Übungen: Wahrscheinlichkeitsrechnung, Zufallsvariablen & Co. Woche 1-3

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1 Wahrscheinlichkeitsrechnung Zufallsvariable Woche 1-3 Wahrscheinlichkeitsfunktion einer diskreten ZV Verteilungsfunktion einer diskreten ZV Erwartungswert und Varianz einer diskreten ZV 1) Die Wirtschaftsforschungsinstitute prognostizieren das Wirtschaftswachstum. Ein Experte hält einen Aufschwung und eine Stagnation für gleich wahrscheinlich. Einen Abschwung hält er für doppelt so wahrscheinlich wie einen Aufschwung. a) Geben Sie für die drei Ereignisse die Wahrscheinlichkeiten an. b) Was ist das Komplementärereignis zum Abschwung? 2) Sie führen ein Zufallsexperiment des zweimaligen Werfens einer 2- -Münze durch. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass erscheint? a) zweimal Zahl b) mindestens einmal Zahl c) keinmal Zahl 3) A sei das Ereignis, dass ein Bochumer Studierenden-Haushalt mit einer Mikrowelle ausgestattet ist. B sei das Ereignis, dass ein zufällig ausgewählter Student in einem Haushalt mit Spülmaschine lebt. Es gilt: P(A)=, P(B)=, P(A B)=. Berechnen und interpretieren Sie die Wahrscheinlichkeit der folgenden Ereignisse: a) A, B b) A B c) A B 4) Das Mikrofon der Professorin ist ausgefallen. In der Mikrofontasche liegen 8 Ersatzbatterien, von denen allerdings zwei schon leer sind. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, beim ersten Versuch eine funktionstüchtige Batterie herauszugreifen? b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, beim zweiten Versuch eine funktionstüchtige Batterie herauszugreifen, wenn zuerst eine leere gezogen wurde (ohne Zurücklegen)? 1

2 5) Die drei Fahrstühle im Gebäude AW Lennershofstraße 140½ arbeiten vollständig unabhängig voneinander und haben eine Ausfallwahrscheinlichkeit von 0,05 0,1 und 0,15. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, a) dass alle Fahrstühle ausfallen, b) dass kein Fahrstuhl ausfällt, c) dass mindestens einer funktioniert? 6) Welche der genannten Phänomene können zweckmäßig durch eine diskrete oder durch eine stetige Zufallsvariable beschrieben werden? a) Anzahl der Sonnentage auf Mallorca, b) Anzahl der Raucher im Audimax, c) Benzinverbrauch eines Pkw in Litern je 100 km, d) Gewicht einer Person, e) Wartezeit an der Bushaltestelle, f) Quadratmeterpreis einer Mietwohnung, g) Anzahl der ausgegebenen Mensaessen pro Tag. 7) In der Grafik ist die Wahrscheinlichkeitsfunktion f(x) für die Zufallsvariable Anzahl Wappen bei vier Würfen angegeben. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau 2 mal Wappen zu werfen? b) Wie groß ist die Summe aller Wahrscheinlichkeiten? c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit höchstens 2 mal Wappen zu werfen? d) Skizzieren Sie die Verteilungsfunktion F(x) der Zufallsvariablen Anzahl Wappen. Anzahl Wappen bei 4 Würfen 40 % 35 % % 25 % % 15 % 10 % 5 % %

3 Achtung: Der Häufigkeiten beim 1. und 5. Balken sind gerundet, eigentlich sind es 6,25. 8) Werfen Sie mal einen Würfel (bzw. stellen Sie sich vor, Sie hätten mal geworfen und notieren Sie jeweils das Ergebnis. Skizzieren Sie die Wahrscheinlichkeitsfunktion und die Verteilungsfunktion der diskreten Zufallsvariable Augenzahl. 9) Eine Bank bieten eineanlagemöglichkeit mit folgenden diskreten Renditechancen (in %) an: Rendite x i in % Wahrscheinlichkeitsfunktion f(x i ) 0,1 0,3 0,4 0,2 Berechnen Sie den Erwartungswert und die Varianz und die Standardabweichung der Rendite. 10) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von vier Geschwistern a) alle vier Jungen sind? b) der Älteste ein Junge und alle folgenden Mädchen sind? c) die drei Ältesten Jungen und das Jüngste ein Mädchen ist? d) zwei Jungen und zwei Mädchen sind? 3

4 Woche 4-6 Dichtefunktion einer stetigen ZV Verteilungsfunktion einer stetigen ZV Erwartungswert und Varianz einer stetigen ZV 1) Der wöchentliche Pommes-Verbrauch (in Zentnern) der Mensa sei eine stetige Zufallsvariable mit folgender Dichtefunktion: f 0, 02x ( x) = 0, 08x 0 + 0, 1 + 0, 6 für 0 x 5 für 5 < x 7, 5 sonst. Berechnen Sie bzw. lesen Sie aus der Dichtefunktion oder aus der Verteilungsfunktion ab: a. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, zwischen 5 und 7,5 Zentner Pommes zu verbrauchen? b. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, höchstens 5 Zentner Pommes zu verbrauchen? c. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mindestens 5 Zentner Pommes zu verbrauchen? d. F(5)? e. P(1 X 5)? f. F(5)-F(1)? g. 1. Quartil? h. 3. Quartil? i. Median? 4

5 0,25 0,2 0,15 f(x) 0,1 0, x F(x) 1,1 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0, x 2) Die Dichtefunktion einer stetigen Zufallsvariablen Wartezeit auf den Bus sei f(x)=0,005x für 0 X 20. a) Schätzen Sie aus der Grafik die Wahrscheinlichkeit zwischen 5 und 15 Minuten zu warten ab. b) Berechnen Sie die funktionale Form der Verteilungsfunktion. c) Schätzen Sie aus der Grafik die Wahrscheinlichkeit, höchstens 5 Minuten zu warten ab. d) Berechnen Sie den Erwartungswert der Zufallsvariablen Wartezeit. e) Wo liegt das 1. Quartil, das 3. Quartil und der Median? f) Ist die Verteilung linkssteil oder rechtssteil? Stimmt das Größenverhältnis von Median zu Mittelwert? 5

