Vorkurs Mathematik-Physik, Teil 9 c 2016 A. Kersch

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1 Vorkurs Mathematik-Physik, Teil 9 c 2016 A. Kersch 1 Erhaltungsgrößen und Erhaltungssätze 1.1 Überblick Als Erhaltungssatz bezeichnet man in der Physik die Formulierung der beobachteten Tatsache, dass sich der Wert einer Größe, Erhaltungsgröße genannt, in bestimmten physikalischen Prozessen nicht ändert. Der bekannteste Erhaltungssatz ist der der Energie. Umgangssprachlich lautet er: Was man vorn an Energie hineinsteckt, kommt auch hinten wieder heraus; es geht keine Energie verloren und es entsteht keine aus dem Nichts. Wir beschäftigen uns hier mit den Erhaltungssätzen für die Größen Energie, Impuls, Drehimpuls. In der Natur gibt es aber noch weitere Erhaltungsgrößen. 1.2 Arbeit und Energie Arbeit ist Kraft mal Weg Die Arbeit W für eine vektorielle Kraft und einen Weg mit Richtung W = F d r Einheit 1 N m = 1 J = 1Joule Die Arbeit ist ein Skalar, d.h. eine Größe ohne Richtung. Das Integral ist ein (Kurven-, Linien- oder ) Wegintegral und lässt sich durch ein (gewöhnliches) bestimmtes Integral ausdrücken, wenn Kraft und Weg explizit gegeben sind. Dabei wird das Skalarprodukt ausgewertet F d r = F dr cos ϕ Beispiel Arbeit zum Ziehen eines Schlittens. Gleiten ohne Beschleunigung, wenn die resultierende Kraft (nach Überwinden der Haftreibung) in horizontaler Richtung exakt Null ist, also wenn gilt (die Normalkraft hängt vom Winkel θ ab) F cos θ = F R = µ G F N = µ G (mg F sin θ) Die gesuchte Kraft ergibt sich durch Auflösen nach F, anschliessend die Arbeit für ein Wegstück dr F = µ G m g Hubarbeit 1 cos θ + µ G sin θ F d r = F cos θ dr = µg m g Hubarbeit wird z.b. von einem Auto verrichtet, welches den Berg hinauf fährt. cos θ cos θ + µ G sin θ dr Kräftegleichgewicht Weg mit konstanter Steigung. Weg mit veränderlicher Steigung.

2 Dabei ist die Kraft des Motors F M entgegen die Kraft des Schwerefeldes (genauer: Hangabtriebskraft F H ) gerichtet. F M = F H W Hub = F M d s = F H d s = F g d s F H = m g sin θ h = s sin θ Die Höhe des Berges sei h. Die erforderliche Arbeit wird für zwei Wege ausgerechnet: (i) der erste Weg verläuft in Richtung s die Rampe hoch. Dabei ändert sich der Winkel θ nicht s W Hub = F g d s = m g sin θ ds = m g s sin θ = m g h 0 (ii) der zweite Weg hat eine veränderliche Steigung, welche näherungsweise durch Rampenlängen r i und Rampenhöhen h i beschrieben werden, welche jeweils wie die konstante Rampe beschrieben werden W Hub = F g d s = F g s i = F g h i = m g h i = m g h Gravitationsarbeit i=1,...,n i=1,...,n i=1,...,n Die Gravitationskraft ist (Ursprung des Koordinatensystems im Zentrum von M) F G = G mm r 2 e 11 m3 r G = kg s Die Arbeit im Gravitationsfeld auf einem Weg r 1 r 2 lautet W G = r 1 r 2 F d r = r 1 r 2 FG d r = r 1 r 2 G mm r 2 e r d r = GmM r 2 r 1 dr r 2 = GmM ( 1 ) r 2 ( 1 = GmM 1 ) r r 1 r 2 r 1 Wenn das Gravitationsfeld in der unmittelbaren Nähe