1 Abiturprüfung Mathematik 213 Baden-Württemberg Allgemeinbildende Gymnasien Wahlteil Analytische Geometrie / Stochastik Aufgabe B 2 - Lösungen klaus_messner@web.de www.elearning-freiburg.de
2 Aufgabe B 2.1 In einem würfelförmigen Ausstellungsraum mit der Kantenlänge Meter ist ein dreieckiges Segeltuch aufgespannt. Es ist im Punkt F sowie in den Kantenmitten M 1 und M 2 befestigt (siehe Abbildung). Es wird angenommen, dass das Segeltuch nicht durchhängt. In einem Koordinatensystem stellen die Punkte A, C und H die entsprechenden Ecken des Raumes dar. E M 1 A M 2 H D F B G C
3 a) Bestimmen Sie eine Koordinatengleichung der Ebene S, in der das Segeltuch liegt. Zeigen Sie, dass das Segeltuch die Form eines gleichschenkligen Dreiecks hat. Berechnen Sie den Flächeninhalt des Segeltuchs. Welchen Abstand hat das Segeltuch von der Ecke E? (Teilergebnis: S: 2x 1 x 2 + 2x 3 = 24) b) Auf der Diagonalen AC steht eine 6 Meter hohe Stange senkrecht auf dem Boden. Das obere Ende der Stange berührt das Segeltuch. In welchem Punkt befindet sich das untere Ende der Stange? (6 VP) (3 VP)
4 Aufgabe B 2.2 Auf zwei Glücksrädern befinden sich jeweils sechs gleich große Felder. Bei jedem Spiel werden die Räder einmal in Drehung versetzt. Sie laufen dann unabhängig voneinander aus und bleiben so stehen, dass von jedem Rad genau ein Feld im Rahmen sichtbar ist. Rahmen
5 a) Zunächst werden die Räder als ideal angenommen. Bei einem Einsatz von,2 sind folgende Auszahlungen vorgesehen: Stern Stern 2, Diamant Diamant,5 Kleeblatt Kleeblatt,2 In allen anderen Fällen wird nichts ausbezahlt. Weisen Sie nach, dass das Spiel fair ist. Nun möchte der Veranstalter auf lange Sicht pro Spiel 5 Cent Gewinn erzielen. Dazu soll nur der Auszahlungsbetrag für Diamant - Diamant geändert werden. Berechnen Sie diesen neuen Auszahlungsbetrag. (3 VP)
6 b) Es besteht der Verdacht, dass die Wahrscheinlichkeit p für Stern - Stern geringer als 1 ist. Daher soll ein Test mit 5 Spielen durchgeführt 36 werden. Formulieren Sie die Entscheidungsregel für die Nullhypothese H : p 1, wenn die Irrtumswahrscheinlichkeit höchstens 5% betragen 36 soll. (3 VP)
7 Lösung Aufgabe B 2.1 a) Koordinatengleichung der Ebene S Mit M 1 4, M 2 (4 ) und F( ) bilden wir zunächst die zwei Richtungsvektoren FM 1 und FM 2 und erhalten FM 1 = 4 = sowie FM 2 = 4 = Mit Hilfe des Vektorprodukts erhält man daraus einen Normalenvektor: n = A C H = 32 16 32.
F( ) Wahlteil 213 Aufgabe B 2 Da es auf die Länge des Normalenvektors nicht ankommt, teilen wir n durch 16 und erhalten n = 2 1 2. Daraus ergibt sich die Koordinatenform von S mit S: 2x 1 x 2 + 2x 3 = d mit noch unbekanntem d. Da F in S liegt folgt durch Einsetzen 2 + 2 = 24 = d. Ergebnis: Die Ebene S hat die Koordinatengleichung S: 2x 1 x 2 + 2x 3 = 24.
9 Nachweis der Gleichschenkligkeit des Segeltuchs Aus der vorherigen Aufgabe wissen wir FM 1 = und FM 2 =. Für die Längen gilt: FM 1 = 2 + 2 + 2 = und FM 2 = 2 + 2 + 2 = M 1 4 M 2 (4 ) F( ) F M 1 M 2 Wie man sieht gilt FM 1 gleichschenklig! = FM 2 und damit ist das Segeltuch
1 Flächeninhalt des Segeltuchs In einem gleichschenkligen Dreieck steht die Höhe h auf der Mitte der Grundseite. Mit M 3 6 6 folgt h = M 3 F = 2 2 = 2 2 + 2 + 2 2 = 72. Die Länge der Grundseite ist gegeben durch M 1 M 2 = Schließlich folgt A = 1 2 h M 1M 2 = 1 2 72 32 = 24. M 1 4 M 2 (4 ) F( ) 4 F h M 1 M 2 M 3 = 32. Ergebnis: Das Segeltuch hat einen Flächeninhalt von 24 m 2.
