2. Mengenlehre In diesem bshnitt geben wir einen kompakten Überblik über wesentlihe Grundlagen der Mengenlehre, die im weiteren Verlauf noh relevant sein werden. Neben der allgemeinen Definition und Darstellung von Mengen gehen wir dabei auf spezielle Mengen, eziehungen zwishen Mengen, Mengenoperationen und auh auf bedeutende Regeln und Gesetze ein, die bei Mengenoperationen zu beahten sind. 2.1 Grundlegendes -Grundsätzlih verstehen wir unter einer Menge eine Zusammenfassung von Elementen, die sih eindeutig voneinander untersheiden lassen. Mehrfahnennungen eines Elementes in einer Menge sind also niht zulässig. Mengen werden in der Regel mit großen lateinishen uhstaben,, C,..., ihre Elemente mit lateinishen Kleinbuhstaben a, b,,... bezeihnet. Wollen wir ausdrüken, dass ein Element a zur Menge gehört, shreiben wir a E. Wollen wir das Gegenteil aussagen, a,;. Die Definition einer Menge erfolgt entweder durh die explizite ufzählung oder die implizite eshreibung der Elemente der Menge. Die nzahl der untersheidbaren Elemente einer Menge, die auh als deren Mähtigkeit bezeihnet und mit n() abgekürzt wird, bestimmt dabei meist, welhe Form der Darstellung gewählt wird. Ist n(a) groß, jedoh endlih, wird die explizite Form der eshreibung bevorzugt. Liegt eine unendlihe Menge vor, so ist eine verkürzte ufzählung der Elemente üblih. ei allen Formen erfolgt die ufzählung bzw. eshreibung innerhalb geshweifter Klammem. ei der impliziten Form wird in der geshweiften Klammer zunähst ein Element stellvertretend für alle anderen Elemente allgemein genannt. Gefolgt von einem senkrehten Strih wird dann die umfassende und eindeutige eshreibung des stellvertretenden Elements mit Hilfe mathematisher Symbole und! oder verbaler Sätze aufgeführt. etrahten wir eine endlihe Menge, die die Elemente 7, 8 und 9 beinhalten soll. Wir können diese explizit als = 17; 8; 9} oder implizit als = Ix I 6 < x < 10 /\ X ganzzahlig} darstellen. Die implizite Darstellung bedeutet dabei verbal "alle x mit der Eigenshaft: x größer 6 und kleiner 10 und zugleih x ganzzahlig", was nur von den Zahlen 7, 8 und 9 erfüllt wird. Da hier die Mähtigkeit der Menge nur bei n() = 3 liegt, ist die explizite Darstellung zu bevorzugen.. uer, F. Seitz, Grundkurs Wirtshaftsmathematik, DOI 10.1007/978-3-658-02734-6_2, Springer Fahmedien Wiesbaden 2013
10 I llgemeine Grundlagen Eine unendlihe Menge C, die die Zahlen 7, 8, 9 und alle ganzen Zahlen größer 9 beinhalten soll, wurden wir als C = {7; 8; 9;... } definieren, wobei... die restlihen Elemente der Menge repräsentiert. Die Mähtigkeit der Menge C liegt in diesem Fall bei n{c} = 00. Während wir beliebige Mengen mit lateinishen Großbuhstaben bezeihnen, haben sih in der Literatur eine Reihe spezieller Symbole für besondere Mengen eingebürgert. So wird etwa die leere Menge, die keine Elemente beinhaltet, mit 0 und die Universalmenge, die bezüglih einer nzahl an untersuhten Elementen, alle Elemente enthält, mit Cl benannt. Darüber hinaus gilt für die in der Mathematik relevanten Zahlenmengen folgendes: Die Menge der natürlihen Zahlen beinhaltet die Zahlen 1, 2, 3,... mit deren Hilfe Gegenstände abgezählt werden. Sie ist definiert als N={I; 2; 3;... }. Erweitern wir die narürlihen Zahlen um die und alle negativen Zahlen, so erhalten wir die Menge der ganzen Zahlen als Z={... ; -2; -1; 0; 1; 