diesem Kapitel beschäftigen wi uns mit de klassischen In bei de wi alles, was wi bishe an Metho- Nachfagetheoie, gelent haben, noch einmal anwenden und in Aktion seheden können. Gleichzeitig ist die Theoie de Konsumenten- eine wichtige Gundlage fü viele Pobleme in de nachfage de allgemeinen Gleichgewichtstheoie Finanzwissenschaft, cfl Klaus Schmidt 2001 VWL III (Somme 2001) 4-1 Pof. D. Klaus M. Schmidt 4 Theoie de Konsumentennachfage Liteatu: McKenna und Rees (1992), Chapte 7. Gavelle und Rees (1992), Chapte 4 A-C. MasColell, Whinston, Geen (1995), Chapte 3. 4.1 Einfühung und de Aushandelstheoie. 4.2 Die Mashallsche Nachfagefunktion Wi betachten das Nutzenmaximieungspoblem des Konsumenten:
nx nehmen an, daß die Nutzenfunktion des Konsumenten Wi monoton steigend und stikt quasikonkav ist. Dann steng Λ i = x Λ i (p; m); i = 1;:::;n x nennen x Λ i (p; m) die Mashallsche Nachfagefunktion Wi des Konsumenten und bezeichnen sie im folgenden mit wi die Mashallsche Nachfage wiede in die Nutzenfunktion Wenn einsetzen, ehalten wi eine Wetfunktion, nämlich VWL III (Somme 2001) 4-2 Pof. D. Klaus M. Schmidt x max ;:::;xn U (x 1;:::;x n ) 1 unte de Nebenbedingung i=1 p i x i = m aus Theoem 2.2 daß die Bedingungen este Odnung folgt zugehöigen Lagange Poblems notwendig und hinei- des chend fü die optimale Lösung sind. diese Bedingung nach x 1 ;:::;x n und gibt uns Auflösen optimale Konsumentscheidung des Konsumenten in Ab- die hängigkeit von Peisen und Einkommen: D i (p; m), (i = 1;:::;n). 4.3 Die indiekte Nutzenfunktion
maximal eeichbaen Nutzen des Konsumenten bei gegebenen den Peisen und Einkommen Funktion v(p; m) wid auch indiekte Nutzenfunktion Diese genannt. Sie gibt den höchsten Nutzen an, de bei VWL III (Somme 2001) 4-3 Pof. D. Klaus M. Schmidt U (x Λ ) = U (D 1 (p; m);:::;d n (p; m) v(p; m) : Peisen p und Budget m eeichba ist. Theoem 4.1 Die indiekte Nutzenfunktion ist 1) homogen vom Gade 0 in (p; m), 2) nicht steigend in p und 3) steigend in m. Beweis: 1) 2) 3)
p i ist negativ und betagsmäßig gleich dem Podukt nach de Nachfage nach Gut i und dem Genznutzen des aus De Beweis ist eine einfache Anwendung des Envelope Beweis: Theoems. dv Λ (p; m) = x Λ i (p; m) i dp kennen Sie dieses Resultat beeits?) Einsetzen und (Wohe von x Λ i (p; m) = D i(p; m) egibt: vewenden @m : Q.E.D. Wie veändet sich de höchste eeichbae Nutzen, Intuition: wenn p i um p i steigt? Die Peisehöhung veinget VWL III (Somme 2001) 4-4 Pof. D. Klaus M. Schmidt Theoem 4.2 (Roys Identität) Λ m) @vλ (p; @v m) (p; i (p; m) = : D @m i @p In Woten: Die Ableitung de indiekten Nutzenfunktion Einkommens. Außedem folgt aus dem Envelope Theoem: Λ (p; m) @v = @m Λ m) @vλ (p; @v m) (p; i (p; m) D = i @p