der Erdoberfläche betrachtet wird (r als Konstante r Erde angenommen), ergibt sich das Schwerefeld mit (bei geringem Höhenunterschied) konstanter Kraft als F G (r = r Erde ) = G mm Erde rerde 2 e r = m g e r g = G M Erde r 2 Erde Aufgabe: berechnen Sie g, gegeben ist r Erde = 6378km, ρ Erde = 5515kg/m 3 Hubarbeit im Schwerefeld Arbeit im Gravitationsfeld Gravitationsfeld im Bereich des Erdradius Spannarbeit Beim Spannen einer Feder muss gegen die Rückstellkraft Arbeit geleistet werden F S = k x = k x wobei k die Federkonstante (Einheit [N/m]) ist, welche die Stärke der Feder beschreibt

3 Auslenkung und Kraft Arbeit an der Feder Die Spannarbeit ist daher W S = F dx = F S dx = k x dx = k x 1 x 2 x 1 x 2 x 1 x 2 x 2 x 1 x dx = k x 2 2 x 2 = 1 x 1 2 k ( x 2 2 x 2 ) 1 Beispiel Kraft, die benötigt wird, um eine nichtlineare Feder von 0 bis x zusammenzudrücken. Gegeben ist F (x) = k x + a x 3 + b x 4 mit a, b = const. W S = x Beschleunigungsarbeit 0 ( 1 2 k x a x ) 5 b x5 0 dx = 1 2 kx ax bx6 0 Beim Beschleunigen eines Massenpunktes entlang eines Weges muss eine Kraft ausgeübt werden. Die erforderliche Kraft kann dem 2. Newton schen Gesetz entnommen werden F = m a Wir können diese Kraft so interpretieren, als ob eine Gegenkraft kompensiert werden muss, die Trägheitskraft (oder d Alembert-Kraft, siehe Technische Mechanik) F = m a = F T Diese Interpretation ist nützlich, um die Dynamik mit dem gleichen Formalismus wie die Statik zu behandeln (Zerlegen in Teilsysteme = Freischneiden, in denen jeweils Gleichgewicht von Kräften und Momenten herrscht). Im Newton schen Sinne ist jedoch die Trägheitskraft keine echte Kraft (echte Kräfte beschleunigen ja Massenpunkte), sondern eine Scheinkraft (später ausführlich). Die Beschleunigungsarbeit ist W K = = r(t 2) r(t 1) F d r = m dv dt dr = t 2 t 1 m F T d r = dv dr dt dt dt = m a d r = t 2 t 1 r 2 r 1 dv m v dt dt = m a dr v(t 2) v(t 1) m v dv Substitutionsregel = v 2 v 1 m v dv = 1 2 m v2 v2 = 1 v 1 2 m ( v2 2 v1 2 )

4 Diese Arbeit hängt nun von den Anfangs- und Endgeschwindigkeiten der Bewegung ab. Die Arbeit kann beim Abbremsen wieder entnommen werden. Die in die Beschleunigung gesteckte Arbeit wird kinetische Energie genannt. Ein Körper der Masse m und der Geschwindigkeit v hat daher eine kinetische Energie von W = 1 2 m v2 geradlinige Bewegung W = 1 2 m ( vx 2 + vy 2 + vz 2 ) Bewegung in 3D Erhaltung der Energie in der Mechanik Energieerhaltungssatz der Mechanik In einem abgeschlossenen System ohne dissipative Kräfte (Reibung) ist die mechanische Gesamtenergie, d.h. die Summe aus potentieller Energie und kinetischer Energie, zeitlich konstant. E ges = E pot + E kin = const. Auch mit Reibung bleibt der Energieerhaltungssatz gültig. Man muss jetzt aber auch die durch Reibung erzeugte Wärmeenergie mit in die Energiebilanz aufnehmen Leistung Die Leistung ist ein Maßfür die Effektivität eines Vorganges, bei dem Arbeit verrichtet wird bzw. Energie zur Verfügung