Werte können in einer Tabelle abgelesen werden Fläche =.3085-3 -2-1 0 1 2 3 z = 0.5 13
14
Berechnen des z-wertes Bsp. IQ (iq.sav) gruppe iq a 75 a 106 a 91 a 89 a 98 a 96 b 85 b 102 b 87 b 85 b 106 Deskriptive Statistik iq Gültige Werte (Listenweise) Standarda N Minimum Maximum Mittelwert bweichung 100 57 142 99.19 13.525 100 Z-Wert für 75: (75-99.19)/13.52 = -1.79 15
Aufgabe: Z-Werte Datensatz iq.sav Errechnet die neue Variable ziq gemäss der Formel z x = 1 x s 16
Stichproben Script S. 219 Beispiel cholest_stichproben.sav 17
18
P für Cholestrinwert <= 193 Z = 193-205/34.83 = -0.345 P nach Tabelle = 37% 19
Verteilung von 500 Stichprobenmittelwerten von Stichproben der Grösse 21 20
Standardabweichung der Stichprobenmittel = Standard-Fehler Std.Err.= Standardabweichung n Stichprobe Bsp: 35 / Wurzel(21) = 7.64 21
Anwendung Bei gegebenem Mittelwert und Standardabweichung der Grundgesamtheit kann man: die Wahrscheinlichkeit eines Z-Wertes für Stichproben finden 22
Z-Wert z = Mittelwert Stichprobe Mittelwert Grundgesamtheit Standardabweichung Grundgesamtheit n 23
Beispiel: 21 CEOs wurden nach ihrem Cholesteringehalt untersucht, mit dem Ergebnis von 193 mg/dl. Wir wissen, dass in der Bevölkerung der Cholesteringehalt im Mittel 205 mg/dl beträgt, das mit einer Standardabweichung von 35 z = 193 205 35 21 = -1.57 Kontrolle Buch S. 223 24
Was geschieht, wenn die Standardabweichung der Grundgesamtheit fehlt? Wir wissen vielleicht, dass die Beschäftigten in einem Land im Mittel 40 Stunden arbeiten, kennen aber die Standardaweichung nicht. Buch Norusis, S. 235 f. 25
T-Statistik Formel: Stichprobenmittel Mittel der Grundgesamtheit t = s n s ist die Std.Abw. der Stichprobe Der ganze Teil ist die Std.Abw der Streuung aller möglichen Stichproben = Std.Err. der Stichprobenmittel 26
Die T-Statistik Basiert auf der t-verteilung Die Verteilung verändert sich nach Anzahl n Um die richtige Verteilung zu finden, braucht es die Freiheitsgrade 27
Die Berechnung zum Beispiel ist im Buch auf S. 240 zu finden. T = (47-40)/0.49 = 14.3 28
T- Verteilung 0.4 Normal t.df2 t.df9 0.3 0.2 0.1 0.0-3 -2-1 0 1 2 3 x 29
Degrees of freedom (df) Die Anzahl von Stichprobenwerten, die frei variieren können 10 6 9 7? x = 8 Eine Restriktion Freiheitsgrade = n - 1 40 30
Ein t-wert von 14.3? Was bedeutet dieser Wert bei 436 Freiheitsgraden? Kontrolle auf Tabelle 31
Vorgehen in SPSS S. 240 Script 32
Histogramm 33
Ist die Verteilung normal? Aufgrund des visuellen Eindrucks eher nicht Überprüfung mit Shapiro-Wilk s und Kolmogorov-Smirnov (K-S) Test -> Explore-Befehl Script S. 264 34
Zentraler Grenzwertsatz Genug grosse Stichproben (Faustregel > 30) streuen in ihren Mittelwerten approximativ normal. Dabei muss die Variable der Gesamtpopulation nicht normal verteilt sein. 35
Diskussion der Ergebnisse Statistik bei einer Stichprobe Number of hours worked last week N Mittelwert Standarda bweichung Standardfehl er des Mittelwertes 437 47.00 10.207.488 Test bei einer Sichprobe Number of hours worked last week Testwert = 40 95% Konfidenzintervall Mittlere der Differenz T df Sig. (2-seitig) Differenz Untere Obere 14.326 436.000 6.995 6.04 7.96 36
Konfindenzintervalle I Aufgrund der hohen Signifikanz können wir davon ausgehen, dass die Hochschulabgänger mehr als 40 Stunden arbeiten. Aber: Wieviele Stunden arbeiten sie nun? 37
Konfidenzintervalle II Aufgrund unserer Daten könnten wir von 47 Stunden ausgehen. Das ist die beste Vermutung, die aus dem Mittel der Stichprobe abgeleitet ist. Aufgrund des Standardfehler wissen wir, dass die Stichproben eine Std.Abw. von. 488 haben 38