Einkommen des Konsumenten, das fü sonstige Güte das Vefügung steht, in este Näheung um p i x Λ i. zu Optimum ist de Genznutzen po Geldeinheit in allen Im gleich goß und gleich dem Genznut- Vewendungsaten eine zusätzlichen Einkommenseinheit. Also entspicht zen Nutzenvelust dem Podukt aus Einkommenssenkung de und Genznutzen des Einkommens ( @v @m ). ) Sie, daß eine Peisehöhung auch dazu füht, daß Beachten Konsument (nomaleweise) wenige von Gut i und dafü de von den andeen Güten konsumieen möchte. Roys meh sagt, daß wi diesen Effekt ignoieen können. Das Identität die indiekte Nutzenfunktion gegeben ist, ist es viel Wenn die Mashallsche Nachfagefunktion D i (p; m) übe leichte, Identität abzuleiten, als übe die Maximieung de (diekten) Roys Nutzenfunktion zu gehen. Cobb-Douglas Nutzenfunktion Beispiel: (x 1 ;x 2 ) = x ff 1 x 1 ff U VWL III (Somme 2001) 4-5 Pof. D. Klaus M. Schmidt ( p i x Λ i gilt abe nu bei maginalen Peisändeungen. Roys Identität kann auch wie folgt geschieben weden: D i (p; m) = m) @v(p; m) @v(p; = : @m i @p 2 Nutzenfunktion ist äquivalent zu (waum?) Diese (x 1 ;x 2 ) = ff ln x 1 + (1 ff)lnx 2 ~U
1 (p 1 ;p 2 ;m) = x Λ 1 = ffm D 1 p (1 ff)m = 2 p» ;p ff 1 ff ln ff (1 ff) +ln m ff ln p 1 (1 ff)lnp 2 = ;m) 2 1 ~v(p v(p 1 ;p 2 ;m) = e ~v(p 1;p 2 ;m) ff ff (1 ff) 1 ff m = ff 1p 1 ff p haben wi das Nutzenmaximieungspoblem Bishe des Konsumenten betachtet: (NMP) VWL III (Somme 2001) 4-6 Pof. D. Klaus M. Schmidt Mashallsche Nachfagefunktionen: D 2 (p 1 ;p 2 ;m) = x Λ 2 Indiekte Nutzenfunktion: Zeigen Sie die Eigenschaften aus Theoem 4.1. Leiten Sie D i (p 1 ;p 2 ;m) übe Roys Identität ab. wi den Nutzen wiede in Einheiten de uspünglichen Wenn messen wollen, dann müssen wi die indi- Nutzenfunktion ekte Nutzenfunktion etansfomieen und ehalten: : 2 4.4 Ausgabenminimieung x max ;x 2 ;:::;xn U (x 1;x 2 ;:::;x n ) 1
de Nebenbedingung: unte nx betachten wi die Konsumentscheidung aus eine andeen Jetzt Pespektive und fagen: Wie kann de Konsument Ausgaben minimieen, um ein gegebenes Nutzenniveau seine zu eeichen. x min ;x 2 ;:::;xn 1 nx i=1 p i x i U (x 1 ;x 2 ;:::;x n ) AMP ist das duale Poblem" zum NMP. In beiden Das geht es daum, die vohandenen Ressoucen so Poblemen NMP: das vohandene Budget soll zu einem möglichst Nutzen fühen. hohen AMP: de vogegebene Nutzen soll möglichst kostengünstig weden. eeicht Die beiden Pobleme vetauschen die Rolle von Zielfunktion Abe: und Nebenbedingung. VWL III (Somme 2001) 4-7 Pof. D. Klaus M. Schmidt i=1 p i x i» m Ausgabenminimieungspoblem (AMP): unte de Nebenbedingung: u effizient wie möglich einzusetzen:
weden sehen, daß beide Pobleme letztlich äquivalent Wi sind. ist es extem nützlich, mit beiden Poblemen nebeneinande Dennoch zu abeiten: die Mashallsche Nachfagefunktion D(p; m) die indiekte Nutzenfunktion v(p; m) die Hicksche Nachfagefunktion H(p; u) die Ausgabenfunktion m(p; u) seh ähnlich sind, sich abe daduch untescheiden, fomal daß die Rolle von Nebenbedingung und vetauscht sind. Beispiel: Gewinnmaximieung Zielfunktion vesus Kostenminimieung. Dualitätstheoie bescheibt allgemein die fomalen Die Beziehungen zwischen solchen pimalen" und VWL III (Somme 2001) 4-8 Pof. D. Klaus M. Schmidt NMP: Zielfunktion Nutzen, NB Budget AMP: Zielfunktion Budget, NB Nutzen Das NMP egibt Das AMP egibt Exkus: Es gibt viele Paae von Poblemen, die dualen" Poblemen. Wi weden die Dualitätstheoie