6 f(x) 0,11 0,1 0,09 0,08 0,07 0,06 0,05 0,04 0,03 0,02 0, x 3) Die Dichtefunktion einer Zufallsvariable sei 0, 15 f (x) = 0, 05 0 Berechnen Sie den Erwartungswert der Zufallsvariable. für für für 0 x 5 5 < x 10 sonst 4) Gegeben sei ein Bestand von 1000 Risiken einer Versicherung. Für jedes Risiko sei die Eintrittswahrscheinlichkeit für einen Schaden 0,1. Es soll angenommen werden, dass nur Schäden zwischen 1 und auftreten. Diese seien (diskret) gleichverteilt. Die Einzelwahrscheinlichkeit für den Einzelschaden X i des i-ten Risikos sind demnach 0, 9 0, 1 ( X = k) = P i F(x) 1,1 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0, für für für k = 0 Euro k = 1,2,...,30000 Euro sonst Berechnen Sie den Erwartungswert des Einzelschadens. x 6

7 Woche 7-9 Datei: einkomm.sav und einkomm stich.sav Binomialverteilung Gegeben sei eine Erhebung von 880 Personen hinsichtlich folgender Variablen: v1 Alter Schulabschluss (1=Volksschule, 2=Mittlere Reife, 3=Fachhochschulreife, v2 4=Abitur) v3 Monatliches Nettoeinkommen v4 Nummer v5 laufende Nummer in einer Stichprobe vom Umfang 40 v6 Indikatorvariable für Element in der i-ten Stichprobe, i=1,...,22 v7 Erhebungsgebiet (0=West, 1=Ost) v8 Geschlecht (0=männlich, 1=weiblich) v9 Familienstand (0=verheiratet, 1=nichtverheiratet) Ein Auszug aus der Daten-Datei ist unten angegeben. 7

8 v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 v8 v

9 usw. 1) Wie ist die Variable Erhebungsgebiet, Geschlecht und Familienstand verteilt? 2) Wie ist die Variable Alter, Schulabschluss und Monatliches Nettoeinkommen verteilt? 3) Es sei folgender SPSS-Ausdruck gegeben: Wie viele Frauen gibt es in der Stichprobe und wie viele Ost-Personen? Statistiken N Mittelwert Median Modus Summe Gültig Fehlend v7 v8 v ,36,36,41,00,00, v7 Gültig Gültige Kumulierte Häufigkeit Prozent Prozente Prozente ,5 63,5 63, ,5 36,5 100,0 Gesamt ,0 100,0 v8 Gültig Gültige Kumulierte Häufigkeit Prozent Prozente Prozente ,8 63,8 63, ,3 36,3 100,0 Gesamt ,0 100,0 v9 Gültig Gültige Kumulierte Häufigkeit Prozent Prozente Prozente ,6 58,6 58, ,4 41,4 100,0 Gesamt ,0 100,0 4) Wie viele nicht verheiratete gibt es in der Stichprobe? 9

10 5) Die Datei einkomm.sav enthält 880 Fälle. Interpretieren Sie diese 880 Fälle nun als Grundgesamtheit und ziehen Sie gedanklich 22 Stichproben im Umfang von je 40 ohne Zurücklegen aus der Grundgesamtheit und berechnen Sie die jeweiligen Summen der 0-1- Variablen v7 Erhebungsgebiet, v8 Geschlecht und v9 Familienstand. Das brauchen Sie übrigens nicht selber tun, denn in der Datei einkomm stich.sav ist das bereits gemacht worden: Aus den 880 Fällen sind 22 Stichproben vom jeweiligen Umfang 40 ohne Zurücklegen gezogen worden. Ohne Zurücklegen heißt, dass man unabhängige Zufallsexperimente hat! Jede der 22 Stichproben enthält die Summen der Variablen aus jeder 40er-Stichprobe, d.h. Stichprobe v7 (Summe Erhebungsgebiet Ost=1, West=0) v8 (Summe Geschlecht, männlich=0, weiblich=1) v9 (Summe Familienstand, verheiratet=0, nicht verheiratet=1)... 1 Summe der Variable v7 aus der 1. Stichprobe vom Umfang 40, z.b., wenn in der ersten Stichprobe 16 Ostpersonen sind, beträgt die Summe = 16 2 Summe der Variable v7 aus der 2. Stichprobe vom Umfang 40, z.b., wenn in der zweiten Stichprobe 11 Ostpersonen sind, beträgt die Summe = 11 Summe der Variable v8 aus der 1. Stichprobe vom Umfang 40 Summe der Variable v8 aus der 2. Stichprobe vom Umfang 40 Summe der Variable v9 aus der 1. Stichprobe vom Umfang 40 Summe der Variable v9 aus der 2. Stichprobe vom Umfang Summe der Variable v1 aus der 22. Stichprobe vom Umfang 40 Summe der Variable v8 aus der 22. Stichprobe vom Umfang 40 Summe der Variable v9 aus der 22. Stichprobe vom Umfang 40 Die SPSS-Ausgabe über die Summen der Variablen V7, V8, V9 in den 22 Stichproben ist unten angegeben. 10

11 v6 v7 v8 v ) Wenn Sie für das obige Beispiel eine beliebige Stichprobe vom Umfang 40 gezogen haben, wie groß sind dann die Parameter der entsprechenden Binomialverteilung z.b. für die Anzahl der Ostpersonen? 7) In den 22 Stichproben vom Umfang 40, wie viele Frauen können theoretisch in jeder Stichprobe mindestens und höchstens vorkommen? 8) Ist es wahrscheinlich, dass in einer Stichprobe gar keine Frau oder nur Frauen vorkommen? 9) Was würden Sie vermuten, wie viele Frauen im Schnitt in den 22 Stichproben vorkommen? 10) Betrachten Sie für die Datei einkomm stich.sav die Verteilung der Variable Summe Frauen. Wie viele Frauen kommen in den 22 Stichproben tatsächlich mindestens und höchstens vor? Welches ist eine typische Frauenanzahl in den Stichproben, d.h. welches ist der Erwartungswert der Frauenanzahl? 11

