1 Die drei Bewegungsgleichungen

1 Die drei Bewegungsgleichungen Unbeschleunigte Bewegung, a = 0: Hier gibt es nur eine Formel, nämlich die für den Weg, s. (i) s = s 0 + v t s ist der zurückgelegte Weg, s 0 der Ort, an dem sich der Körper zu Beginn befand, v die Geschwindigkeit (sie ist hier konstant) und t die Zeit. Der Buchstabe s wird allgemein für den Weg genommen, besser ist es jedoch, gleich die Achse, auf der wir uns befinden zu spezifizieren. Befindet sich der Körper in Bewegung zum Beispiel auf der x-achse, so schreiben wir: x = x 0 + v t. Dies ist vor allem für Bewegungen in mehr als einer Dimension (wie z. B. der waagrechte Wurf) wichtig. Für die beschleunigte Bewegung, a 0, gibt es genau zwei Formeln, eine für den zurückgelegten Weg und eine für die Geschwindigkeit, die sich aufgrund der Beschleunigung natürlich ändert: (ii) s = s 0 + v 0 t + 1 2 at2 Man beachte, dass diese Formel für den zurückgelegten Weg der Vorhergehenden gleich ist bis auf den Term, der noch durch die Beschleunigung, a, dazu kommt. (iii) v = v 0 + a t Dies ist die Geschwindigkeit v zu einem Zeitpunkt t und je nachdem, ob beschleunigt oder gebremst wird, größer oder kleiner als die Anfangsgeschwindigkeit, v 0. Uns fällt auf, dass die Geschwingikeit immer die Ableitung des Wegen nach der Zeit ist! Nun haben wir alles, was wir brauchen und können versuchen, die verschiedenen Spezialfälle daraus abzuleiten. Da ich den Startpunkt der Bewegung immer in den Ursprung (0, 0) legen werde, fällt s 0 immer weg, da dann s 0 = 0. Ganz klammheimlich arbeiten wir hier ja schon mit Vektoren. Diese sind (falls es nötig ist, ihre Richtung anzudeuten) durch einen kleinen Pfeil gekennzeichnet, a, oder sie sind fettgedruckt, a. Die kleine 0 (der Index) bedeutet übrigens, dass es sich um den Anfangswert (also zum Zeitpunkt t = 0) handelt. So ist zum Beispiel, v 0x die Anfangsgeschwindigkeit auf der x-achse, währenddessen v x die Geschwindigkeit auf der x-achse zu einem späteren Zeitpunkt ist. 1

1.1 Der freie Fall Hier fällt ein Körper einfach von einer bestimmten Höhe aus in die Tiefe. Er wird nicht geworfen, hat also keine Anfangsgeschwindigkeit, sondern einfach fallen gelassen. Es handelt sich um eine beschleunigte Bewegung, da der Körper ja von der Erde angezogen wird und deren Schwerebeschleunigung ist g = 9.81m/s 2. Abbildung 1: Freier Fall Nehmen wir den Startpunkt als den Nullpunkt. Der Körper trifft auf, nachdem er die Strecke h durchlaufen hat. Wir bewegen uns nur in einer Dimension, nämlich nur auf der y-achse, wir starten bei 0 und enden bei y = h, das bedeutet, die positive Richtung der y-achse zeigt nach unten. Aus diesem Grund zeigt auch die Gravitation in positive Richtung. Dies ist wichtig, da wir sonst auf eventuelle Vorzeichen in v oder g achten müssten. Formeln für die beschleunigte Bewegung (ich nehme nun s = y): Es gilt: a = g, y 0 = 0, v 0 = 0. Einsetzen liefert: y = y 0 + v 0 t + 1 2 at2 v = v 0 + a t y = 1 2 gt2 v = gt. Fallweg und Endgeschwindigkeit sind damit also schon bestimmt. Nun berechnen wir noch die Flugzeit: Aus der zweiten Formel folgt: t = v g, eingesetzt in die erste, liefert dies: y = 1 2 g ( v g ) 2 = v2 2g. Zu guter Letzt können wir noch, falls es gefragt ist, die Geschwindigkeit in Abhängigkeit vom Weg aufschreiben: v = 2gy. 2