x min ;x 2 ;:::;xn 1 nx i=1 p i x i U (x 1 ;x 2 ;:::;x n ) Veeinfachung ignoieen wi hie die Möglichkeit eine Zu Zunächst bingen wi dieses Poblem in die Randlösung. n max ;x 2 ;:::;xn X x 1 i=1 p i x i VWL III (Somme 2001) 4-9 Pof. D. Klaus M. Schmidt nicht allgemein einfühen, sonden alle Beziehungen jedoch in unseem konketen Poblem selbst heleiten. Ausgabenminimieungspoblem (AMP): unte de Nebenbedingung: u Fom eines Standad-Maximieungspoblems: unte de Nebenbedingung: U (x 1 ;x 2 ;:::;x n )» u Diese Nebenbedingung muß binden. (Waum?) Lagange-Ansatz: L = n X p i x i [u U (x 1 ;x 2 ;:::;x n )] i=1
p + @U = = i 0 (i = 1;:::;n) i @x @L = u + U (x 1;:::;x n ) = 0 @ den BEO folgt unmittelba: Aus 1 p (eindeutige) Lösung x Λ des Ausgabenminimieungspoblems Die ist eine stetige Funktion von p und u: x Λ i = H i(p; u) Funktion H i (p; u) wid auch Hicksche Nachfagefunktion Die ode kompensiete Nachfagefunktion ge- @H j (p;u) @p nannt: i eine maginalen Ehöhung von p i veändet, wenn wi bei Einkommen des Konsumenten so kompensieen, daß e das @p i wiede das alte Nutzenniveau u eeichen kann. Insbesondee mißt @H i (p;u) VWL III (Somme 2001) 4-10 Pof. D. Klaus M. Schmidt Bedingungen 1. Odnung: @L i @x = p n = = n U 1 U bzw.: i p = U i j p j U ist dieselbe Bedingung wie im NMP: die Genzate de Das Substitution muß gleich dem Peisvehältnis sein. gibt an, wie sich die Nachfage nach Gut j den (eigenen) Substitutionseffekt eine Peisändeung.
x 2 nx i=1 p i x Λ i = n X x 1 p 1 i=1 p i H i (p; u) m(p; u) u) ist die Ausgabenfunktion. Sie beziffet die minimalen m(p; Ausgaben, die bei Peisen p notwendig sind, um das x 1 VWL III (Somme 2001) 4-11 Pof. D. Klaus M. Schmidt Figu 4.1: Die Hicksche Nachfagefunktion 4.5 Die Ausgabenfunktion Angenommen x Λ löst das AMP. Dann gilt: Nutzenniveau u zu eeichen. Theoem 4.3 Die Ausgabenfunktion m(p; u) ist 1. homogen vom Gade 1 in p
VWL III (Somme 2001) 4-12 Pof. D. Klaus M. Schmidt 2. nicht-fallend in p 3. nicht-fallend in u Beweis: 1. 2. 3.
@m Λ (p; u) De Beweis ist wiede eine einfache Anwendung Beweis: Envelope Theoems. des m Λ (p; u) = n X k=1 p k H k (p; u) wollen zeigen, daß de zweite Tem gleich 0 ist. Wi Wi daß im Ausgabenminimum gelten muß: wissen, p k U k = 0 wissen wi, daß im Ausgabenminimum gelten Außedem muß: VWL III (Somme 2001) 4-13 Pof. D. Klaus M. Schmidt Theoem 4.4 (Shephads Lemma) = x Λ i = H i(p; u) @p i Die Ableitung de Ausgabenfunktion nach Woten: In p i ist gleich de Hickschen Nachfage nach Gut i. Λ u) n (p; X @m H i (p; u) + = i @p @H k (p; u) p k i @p k=1 Also gilt: nx @H k p k i @p k=1 = n X @H k U k i @p k=1 u(x Λ 1 ;:::;xλ n ) = U (H 1(p; u);:::;h n (p; u)) = u Totales Diffeenzieen diese Gleichung nach p i egibt: @H Λ (p; @H u) Λ 1 U n (p; u) n = 0 1 U + + i @p i @p