Konfidenzintervalle III Im Beispiel haben wir ein 95%-iges Konfidenzintervall. Dh. 95% der Fälle liegen innerhalb von ca. 2 Std.Abw. 39
Konfidenzintervall IV Jetzt können wir rechnen: 2 x 0.48 = 0.96 Mittelwert von 47 0.96 = 46.04 Mittelwert von 47+ 0.96 = 47.96 40
Aufgaben Aufg. 2 S. 250 Aufg. Statistics Coach (brakes.sav) 41
T-Test mit abhängigen (gepaarten) Ausgangslage: Stichproben Typischwerweise vorher - nachher 42
Beispiel Marathonläufer: Ein Team erforschte, ob bei Langstreckenläufer der β-endorphin-werte Nach einem Lauf höher sind als vorher.! β-endorphin-werte!! vorher nachher diff!!! 4.30 29.60 25.30! 4.60 25.10 20.50! 5.20 15.50 10.30! 5.20 29.60 24.40! 6.60 24.10 17.50! 7.20 37.80 30.60! 8.40 20.20 11.80! 9.00 21.90 12.90! 10.40 14.20 3.80! 14.00 34.60 20.60! 17.80 46.20 28.40!! Gesamtergebnis! Mittelwert! 8.43 27.16 18.74! N! 11 11 11!! 43
Lösungsansatz Wenn es keinen Unterschied gibt, dann müssen die Mittelwerte von vorher und nachher gleich sein, die Differenz demnach = 0 Wenn die Differenz stark von 0 abweicht, dann ist der Unterschied nicht mehr zufällig 44
Umsetzung mit SPSS T-Test mit einer Stichprobe T-Test mit gepaarten Stichproben 45
Aufgabe Ein Forschungsteam möchte wissen, ob eine Diät erfolgreich war und ob durch die Diät das Tryglyceride-Niveau bei den Partizipienten signifikant gesunken ist. Datensatz: dietstudy.sav 46
T-Test mit 2 unabhängigen Stichproben Gaby möchte untersuchen, ob ihre neue Behandlung eine Linderung für Stottern bringt Sie nimmt zwei Gruppen. Die eine bekommt ein Placebo, die andere Gruppe die neue Behandlung. Nach dem Experiment werden alle Testpersonen einem Test unterzogen. Die Stärke des Stotterns wird mit einem Wert 1 bis 10 vergeben, wobei 10 starkes Stottern bedeutet. Datensatz: stottern.sav 47
Erinnerung Standardfehler = s der Stichprobe n Dies ist die geschätzte Standardabweichung von allen möglichen gleichen Stichproben, t errechnet sich dann: t = Mittel der Stichprobe - Mittel der Grundgesamtheit Standardfehler 48
Was heisst das für unabhängige Stichproben Wenn beide Gruppen den gleichen Mittelwert haben, ist die Differenz der Mittel = 0 Es wird nicht mehr der Standardfehler des Mittelwertes errechnet sondern der Standardfehler der Mittelwert- Unterschiede 49
In einer Population mit einem Mittel von 0 streuen sich mögliche Stichproben. Eine Differenz von 2 ist gemäss der Darstellung sehr sehr selten. 50
Berechnung von t (x 1 x 2 ) 0 s 1 2 n 1 + s2 2 n 2 51
SPSS-Output Gruppenstatistiken stottern gruppe 1 2 N Standardfe Standardab hler des Mittelwert weichung Mittelwertes 10 9.40.699.221 10 7.20 1.874.593 Test bei unabhängigen Stichproben stottern Varianzen sind gleich Varianzen sind nicht gleich Levene-Test der Varianzgleichheit T-Test für die Mittelwertgleichheit 95% Konfidenzintervall Mittlere Standardfehle der Differenz F Signifikanz T df Sig. (2-seitig) Differenz r der Differenz Untere Obere 5.444.031 3.479 18.003 2.200.632.871 3.529 3.479 11.459.005 2.200.632.815 3.585 52
Aufgabe Vergleich TV-Stunden - Internetgebrauch 53
Varianzanalyse (einfaktoriell) Vergleich von mehr als 2 Gruppen über eine numerische Variable 54