1.2 Der senkrechte Wurf Hier gibt es zwei Fälle: 1. Ein Körper wird aus einer Höhe h mit einer Anfangsgeschwindigkeit v 0 senkrecht nach unten geworfen. 2. Ein Körper wird vom Boden aus senkrecht nach oben geworfen und kommt nach einer gewissen Zeit wieder unten an. In beiden Fällen ist es wieder eine beschleunigte Bewegung, die nur in Richtung der y-achse verläuft, also: 1.2.1 Wurf nach unten y = y 0 + v 0 t + 1 2 at2 v = v 0 + a t Im Grunde, ist es analog dem vorigen Fall, ausser dass jetzt die Anfangsgeschwindigkeit v 0 nicht 0 ist. Es gilt: a = g, y 0 = 0, v 0 0. Einsetzen liefert: 1.2.2 Wurf nach oben y = v 0 t + 1 2 gt2 v = v 0 + gt. Abbildung 2: Wurf nach oben 1. Hier wird der Körper vom Boden aus, dem Nullpunkt (0, 0), mit einer Anfangsgeschwindigkeit v 0 senkrecht nach oben geworfen: y 0 = 0 v = v 0 da t = 0, fliegt 2. bis zu einer Höhe h max [ganz genau: (x, y) = (0, h max )]. An dieser Stelle kehrt er um, seine Geschwindigkeit ist genau in diesem Moment gleich 0: y = h max v = 0 (Zeit t = t h ) 3

und 3. fällt wieder herab zum Ausgangspunkt (oder an einen anderen Punkt, der tiefer oder höher liegt als der Ausgangspunkt). Typische Fragestellungen hierzu sind: Wann erreicht der Körper seinen höchsten Punkt (v 0 sei bekannt)? Wie hoch fliegt er? Wann kommt er wieder am Boden an? Um die Antworten herauszufinden, betrachten wir die Bedingungen, die wir oben schon aufgeschrieben haben. Weiter ist hier zu beachten, dass die Gravitation weiterhin nach unten zeigt, der Körper jedoch nach oben fliegt. Mathematisch ist dies durch ein Minus zu kennzeichnen. Wo bringen wir dieses Minus an? Die positive Richtung der y-achse zeigt nun nach oben, ebenso die Geschwindigkeit, also +v 0, die Gravitation dagegen nach unten, also g. Am höchsten Punkt ist die Geschwindigkeit 0. Also gilt: h max = v 0 t h + 1 2 ( g)t2 h = v 0 t h 1 2 gt2 h 0 = v 0 gt h. Aus der letzteren Formel können wir sofort die Zeit bestimmten, die der Körper braucht, um an den höchsten Punkt zu gelangen (die sog. Steigzeit ): 0 = v 0 gt h t h = v 0 g. Damit ist auch sofort die Steighöhe bekannt, h max, wenn wir t h einsetzen: h max = v 0 v 0 g 1 2 g ( ) 2 v0 = v2 0 g g 1 v0 2 2 g = v2 0 2g. Der Körper kommt natürlich nach der Zeit 2 t h wieder am Ausgangspunkt an. 4

1.3 Der waagerechte Wurf Dies ist der erste Fall einer Bewegung in zwei Dimensionen: der Körper bewegt sich auf der x- und auf der y-achse! Wir müssen also simultan die Bewegungsgleichungen für beide Achsen aufschreiben. Was müssen wir beachten? Der Körper wird abgeworfen (dies wieder am Nullpunkt (0, 0) und fliegt nach unten (in positive x- und y-richtung) bis zu einem Punkt (x ende, y ende ). Der Körper wird waagerecht geworfen, er besitzt daher nur eine Anfangsgeschwindigkeit in x-richtung, nämlich v 0x. Dagegen ist v 0y = 0. Die Gravitation wirkt nur auf der y-achse in positive Richtung. Auf der x-achse gibt es keine Beschleunigung (wir werden von der Erde ja nicht nach links oder rechts gezogen, sondern nur nach unten). Die Bewegungen auf den einzelnen Achsen kann man unabhängig voneinander aufschreiben. Dies wird oft als ungestörte Überlagerung bezeichnet. Nun ist es wirklich wichtig, x und y anstatt s zu schreiben, sonst kommen wir durcheinander! Abbildung 3: Waagerechter Wurf (Quelle: www.dieter-heidorn.de) x-achse: Unbeschleunigte Bewegung, a = 0. Die Geschwindigkeit entlang dieser Achse ist und bleibt somit v 0x. Wir starten bei (x 0, y 0 ) = (0, 0). Der Weg in x-richtung zu irgendeinem Zeitpunkt t ist: x(t) = v 0x t. Das wars schon für die x-achse. y-achse: Beschleunigte Bewegung, a = g. y(t) = 1 2 gt2 v y = g t. Beachte, dass dies genau die Ausdr cke vom freien Fall sind. Die Bewegungen sind also tatsächlich unabhängig voneinander: auf der y-achse verhält sich der Körper so, als würde er frei fallen. 5