12 Gültig Gesamt v8 Gültige Kumulierte Häufigkeit Prozent Prozente Prozente 1 4,5 4,5 4,5 3 13,6 13,6 18,2 5 22,7 22,7 40,9 3 13,6 13,6 54,5 5 22,7 22,7 77,3 2 9,1 9,1 86,4 2 9,1 9,1 95,5 1 4,5 4,5 100, ,0 100,0 v8 5 4 Häufigkeit v ) Am häufigsten nämlich in 5 von 22 Stichproben kommen 13 bzw. 15 Frauen je Stichprobe vor. Hätten Sie diesen Wert auch vorab abschätzen können? 12) In den 22 Stichproben vom Umfang 40, wie viele Ostpersonen können theoretisch in jeder Stichprobe mindestens und höchstens vorkommen? 13) Ist es wahrscheinlich, dass in einer Stichprobe gar keine Ostperson oder nur Ostpersonen vorkommen? 12

13 14) Was würden Sie vermuten, wie viele Ostpersonen im Schnitt in den 22 Stichproben vorkommen? 15) Betrachten Sie für die Datei einkomm stich.sav die Verteilung der Variable Summe Ostpersonen. Wie viele Ostpersonen kommen in den 22 Stichproben tatsächlich mindestens und höchstens vor? Welches ist eine typische Ostpersonenanzahl in den Stichproben, d.h. welches ist der Erwartungswert der Ostpersonenanzahl? v7 Gültig Gesamt Gültige Kumulierte Häufigkeit Prozent Prozente Prozente 1 4,5 4,5 4,5 1 4,5 4,5 9,1 2 9,1 9,1 18,2 6 27,3 27,3 45,5 2 9,1 9,1 54,5 3 13,6 13,6 68,2 1 4,5 4,5 72,7 2 9,1 9,1 81,8 3 13,6 13,6 95,5 1 4,5 4,5 100, ,0 100,0 v Häufigkeit v ) Am häufigsten nämlich in 6 von 22 Stichproben kommen 13 Ostpersonen je Stichprobe vor. Hätten Sie diesen Wert von zwischen auch vorab schon abschätzen können? 17) In den 22 Stichproben vom Umfang 40, wie viele nicht verheiratete können theoretisch in jeder Stichprobe mindestens und höchstens vorkommen? 13

14 18) Ist es wahrscheinlich, dass in einer Stichprobe gar keine nicht verheiratete oder nur verheiratete vorkommen? 19) Was würden Sie vermuten, wie viele nicht verheiratete im Schnitt in den 22 Stichproben vorkommen? 20) Betrachten Sie für die Datei einkomm stich.sav die Verteilung der Variable Summe nicht verheiratete. Wie viele nicht verheiratete kommen in den 22 Stichproben tatsächlich mindestens und höchstens vor? Welches ist eine typische nicht verheirateten-anzahl in den Stichproben, d.h. welches ist der Erwartungswert der Anzahl der nicht verheirateten? v9 Gültig Gesamt Gültige Kumulierte Häufigkeit Prozent Prozente Prozente 1 4,5 4,5 4,5 1 4,5 4,5 9,1 1 4,5 4,5 13,6 3 13,6 13,6 27,3 1 4,5 4,5 31,8 4 18,2 18,2 50,0 4 18,2 18,2 68,2 3 13,6 13,6 81,8 1 4,5 4,5 86,4 2 9,1 9,1 95,5 1 4,5 4,5 100, ,0 100,0 v9 4 3 Häufigkeit v ) Am häufigsten nämlich in 4 von 22 Stichproben kommen 16 bzw. 17 nicht verheiratete je Stichprobe vor. Hätten Sie diesen Wert auch vorab schon abschätzen können? 14

15 Woche Datei: Normalgewicht.sav v1 v2 v3 v4 Standardnormalverteilung und Normalverteilung Standardisieren von Zufallsvariablen z 1-α/2 -Quantil Gewicht Standardnormalverteilte ZV Mondgewicht Wintergewicht 1000 Personen wurden hinsichtlich Ihres Gewichts befragt. Die wichtigsten Statistiken und die Häufigkeitstabelle des SPSS-Ausdrucks ist unten angegeben. v1 N Statistiken Gültig 1000 Fehlend 0 Mittelwert 64,22 Median 64,00 Modus 66 Standardabweichung 10,376 Schiefe,052 Standardfehler der Schiefe,077 Kurtosis,037 Standardfehler der Kurtosis,155 Perzentile 25 57, , ,00 15

16 v1 Gültig Gesamt Gültige Kumulierte Häufigkeit Prozent Prozente Prozente 1,1,1,1 2,2,2,3 1,1,1,4 3,3,3,7 2,2,2,9 2,2,2 1,1 3,3,3 1,4 2,2,2 1,6 6,6,6 2,2 7,7,7 2,9 11 1,1 1,1 4,0 11 1,1 1,1 5,1 5,5,5 5,6 9,9,9 6,5 16 1,6 1,6 8,1 13 1,3 1,3 9,4 10 1,0 1,0 10,4 17 1,7 1,7 12,1 28 2,8 2,8 14,9 17 1,7 1,7 16,6 31 3,1 3,1 19,7 24 2,4 2,4 22,1 41 4,1 4,1 26,2 37 3,7 3,7 29,9 37 3,7 3,7 33,6 29 2,9 2,9 36,5 39 3,9 3,9 40,4 38 3,8 3,8 44,2 34 3,4 3,4 47,6 29 2,9 2,9 50,5 31 3,1 3,1 53,6 46 4,6 4,6 58,2 38 3,8 3,8 62,0 40 4,0 4,0 66,0 32 3,2 3,2 69,2 35 3,5 3,5 72,7 35 3,5 3,5 76,2 29 2,9 2,9 79,1 26 2,6 2,6 81,7 29 2,9 2,9 84,6 23 2,3 2,3 86,9 19 1,9 1,9 88,8 17 1,7 1,7 90,5 8,8,8 91,3 17 1,7 1,7 93,0 12 1,2 1,2 94,2 10 1,0 1,0 95,2 13 1,3 1,3 96,5 5,5,5 97,0 2,2,2 97,2 5,5,5 97,7 4,4,4 98,1 5,5,5 98,6 5,5,5 99,1 1,1,1 99,2 3,3,3 99,5 1,1,1 99,6 1,1,1 99,7 1,1,1 99,8 1,1,1 99,9 1,1,1 100, ,0 100,0 16

17 1) Betrachten Sie die Häufigkeitstabelle und Häufigkeitsverteilung und das Histogramm der Variable v1 Gewicht. Ist die Verteilung schief oder symmetrisch? v Häufigkeit v1 Histogramm Häufigkeit v Mittelwert =64,22 Std.-Abw. =10,376 N =