In endliche Appoximation sagt Shephads Lemma Intuition: m(p; u) = H i (p; u) p i = x Λ i p i de Konsument konsumiet im Optimum 3 Angenommen, Wein zum Peis von je DM 10,-. Jetzt steigt de Flaschen daß die minimalen Ausgaben des Konsumenten, um sagt, de Peisändeung sein altes Nutzenniveau halten zu nach m = 3 DM0; 01 = DM0; 03 müssen. Solange die Peisändeung seh klein ist, steigen wi nicht beücksichtigen, daß de Konsument bei müssen Lemma ist seh nützlich, um die Hickschen Nachfagefunktionen Shephads übe die Ausgabenfunktion abzuleiten. Sie U (x 1 ;x 2 ) = x ff 1x 1 ff 2. Vewenden VWL III (Somme 2001) 4-14 Pof. D. Klaus M. Schmidt Also ist de 2. Tem oben tatsächlich gleich 0. Q.E.D. Peis po Flasche Wein um DM 0,01. Shephads Lemma können, appoximativ um Peisändeung Wein duch Bie substituieen wid. eine gößeen Peisändeungen muß diese Substitutionsef- Bei fekt abe zusätzlich beücksichtigt weden. Beispiel: Cobb-Douglas Nutzenfunktion
m Λ (p 1 ;p 2 ;u) = 1 p 2 p p 1» ff 1 ff ff) p ff 1 p1 ff 2 u (1 ff Leiten Sie Hickschen Nachfagefunktionen mit Hilfe von Lemma ab. Shephads Leiten Sie die indiekte Nutzenfunktion duch Invetieen de Ausgabenfunktion ab. aus Leiten Sie die Ausgabenfunktion duch Invetieen aus indiekten Nutzenfunktion ab. de 4.5 Betachte einen Konsumenten, de Theoem p gegenübesteht: Peisen Wenn x Λ sein NMP bei Einkommen m löst, dann 1) x Λ gleichzeitig das optimale Gütebündel in ist VWL III (Somme 2001) 4-15 Pof. D. Klaus M. Schmidt AMP ) Nachfagefunktionen: Hicksche 0 (p 1 ;p 2 ;u) = x Λ 1 = 1 H p 2 1 ff 1 B @ ff C u A 1 ff 1 ff 0 (p 1 ;p 2 ;u) = x Λ 2 = B 2 H B @ ff C u A 1 ff Ausgabenfunktion: Übepüfen Sie die Eigenschaften aus Theoem 4.3. 4.6 Dualität von NMP und AMP
AMP, wenn de zu eeichende Nutzen seinem = U (x Λ ) ist. Außedem sind die minimalen u Wenn x Λ sein AMP beim Nutzenniveau u löst, 2) ist x Λ gleichzeitig das optimale Gütebündel dann de gaphischen Analyse ist offensichtlich, daß NMP Aus AMP zu demselben Egebnis fühen müssen, wenn m und x 2 x 1 x 2 x 1 VWL III (Somme 2001) 4-16 Pof. D. Klaus M. Schmidt Ausgaben in diesem AMP genau m. seinem NMP, wenn das vefügbae Einkommen P in i x Λ i ist. Außedem ist de maximale Nutzen in p diesem NMP genau u. bzw. u entspechend gewählt weden: Figu 4.2: Dualität von NMP und AMP
das NMP und das AMP äquivalent sind, müssen die Da Identitäten efüllt sein: folgenden m(p; v(p; m)) m 1) minimalen Ausgaben zu Eeichung des Nutzens Die v(p; m(p; u)) u 2) maximale Nutzen aus dem Einkommen m(p; u) ist De D i (p; m) H i (p; v(p; m)) 3) Mashallsche Nachfage beim Einkommen m ist gleich Die H i (p; u) D i (p; m(p; u)) 4) Hicksche Nachfage beim Nutzen u ist gleich de Die VWL III (Somme 2001) 4-17 Pof. D. Klaus M. Schmidt v(p; m) sind genau gleich m. gleich u. de Hickschen Nachfage beim Nutzen v(p; m). Mashallschen Nachfage beim Einkommen m(p; u). Beispiel: Cobb-Douglas Nutzenfunktion Zeigen Sie fü den Cobb-Douglas Fall: 1) m(p; v(p; m)) m 2) v(p; m(p; u)) u 3) D i (p; m) H i (p; v(p; m)) 4) H i (p; u) D i (p; m(p; u))