Ausgangslage Number of hours worked last week Less than HS High school Junior college Bachelor Graduate Gesamt ONEWAY deskriptive Statistiken 95%-Konfidenzintervall für Standardab Standardf den Mittelwert N Mittelwert weichung ehler Untergrenze Obergrenze Minimum Maximum 111 45.03 10.138.962 43.12 46.93 15 87 808 44.95 10.723.377 44.21 45.69 6 89 131 45.69 11.669 1.020 43.67 47.70 20 89 286 46.37 10.413.616 45.16 47.58 15 89 151 48.19 9.729.792 46.62 49.75 24 80 1487 45.62 10.647.276 45.08 46.16 6 89 Datensatz: gssft.sav 55
Frage und Hypothese Gibt es einen Unterschied zwischen den Ausbildungsgruppen bezüglich Arbeitszeit? Nullhypothese: Die Mittelwerte der einzelnen Gruppen unterscheiden sich nicht 56
57
Streuung innerhalb der Gruppen ist klein 58
Streuung zwischen den Gruppen ist klein 59
Resultat Number of hours worked last week Zwischen den Gruppen Innerhalb der Gruppen Gesamt ONEWAY ANOVA Quadrats Mittel der umme df Quadrate F Signifikanz 1557.919 4 389.480 3.459.008 166892.2 1482 112.613 168450.1 1486 60
F-Verteilung Die F-Verteilung wird nur zum Testen verwendet, etwa bei der Varianzanalyse, um festzustellen, ob die Grundgesamtheiten zweier Stichproben die gleiche Varianz haben. (http://de.wikipedia.org/wiki/f-verteilung) 61
Bedingungen für ANOVA Unabhängigkeit der Gruppen Normalverteilung Varianzgleichheit Vgl. S. 307 62
Wie weiter Die Null-Hypothese, dass die Gruppen- Mittelwerte gleich sind, konnte verworfen werfen. Die Varianzanalyse sagt aber nichts darüber aus, wo die Unterschiede liegen -> Weitere Verfahren 63
Bonferroni-Methode Mit ihrer Hilfe wird die Alphafehler-Kumulierung bei multiplen Paarvergleichen neutralisiert. 64
Alpha-Fehler Je mehr Tests durchgeführt werden, desto "überhöhter" sind die üblichen Signifikanzangaben. Mit einem einzigen Test und einem Alpha von 0,05 ist die Wahrscheinlichkeit, die Null-Hypothese korrekterweise zu akzeptieren (1-0,05) = 0,95. Führen wir zwei (unabhängige) Tests durch, so wird diese Wahrscheinlichkeit deutlich reduziert: 0,95 x 0,95 = 0,90, was eine ebenso deutliche Änderung des entsprechenden Alpha-Werts von 0,05 auf 0,1 bedeutet. Diese Fehlerquelle ist allgemein als Alpha-Fehler- Kumulierung bekannt. 65
Alpha-Fehler Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei 2maligem Würfeln mindestens 1 mal "6" zu werfen? Wir können die günstigen und möglichen Fälle abzählen (kompliziert) oder so überlegen: Die Wahrscheinlichkeit für "0 mal 6" beträgt 5/6 5/6 = 25/36. "Mindestens 1 mal 6" ist das Gegenereignis dazu, also P(mind. 1mal 6) = 1 - P(0mal 6) = 1-25/36 = 11/36. 66
Inkonsistenzen Angenommen jemand will die Erwartungswerte vergleichen. Beim paarweisen Test werden alle Nullhypothesen nicht abgelehnt, nur die Hypothese wird abgelehnt. 67
Resultate des Tests Abhängige Variable: Number of hours worked last week Bonferroni (I) Highest degree Less than HS High school Junior college Bachelor Graduate (J) Highest degree High school Junior college Bachelor Graduate Less than HS Junior college Bachelor Graduate Less than HS High school Bachelor Graduate Less than HS High school Junior college Graduate Less than HS High school Junior college Bachelor Mehrfachvergleiche *. Die Differenz der Mittelwerte ist auf dem Niveau.05 signifikant. Mittlere Standardf 95%-Konfidenzintervall Differenz (I-J) ehler Signifikanz Untergrenze Obergrenze.079 1.074 1.000-2.94 3.10 -.660 1.369 1.000-4.51 3.19-1.340 1.187 1.000-4.68 2.00-3.158 1.327.174-6.89.57 -.079 1.074 1.000-3.10 2.94 -.739 1.000 1.000-3.55 2.07-1.419.730.521-3.47.63-3.237*.941.006-5.88 -.59.660 1.369 1.000-3.19 4.51.739 1.000 1.000-2.07 3.55 -.680 1.120 1.000-3.83 2.47-2.498 1.267.488-6.06 1.06 1.340 1.187 1.000-2.00 4.68 1.419.730.521 -.63 3.47.680 1.120 1.000-2.47 3.83-1.818 1.067.887-4.82 1.18 3.158 1.327.174 -.57 6.89 3.237*.941.006.59 5.88 2.498 1.267.488-1.06 6.06 1.818 1.067.887-1.18 4.82 68
