PN1 Einführung in die Physik für Chemiker 1 Prof. J. Lipfert WS 2014/15 Lösung Übungsblatt 8 Lösung Übungsblatt 8 Besprechung am 02.11.2014 Aufgabe 1 Impulserhaltung : Zwei Personen der Massen m 1 und m 2 und den Geschwindigkeiten v1 = v2 = 15km/h rennen in der Universität auf dem Flur frontal ineinander. Beim Aufprallen halten sich die Personen aneinander fest und bewegen sich gemeinsam weiter. Wie groß ist die Geschwindigkeit der beiden Personen nach dem Stoß bei einem Massenverhältnis von: a) 1 : 1 (Student gegen Student) b) 2 : 1 (Technischer Assisstent gegen Student) c) 10 : 1 (Sehr dicker Professor gegen Student) d) in welche Richtung bewegen sich die Personen in den jeweiligen F allen e) Was passiert im Fall c), wenn sich die Personen nicht aneinander festhalten (der Bauch des Professors ist perfekt elastisch). Welche Geschwindigkeit hat der Student nach dem Zusammenstoß? Lösung: Inelastischer Stoß: Alle Massen bewegen sich als Eine einzige, mit der Geschwindigkeit v, weiter. m 1 v 1 + m 2 v 2 = (m 1 + m 2 ) v (1) v = m 1 v 1 + m 2 v 2 (m 1 + m 2 ) (2) Elastischer Stoß: Alle Massen bewegen sich nach dem Stoß mit verschiedenen Geschwindigkeiten weiter. Zur Lösung benötigen wir Energie- und Impulserhaltung: 1
m 1 v 1 + m 2 v 2 = m 1 v 1 + m 2 v 2 (3) m 1 2 v 1 2 + m 2 2 v 2 2 = m 1 2 v 1 2 + m 2 2 v 2 2 (4) a) Personen halten sich fest: Stoß ist Unelastisch aus (2) folgt: v = 0 v 1 = m 1 v 1 + m 2 (2v 2 v 1 ) m 1 + m 2 (5) v 2 = m 2 v 2 + m 1 (2v 1 v 2 ) m 1 + m 2 (6) b) aus (2) folgt: v = v 3 = 5 km h c) aus (2) folgt: v = 9 v 11 = 12, 27 km h d) jeweils in die Richtung der größeren Masse e) aus (5) folgt: v Prof = 7 v 11 = 9, 54 km h aus (6) folgt: v Student = 29 v 11 = 39, 54 km h Aufgabe 2 Gyrobus: Ein Bus (m B = 1000kg) soll eine 1km lange Passstraße hochfahren. a) Wenn wir Reibungsverluste vernachlässigen, wie viel Energie ist dafür nötig? b) Wenn wir einfach durch schnelles Fahren SSchwungnehmen, wie viel (kinetische) Energie können wir speichern, wenn der Bus mit v B = 100 km auf den Berg zu fährt? h Reicht das aus, um den Berg hoch zu fahren? Wie hoch kommen wir damit? c) Jetzt benutzten wir eine zylindrische Schwungscheibe (m s = 300kg) aus Stahl, mit einem Radius von r = 0, 5m. Das Trägheitsmoment ist durch J S = 1mr 2 gegeben. 2 Die Scheibe wird auf 7000rpm beschleunigt. Reicht die gespeicherte Energie aus, den Pass hoch zu fahren? 2
Lösung: a) E = m g h = m g h = 9, 81 10 6 J (7) b) E kin = 1 2 m v 2 = 3, 86 10 5 J (8) E kin = E pot (9) 1 2 m v 2 = m g h (10) h = v 2 = 39, 33m 2 g (11) c) E rot = 1 2 J ω2 = 1 2 1 2 m r 2 (2 π f ) 2 (12) E rot = 1 2 1 2 m r 2 (2 π 7000 60s )2 (13) E rot = 10, 06 10 6 J (14) Aufgabe 3 Der Brunnen: Ein Wassereimer (m = 5kg) hängt an einem Seil (l = 8m), das um die Welle (r = 7cm) eines Handrades gewickelt ist. Das Rad und die Welle haben zusammen