gibt auch eine enge Beziehung zwischen de indiekten Es und de Ausgabenfunktion: Nutzenfunktion Die indiekte Nutzenfunktion ist steng monoton steigend im Einkommen. Also können wi die Umkehfunk- bilden, die nichts andees ist als die Ausgabenfunktiontion Umgekeht gilt: Die Ausgabenfunktion ist steng monoton steigend im Nutzen. Wenn wi die Umkehfunktion Ausgabenfunktion bilden, ehalten wi die indiekte de Nutzenfunktion. Funktionen enthalten exakt dieselbe Infomation wie Beide diekte Nutzenfunktion aus de sie abgeleitet woden die Also können wi jede de dei Funktionen vewenden, sind. die Päfeenzen des Konsumenten zu bescheiben. um VWL III (Somme 2001) 4-18 Pof. D. Klaus M. Schmidt folgende Übesicht faßt die Beziehungen zwischen NMP Die und AMP noch einmal zusammen:
D(p; m) v(p; m) H(p; u) m(p; u) 4.6 (Slutsky-Gleichung) Fü alle (p; m) Theoem alle u = v(p; m) gilt: und @p j D j (p; m) @D i Betachte einen Konsumenten, de Peisen p und Beweis: m gegenübesteht und den maximalen Nutzen Einkommen VWL III (Somme 2001) 4-19 Pof. D. Klaus M. Schmidt NMP AMP Figu 4.3: Beziehungen zwischen NMP und AMP 4.7 Die Slutsky Gleichung i m) @D (p; = @H i(p; u) j @p @m
@p j @p j daß H j (p; u) = H j (p; v(p; m)) = D j (p; m). Also Beachte, gilt @p j wi i = j setzen, ehalten wi die Slutsky-Zelegung Wenn eine Veändeung des eigenen Peises: fü @p i Veändeung de Mashallschen Nachfage nach Gut i Die eine Veändeung des eigenen Peises p i teilt sich auf bei einen Substitutionseffekt @H i @p i VWL III (Somme 2001) 4-20 Pof. D. Klaus M. Schmidt = v(p; m) ealisiet. Es gilt: H i (p; u) D i (p; m(p; u)). u wi beide Seiten nach p j diffeenzieen, egibt sich Wenn fü beliebige i; j = 1;:::;n: i @H = @D i j @p @D @m i + j @p @m Shephads Lemma ) i @H = @D i j @p @D i + H j(p; u) @m i @D = @H i j @p D j (p; m) @D i @m Q.E.D. i @D = @H i i @p @D i i x @m in und
einen x i @D @m i Einkommenseffekt eine witschaftspolitische Maßnahme hat Auswikungen Angenommen auf die Peise und/ode vefügbaen Einkommen könnten uns zunächst die Nutzenändeungen de betoffenen Wi Konsumenten anschauen. Sei (p; m) die uspüngliche und (p 0 ;m 0 ) die neue Situation. Dann ist die Nutzenändeung Situation fü einen Konsumenten den seltensten Fällen ist die Entscheidungssituation jedoch In so einfach. Es wid fast imme Gewinne und Veliee die Veändeung geben. Daum suchen wi nach einem duch Maß fü die Nutzenändeung des Konsumenten, das es emöglicht, die Nutzenändeungen intepesonell miteinande uns zu vegleichen. VWL III (Somme 2001) 4-21 Pof. D. Klaus M. Schmidt 4.8 Messung von Wohlfahtseffekten de Konsumenten. Was sind die Wohlfahtseffekte diese Veändeungen? U = v(p 0 ;m 0 ) v(p; m) : diese Diffeenz fü alle Konsumenten positiv ist, liegt Wenn Paeto-Vebesseung vo und die Politikmaßnahme soll- eine te duchgefüht weden. De indiekte Nutzen ist dazu ungeeignet, weil