gestellt wird. Die momentane Leistung ergibt sich als Grenzwert, und kann mit der momentanen Kraft auf den Massenpunkt und der momentanen Geschwindigkeit in Verbindung gebracht werden P (t) = dw t 1 t dt Herleitung (1-dimensionaler Weg): = F (t) d s dt P (t) = d dt W t 1 t = d dt = F (t) v(t) [P ] = 1 W = 1W att = 1 J/ s r(t) r(t 1) F ds = dr d dt dr r(t) r(t 1) F ds = dr F (r) = F (r) v dt Wenn die Momentan-Leistung bekannt ist, kann die insgesamt aufgewandte Arbeit (oder erbrachte Energie) durch Integration über die Zeit berechnet werden P (t) = F (t) d s dt = F (t) d s = P (t)dt = Wt1 t 2 = P (t)dt t 2 t 1 Beispiel: Welche Leistung ist erforderlich, um ein Fahrzeug (m = 1000kg) auf dem Mond (gemeint ist natürlich unter Vernachlässigung des Luftreibungswiderstandes) in 10s von 0km/h auf 100km/h zu beschleunigen? E kin (t = 10s) = 0 E kin (t = 10s) = m 2 v2 = 1000kg 2 ( ) 2 100m = 386kJ P = E kin = 386kJ 3.6s t 10s = 38.6kW Beispiel: Ohne Reibung gäbe es eine unendliche Höchstgeschwindigkeit. Die Höchstgeschwindigkeit ist jedoch neben der Motorleistung (hier P = 80kW ) durch die Luftreibung festgelegt. Berechnen Sie unter Annahme des Newton schen Luftreibungsgesetzes F N = c w ρv 2 A/2 die Maximalgeschwindigkeit. Das Auto habe einen Widerstandsbeiwert von c w = 1 und einen Querschnitt von A = 2m 1m (ρ Luft = 1kg/m 3 ) P = F N v = c w ρv 3 A ( ) 1/3 ( ) 1/3 2P W 2 = v = = c w ρa 1kg/m 3 2m 2 = m s = 155.1km h

5 1.3 Impuls und Stoß Erhaltungssätze in der Physik Warum gibt es Erhaltungssätze? Die Frage kann von der Physik beantwortet werden: Erhaltungssätze folgen aus Symmetrien der Naturgesetze (Emmy Noether 1918). Beispiele: der Energieerhaltungssatz folgt aus der Homogenität der Zeit (WANN? spielt keine Rolle). Die grundlegenden Gesetze (z.b. Newton 1-4) lauten zu jedem Zeitpunkt gleich. der Impulserhaltungssatz folgt aus der Translations-Invarianz des Raums (WO? spielt keine Rolle). Die grundlegenden Gesetze (z.b. Newton 1-4) lauten an jedem Ort gleich. der Drehimpulserhaltungssatz folgt aus Rotations-Invarianz des Raums (WOHIN? spielt keine Rolle). Die grundlegenden Gesetze (z.b. Newton 1-4) lauten aus jeder Richtung betrachtet gleich. Beim Experiment mit der Pendelkette fällt auf: wenn zwei Kugeln ausgelenkt wurden, werden am Ende der Stoßkaskade genau zwei Kugeln auf die gleiche Höhe gestoßen. Dabei wäre mit der Energieerhaltung verträglich, dass nur eine Kugel die doppelte Höhe angehoben wird. Oder vier um die Hälfte. Es liegt hier offensichtlich eine weitere Erhaltungsgröße vor, welche von der Energieerhaltung verschieden ist. Diese Größe ist der Impuls p = m v [p] = 1 kg m s Pendelkette Impulserhaltung bei 2 Körpern und allgemein Wir betrachten eine zeitlich eingegrenzte Wechselwirkung zweier Körper: einen Stoß. Zeit t 0 Stoßzeit Zeit t 1 Es gilt zu jedem Zeitpunkt der Impulserhaltungssatz und der Schwerpunkt bewegt sich geradlinig gleichförmig weiter p 1 (t) + p 2 (t) = const. Impulserhaltungssatz: In einem abgeschlossenen System (keine äußeren Kräfte) ist die Summe der Impulse aller Körper zeitlich konstant. Der Schwerpunkt eines abgeschlossenen Systems aus wechselwirkenden Körpern bewegt sich geradlinig gleichformig. unabhängig davon, welche Vorgänge im Inneren des Systems ablaufen Änderung des Impulses durch Kraft Wenn das System nicht mehr abgeschlossen ist, also eine Kraft von aussen einwirkt, ändert sich der Impuls (Newton sches Gesetz in verallgemeinerter Form) F = d p dt F dt = d p t 2 t 1 F dt = v(t 2) v(t 1) d p = p 2 p 1

6 1.3.4 Gerader, zentraler, elastischer Stoß Zwei Körper der Masse m 1 und m 2 bewegen sich mit den Geschwindigkeiten v 1 und v 2 aufeinander zu (nur Geschwindigkeitskomponente in Stoßrichtung erforderlich). Ziel ist es, die Geschwindigkeiten v 1 und v 2 nach dem Stoßzu berechnen. zentraler, elastischer Stoß Bei einem elastischen Stoss bbleibt die kinetische Energie erhalten Impulserhaltung m 1 v 1 + m 2 v 2 = m 1 v 1 + m 2 v 2 m 1 kin.energieerhaltung 2 v2 1 + m 2 2 v2 2 = m 1 2 v m 2 2 v 2 2 (1a) Es sind zwei Unbekannte v 1 und v 2 zu finden und es gibt zwei Gleichungen. Jedoch ist das Problem nicht linear. Die Lösung lässt sich trotzdem finden: v 1 = m 1 m 2 v 1 + 2m 2 v 2 m 1 + m 2 m 1 + m 2 v 2 2m 1 = v 1 + m 2 m 1 v 2 m 1 + m 2 m 1 + m 2 Bekannte Spezialfälle ergeben sich aus den Formeln durch Einsetzen 1. zentrale Billardstoß: m 1 = m 2 v 1 = v 2 v 2 = v 1 Richtungen kehren sich um 2. Tennisball auf Tennisschläger: m 1 m 2 v 1 = v v 2 v 2 = v 2 Tennisschläger ändert seine Geschwindigkeit fast nicht, Ball wird reflektiert und bekommt einen zusätzlichen Stoß. 3. elastischer Ball fällt auf festen Boden: m 1 m 2 und v 2 = 0 v 1 = v 1 v 2 = 0 Ball wird vom Boden elastisch reflektiert!

7 1.3.5 Gerader, zentraler, vollständig inelastischer Stoß Der Grenzfall des inelastischen Stoßes ist der vollständig inelastische Stoß, bei dem die beiden Körper aneinander haften bleiben und sich gemeinsam weiterbewegen. Damit gibt es nur noch eine Geschwindigkeit: die Schwerpunktsgeschwindigkeit v S zentraler, vollständig inelastischer Stoß Die Impulserhaltung lautet dann Daraus folgt die Schwerpunktsgeschwindigkeit m 1 v 1 + m 2 v 2 = (m 1 + m 2 ) v S v S = m 1v 1 + m 2 v 2 m 1 + m 2 Da die kinetische Energie nicht erhalten bleibt stellt sich die Frage, wieviel davon in Innere Energie / Wärme übergeht. Da v S bekannt ist, lässt sich diese berechnen Q = E Anfang E Ende Beispiel1: Ein Auto der Masse m 1 = 1t fährt mit v 1 = 50km/h auf ein Auto gleicher Masse und verkeilt sich. Mit welcher Geschwindigkeit bewegen sich die Fahrzeuge weiter? p vorher = m 1 v 1 v S = m 1v 1 + m 2 v 2 m 1 + m 2 = 25km/h Beispiel2: Ein Waggon der Masse M rollt reibungsfrei horizontal mit einer Geschwindigkeit v = 20m/s. Regen fällt vertikal von oben und füllt dadurch den Behälter. Wie großist die Geschwindigkeit, wenn Regen der Masse m gefüllt ist. Warum ist dies in der