Beweis. (kombinatorisch): Links steht die Anzahl der k-partitionen einer n-elementigen Menge. Wie entstehen diese? Wir wählen wieder ein festes Element e n aus M. Man kann die k-partitionen von M dann zusammensetzen aus den k-partionen von M {e n }, indem man einer der k Teilmengen das Element e n hinzufügt. Dafür hat man k Möglichkeiten - das ergibt den rechten Summanden. Oder man hat {e n } als eigene Partitionsmenge, dort kommen dann die (k 1)-Partitionen von M {e n } hinzu - das ergibt den ersten Summanden. 2.6 Zahlpartitionen 4 = 1 + 1 + 1 + 1 = 2 + 1 + 1 = 2 + 2 = 3 + 1 = 1 + 3 = 1 + 1 + 2 = 1 + 2 + 1 2.6.1 Geordnete Zahlpartitionen Satz 81. Die Anzahl der geordneten Zahlpartitionen mit k Summanden ist Dieser Satz löst einen Spezialfall bei diophantischen Gleichungen. ( n-1 k-1 ) Beweis. (kombinatorisch) Man kann die Zahl als Summe von 1-sen schreiben, und dann k Klammerpaare hinzufügen: m = (1 + 1 +..1) + (1 +.. + 1) + (1) +... + 1). Dann stehen k 1 + zwischen den Klammerpaaren. ( Für die ) n-1 Auswahl dieser k-1 aus den n-1 Positionen - das ist ungeordnetes Ziehen ohne Zurücklegen - habe ich k-1 Möglichkeiten. 2.6.2 Ungeordnete Zahlpartitionen Definition 82. Die Anzahl der Möglichkeiten, eine natürliche Zahl n als Summe von k Summanden zu schreiben, wird mit P n,k bezeichnet. Man setzt P 0,0 := 1 Satz 83. Für alle n, k N mit n k 1 gilt P n,k = k j=0 P n k,j Beweis. Wir sortieren die möglichen Partitionen, so das die 1-sen vorn stehen. Es ist dann n = n 1 +... + n i + n i+1 +... + n k, wobei n 1 = n 2 =... = n i = 1 gilt. Also sind alle n i+1,..., n k 2. Zieht man von dem Teil bei jedem Summanden eine 1 ab, kommt man also auf eine Zahlpartionierung von (k i)-partitionierung von (n k). Umgekehrt kann man jede k-partitionierung von n mit i 1-sen so erzeugen. Es gibt also genau P n k,k i verschiedene Partitionen mit i 1-sen. Summiert man über alle mögliche i, bekommt man mit i=0,...k P n k,k i = j=0,...,k P n k,j die Behauptung - q.e.d. 2.7 Mehr Rekursionsformeln - Catalanzahlen Definition 84. Eine Triangualisierung ist eine Partition des konvexen n-ecks in Dreiecke durch sich gegenseitig nicht schneidende Diagonalen. Ein Binärbaum ist ein Baum mit einem eindeutigen Wurzelknoten, bei dem jeder Knoten maximal zwei Kindknoten hat. 25
Definition 85. Ein korrekter Klammerausdruck ist ein Wort über {(, )}, das folgendermassen aufgebaut ist: 1. Das leere Wort ist ein korrekter Klammerausdruck 2. Sind U und V korrekte Klammerausdrücke, so sind das auch Beispiele: () ()(), (()) (a) UV und (b) (U) ()()(), (())(), ()(()), ((())) ()()()(), (())()(), ((()))(),... 26
Definition 86. Sei n N. Dann bezeichnet C n die Anzahl der syntaktisch korrekten Klammerausdrücke mit n Klammerpaaren (Catalanzahlen) B n die Anzahl der Binärbäume mit n Knoten, und T n die Anzahl der Triangulierungen eines konvexen n-ecks Satz 87. Sei n N, dann gilt mit C 0 := 1 für n > 0: C n = n C k 1 C n k k=1 Beweis. Wir zerlegen wieder die Menge der möglichen Klammerausdrücke: Für k n sei A k die Menge aller legalen Klammerausdrück, deren erste Klammer an der Position 2k geschlossen wird. Innerhalb der erste Klammer liegen dann k 1 Klammerpaare, ausserhalb gerade n k. Für alle Möglichkeiten