Aufgabe Datensatz antisemitismus.sav 69
70
Im Folgenden soll mit Hilfe einer einfaktoriellen Varianzanalyse untersucht werden, ob die Reaktionen von Personen unterschiedlichen Bildungsniveaus auf diese Aussage signifikant voneinander verschieden sind. Hierzu werden die Befragten in Abhängigkeit von ihren höchsten Schulabschlüssen in Gruppen unterteilt. Der höchste von den Befragten erreichte Schulabschluß ist in der Variablen bildung angegeben. 71
Stichprobengrösse http://www.arnsberg.de/buergerpanel/bestimmung-stichprobengroesse.pdf 72
Mann-Whitney U-Test Test für zwei unabhängige Stichproben Alternative zum t-test für unabhängige Stichproben 73
Formel 74
Beispiel Statistiken Rank of wirkung a N Summe b N Summe Gültig Fehlend Gültig Fehlend 4 0 10.500 4 0 25.500 U1 = 10.5-((4*5)/2) =.5 75
Output in SPSS Ränge wirkung medi a b Gesamt N Mittlerer Rang Rangsumme 4 6.38 25.50 4 2.63 10.50 8 Statistik für Test b Mann-Whitney-U Wilcoxon-W Z Asymptotische Signifikanz (2-seitig) Exakte Signifikanz [2*(1-seitig Sig.)] wirkung.500 10.500-2.205.027.029 a a. Nicht für Bindungen korrigiert. b. Gruppenvariable: medi 76
Approximation For large samples, the normal approximation: can be used, where z is a standard normal deviate whose significance can be checked in tables of the normal distribution. m U and σ U are the mean and standard deviation of U if the null hypothesis is true, and are given by All the formulae here are made more complicated in the presence of tied ranks, but if the number of these is small (and especially if there are no large tie bands) these can be ignored when doing calculations by hand. The computer statistical packages will use them as a matter of routine. Note that since U 1 + U 2 = n 1 n 2, the mean n 1 n 2 /2 used in the normal approximation is the mean of the two values of U. Therefore, you can use U and get the same result, the only difference being between a left-tailed test and a right-tailed test. 77
Relation to other tests The U test is useful in the same situations as the independent samples Student's t-test, and the question arises of which should be preferred. U remains the logical choice when the data are ordinal but not interval scaled, so that the spacing between adjacent values cannot be assumed to be constant. It is much less likely than the t test to give a spuriously significant result because of one or two outliers. 78
Wilcoxon-Test Vergleich von zwei abhängigen Stichproben Beispiel Alphasan Betasan (Zöfel S. 231) Norusis S. 391 79
Kruskal und Wallis H-Test Kruskal-Wallis-Test aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie Wechseln zu: Navigation, Suche Der Kruskal-Wallis-Test (H-Test) ist ein parameterfreier statistischer Test, mit dem im Rahmen einer Varianzanalyse verglichen wird, ob sich verschiedene unabhängige Stichproben (Gruppen) hinsichtlich einer ordinalskalierten Variable unterscheiden. Er ähnelt einem Mann-Whitney-U-Test und basiert wie dieser auf Rangplatzsummen, mit dem Unterschied, dass er für den Vergleich von mehr als zwei Gruppen angewendet werden kann. Die Nullhypothese H 0 lautet: Zwischen den Gruppen besteht kein Unterschied. Als Prüfgröße des Kruskal-Wallis-Tests wird ein sogenannter H-Wert berechnet. Der H-Wert wird wie folgt gebildet: [1] Der Rang R i für jede der n Beobachtungen in der Vereinigung der Stichproben