Horizontalen und Vertikalen ein inelastischer Stoß? Welche Geschwindigkeit V und welcher Anteil der ursprünglichen kinetischen Energie ist noch vorhanden, wenn m = M ist? v S = Mv m + M = v 2, E kin,ende = 1 2 (2M) v2 S = Mv 2 /4 = 1 2 E kin,anfang Drehimpuls In dem Drehschemelexperiment wird sichtbar, dass es eine Bewegungsgröße bei der Drehbewegung gibt, die erhalten ist, wenn von außen keine Kräfte einwirken. Dreh-Schemel Experiment

8 1.3.7 Drehimpuls einer Kreisbewegung Wenn wir die bisherigen Analogien zwischen Translationsbewegung und Kreisbewegung auf den Impuls p = m v anwenden, würden wir einen Drehimpuls als L = J ω definieren. Für eine Punktmasse wäre J = m r 2, damit wäre der Drehimpuls für die Punktmasse L = m r v = r p. Dies könnte vektoriell als L = r p geschrieben werden, da bei der Kreisbewegung r und p senkrecht aufeinander stehen. Ein solcher Drehimpuls wäre bei einer gleichmäßigen Kreisbewegung eine konstante Größe, obwohl der Impuls p sich dauernd ändert. Impuls bei der Kreisbewegung Für die Bewegung eines Massenpunktes bezüglich eines Ursprungs O kann der Drehimpuls definiert werden Drehimpuls L = r p [kg m s 2 ] Drehimpulserhaltung In einem abgeschlossenen System (keine äußeren Drehmomente) ist die Summe der Drehimpulse aller Körper zeitlich konstant. L = L i = const. i Änderung des Drehimpulses bei einem Drehmoment Wenn das System nicht mehr abgeschlossen ist, und von außen ein Drehmoment einwirkt, ändert sich der Drehimpuls des Systems nach dem Euler schen Drehimpulssatz (analog dem 2. Newton schen Gesetz) d L dt = M Zum Verständnis betrachten wir die zeitliche Änderung (mit Hilfe der Produktregel und F = p und weil r p = v m v = 0) d L dt = d dt ( r p) = r p + r p = 0 + r p = r F = M Beispiel: Warum kann ein Fahrzeug (reibungsfrei, mit Anfangsgeschwindigkeit) um die Kurve fahren, ohne langsamer zu werden? Impuls und Drehimpuls bei der Kurvenfahrt

9 Erhaltung des Betrages des Drehimpulses: Drehschemelexperiment Im idealisierten Drehschemelexperiment kann die Masse der Testperson vernachlässigt werden, und die Bewegung reduziert sich auf die Kreisbewegung zweier symmetrisch angeordneter Massepunkte. Dabei treten Zentripetalkräfte auf, jedoch keine Drehmomente, da die Kräfte zum Schwerpunkt gerichtet sind. Die Winkelgeschwindigkeit und der Drehimpuls beider Massepunkte ist gleich großund gleich gerichtet L = r 1 p 1 + r 2 p 2 = 2 r p = 2 m r v = 2 m r 2 ω = J ω Da keine Drehmomente einwirken, bleibt der Drehimpuls erhalten, auch wenn der Radius der Massepunkte verringert wird const. = L = 2 m r 2 1ω 1 = 2 m r 2 2ω 2 ω 2 ω 1 = r2 1 r 2 2 Bei Verringerung des Radius nimmt die Winkelgeschwindigkeit zu Drehschemelexperiment Modell eines ausgewuchteten Reifens ausgewuchteter Reifen Die Radien der Massenpunkte können nur mit Energieaufwand/Verlust verändert werden (das spürt die Testperson auf dem Schemel!). Die Rotationsenergie beträgt Da ω 2 /ω 1 = r 2 1/r 2 2 ist, gilt