Damit können wir nun alle Punkte, an denen sich der Körper befindet, zu jeder Zeit bestimmen. Schreiben wir nun das Ganze mal als Vektor, d.h. wir fassen alles Geschriebene einfach in einer Klammer wie folgt zusammen. Der Ort oder Weg lautet: Die Geschwindigkeit lautet: r = (x, y) = (v 0x t, 1 2 gt2 ). (1) v = (v x, v y ) = (v 0x, g t). (2) Nun berechnen wir die Bahngeschwindigkeit: Damit ist die Geschwindigkeit entlang der Kurve gefragt, also die Tangentialgeschwindigkeit. Diese müssen wir uns aus v 0x = v x und v y konstruieren. In Abb. 3 sehen wir, dass v bahn direkt duch den Satz des Pythagoras bestimmt werden kann: v 2 bahn = v 2 x + v 2 y. Wer die Vektorrechnung schon beherrscht, sieht auch sofort, dass es einfach der Betrag des Vektors: v = (v x, v y ) = (v 0x, g t) ist. Zuletzt berechnen wir noch die Bahnkurve y(x). Dafür müssen wir aus den Bewegungsgleichungen t eliminieren und durch x ausdrücken: x = v 0x t t = x v 0x y = 1 ( ) 2 x 2 g = g v 0x 2v0x 2 x 2 y x 2 Parabelförmige Bahn. Nun fehlt uns noch der Auftreffwinkel der Flugbahn (also des Geschwindigkeitsvektors). Es ist klar, dass: 6

1.4 Der schiefe Wurf Abbildung 4: Schiefer Wurf (Quelle: sc.ehu.es) Ein Körper wird vom Boden, (0, 0), aus in einem Winkel ϑ mit einer Anfangsgeschwingigkeit v 0 abgeworfen und landet nach der Flugzeit t F am Punkt (x ende, 0), also wieder auf dem Boden. Die Fragestellung lautet: Wie lange fliegt der Körper durch die Luft? Wo trifft er auf (x ende )? Welche maximale Höhe erreicht er? Die gegebene Anfangsgeschwindigkeit zeigt entlang der Bahntrajektorie. Wir müssen sie zuerst zerlegen in ihre x- und y-komponente: Gegeben wird meistens die Bahngeschwindigkeit. Hier: v Bahn = v 0. Die Zerlegung erfolgt mit einfacher Trigonometrie: v 0x = v 0 cos ϑ v 0y = v 0 sin ϑ. Abbildung 5: Geschwindigkeit Nun stellen wir die Bewegungsgleichungen auf: x-achse: a = 0 x = v 0 cos(ϑ) t v x = v 0x = v 0 cos ϑ. 7

y-achse: a = g y = v 0 sin(ϑ) t 1 2 gt2 v y = v 0y gt = v 0 sin ϑ gt. Die Gravitation zeigt entgegen der Geschwindigkeit und hat somit ein anderes Vorzeichen. 1. Wie lange fliegt der Körper durch die Luft? 2. Wo trifft er auf (x ende )? Er landet bei (x ende, 0), wir setzen daher in die beiden Gleichungen für den Ort diese Werte ein: x ende = v 0 cos(ϑ) t F 0 = v 0 sin(ϑ) t F 1 2 gt2 F. Dies sind zwei Gleichungen, in der Regel mit den zwei Unbekannten x ende und t F. 3. Welche maximale Höhe h max erreicht er? Am höchsten Punkt besitzt er keine Geschwindigkeit in y-richtung, v y = 0 bei h max. Einsetzen in die Gleichung für v y liefert die Zeit, die er bis zum höchsten Punkt benötigt: 0 = v 0 sin ϑ gt hmax t hmax = v 0 sin ϑ g Diese Zeit setzen wir nun in die Gleichung für y (=Höhe) ein: h max = v 0 sin(ϑ) t hmax 1 2 gt2 hmax. Nur zum Spass in vektorieller Schreibweise: Antwort zu 1. und 2.: Antwort zu 3.: r = (v 0 cos(ϑ) t, v 0 sin(ϑ) t 1 2 gt2 ) v = (v 0 cos ϑ, v 0 sin ϑ gt). (x ende, 0) = (v 0 cos(ϑ) t F, v 0 sin(ϑ) t F 1 2 gt2 F ). (v 0x, 0) = (v 0 cos ϑ, v 0 sin ϑ gt hmax ). Die vektorielle Rechnung hat also eindeutig den Vorteil der Kürze gegenüber der Berechnung mit getrennten Gleichungen auf beiden Achsen. 8

Leider wird uns zu oft vor Vektoren Angst gemacht, davon abgesehen, dass sie völlig abgekoppelt irgendwann in der Mathe gelehrt werden, anstatt uns daraufhinzuweisen, dass wir eigentlich schon die ganze Zeit mit ihnen arbeiten. Wir müssen sie nur als solche hinschreiben, die Physik dahinter bleibt die Selbe! Einige Worte zur Notation: cos(ϑ) = cos ϑ cos(ϑ) t = t cos ϑ. Manchmal mache ich eine Klammer um das Argument der trigonometrischen Funktionen sin und cos, aber nur der Übersichtlichkeit halber. Das t steht selbstverständlich nicht im Argument! 9