18 2) Lesen Sie aus der SPSS-Ausgabe für die Variable v1 Gewicht die wichtigsten Kenngrößen der Verteilung ab. Wo liegt der Mittelwert, die Standardabweichung? 3) Betrachten Sie das Histogramm der Variable v1 Gewicht Vergleichen Sie die Balken mit der Linie der Dichtefunktion der Normalverteilung. Würden Sie die Variable Gewicht als normalverteilt ansehen? 4) Nehmen Sie an, dass eine Variable v2 Standardnormalverteilte ZV normalverteilt ist mit Erwartungswert 0 und Standardabweichung 1. Wie groß wäre dann theoretisch die Wahrscheinlichkeit, dass jemand eine Merkmalsausprägung im Intervall [-1;1] hat, d.h P(-1 X 1)= [-2;2] hat, d.h P(-2 X 2)= [-3;3] hat, d.h P(-3 X 3)= (- ;-1] hat, d.h. P(X -1)= (- ;-2] hat, d.h. P(X -2)= (- ;-3] hat, d.h. P(X -3)= (- ;1] hat, d.h. P(X 1)= (- ;2] hat, d.h. P(X 2)= (- ;3] hat, d.h. P(X 3)= 5) Betrachten Sie für die Variable v1 Gewicht die kumulierten Häufigkeiten in Prozent. Schätzen Sie aus der kumulierten Häufigkeitstabelle ab. Verwenden Sie dabei die Bedingung zum Standardisieren von ZV z = x µ bzw. x = z σ + µ : σ a. Welcher Anteil der Merkmalsträger erreicht höchstens einen Wert von x = 1 10, , 22 = 53, 84? b. Welcher Anteil der Merkmalsträger erreicht höchstens einen Wert von x = 2 10, , 22 = 43, 46? c. Welcher Anteil der Merkmalsträger erreicht höchstens einen Wert von x = 3 10, , 22 = 33, 08? d. Welcher Anteil der Merkmalsträger erreicht höchstens einen Wert von x = 1 10, , 22 = 74, 6? e. Welcher Anteil der Merkmalsträger erreicht höchstens einen Wert von x = 2 10, , 22 = 84, 98? f. Welcher Anteil der Merkmalsträger erreicht höchstens einen Wert von x = 3 10, , 22 = 95, 36? g. Bestimmen Sie das Gewicht, das 50% der Personen höchstens haben (Median). h. Bestimmen Sie das Gewicht, das 25% der Personen höchstens haben (1. Quartil). i. Bestimmen Sie das Gewicht, das 75% der Personen höchstens haben (3. Quartil). j. Bestimmen Sie das Gewicht, das 2,5% der Personen höchstens haben. 18

19 k. Bestimmen Sie das Gewicht, das 97,5% der Personen höchstens haben. 6) Ordnen Sie alle Aussagen zu: Das Gewicht, das 2,5% der Personen höchstens haben. Das Gewicht, das 97,5% der Personen höchstens haben. Das Gewicht, das 99,5% der Personen höchstens haben. Das Gewicht, das 0,5% der Personen höchstens haben. Das Gewicht, das die schwersten 2,5% der Personen mindestens haben. Das Gewicht, das die schwersten 0,5% der Personen mindestens haben. Z α/2 -Quantil für α=0,01. Z α/2 -Quantil für α=0,05. Z 1-α/2 -Quantil für α=0,01. Z 1-α/2 -Quantil für α=0,01. Z 1-α/2 -Quantil für α=0,05. Z 1-α/2 -Quantil für α=0,05. 7) Nehmen Sie an, dass die Variable v1 Gewicht normalverteilt ist mit Erwartungswert 64,22 und Standardabweichung 10,38. Verwenden Sie dabei die Bedingung zum Standardisieren von ZV z = x µ bzw. x = z σ + µ. Wie groß wäre dann theoretisch die Wahrscheinlichkeit, dass σ jemand ein Gewicht im Intervall [53,84;74,6] hat, d.h P(53,84 X 74,6)= [43,46;84,99] hat, d.h P(43,46 X 84,99)= [33,08;95,36] hat, d.h P(33,08 X 95,36)= (- ;53,84] hat, d.h. P(X 53,84)= (- ;43,46] hat, d.h. P(X 43,46)= (- ;33,08] hat, d.h. P(X 33,08)= 8) Betrachten Sie die Häufigkeitsverteilung der neuen Variable v2 Standardisierte ZV, die v1 64, 22 folgendermaßen berechnet wurde: v2 =. Vergleichen Sie die Gestalt der Verteilung, 10, 38 Erwartungswert und Standardabweichung von v2 mit der Variablen v1. 19

20 Statistiken v2 N Gültig 1000 Fehlend 0 Mittelwert -,0003 Median -,0212 Modus,17 Standardabweichung,99998 Schiefe,052 Standardfehler der Schiefe,077 Kurtosis,037 Standardfehler der Kurtosis,155 Perzentile 25 -, , ,