11 Abstand hat das Segeltuch von der Ecke E Aus Teilaufgabe a) kennen wir eine Koordinatengleichung des Segeltuchs S: 2x 1 x 2 + 2x 3 = 24. Daraus ergibt sich die HNF S: 2x 1 x 2 +2x 3 24 =. 3 Den Abstand des Punktes E zu S erhält man durch Einsetzen wie folgt: d E, S = 2 + 2 24 = 3 3 2,67 Ergebnis: Das Segeltuch ist etwa 2,67 m von der Ecke E entfernt.
S: 2x 1 x 2 + 2x 3 = 24 Wahlteil 213 Aufgabe B 2 12 b) Bestimmung des unteren Punktes der Stange Die Gerade durch A und C ist gegeben durch g: x = a + t c a = + t Ein Punkt P auf g hat somit die Koordinaten P t t. Ein Punkt Q, 6 Meter senkrecht über P hat die Koordinaten Q t t 6. Da Q in S liegen soll muss Q der Koordinatengleichung von S genügen, d.h. 2 t t + 2 6 = 24. Damit erhält man t = 1. In P eingesetzt 6 liefert dies P 1 1 2 4 also P. 6 6 3 6 Ergebnis: Die Stange ist am Punkt P 2 3 4 6 verankert. A C A Q P C
13 Lösung Aufgabe B 2.2 a) Nachweis, dass das Spiel fair ist Es seien K=Kleeblatt, S=Stern und D=Diamant Die Wahrscheinlichkeiten für ein Glücksrad sind: Einsatz,2 S,S 2, D,D,5 K,K,2 andere, P(K) = 3 6, P(S) = 1 6, P(D) = 2 6 Bei zwei identischen Glücksrädern und unabhängigen Drehungen gilt dann: P S, S = 1 6 1 6 = 1 36, P D, D = 2 6 2 6 = 4 36, P K, K = 3 6 3 6 = 9 und P alle anderen Kombinationen = 1 1 + 4 + 9 = 22 36 36 36 36 Die Zufallsvariable X steht nachfolgend für die verschiedenen möglichen Gewinne. Somit kann X die Werte 2;,5;,2 oder annehmen. 36
14 Es folgt P X = 2 = P S, S = 1 36, P X =,5 = P D, D = 4 36, P X =,2 = P K, K = 9 22 und P X = = P andere =. 36 36 Damit lässt sich nun der Erwartungswert bestimmen: E X = 2 P X = 2 +,5 P X =,5 +,2 P X =,2 + P X = = 2 1 36 +,5 4 36 +,2 9 36 + =,2 Ergebnis: Auf lange Sicht kann man einen Gewinn von 2 Cent pro Spiel erwarten. Dies entspricht aber genau dem Einsatz, d.h. das Spiel ist fair!
15 Neuer Auszahlungsbetrag für Diamant - Diamant Der Veranstalter möchte auf lange Sicht 5 Cent pro Spiel gewinnen. Da der Einsatz nach wie vor,2 beträgt, muss nun der Erwartungswert, also der erwartete Gewinn pro Spiel, auf,15 zurückgesetzt werden. Wir setzen, wie verlangt, den Gewinn für Diamant-Diamant neu an und nennen diesen a. Damit gilt: E X = 2 P X = 2 + a P X = a +,2 P X =,2 = 2 1 36 + a 4 36 +,2 9 36 =,15 Auflösen nach a liefert a =,4. Ergebnis: Der neue Auszahlbetrag für Diamant-Diamant liegt bei,4.
16 b) Entscheidungsregel für die Nullhypothese Gegeben sind folgende Daten: Irrtumswahrscheinlichkeit α,5, Anzahl Versuche n = 5, Trefferwahrscheinlichkeit p = 1 36 und die Nullhypothese H : p 1 36. Die Zufallsvariable X stehe nun für die Anzahl der Treffer (also für die Anzahl Stern-Stern ). Dann ist X B 1 5; verteilt. 36 H wird abgelehnt, wenn die Anzahl der tatsächlichen Treffer in der Versuchsreihe kleiner als erwartet ist. Somit führen wir einen linksseitigen Test durch und das Ablehnungsintervall hat die Gestalt k.
17 Gesucht wird also ein k für das P X k,5 ist. Um dieses k zu finden, geben Sie bei Y 1 im GTR den Ausdruck binomcdf(5,1/36,x) ein und lassen sich über 2ND TABLE die Wertetabelle anzeigen. Man liest ab P(X <= 7 ) =,32 <,5 und P(X ) =,63 >,5. Mit dem Wert k = 7 liegt man also noch unter der Irrtumswahrscheinlichkeit mit k = liegt man erstmals darüber. Entscheidungsregel: Die Nullhypothese wird abgelehnt, wenn bei 5 Spielen höchstens sieben Mal die Kombination Stern-Stern beobachtet wird.