E rot,1 = J 1 2 ω2 1 = mr 2 1ω 2 1 E rot,2 = J 2 2 ω2 2 = mr 2 2ω 2 2 E rot,2 = mr2 2ω 2 2 E rot,1 mr1 2 = r2 2 r1 4 ω2 1 r1 2 r2 4 Das bedeutet, daßdie kinetische Energie der Rotation nicht erhalten ist, wenn sich r ändert. Aufgabe: Ein eiskunstlaufendes Kind dreht sich bei einer Pirouette zunächst mit ausgestreckten Armen. Wie wirkt sich das Herausziehen der Arme aus auf Massenträgheitsmoment, Drehimpuls, Winkelgeschwindigkeit und kinetische Energie aus? Erhaltungsgrößen und deren Verletzung Es ist wesentlich, einzusehen, daßdrehimpulserhaltung, Impulserhaltung und Energieerhaltung unterschiedliche Vorraussetzungen haben. Überprüfen Sie diese Vorraussetzungen, bevor Sie eine Aufgabe mit einem Erhaltungssatz lösen = r2 1 r 2 2 Drehimpulserhaltung, nur wenn kein äußeres Drehmoment wirkt Impulserhaltung, nur wenn wenn keine äußere Kraft wirkt Energieerhaltung, nur wenn wenn keine Energie zugeführt wird (die kann auch von innerer Energie wie chemischer Energie über Muskelkraft Weg kommen)

10 Erhaltungsgrößen und Bewegungsgleichungen Ein Eimer der Masse m = 10kg hängt an einem Seil. Dieses Seil ist auf eine reibungsfrei gelagerte Trommel mit Masse M = 20kg und Radius R = 10cm gerollt (dünnwandiger Zylinder). Der Eimer wird nun aus h = 2m Höhe losgelassen, wobei sich das Seil ohne Schlupf von der Trommel abwickelt. Wie schnell ist der Eimer, wenn er auf dem Boden aufkommt (Reibung und Masse der Seils können vernachlässigt werden)? Die Aufgabe kann nun durch Aufstellen der Bewegungsgleichungen und Lösung, aber auch mit dem Energieerhaltungssatz gelöst werden. 1. Mit Freischneiden Teil-System Trommel: (Seilkraft F S wirkt auf Trommel und - entgegengesetzt - auf Eimer:actio=reactio) J ϕ = M MR 2 ϕ = RF S Teil-System Eimer: Schwerkraft und Seilkraft wirken auf Eimer (Vorzeichen: vergrößertes s = verlängertes Seil) m s = F g F S = mg F S Schlupfbedingung s = ϕr bzw. ṡ = ϕr = ωr bzw. s = ϕr. Elimination von F S MR 2 s R = MR2 ϕ = R (mg m s) M s = (mg m s) s = m M + m g = a Die Bewegung ist ein Fall mit geringerer Beschleunigung als der Fallbeschleunigung. Die Geschwindigkeit ergibt sich aus der Lösung der Bewegungsgleichung mit konstanter Beschleunigung v = at s = 1 2 at2 s = 1 ( v ) 2 2 a 1 v 2 = a 2 a v = m 2as = 2 m + M gh Mit Energieerhaltung Bewegung zerlegt bzgl. Schwerpunkt vorher E = mgh nachher E = 1 2 Jω mv2 Schlupfbedingung beschreibt Kontakt des Seils mit der Trommel v = ωr Massenträgheitsmoment dünnwandiger Zylinder ( Hohlzylinder) mechanische Energieerhaltung J = MR 2 E pot (vorher) + E kin (vorher) = E pot (nachher) + E kin (nachher) mgh = 1 2 Jω mv2 = 1 ( v ) MR2 + R 2 mv2 = 1 (M + m) v2 2 m v = 2 m + M gh Schlussfolgerung: die Energieerhaltung, Impulserhaltung, Drehimpulserhaltung ist in den Bewegungsgleichungen bereits enthalten. Manchmal ist es aber leichter, eine Aufgabe nur unter Verwendung des Erhaltungssatzes zu lösen. Allerdings kann man damit keine Zwangskräfte berechnen.