21 StandardisierteZV Gültig -2,82-2,72-2,62-2,53-2,43-2,33-2,24-2,14-2,05-1,95-1,85-1,76-1,66-1,56-1,47-1,37-1,27-1,18-1,08 -,98 -,89 -,79 -,70 -,60 -,50 -,41 -,31 -,21 -,12 -,02,08,17,27,36,46,56,65,75,85,94 1,04 1,14 1,23 1,33 1,42 1,52 1,62 1,71 1,81 1,91 2,00 2,10 2,20 2,29 2,39 2,58 2,68 2,77 2,97 3,35 3,54 Gesamt Gültige Kumulierte Häufigkeit Prozent Prozente Prozente 1,1,1,1 2,2,2,3 1,1,1,4 3,3,3,7 2,2,2,9 2,2,2 1,1 3,3,3 1,4 2,2,2 1,6 6,6,6 2,2 7,7,7 2,9 11 1,1 1,1 4,0 11 1,1 1,1 5,1 5,5,5 5,6 9,9,9 6,5 16 1,6 1,6 8,1 13 1,3 1,3 9,4 10 1,0 1,0 10,4 17 1,7 1,7 12,1 28 2,8 2,8 14,9 17 1,7 1,7 16,6 31 3,1 3,1 19,7 24 2,4 2,4 22,1 41 4,1 4,1 26,2 37 3,7 3,7 29,9 37 3,7 3,7 33,6 29 2,9 2,9 36,5 39 3,9 3,9 40,4 38 3,8 3,8 44,2 34 3,4 3,4 47,6 29 2,9 2,9 50,5 31 3,1 3,1 53,6 46 4,6 4,6 58,2 38 3,8 3,8 62,0 40 4,0 4,0 66,0 32 3,2 3,2 69,2 35 3,5 3,5 72,7 35 3,5 3,5 76,2 29 2,9 2,9 79,1 26 2,6 2,6 81,7 29 2,9 2,9 84,6 23 2,3 2,3 86,9 19 1,9 1,9 88,8 17 1,7 1,7 90,5 8,8,8 91,3 17 1,7 1,7 93,0 12 1,2 1,2 94,2 10 1,0 1,0 95,2 13 1,3 1,3 96,5 5,5,5 97,0 2,2,2 97,2 5,5,5 97,7 4,4,4 98,1 5,5,5 98,6 5,5,5 99,1 1,1,1 99,2 3,3,3 99,5 1,1,1 99,6 1,1,1 99,7 1,1,1 99,8 1,1,1 99,9 1,1,1 100, ,0 100,0 21

22 Histogramm Häufigkeit ,00 0,00 2,00 4,00 Mittelwert =-2,89E-4 Std.-Abw. =1,00 N =1.000 StandardisierteZV Tragen Sie folgende Maße für die Variablen v1 und v2 in die Tabelle ein: V1 Gewicht V2 Standardisierte ZV Erwartungswert Streuung 1. Quartil 3. Quartil Wölbung Schiefe 9) Auf dem Mond wiegen alle Menschen nur ein Siebtel des Gewichts auf der Erde. Bilden Sie eine neue Variable v3 Mondgewicht = 7 1 v. Vergleichen Sie über die Gestalt der Verteilung, Erwartungswert und Standardabweichung von v3 Mondgewicht mit der Variable v1 Gewicht. 22

23 Statistiken Mondgewicht N Gültig Fehlend Mittelwert Median Modus Standardabweichung Varianz Schiefe Standardfehler der Schiefe Kurtosis Standardfehler der Kurtosis ,1739 9,1429 9,43 1, ,197,052,077,037,155 Spannweite Minimum Maximum Perzentile ,43 5,00 14,43 8,1429 9, ,

24 Mondgewicht Gültig 5,00 5,14 5,29 5,43 5,57 5,71 5,86 6,00 6,14 6,29 6,43 6,57 6,71 6,86 7,00 7,14 7,29 7,43 7,57 7,71 7,86 8,00 8,14 8,29 8,43 8,57 8,71 8,86 9,00 9,14 9,29 9,43 9,57 9,71 9,86 10,00 10,14 10,29 10,43 10,57 10,71 10,86 11,00 11,14 11,29 11,43 11,57 11,71 11,86 12,00 12,14 12,29 12,43 12,57 12,71 13,00 13,14 13,29 13,57 14,14 14,43 Gesamt Gültige Kumulierte Häufigkeit Prozent Prozente Prozente 1,1,1,1 2,2,2,3 1,1,1,4 3,3,3,7 2,2,2,9 2,2,2 1,1 3,3,3 1,4 2,2,2 1,6 6,6,6 2,2 7,7,7 2,9 11 1,1 1,1 4,0 11 1,1 1,1 5,1 5,5,5 5,6 9,9,9 6,5 16 1,6 1,6 8,1 13 1,3 1,3 9,4 10 1,0 1,0 10,4 17 1,7 1,7 12,1 28 2,8 2,8 14,9 17 1,7 1,7 16,6 31 3,1 3,1 19,7 24 2,4 2,4 22,1 41 4,1 4,1 26,2 37 3,7 3,7 29,9 37 3,7 3,7 33,6 29 2,9 2,9 36,5 39 3,9 3,9 40,4 38 3,8 3,8 44,2 34 3,4 3,4 47,6 29 2,9 2,9 50,5 31 3,1 3,1 53,6 46 4,6 4,6 58,2 38 3,8 3,8 62,0 40 4,0 4,0 66,0 32 3,2 3,2 69,2 35 3,5 3,5 72,7 35 3,5 3,5 76,2 29 2,9 2,9 79,1 26 2,6 2,6 81,7 29 2,9 2,9 84,6 23 2,3 2,3 86,9 19 1,9 1,9 88,8 17 1,7 1,7 90,5 8,8,8 91,3 17 1,7 1,7 93,0 12 1,2 1,2 94,2 10 1,0 1,0 95,2 13 1,3 1,3 96,5 5,5,5 97,0 2,2,2 97,2 5,5,5 97,7 4,4,4 98,1 5,5,5 98,6 5,5,5 99,1 1,1,1 99,2 3,3,3 99,5 1,1,1 99,6 1,1,1 99,7 1,1,1 99,8 1,1,1 99,9 1,1,1 100, ,0 100,0 24

25 Mondgewicht Häufigkeit ,00 5,43 5,86 6,29 6,71 7,14 7,57 8,00 8,43 8,86 9,29 9,71 10,14 10,57 11,00 11,43 11,86 12,29 12,71 13,29 14,43 Mondgewicht v Häufigkeit v1 25

26 Histogramm Häufigkeit ,00 7,50 10,00 12,50 15,00 Mittelwert =9,17 Std.-Abw. =1,482 N =1.000 Mondgewicht 26

27 Tragen Sie folgende Maße für die Variablen v1 und v3 in die Tabelle ein: V1 Gewicht V3 Mondgewicht Erwartungswert Streuung 1. Quartil 3. Quartil Wölbung Schiefe 10) Alle untersuchten Personen sollen nun in Winterkleidung gewogen werden. Das Gewicht eines jeden erhöht sich um 2 kg. Betrachten Sie eine neue Variable v4 Wintergewicht = v Vergleichen Sie die Gestalt der Verteilung, Erwartungswert und Standardabweichung von v4 Wintergewicht mit der Variable v1 Gewicht. N Statistiken v1 Wintergewicht Gültig Fehlend 0 0 Mittelwert 64,22 66,2170 Median 64,00 66,0000 Modus 66 68,00 Standardabweichung 10,376 10,37582 Varianz 107, ,658 Schiefe,052,052 Standardfehler der Schiefe,077,077 Kurtosis,037,037 Standardfehler der Kurtosis,155,155 Spannweite 66 66,00 Minimum 35 37,00 Maximum ,00 Perzentile 25 57,00 59, ,00 66, ,00 73,