müssen wir nun wieder von k = 1,..., n summieren. Satz 88. Sei n N, dann gilt mit B 0 := 1 für n > 0: B n = n B k 1 B n k k=1 Beweis. ganz analog zum letzen Satz, nutr teilen wir hier in Binärbäume mit k-knoten im linken Teilbaum, und n k im rechten Satz 89. Sei n N, dann gilt für n > 2: T n = n T k 1 T n k+2 k=3 Beweis. Es ist ja T 2 = 1. Sei also ein konvexes n-eck gegeben, wir numerieren dann die Ecken bei beliebigem Startpunkt im Uhrzeigersinn mit 1,..., n. Dann können wir die Menge aller Triangualisierungen in n 2 Klassen A k, k = 3,..., n aufteilen: A k enthält jeweils die Triangularisierungen, bei der denen die Ecken 1, 2, k ein Dreieck bilden. Jede Triangularisierung von A k besteht dann aus einer Kombination der Triangualisierungen des k 1-Ecks mit den Ecken 2, 3,..., k, und des n k + 2-Ecks mit den Ecken 1, k,..., n. Also A k = T k 1 T n k+2, und durch Summieren folgt die Behauptung. Drei recht unterschiedliche Abzählprobleme mit der gleichen Rekustionsformel, die man auch noch auflösen kann, wie wir später zeigen: n N : B n = C n = T n+2 = 1 ( ) 2n n + 1 n 2.8 Mehr Urnen Viele Fragestellung kann man auch durch das Verteilen von Bällen auf mehrere Urnen modellieren. Dabei können Bälle wie auch Urnen unterscheidbar sein, oder auch nicht: 1. 2 gleiche Bälle b, 2 gleiche Urnen: [],[b,b] oder [b],[b] 2. 2 gleich Bälle b auf 2 Urnen U,V: U=[],V=[b,b] oder U=[b],V=[b] oder U=[b,b],V=[] 3. 2 Bälle b,r auf 2 gleiche Urnen: [],[r,b] oder [r],[b] 27
4. 2 Bälle b,r auf 2 Urnen U,V: U=[],V=[r,b] oder U=[r],V=[b] oder U=[b],V=[r] oder U=[r,b],V=[] Man kann auch auch an die Abbildung, die die Bälle auf die Urnen verteilt, noch mehr Anforderungen stellen, Wenn B die Menge der Kugeln und U die Menge der Urnen ist, kommt vor: Jede Urne muss mindestens eine Kugel enthalten (surjektiv, B U ) Jede Urne darf höchstens eine Kugel enthalten (injektiv, B U ) Jede Urne muss genau eine Kugel enthalten (bijektiv, B = U ) Jede Möglichkeit liefert andere Anzahlen von Verteilungsfunktionen f. Sei im folgenden B = n, U = m 2.8.1 Fall: Bälle und Urnen unterscheidbar f beliebig: Jeder der n Bälle kann auf jede der m Urnen entfallen. Wir ziehen also n mal eine Urne, mit Zurücklegen - macht m n Möglichkeiten. f surjektiv: u U : f 1 (u) 1, die Urbilder der Urnen bilden also eine m-partition von B. Anders herum liefert jede m-partition von B eine Klasse von surjektiven Abbildungen B U. Das sind, wie gerade gelernt, S n,m mögliche Partitionierungen, und jeder kann ich auf m! Weisen die Urnen zuordnen. Es gibt also n!s n,m surjektive Funktionen. f injektiv: Das ist geordnetes Ziehen der Urne ohne Zurücklegen - m!/(m n)! Möglichkeiten. f bijektiv: Das sind alle Permutationen: n! = m! Möglichkeiten 2.8.2 Fall: Bälle nicht, Urnen unterscheidbar f beliebig: Wir können die Bälle mit * und die ( Urnengrenzen ) ( mit codieren, ) Das Problem ist dann, m 1 Striche auf n+m-1 n+m-1 m + n 1 Positionen zu verteilen: = Optionen. m-1 n f surjektiv: ( Verteilt man ) die n Bälle, ergeben die Anzahlen der Bälle in den m Urnen eine geordnete m-zahlpartition, also n-1 m-1 ( ) m f injektiv: Wir wählen aus m Urnen die n aus, in denen ein Ball liegen soll:. n f bijektiv: Jede Urne ein Ball: 1 Möglichkeit. 2.8.3 Fall: Bälle unterscheidbar, Urnen nicht f beliebig: Eine Funktion, die n Bälle auf k Urnen verteilt, ist eine k-partitionierung der Bälle. Da die Urnen leer bleiben dürfen, habe ich k = 1,..., m Möglichkeiten, also insgesamt k=1,...,m S n,k f surjektiv: Wie oben, aber nur der Fall k = m, also S n,m f injektiv: In n der m Urnen liegt eine Ball, da die Urnen ununterscheidbar sind: 1 Möglichkeit f bijektiv: 1 Möglichkeit 28
