Aufgabe Aufgabe 2 Übungsblatt 7 zur Vorlesung Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik für Informatiker.2.202
Aufgabe Aufgabe 2 Bei einem Zufallsexperiment werden zwei Würfel geworfen und die Augensumme das Maximum der beiden gewürfelten Augenzahlen bestimmt. a) Wie sehen Zähldichte bzw. Verteilungsfunktion von Augensumme und Maximum der Augenzahlen für zwei faire, sechsseitige Würfel aus? b) Wie groß ist im in a) geschilderten Fall die W keit für einen Pasch? Wie groß ist die W keit für eine Augensumme >? c) Wie sehen Zähldichte und Verteilungsfunktion für vier- bzw. n-seitige Würfel aus? d) Bestimmen Sie die Zähldichte für den Fall, dass die verwendeten Würfel vier Seiten haben, die Würfel aber insofern nicht mehr fair sind, als dass die W keiten für eine oder doppelt so hoch sind wie für eine 2 oder.
Aufgabe Aufgabe 2 a) Beim Wurf von zwei sechsseitigen Würfeln sind 2 = Kombinationen möglich: Summe Maximum Summe Maximum Summe Maximum (,) 2 (,2) 2 (,) (,) 5 (,5) 5 (,) 7 (2,) 2 (2,2) 2 (2,) 5 (2,) (2,5) 7 5 (2,) 8 (,) (,2) 5 (,) (,) 7 (,5) 8 5 (,) 9 (,) 5 (,2) (,) 7 (,) 8 (,5) 9 5 (,) 0 (5,) 5 (5,2) 7 5 (5,) 8 5 (5,) 9 5 (5,5) 0 5 (5,) (,) 7 (,2) 8 (,) 9 (,) 0 (,5) (,) 2 Daraus ergeben sich für p(x) und F (x): Summe 2 5 7 8 9 0 2 F (x) = P(X x) 2 0 5 5 2 5 2 0 2 5
Aufgabe Aufgabe 2 a) Beim Wurf von zwei sechsseitigen Würfeln sind 2 = Kombinationen möglich: Summe Maximum Summe Maximum Summe Maximum (,) 2 (,2) 2 (,) (,) 5 (,5) 5 (,) 7 (2,) 2 (2,2) 2 (2,) 5 (2,) (2,5) 7 5 (2,) 8 (,) (,2) 5 (,) (,) 7 (,5) 8 5 (,) 9 (,) 5 (,2) (,) 7 (,) 8 (,5) 9 5 (,) 0 (5,) 5 (5,2) 7 5 (5,) 8 5 (5,) 9 5 (5,5) 0 5 (5,) (,) 7 (,2) 8 (,) 9 (,) 0 (,5) (,) 2 Daraus ergeben sich für p(x) und F (x): Maximum 2 5 F (x) = P(X x) 5 9 7 9 25
Aufgabe Aufgabe 2 b) Es gibt genau sechs Paschkombinationen: (,), (2,2), (,), (,), (5,5), (,) Die Wahrscheinlichkeit für einen Pasch beträgt daher =. Die Wahrscheinlichkeit für eine Augensumme größer, lässt sich an der Verteilungsfunktion ablesen: Summe 2 5 7 8 9 0 2 F (x) = P(X x) Es gilt: 0 5 2 2 0 P(X > ) = P(X ) = 5 = 2 = 7 2 5
Aufgabe Aufgabe 2 c) Wenn die Würfel vier statt sechs Seiten haben, gibt es nur die folgenden 2 = Kombinationen: Summe Maximum Summe Maximum Summe Maximum (,) 2 (,2) 2 (,) (,) 5 (2,) 2 (2,2) 2 (2,) 5 (2,) (,) (,2) 5 (,) (,) 7 (,) 5 (,2) (,) 7 (,) 8 Daraus ergeben sich für p(x) und F (x): Summe 2 5 7 8 F (x) = P(X x) 2 0 Maximum 2 F (x) = P(X x) 5 7 9 2 5
Aufgabe Aufgabe 2 c) Wie sieht es allgemein für n-seitige Würfel aus? (, ) (, 2) (2, ) (, ) (2, 2) (, )...... (, n) (2, n ) (, n 2)... (n, ) (2, n) (, n )... (n, 2) (, n)........ (n, n) Summe 2... n n+ n+2... 2n 2 n n 2 n... 2 n 2 n n 2 n n 2... n 2