die Nutzenfunktion unbestimmt bis auf eine monotone ist und Tansfomation Messung de Zahlungsbeeitschaft deskonsumenten. Altenative: müssen wi ihm geben, damit e beeit ist, diese Geld feiwillig hinzunehmen. Ändeung Die Nutzenändeung wid fü alle Konsumenten mit einem 1) einheitlichen Maßstab gemessen. VWL III (Somme 2001) 4-22 Pof. D. Klaus M. Schmidt Nutzen nicht intepesonell vegleichba ist. Wieviel ist de Konsument beeit dafü zu bezahlen, daß die Ändeung duchgefüht wid, bzw. wieviel Voteile: Die Nutzenändeungen sind im Pinzip" miteinande 2) Wenn die Summe de Zahlungsbeeitschaf- vegleichba: de Gewinne göße ist als die Summe de Kompensationeten fü die Veliee, dann sollte" die Politikmaßnahme duchgefüht weden. Abe: Vosicht! 1) Diese Aussage ist nu geechtfetigt, wenn
die Gewinne die Veliee auch tatsächlich kompensieen, (a) ode Sie beeit sind, ein schwewiegendes Wetuteil zu (b) De zusätzliche Nutzen aus 1 DM untescheiben: dasselbe soziale Gewicht unabhängig davon, we hat zusätzlichen Nutzen ehält. diesen Wi weden gleich sehen, daß es nicht imme eindeutig 2) ist, wie die Zahlungsbeeitschaft gemessen weden wi an, daß de Peis fü Gut 1 in de neuen Situation Nehmen gefallen ist; die andeen Peise und das Einkommen Kompensieende Vaiation: Wieviel wäe de Konsument 1) in de alten Situation beeit dafü zu bezahlen, e Gut 1 zu dem neuen (niedigeen) Peis kaufen daß kann? Äquivalente Vaiation: Wieviel Einkommen könnte 2) dem Konsumenten in de neuen Situation wegneh- man damit es ihm wiede so gut geht wie in de alten men, Situation? VWL III (Somme 2001) 4-23 Pof. D. Klaus M. Schmidt sollte. bleiben konstant. Zwei mögliche Maßstäbe fü die Zahlungsbeeitschaft:
x 2 x 1 können beide Zahlungsbeeitschaften auch mit Hilfe de Wi messen: Ausgabenfunktion x 2 KV = m(p; u) m(p 0 ;u) kompensieende Vaiation geht also vom Nutzen u in Die Ausgangssituation aus, die äquivalente Vaiation vom de x 1 VWL III (Somme 2001) 4-24 Pof. D. Klaus M. Schmidt Gaphische Analyse: Figu 4.4: Kompensieende und äquivalente Vaiation ÄV = m(p; u 0 ) m(p 0 ;u 0 ) Nutzen u 0 in de neuen Situation. Betachte zunächst KV. Wenn sich nu p 1 ändet, muß gel-
Z p1 @m dp 1 : 1 @p kompensieende Vaiation ist die Fläche unte de Hickschen Die Nachfagefunktion beim alten Nutzenniveau u. Hicksche Nachfagefunktion ist nicht diekt beobachtba. Die Daum wid oft die Konsumentenente, d.h. die unte de Mashallschen Nachfagefunktion als Maß Fläche die Zahlungsbeeitschaft benutzt. fü de Slutsky-Gleichung wissen wi, daß die Hicksche Aus nu den Substitutionseffekt eine Peisändeung Nachfagefunktion wähend die Mashallsche Nachfagefunktion Substitution eflektiet, Einkommenseffekt eine Peisändeung eflektiet. und @D(p;m) @m Z p1 ist göße als Hicksche Nachfageändeung. Peissenkung Konsumentenente übeschätzt KV. ) p 0 1 VWL III (Somme 2001) 4-25 Pof. D. Klaus M. Schmidt ten: KV = m(p; u) m(p 0 ;u) = p 0 1 Shephads Lemma: @m=@p 1 = H 1 (p; u). Also gilt: H 1 (p; u)dp 1 : KV = m(p; u) m(p 0 ;u) = 0 ) Hicksche und Mashallsche Nachfage- = identisch. funktion @D(p;m) @m > 0 ) Mashallsche Nachfageändeung bei @D(p;m) @m < 0 ) Mashallsche Nachfageändeung bei ist kleine als Hicksche Nachfageändeung. Peissenkung ) Konsumentenente unteschätzt KV.