2;... }. Erweitern wir die Menge der ganzen Zahlen um die Zahlen, die sih als Quotient einer ganzen und einer natürlihen Zahl bzw. als abbrehende (z.. 1/2 = 0,5) oder nihtabbrehende (z.. 1/3 = 0,333... ) periodishe Dezimalzahl darstellen lassen, ergibt sih die Menge der rationalen Zahlen als 1Q={qlq=m/n mit me ZnE N}. Die Menge der reellen Zahlen beinhaltet neben den rationalen Zahlen auh die sog. irrationalen Zahlen, so dass wir R = {rl r ist eine rationale oder irrationale Zahl} festhalten können. Eine Zahl wird dann als irrational bezeihnet, wenn sie sih niht mehr als Quotient einer ganzen und einer natürlihen Zahl - und damit auh niht als periodishe Dezimalzahl - darstellen lässt. Jede nihtperiodishe Dezimalzahl, bei der niht aus den bisher ennittelten Dezimalstellen auf die noh folgenden geshlossen werden kann, ist somit eine irrationale Zahl. Typishe eispiele hierfür sind die Kreiszahllt = 3,141592..., die Euler'she Zahl e = 2,718281... und bestimmte Wurzeln. Um auszudrüken, dass nur positive oder negative Werte aus diesen speziellen Mengen betrahet werden, wird dies durh ein hohgestelltes,,+" bzw.,,-" gekennzeihnet. Positive reelle Zahlen sind demnah mit R+, negative mit R- benannt. Vergleihen wir die einzelnen Elemente zweier Mengen miteinander, können wir Ordnungsbeziehungen zwishen den Mengen herstellen. esitzen zwei Mengen und die gleihen Elemente, sprehen wir von Mengengleihheit und können = shreiben. esonders beim Vergleih von Mengen und bei Mengenoperati0- nen (vgl. bshnitt I 2.2) sind Venn-Diagramme hilfreih. Diese stellen Mengen als Kteise dar, wodurh sih im Fall der Mengengleihheit folgendes ergibt:
2. Mengenlehre 11 etrahten wir die beiden Mengen = {±,/9] und = (3; -3), so stellen wir fest, dass beide die gleihen Elemente beinhalten, sodass = gilt. Ergibt der Vergleih der Elemente zweier Mengen und, dass alle Elemente von auh in enthalten sind, so sagen wir, dass eine Teilmenge von ist und shreiben!:. Wir versehen das klassishe Teilmengensymbol hier mit einem Unterstrih um zu verdeutlihen, dass die Mengen und auh gleih sein können. Das dazugehörige Venn-Diagramm zeigt folgendes ild: eispiele: 1. etrahten wir die Mengen E = (2; 4; 6; 8; 10) und N. Da die Elemente 2, 4, 6, 8 und 10 aus E auh in der Menge der natiirlihen Zahlen N vorkommen, gilt E N. 2. Fiir die vorhergehend aufgeliihrten Zahlen mengen können wir N Z Q IR festhalten. Dies bedeutet also, dass alle Elemente von N auh in Z, alle Elemente von Z auh in Q und alle Elemente von Q auh in IR enthalten sind. Gerade im Zusammenhang mit Teilmengen wird klar, dass man eine Menge auh als Menge von Mengen interpretieren kann. So gilt etwa Z = H...; - 2; -1; O}; N}. ußerdem ist unmittelbar einleuhtend, dass zu den Teilmengen einer Menge auh immer die leere Menge 0 und die Menge selbst gehört. 2.2 Mengenoperationen -In diesem bshnitt befassen wir uns näher mit Operationen, die aus mehreren Mengen eine neue Menge erzeugen. Zu diesen Zählen die Vereinigung, der Durhshnitt, die Differenz und das Komplement. Unter der Vereinigung oder Vereinigungsmenge zweier Mengen und verstehen wir die Menge, die sowohl die Elemente von als auh die Elemente von enthält. Fonnal shreiben wir U={XIXEvXE}, was sih im Venn-Diagramm (gepunktet) wie folgt dargestellt:
t2 I llgemeine Grundlagen etrahten wir die Mengen = {t ; 2; 3} und = {3; 4; 5}, erhalten wir daraus die Vereinigung u = {t ; 2; 3; 4; 5}. Der Durhshnitt oder die Durhshnittsmenge (Shnittmenge) zweier Mengen und umfasst alle Elemente, die sowohl in Menge als auh in Menge vorkommen. Es gilt was zu folgendem Venn-Diagramm führt: n ={XIXE XE }, Der Durhshnitt der Mengen = {t; 2; 3} und = {3; 4; 5} ist n = {3}, da das Element 3 sowohl in als auh in enthalten ist. Haben zwei Mengen und kein Element gemeinsam, entspriht ihr Durhshnitt der leeren Menge. Es gilt also n = 121. In einem solhen Fall bezeihnen wir die beiden Mengen als disjunkt. Es sei außerdem erwähnt, dass der Durhshnitt einer Menge mit sih selbst wieder die Menge ergibt, also n = gilt. naloges gilt auh für die Vereinigung, d. h. u =. Die Differenz oder Differenzenmenge zweier Mengen und ( vemlindert um ) enbält alle Elemente von, die niht in enthalten sind. Wir shreiben was folgendes Venn-Diagramm liefert: \ ={XIXE xe }, etrahten wir zwei Mengen = {t ; 2; 3} und = {3; 4; 5}, so ist \ = {t ; 2}, da die Elemente t und 2 aus niht in enthalten sind. Sind und zwei disjunkte Mengen, so gilt \ = und \ =. Die Differenz zweier gleiher Mengen ergibt die leere Menge, d. h. \ = 121.
2. Mengenlehre 13 Ist die Menge eine Teilmenge der Menge, d. h. s;;, enthält das Komplement oder die Komplementännenge der Menge bezüglih der Menge alle Elemente der Menge, die niht in der Menge enthalten sind. Formal gilt was das folgende Venn-Diagramm liefert: ={xlxe I\XE }, etrahten wir zwei Mengen = {I; 2; 31 und = {I; 2; 3; 4; 51, so gilt Ä = {4; 51, da die Elemente 4 und 5 zwar in, jedoh niht in enthalten sind. Wir erkennen, dass das Komplement nihts anderes als eine spezielle Fonn der Differenz ist, d. h. = \ gilt. Es gilt außerdem, dass das Komplement eines Komplements wieder die Ursprungsmenge liefert. Im obigen eispiel ist das Komplement von = {4; S} nämlih gerade = {1; 2; 3}. 2.3 Mengenalgebra Für die in bshnitt I 2.2 behandelten Mengenoperationen gelten eine Reihe spezieller Gesetze und Regeln, welhe in der folgenden Tabelle zusammengefasst sind. Dem aufmerksamen Leser wird bei genauerer etrahtung auffallen, dass wir einige davon bereits implizit im Text behandelt haben. Gesetz Idempotenzgesetze Identitätsgesetze Komplementgesetze Kommutativgesetze ssoziativgesetze Distributivgesetze De Morgans Gesetze edeutung u= n= u0= uq=q n0=0 nq= u-q n=0 u-u n=n C u ) u C - u C u C) C n ) n C = n ( n C) u C n C) = C u ) n C u C) n C u C) = C n ) u C n C) C u) = n C n) - u
14 I llgemeine Grundlagen Da die Distributivgesetze und die Gesetzte von De Morgan anders als die anderen niht auf den ersten lik nahzuvollziehen sind, betrahten wir im Folgenden die ussagen dieser Gesetze nohmals in Fonn von Venn-Oiagrammen, bei denen wir zur besseren Übersiht Rehteke zur Symbolisierung von Mengen verwenden. Die nmerkungen in Klammem beziehen sih dabei jeweils auf das Ergebnis der Mengenoperationen. eginnen wir zunähst mit den beiden Oistributivgesetzen: u(nc) (einfah u. doppelt shraffiert) (u)n(uc) (doppelt shraffiert) n(uc) (doppelt shraffiert) ( n ) u ( n C) (einfah u. doppelt shraffiert) Oe Morgans Gesetze lassen sih wie folgt veranshaulihen: Cl Cl (u) (einfah shraffiert) n (doppelt shraffiert) 1IIIIIIIIIIIil~II::: ::II~IIIIIIIIIIIIIII (n) (einfah shraffiert) Cl u (einfah u. doppelt shraffiert)
http://www.springer.om/978-3-658-02733-9