Aufgabe Aufgabe 2 c) Wie sieht es allgemein für n-seitige Würfel aus? (, ) (2, ) (, )... (k, )... (n, ) (, 2) (2, 2) (, 2)... (k, 2)... (n, 2) (, ) (2, ) (, )... (k, )... (n, )........... (, k) (2, k) (, k)... (k, k)... (n, k)......... (, n) (2, n) (, n)... (k, n)... (n, n) Maximum 2... k... n 9 k F (x) = P(X x) n 2 n 2 n... 2 2 n... 2 5 2k 2n n 2 n 2 n... 2 n... 2 n 2
Aufgabe Aufgabe 2 d) Unfairer vierseitiger Würfel: W keit für oder doppelt so hoch wie für 2 oder. Es gibt wieder Fälle, diese sind hier jedoch nicht gleichwahrscheinlich! Eine mögliche Lösung: Betrachte fairen sechsseitigen Würfel. 2 5 Wird eine 5 geworfen, so werte dies als ; eine analog als 2. 2 2 2
Aufgabe Aufgabe 2 d) Aus den 2 = Kombinationen wird also: Summe Maximum Summe Maximum Summe Maximum (,) 2 (,2) 2 (,) (,) 5 (,) 2 (,) 5 (2,) 2 (2,2) 2 (2,) 5 (2,) (2,) 2 (2,) (,) (,2) 5 (,) (,) 7 (,) (,) 7 (,) 5 (,2) (,) 7 (,) 8 (,) 5 (,) 8 (,) 2 (,2) 2 (,) (,) 5 (,) 2 (,) 5 (,) 5 (,2) (,) 7 (,) 8 (,) 5 (,) 8 Daraus ergeben sich für p(x) und F (x): Summe 2 5 7 8 5 0 5 Maximum 2 Die Paschchance beträgt hier übrigens 0. 5 7 20
Aufgabe Aufgabe 2 Die Verteilung einer Zufallsvariablen X habe die folgende Dichte: f (x) = { c x 2 ( x) falls 0 x 0 sonst a) Bestimmen Sie die Konstante c. b) Berechnen Sie die Verteilungsfunktion von X. c) Wie groß sind die folgenden Wahrscheinlichkeiten? P(X > 0.5) P(X 0.5) P( X 2 ) P(X 5)
Aufgabe Aufgabe 2 a) Was muss die Konstante c erfüllen, damit es sich bei f (x) wirklich um eine Dichtefunktion handelt? Das Integral + f (t)dt muss den Wert annehmen. + f (t)dt = 0 f (t)dt + 0 f (t)dt + + f (t)dt = 0 + 0 f (t)dt + 0 = 0 f (t)dt = 0 c t2 ( t)dt = 0 c (t2 t )dt = c 0 (t2 t )dt = c = c ( ) = c 2 [ t t] Damit diese Forderung erfüllt ist, muss c also den Wert 2 haben. 0
Aufgabe Aufgabe 2 b) Die Verteilungsfunktion einer Zufallsvariablen ergibt sich über: F (x) = x f (t)dt Für x < 0 ist F (x) gleich Null, da hier die Dichtefunktion überall gleich Null ist. Für x > ist F (x) gleich Eins. Den Bereich dazwischen hatten wir in a) schon untersucht: x 0 f (t) dt = 2 [ t t] x 0 = x x Wir erhalten zusammengenommen also: F (x) = 0 falls x < 0 x x falls 0 x falls x >
Aufgabe Aufgabe 2 c) Wie groß sind die folgenden Wahrscheinlichkeiten? P(X > 0.5) P(X 0.5) P( X 2 ) P(X 5) P(X > 0.5) = P(X 0.5) = F (0.5) = ( 2 ) + ( 2 ) = P(X 0.5) = P(X > 0.5) + P(X = 0.5) = + 0 = P( X 2 ) = P( < X 2 ) = F ( 2 ) F ( ) P(X 5) = = ( 8 27 8 ) ( 27 8 ) = 28 27 5 8 = 9 8