p 1 Z p1 p 0 1 x 1 H 1 (p; u 0 )dp 1 äquivalente Vaiation ist die Fläche unte de Hickschen Die beim neuen Nutzenniveau u 0. Nachfagefunktion Sie: H 1 (p; u 0 ) schneidet die Mashallsche Nachfagefunktion Beachten beim neuen Peis-Mengen Punkt (p 0 1 ;x0 1 ). betachten wi jetzt eine Peisehöhung (hin zum Daum Peis p 1 ). Daum gilt jetzt: alten @D(p;m) @m VWL III (Somme 2001) 4-26 Pof. D. Klaus M. Schmidt Figu 4.5: Hicks- und Mashallsche Nachfagefunktionen Betachte jetzt die ÄV. Ganz analog gilt: ÄV = m(p; u 0 ) m(p 0 ;u 0 ) = 0 ) Hicksche und Mashallsche Nachfage- = funktion identisch.
ist kleine als Hicksche Nachfageändeung. Peisehöhung Konsumentenente übeschätzt ÄV. ) p 1 4.6: Kompensieende und äquivalente Vaiation und Figu bei nomalem Gut Konsumentenente Maß wi fü die Messung de Zahlungsbeeitschaft Welches sollten, hängt von de Fagestellung ab. vewenden x 1 VWL III (Somme 2001) 4-27 Pof. D. Klaus M. Schmidt @D(p;m) @m > 0 ) Mashallsche Nachfageändeung bei ist göße als Hicksche Nachfageändeung. Peisehöhung Konsumentenente unteschätzt ÄV. ) @D(p;m) @m < 0 ) Mashallsche Nachfageändeung bei
De Staat plant eine öffentliche Investition, die zu eine 1) Peissenkung von Gut 1 füht. Investition soll übe sollte duchgefüht weden, wenn die KV fü jeden Pojekt Konsumenten göße ist als die Steue, die e zahlen Angenommen, de Staat hat eine bestimmte Summe, 2) e ausgeben will. E kann sie entwede ausgeben, die duchfühen ist besse als Steueückestattung, Pojekt die äquivalente Vaiation fü jeden Konsumenten wenn Maß vewendet weden sollte, hängt also von de Welches ab. Ausgangssituation VWL III (Somme 2001) 4-28 Pof. D. Klaus M. Schmidt Beispiele: Kopfsteue finanziet weden. ) muß. eine öffentliche Investition zu tätigen, die zu eine um von Gut 1 füht. Ode e kann eine Steu- Peissenkung eückestattung vonehmen. ) göße ist als die Steueückestattung.
haben gesehen, daß die Konsumentenente nu in einem Wi ein päzises Maß fü die Wohlfahtsändeung ist, Spezialfall x 1 das Gut, dessen Peis sich ändet, und x 2 das Gütebündel, Sei alle übigen Güte umfaßt und dessen Peis wi auf 1 das x 2 quasi-lineaen Päfeenzen sind die Indiffeenzkuven Bei ) keine Einkommenseffekte. paallel: x 1 VWL III (Somme 2001) 4-29 Pof. D. Klaus M. Schmidt Konsumentenente nämlich dann, wenn de Einkommenseffekt gleich 0 ist. Quasi-lineae Päfeenzen. nomieen (x 2 ist das Resteinkommen). Figu 4.7: Quasi-lineae Päfeenzen
U (x 1 ;x 2 ) = U 1 (x 1 ) + x 2 die Mashallsche und die Hicksche Nachfagefunktion Nutzenfunktion übeeinstimmen und daß die kompensieende (Betach- Sie nu eine innee Lösung. Beachten Sie: Päfeenzen ten nicht fü alle Einkommensniveaus quasi-linea sein.) können kleinen Einkommensändeungen sind quasi-lineae Päfeenzen Bei eine bauchbae lokale Appoximation: kleine Einkom- oft fühen zu keine Nachfageändeung fü mensändeungen beteffende Gut. das Sie stimmt mit de kompensieenden und de äuquivalenten übeein. Vaiation Wenn eine Maßnahme zu eine Ehöhung de gesamten auf einem Makt füht, dann existiet Konsumentenente VWL III (Somme 2001) 4-30 Pof. D. Klaus M. Schmidt Quasi-lineae Nutzenfunktion: Übungsaufgabe: Zeigen Sie, daß bei eine quasi-lineaen Vaiation gleich de äquivalenten Vaiation ist. wi quasi-lineae Päfeenzen untestellen können, ist Wenn Konsumentenente ein geeignetes Maß fü die Wohl- die fahtsmessung: Lump-sum Umveteilung, so daß sich alle Konsumenten eine nach de Maßnahme und de Umveteilung besse stellen als in de Ausgangssituation.