wird bestimmt. Daraus werden dann die Rangsummen S h für die einzelnen Gruppen und daraus die Teststatistik errechnet. Diese folgt einer Chi-Quadrat-Verteilung. Die Freiheitsgrade (Df) berechnen sich nach Df=k-1, wobei k die Anzahl der Klassen (Gruppen) ist. Die berechnete Prüfgröße H wird mit einer theoretischen Größe aus der Chi-Quadrat- Verteilung für eine gewählte Irrtumswahrscheinlichkeit verglichen. Ist der errechnete H-Wert größer als der H-Wert aus der Chi-Quadrat-Tabelle, wird H 0 verworfen, es besteht also ein signifikanter Unterschied zwischen den Gruppen. 80
Lineare Regression Die Regressionsrechnung dient dazu, die Art des Zusammenhanges zw. 2 Variablen aufzuzeigen und Möglichkeiten anzubieten, den Wert einer (abhängigen) Variablen aus den Werten einer andern (unabhängigen) Variablen vorherzusagen. 81
Die beste Gerade finden 82
Methode der kleinsten Quadratsumme (KQ-Summe) 83
Methode der kleinsten Quadratsumme II Hier werden die senkrechten Abstände der einzelnen Punkte von der Geraden bestimmt. Dabei werden diese quadriert um negative Vorzeichen zu eliminieren. Anschliessend wird die Summe der quadrierten Abstände berechnet und es wird die am besten angepasste Gerade ausgewählt, bei der die Summe der quadrierten Abstände am kleinsten ist. 84
Regressionsgleichung y = a + bx a: Achsenabschnitt (Ordinatenabschnitt) b: Steigung (Regressionskoeffizient) Beispiel: life expectancy = 90-(0.70 * birthrate) 85
Berechnung in SPSS Modell 1 (Konstante) Births per 1000 population, Koeffizienten a Nicht standardisierte Koeffizienten a. Abhängige Variable: Female life expectancy Standardisie rte Koeffizienten Standardf B ehler Beta T Signifikanz 89.985 1.765 50.995.000 -.697.050 -.968-13.988.000 Steigung Achsenabschnitt 86
Werte vorhersagen y = a + bx predicted life expectency = 90+(-)(0.697 x birthrate) Beispiel: wie hoch ist die Lebenserwartung bei einer Geburtsrate von 11 (pro 1000) Predicted life expectency = 90-(.697 x 11) = 82.21 Jahre 87
Aufgabe Datensatz bank.de Erstellt eine Regression für die Variablen: Einstiegsgehalt (unabhängige Var) und Ausbildung (abhängige Var.) Berechnet das geschätzte Gehalt bei einer Ausbildungszeit von 10 Jahren 88
Hypothesen Test Bei unseren Daten handelt es sich um eine Stichprobe Wir wollen eine Aussage über die Grundgesamtheit machen H0 = der Regressionskoeffizient in der Grundgesamtheit ist Null 89
Erklärung t = Stichprobenmittel Mittel der Grundgesamtheit s Modell 1 s ist der Standardfehler des Regressionskoeffizien ten (Steigung der Gerade) (Konstante) Births per 1000 population, Koeffizienten a Nicht standardisierte Koeffizienten a. Abhängige Variable: Female life expectancy Standardisie rte Koeffizienten Standardf B ehler Beta T Signifikanz 89.985 1.765 50.995.000 -.697.050 -.968-13.988.000 t = -.70/.05 = -14 N.B. die Freiheitsgrade wären Anzahl Fälle der abhängigen Variable - 2 90
Konfidenzintervalle Modell 1 (Konstante) Births per 1000 population, Nicht standardisierte Koeffizienten a. Abhängige Variable: Female life expectancy Koeffizienten a Standardisie rte Koeffizienten 95%-Konfidenzintervall für B Standardf B ehler Beta T Signifikanz Untergrenze Obergrenze 89.985 1.765 50.995.000 86.173 93.797 -.697.050 -.968-13.988.000 -.805 -.590 91
Vorhersage der Werte für die Grundgesamtheit Vorhersage der Mittelwerte Vorhersage einzelner Werte 92
Vorgehen in SPSS 93
Neue Variablen werden berechnet 94
Streudiagramm für die Mittel 95
Streudiagramm für einzelne Werte 96
97
98
99