2.8.4 Fall: Bälle und Urnen nicht unterscheidbar f beliebig: Jede Verteilung entspricht einer Zahlpartition von n, in diesem Fall kommt dabei jede Urnenzahl von k = 1,..., m in Frage, also gibt es k=1,...,m P n,k verschiedene Funktionen. f surjektiv: s.o. - P n,m verschiedene Funktionen. f injektiv: s.o. - 1 Möglichkeit f bijektiv: s.o. - 1 Möglichkeit 2.9 Diskrete Stochastik Definition 90. Eine abzählbare Menge heisst auch diskreter Ereignisraum, ein Element der Menge elementares Ereignis. Definition 91. Sei S ein Ereignisraum. Eine injektive Funktion P : S [0, 1] mit x S P (x) = 1 nennt man Wahrscheinlichkeitsfunktion. Für Ereignisse A aus mehreren Elementarereignissen, also A S, definiert man P (A) := x A P (x) Im einfachsten Fall, der Gleichverteilung, bei der alle Elementarereignisse die gleiche Wahrscheinlichkeit haben, gilt P (x) = 1 A und P (A) = S S Hier kommt es also im wesentlichen auf das Zählen der Elemente von Mengen an! Beispiel 92. Welche Wahrscheinlichkeit hat man bei Würfeln mit zwei Würfeln für die Augensumme 7? 1/6: S = 6 2 = 36, A = {(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)} Beispiel 93. Wie viele Leute muss man zusammenrufen, damit wahrscheinlich (also P (A) > 1/2) zwei am gleichen Tag Geburtstag haben? 23 Personen: Man betrachtet das Anti-Ereignis B, bei dem keine zwei Personen am gleichem Tag Geburtstag haben. Die Möglichkeiten dafür sind bei k Personen (k-maliges Ziehen ohne Zurücklegen aus {1,..., 365}): 365!/(365 k)!. Der Gesamtereignisraum ist k-maliges Ziehen mit Zurücklegen aus {1,..., 365}, also 365 k Also ist P (B, k) = 365! (365 k)!365 k. Nachrechnen: P (B, 1) = 1, P (B, 2) = 364/365, P (B, 3) = 364 364/365 2,...,P (B, 23) 0, 4927... 2.10 Abschätzungen 2.10.1 Landau-Symbole Zum Abschätzung des Wachstums einer Funktion definiert man Größenklassen, die man Landau-Symbole nennt. Hier für Funktionen auf N: Definition 94. o(g) := {f c > 0, n 0 N : n n 0 gilt f(n) < c g(n) } O(g) := {f C 0, n 0 N : n n 0 gilt f(n) C g(n) } Ω(g) := {f C 0, n 0 N : n n 0 gilt f(n) C g(n) } ω(g) := {f c > 0, n 0 N : n n 0 gilt f(n) > c g(n) } Θ(g) := O(g) Ω(g) 29
Beispiel 95. Der Test, ob eine Eingabe der Länge n zu einer gegebenen kontextfreien Grammatik gehört kann man in O(n 3 ) Schritten lösen. Das beweist man, indem man einen Algorithmus angibt, der das macht, und dessen Schritte zählt. Genauer kann man sogar sagen, das das Problem zu o(n 3 ) gehört, denn die Potenz ist geringfügig kleiner als 3. Speziellere Grammatiken erlauben effizientere Tests, Grammatiken der LR(1)-Klasse z.b. erlauben es, das Wortproblem in O(n) Zeit zu lösen. Immer wird das Wortproblem einer Grammatik aber von der Länge der Eingabe abhängen, deswegen ist es sicher in ω(1). Beispiel 96. Einschätzung der Größenordnungen Θ(1): konstanter