einen Trägheitsmoment von J Rad = 1, 3kg m 2. Gerade als der volle Eimer oben angekommen ist wird die Kurbel plötzlich losgelassen und der Eimer fällt in den Brunnen. Welche Geschwindigkeit hat der Eimer erreicht als sich das Seil komplett abgewickelt hat? Lösung: Der Eimer übt eine Kraft auf die Rolle aus, welche sich durch einen Drehmoment F g r äussert. Diese Kraft wirkt gegen das Trägheitsmoment des Rads und erzeugt eine Beschleunigung des Rads. Mit: J = Trägheitsmoment α = a r = Winkelbeschleunigung F g r = m g r = Durch Gewicht des Eimers erzeugtes Drehmoment 3
Abbildung 1: Das Förderrad des Brunnens J α = F g r (15) J a r = m g r (16) a = m g r 2 J (17) (18) Eingesetzt in v = 2 l a ergibt: 2 8 m 5 kg 9, 81m s 2 (0, 07 m) v = 2 1, 3 kg m 2 = 1, 72 m s 1 Alternativ ist es möglich diese Aufgabe mittels Energieerhaltung zu lösen. Die Potentielle Energie am Anfang entspricht der kinetischen Energie des Eimers und der Rotationsenergie des Förderrads am Ende. Dies führt natürlich zur gleichen Lösung E pot = E kin + E rot m g h = 1 2 m v 2 + 1 2 J ω2 mit ω = v r m g h = 1 2 m v 2 + 1 2 J (v r )2 m g h = 1 2 v 2 (m + J 1 r ) 2 2 m g h v = m + J 1 r 2 4
Aufgabe 4 Trouble with Rockets: In der Vorlesung haben Sie die sogenannte Raketengleichung (1) kennengelernt. v end = v Treibstoff ln ( mgesamt ) (19) a) Stellen Sie das Verhältnis von Endgeschwindigkeit und Ausstoßgeschwindigkeit des Treibstoffes als Funktion des Verhältnisses von Gesamt- zu Leermasse dar. Also in der Form: v = v end v Treibstoff =... m Treibstoff (20) Hinweis: m gesamt = + m Treibstoff b) Tragen Sie Geschwindigkeit v gegen die Masse m = m Treibstoff Sie? auf. Was bemerken c) Um vollständig aus dem Gravitationsfeld der Erde zu gelangen ist eine Endgeschwindigkeit von ca. 10km s 1 notwendig. Kann eine einzelne Rakete diese Geschwindigkeit erreichen wenn nur ein Verhältnis m Treibstoff von 15 : 1 technisch umsetzbar ist und die Ausstoßgeschwindigkeit des Treibstoffes 2500ms 1 beträgt? Wie groß müsste das Verhältnis sein um diese Geschwindigkeit zu erreichen? Wie wird dieses Problem in der Raumfahrt gelöst? Lösung: a) v end ( mges ) = ln v Treib m ( leer ) v end mtreib + = ln v Treib m ( leer v end = ln 1 + m ) Treib v Treib (21) (22) (23) b) Hohe Endgeschwindigkeiten sind auch bei großen Verhältnissen von Treibstoff- zu Leermasse nur schwer zu erreichen. 5
Abbildung 2: Verhältnis von Geschwindigkeit zu Masse c) v end = v Treib 2500ms 1 ln ( 1 + 15 ) 1 (24) v end = 2500 ln(16) = 6931, 5ms 1 (25) Ein Verhältnis von 15 : 1 reicht nicht aus. v end = v Treib 2500ms 1 ln(1 + x) (26) 10 10 3 ms 1 = 2500ms 1 ln(1 + x) (27) 1 + x = exp(10000/2500) = exp(4) (28) x = exp(4) 1 = 53, 6 (29) Das Problem kann durch eine mehrstufige Rakete gelöst werden. Der erste Rakete wird nach dem ausbrennen abgesprengt, erst danach zünden die übrigen Raketen. (30) 6