28 v Häufigkeit v1 Wintergewicht Häufigkeit ,00 40,00 43,00 46,00 49,00 52,00 55,00 58,00 61,00 64,00 67,00 70,00 73,00 76,00 79,00 82,00 85,00 88,00 91,00 95,00 103,00 Wintergewicht Tragen Sie folgende Maße für die Variablen v1 und v4 in die Tabelle ein: 28

29 Erwartungswert Streuung 1. Quartil 3. Quartil Wölbung Schiefe V1 Gewicht V4 Wintergewicht 11) Beschriften Sie in der untenstehenden Dichtefunktion einer standardnormalverteilten Zufallsvariable die jeweils die schraffierten und die nicht schraffierten Flächen mit ihrer Größe. a) b) f(z) f(z) 0,4 0,4 0,3 0,3 0,2 0,2 0,1 0, z z 0,4 f(z) 0,4 f(z) 0,3 0,3 0,2 0,2 0,1 0, z z c) d) 29

30 Woche Datei: einkomm.sav und einkomm stich.sav Konfidenzintervalle für den Mittelwert Konfidenzintervalle für den Anteilswert v1 Alter Schulabschluss (1=Volksschule, 2=Mittlere Reife, 3=Fachhochschulreife, v2 4=Abitur) v3 Monatliches Nettoeinkommen v4 Nummer v5 laufende Nummer in einer Stichprobe vom Umfang 40 v6 Indikatorvariable für Element in der i-ten Stichprobe, i=1,...,22 v7 Erhebungsgebiet (0=West, 1=Ost) v8 Geschlecht (0=männlich, 1=weiblich) v9 Familienstand (0=verheiratet, 1=nichtverheiratet) 1) Wie groß ist der Mittelwert der Variable v3 Einkommen in der Stichprobe der 880 Personen in der Datei einkommen.nsf? v3 N Statistiken Gültig 880 Fehlend 0 Mittelwert 1473,78 2) Betrachten Sie den SPSS-Ausdruck für das 95 % Konfidenzintervall und 99 % Konfidenzintervall für den Mittelwert des Einkommens. Wie lauten die Intervallgrenzen und welches Intervall ist länger? Deskriptive Statistik Statistik Standard fehler v3 Mittelwert 1473,78 20, , ,99 30

31 Median 1330,00 Varianz ,819 Standardabweichung 622,818 Minimum 260 Maximum 3580 Spannweite 3320 Interquartilbereich 770 Schiefe,962,082 Kurtosis 1,020,165 Deskriptive Statistik Standa rdfehle Statistik r v3 Mittelwert 1473,78 20,995 99% Konfidenzintervall Untergrenze 1419, ,98 Median 1330,00 Varianz ,819 Standardabweichung 622,818 Minimum 260 Maximum 3580 Spannweite 3320 Interquartilbereich 770 Schiefe,962,082 Kurtosis 1,020,165 3) Berechnen Sie das 95%-Konfidenzintervall und das 99%-Konfidenzintervall für den Mittelwert mit der Hand und vergleichen Sie die Ergebnisse mit denen von SPSS. 4) Wie groß ist der Anteilswert der Frauen in der Stichprobe der 880 Personen in der Datei einkommen.sav? v8 N Statistiken Gültig 880 Fehlend 0 Mittelwert,36 Summe 319 5) Betrachten Sie die SPSS-Ausgabe für das 95 % Konfidenzintervall und 99 % Konfidenzintervall für den Anteilswert an. Wie lauten die Intervallgrenzen und welches Intervall ist länger 31

32 Deskriptive Statistik Statistik Standardfehler v8 Mittelwert,36,016,33,39 Median,00 Varianz,231 Standardabweichung,481 Minimum 0 Maximum 1 Spannweite 1 Interquartilbereich 1 Schiefe,573,082 Kurtosis -1,675,165 Deskriptive Statistik Statistik Standardfehler v8 Mittelwert,36,016 99% Konfidenzintervall Untergrenze,32,40 Median,00 Varianz,231 Standardabweichung,481 Minimum 0 Maximum 1 Spannweite 1 Interquartilbereich 1 Schiefe,573,082 Kurtosis -1,675,165 6) Berechnen Sie das 95%-Konfidenzintervall und das 99%-Konfidenzintervall für den Anteilswert mit der Hand und vergleichen Sie die Ergebnisse mit denen von SPSS. 7) Interpretieren Sie nun die 880 Personen als Grundgesamtheit und ziehen Sie eine Teilstichprobe im Umfang von 40 aus der Grundgesamtheit. Berechnen Sie das Durchschnittsalter in der Teilstichprobe (Punktschätzung). (Trick, um das in SPSS durchzuführen: In der Datei einkomm.sav gibt es die Indiaktorvariable v6, die alle 40 Fälle um einen hochgezählt wird. Setzen Sie nun durch WERKZEUGE\FÄLLE AUSWÄHLEN die Indikatorvariabel v6=1. Wählen Sie dann ANALYSE\UNIVARIATE STATISTIKEN für die Variable v1 und Sie erhalten u.a. den Mittelwert für das Alter in der ersten (von 22) Stichprobe, die den Umfang 40 hat.) Lassen Sie sich auch das Konfidenzintervall ausgeben (Intervallschätzung). 32