Aufwand, unabhängig von n Θ(n): linearer Aufwand (z.b. Einlesen von n Zahlen) Θ(n ln n): Aufwand guter Sortierverfahren (z.b. Quicksort) Θ(n 2 ): Einfache Algorithmen auf Matrizen,... Θ(n k ): polynomialer Aufwand (bei festem k) Θ(2 n ): exponentieller Aufwand Θ(n!): Bestimmung aller Permutationen von n Elementen Um eine Vorstellung davon zu haben, was schwer zu berechnen ist - unter der Annahme, das 1 Berechnungsschritt 1 µs = 0.000001 s) dauert, ergeben sich folgende (ungefähre) Berechungsdauern: n = 10 20 30 40 50 60 n 10 µ 20 µs 30 µs 40 µs 50 µs 60 µs n 2 100 µs 400 µs 900 µs 1.6 ms 2.5 ms 3.6 ms n 3 1 ms 8 ms 27 ms 64 ms 125 ms 216 ms 2 n 1 ms 1 s 18 min 13 Tage 36 J 366 Jh 3 n 59 ms 58 min 6.5 J 3855 Jh 10 8 Jh 10 13 Jh n! 3.62 s 771 Jh 10 16 Jh 10 32 Jh 10 49 Jh 10 66 Jh 2.10.2 Einige bekannte Abschätzungen Satz 97. Für n 15 gilt n n/2 n! (n/2) n Beweis. Recht kanonisch, z.b. Steeger 46f Satz 98. ( (n/k) k n k ) (ne/k) k Beweis. Idee: ausmultiplizieren und n/k gegen (n i)/(k i) abschätzen, Reihenentwicklung der Exponentialfunktion... Satz 99. (Stirlingformel) n! = 2πn( n ( e )n 1 + 1 12n + O( 1 ) n 2 ) 3 Zusammenhänge und Graphen 3.1 Graphen Graphen dienen der Darstellung und formalen Behandlung von Zusammenhängen. Definition 100. Ein (ungerichteter) Graph ist ein Tupel G = (V, E), wobei V eine endliche, nichtleere Menge von Knoten ist, und die Menge E = {{x, y} x, y V } die Kanten zwischen Knoten spezifiziert.. Zur Vereinfachung der Schreibweise schreibt man auch (x, y) für eine Kante in E, und setzt für ungerichtete Graphen (x, y) = (y, x). 30
Definition 101. Ein gerichteter Graph ist ein Tupel G = (V, E), wobei V eine endliche, nichtleere Menge von Knoten ist, und die Menge E V V die Kanten zwischen Knoten spezifiziert.. Definition 102. Ein Graph S = (U, L) heißt (schwacher) Subgraph von einem Graphen G = (V, E), falls U V und L E. Definition 103. Zwei Graphen G = (V, K) und H = (U, L) heissen isomorph, wenn es eine bijektive Abbildung f : V U der Knotenmengen gibt mit der Eigenschaft, das für alle Knotenpaare (v, k) K eine Kante (f(v), f(k)) L existiert, und L auch keine weiteren Kanten enthält. f heisst dann auch Graphisomorphismus. Definition 104. Für einen Graph (V, E) und v V heisst der Grad von v. deg(v) := {x (v, x) E} ist die Nachbarschaft des Knotens v. Neigh(v) := {x (v, x) E} Beispiel 105. Satz 106. Für jeden Graphen (V, E) gilt: deg(v) = 2 E v V Beweis. Auf der linken Seite der Gleichung wird jede Kante (a, b) des Graphen zwei mal gezählt: einmal beim Knoten a, einmal beim Knoten b. Auf der rechten Seite zählen wir direkt jede Kante doppelt. Satz 107. (Korollar) Für jeden Graphen gilt: Die Anzahl der Knoten mit ungeradem Grad ist gerade. Beweis. Wir teilen im obigen Satz die Summe in Knoten mit geraden und die mit ungeraden Grad. Da die Summer der Knoten mit gradem Knotengerad durch 2 teilbar ist, muss auch die anderere Teilsumme durch 2 teilbar sein. 3.1.1 Spezielle Graphen Definition 108. Graphen mit gleichem Grad k für allen Knoten nennt man k-regulär. Definition 109. k-reguläre Graphen (V, E) mit k = V 1 heißen vollständig. Vollständige Graphen mit n Knoten werden mit K n bezeichnet. Beispiel 110. (Vollständige Graphen K n ) 31