33 Deskriptive Statistik v1 Standardfe Statistik hler Mittelwert 39,78 1,986 35,76 43,79 Median 38,00 Varianz 157,769 Standardabweichung 12,561 Minimum 19 Maximum 63 Spannweite 44 Interquartilbereich 20 Schiefe,275,374 Kurtosis -,892,733 8) Wiederholen Sie Aufgabe 7) sukzessive für die weiteren 21 Teilstichproben, d.h. zuerst die Indikatorvariable auf 2 setzen, dann das Konfidenzintervall ausgeben lassen, dann die Indikatorvariable auf 3 setzen usw...bis die Indikatorvariable letztendlich auf 22 gesetzt wird, so dass Sie letztendlich 22 95%-Konfidenzintervalle erhalten. (Trick, um das in SPSS viel viel schneller durchzuführen: Wählen Sie ANALYSE\DESKRIPTIVE STATISTIKEN/EXPLORATIVE DATENANALYSE und dort als Variable v1 Alter und als Gruppenvariable v6 Indikatorvariable. Klicken Sie beim Optionsschalter das 95%-Konfidenzintervall an und Sie erhalten die tabellarische Darstellung aller 22 Konfidenzintervalle. Deskriptive Statistik v6 Statistik Standardfehler v1 1 Mittelwert 39,78 1,986 35,76 43,79 2 Mittelwert 40,38 2,001 36,33 44,42 3 Mittelwert 40,73 1,910 36,86 44,59 4 Mittelwert 38,93 2,026 34,83 43,02 33

34 5 Mittelwert 41,30 1,919 37,42 45,18 6 Mittelwert 39,23 2,086 35,01 43,44 7 Mittelwert 39,08 1,611 35,82 42,33 8 Mittelwert 39,20 2,002 35,15 43,25 9 Mittelwert 40,38 1,490 37,36 43,39 10 Mittelwert 41,60 1,679 38,20 45,00 11 Mittelwert 37,53 1,525 34,44 40,61 12 Mittelwert 38,95 1,657 35,60 42,30 13 Mittelwert 39,58 1,800 35,93 43,22 14 Mittelwert 38,68 1,658 35,32 42,03 15 Mittelwert 39,13 1,741 35,60 42,65 16 Mittelwert 38,90 1,821 35,22 34

35 42,58 17 Mittelwert 39,55 2,082 35,34 43,76 18 Mittelwert 38,53 1,451 35,59 41,46 19 Mittelwert 38,93 1,878 35,13 42,72 20 Mittelwert 43,58 1,613 40,31 46,84 21 Mittelwert 38,20 1,790 34,58 41,82 22 Mittelwert 39,58 1,939 35,65 43,50 v1 Alter Bericht v6 Mittelwert N Standardabw eichung 1 39, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,515 35

36 17 39, , , , , , , , , , , ,266 Insgesamt 39, ,401 9) In der Tabelle sind für die 22 Teilstichproben vom Umfang 40 für die Variable Alter die Konfidenzintervallgrenzen angegeben. Welche Intervalle enthalten zufällig besonders alte Personen? Welche Intervalle enthalten zufällig besonders junge Personen? Sind die Intervalle alle gleich lang und wenn nicht, warum nicht? 10) Überdecken alle Intervalle den Mittelwert der Grundgesamtheit, d.h. das Durchschnittsalter der 880 Personen von 39,62 Jahren? 11) Welchen Schätzfehler würde man begehen, wenn man das Durchschnittsalter in der Grundgesamtheit anhand der Teilstichprobe Nr. 20 abschätzen wollte? Eine Überschätzung oder eine Unterschätzung des Alters in der Grundgesamtheit? 12) Wie viele verrutschte, für die Grundgesamtheit untypische 95%-Konfidenzintervalle, die den Mittelwert der Grundgesamtheit NICHT überdecken, würden Sie bei 22 Teilstichproben erwarten? 13) Wie viele verrutschte, für die Grundgesamtheit untypische 95%-Konfidenzintervalle, die den Mittelwert der Grundgesamtheit NICHT überdecken, würden Sie bei 100 Teilstichproben erwarten? 14) Wie viele verrutschte, für die Grundgesamtheit untypische 99%-Konfidenzintervalle, die den Mittelwert der Grundgesamtheit NICHT überdecken, würden Sie bei 100 Teilstichproben erwarten? 15) In unten stehender SPSS-Ausgabe sind % -Konfidenzintervalle für die Variable V1 Alter ausgegeben. Wie viele Konfidnezintervalle überdecken den wahren Mittelwert von 39,62 Jahren NICHT? 16) Wie viele verrutschte, für die Grundgesamtheit untypische 50%-Konfidenzintervalle, die den Mittelwert der Grundgesamtheit NICHT überdecken, würden Sie bei 100 Teilstichproben erwarten? Deskriptive Statistik 1 v6 1 2 Standardfe Statistik hler Mittelwert 39,78 1,986 50% Konfidenzintervall Untergrenze 38,42 41,13 Mittelwert 40,38 2,001 50% Konfidenzintervall Untergrenze 39,01 41,74 36

37 3 Mittelwert 40,73 1,910 50% Konfidenzintervall Untergrenze 39,42 42, Mittelwert 38,93 2,026 50% Konfidenzintervall Untergrenze 37,55 40,30 Mittelwert 41,30 1,919 50% Konfidenzintervall Untergrenze 39,99 42,61 Mittelwert 39,23 2,086 50% Konfidenzintervall Untergrenze 37,80 40,65 Mittelwert 39,08 1,611 50% Konfidenzintervall Untergrenze 37,98 40,17 Mittelwert 39,20 2,002 50% Konfidenzintervall Untergrenze 37,84 40,56 Mittelwert 40,38 1,490 50% Konfidenzintervall Untergrenze 39,36 41,39 Mittelwert 41,60 1,679 50% Konfidenzintervall Untergrenze 40,46 42,74 Mittelwert 37,53 1,525 50% Konfidenzintervall Untergrenze 36,49 38,56 Mittelwert 38,95 1,657 50% Konfidenzintervall Untergrenze 37,82 40,08 Mittelwert 39,58 1,800 50% Konfidenzintervall Untergrenze 38,35 40,80 Mittelwert 38,68 1,658 50% Konfidenzintervall Untergrenze 37,55 39,80 Mittelwert 39,13 1,741 50% Konfidenzintervall Untergrenze 37,94 40,31 37

38 16 Mittelwert 38,90 1,821 50% Konfidenzintervall Untergrenze 37,66 40, Mittelwert 39,55 2,082 50% Konfidenzintervall Untergrenze 38,13 40,97 Mittelwert 38,53 1,451 50% Konfidenzintervall Untergrenze 37,54 39,51 Mittelwert 38,93 1,878 50% Konfidenzintervall Untergrenze 37,65 40,20 Mittelwert 43,58 1,613 50% Konfidenzintervall Untergrenze 42,48 44,67 Mittelwert 38,20 1,790 50% Konfidenzintervall Untergrenze 36,98 39,42 Mittelwert 39,58 1,939 50% Konfidenzintervall Untergrenze 38,25 40,90 38

39 Woche 15 Datei: einkomm.sav und einkomm stich.sav Test auf Mittelwertunterschiede Test für den Erwartungswert Zweiseitige Tests Einseitige Tests v1 Alter Schulabschluss (1=Volksschule, 2=Mittlere Reife, 3=Fachhochschulreife, v2 4=Abitur) v3 Monatliches Nettoeinkommen v4 Nummer v5 laufende Nummer in einer Stichprobe vom Umfang 40 v6 Indikatorvariable für Element in der i-ten Stichprobe, i=1,...,22 v7 Erhebungsgebiet (0=West, 1=Ost) v8 Geschlecht (0=männlich, 1=weiblich) v9 Familienstand (0=verheiratet, 1=nichtverheiratet) 1) Wenn Sie testen wollen, ob in der Datei einkomm.sav die Ost- und Westpersonen ein unterschiedliches Einkommen haben, welche Hypothesen müssen Sie aufstellen? Wie heißt die Nullhypothese? Wie heißt die Gegenhypothese? 2) Betrachten Sie den SPSS-Ausdruck für den t-test auf Mittelwertunterschiede für die Variable Einkommen und die Gruppenvariable Erhebungsgebiet. Welchen Wert hat die t-test- Statistik? Sind die Mittelwertunterschiede signifikant? Muss die Nullhypothese abgelehnt werden? Gruppenstatistiken Einkommen v7 N Mittelwert Standarda bweichung Standardfehler des Mittelwertes v3 0=West ,70 648,523 27,405 1=Ost ,69 403,972 22,583 Test bei unabhängigen Stichproben v3 Varianzen sind gleich Varianzen sind nicht gleich Levene-Test der Varianzgleichheit T-Test für die Mittelwertgleichheit 95% Konfidenzintervall Mittlere Standardfehle der Differenz F Signifikanz T df Sig. (2-seitig) Differenz r der Differenz Untere Obere 64,702,000 12, , ,009 40, , ,666 14, ,637, ,009 35, , ,706 3) Berechnen Sie die t-test-statistik mit der Hand. 39

40 4) Wie lautet das t -Quantil und dem t -Quantil der Student-t-Verteilung für ein α 2 Signifikanzniveau α = 0,05. 1 α 2 5) Wenn Sie testen wollen, ob in der Datei einkomm.sav Frauen und Männer einen unterschiedlichen Schulabschluss haben, welche Hypothesen müssen Sie aufstellen? Wie heißt die Nullhypothese? Wie heißt die Gegenhypothese? Was kommt raus? V2=Schulabschluss (1=Volksschule, 2=Mittlere Reife, 3=Fachhochschulreife, 4=Abitur) Gruppenstatistiken Schulabschluss v8 N Mittelwe rt Standar dabweic hung Standardfehler des Mittelwertes v2 0=Mann 560 2,13 1,104,047 1=Frau 320 2,39 1,065,060 Test bei unabhängigen Stichproben v2 Varianzen sind gleich Varianzen sind nicht gleich Levene-Test der Varianzgleichheit T-Test für die Mittelwertgleichheit 95% Konfidenzintervall Mittlere Standardfehle der Differenz F Signifikanz T df Sig. (2-seitig) Differenz r der Differenz Untere Obere,495,482-3, ,001 -,257,076 -,407 -,107-3, ,855,001 -,257,076 -,406 -,109 6) In der Teilstichprobe Nummer 20 (Indikatorvariable v6=20) beträgt der Altersmittelwert x = 43,58 und die Standardabweichung s = 10, 2 Testen Sie für die Teilstichprobe Nummer 20, dass das Durchschnittsalter 39,62 Jahre (das war das Durchschnittsalter der Grundgesamtheit) beträgt. Die Gegenhypothese soll sein, dass das Durchschnittsalter ungleich 39,62 Jahre ist (zweiseitiger Test). Statistik bei einer Stichprobe Standardfehl N Mittelwert Standardabw eichung er des Mittelwertes v ,58 10,200 1,613 Test bei einer Sichprobe Testwert = % Konfidenzintervall der Differenz Mittlere T df Sig. (2-seitig) Differenz Untere Obere v1 2,452 39,019 3,955,69 7,22 40

41 7) Der Mittelwert in der Gesamtstichprobe beträgt 39,62 und die Standardabweichung 11,41, der Stichprobenumfang 880. Testen Sie für die Gesamtstichprobe, dass das Durchschnittsalter 38 Jahre beträgt. Die Gegenhypothese soll sein, dass das Durchschnittsalter ungleich 38 Jahre ist (zweiseitiger Test). Statistik bei einer Stichprobe Standardfehl N Mittelwert Standardabw eichung er des Mittelwertes v ,62 11,401,384 Test bei einer Stichprobe Testwert = 38 95% Konfidenzintervall der Differenz Mittlere T df Sig. (2-seitig) Differenz Untere Obere v1 4, ,000 1,622,87 2,38 41

42 Datei: einkomm.sav Test für den Anteilswert 1) Der Frauenanteil in der Stichprobe der Datei einkomm.nsf beträgt 36,2% Es wird allerdings behauptet, dass der Frauenanteil in der Stichprobe 40% beträgt. Testen Sie die Nullhypothese p=0,4 gegen die Gegenhypothese p<0,4, d.h., dass Frauen deutlich unterrepräsentiert sind (einseitiger Test) Deskriptive Statistik N Minimum Maximum Mittelwert Standardabw eichung v ,36,481 Gültige Werte (Listenweise) 880 Test bei einer Sichprobe Testwert = % Konfidenzintervall der Differenz Mittlere T df Sig. (2-seitig) Differenz Untere Obere v8-2, ,025 -,036 -,07,00 2) Ein Lieferant von Glühbirnen behauptet, dass höchstens 4% der Glühbirnen kaputt sind. In einer Stichprobe vom Umfang 300 werden allerdings 15 kaputte Birnen entdeckt. Ein skeptischer Kunde vermutet daraufhin eine höhere Ausschussquote. Prüfen Sie die Vermutung des Kunden bei einem Signifikanzniveau von 0,05. 42