Fachhochschule Bochum Fachhochschule Münster Fachhochschule Südwestfalen Verbundstudiengang Technische Betriebswirtschaft Prof. Dr. rer. nat. habil. J. Resch Teilprüfung: Mathematik 1 (Modul) Termin: 19. Februar 2005 Bearbeitungszeit: 90 Minuten Name, Vorname Matrikelnummer Aufgabe 1 2 3 4 Note a b a b c a b c d Soll: 8 8 8 10 12 8 6 10 8 22 100 Ist: Hinweise: Lesen Sie zunächst alle Aufgaben durch. Vergewissern Sie sich, dass die Aufgabenstellung vollständig ist, Sie umfasst das Deckblatt und 4 Aufgabenblätter. Versehen Sie das Deckblatt mit Ihrem Namen und der Matrikelnummer und kennzeichnen Sie jedes weitere Blatt zur Sicherheit mit Ihrem Namen (oben rechts). Für die Lösung ist auf den Aufgabenblättern Platz vorgesehen, die Rückseiten können dafür ebenfalls verwendet werden. Sollte der Platz dann immer noch nicht ausreichen, verweisen Sie am Seitenende auf eine konkretes (Seitennummer) der von der Prüfungsaufsicht zur Verfügung gestellten Zusatzblätter, die Sie bitte nummerieren und ebenfalls mit Ihrem Namen kennzeichnen. Eigenes Papier darf für die Lösungen nicht verwendet werden. Kennzeichnen Sie bitte immer eindeutig, zu welcher Aufgabe/Teilaufgabe die Lösung gehört. Aus Ihrer Lösung einer Aufgabe muss der Lösungsweg erkennbar sein. Falls Sie den Taschenrechner für komplexere Lösungsschritte verwenden, sollten Sie dies vermerken, z.b. Nullstelle / Gleichung... mit dem Taschenrechner bestimmt / gelöst ; 1
1. Am 1.1.2000 zahlt Herr B. 10 000 e in einen Fonds ein, und am 1.1.2003 erwarb er weitere Anteile im Wert von 20 000 e. Für die ersten beiden Jahre wurde das angelegte Geld mit 6% verzinst, in den folgenden beiden Jahren mit 4%. (a) Wie war die Verzinsung in den letzten beiden Jahren, wenn seine Anteile am 1.1.2006 einen Wert von 35 000 e hatten? (b) Bei welchem über 6 Jahre konstantem Zinssatz hätten die beiden Einzahlungen nach 6 Jahren ebenfalls einen Wert von 35 000 e gehabt? 2
2. Herr A. nimmt für den Erwerb eines Hauses einen Z15-Kredit über 180 000 e auf, bei dem für die ersten 15 Jahren Zinsen in Höhe von 6.2% und eine Tilgung von 1% zuzüglich der ersparten Zinsen vereinbart wurden. (a) Wie hoch ist die von Herrn A. jährlich (nachschüssig) zu zahlende Annuität für diesen Kredit und welcher monatlichen (nachschüssigen) Zahlung würde dies entsprechen, wenn die Bank bei gleichem Zinssatz und ohne zusätzliche Gebühren auch mit einer monatlichen Zahlung einverstanden ist? (b) Nach wie vielen Jahren hätte Herr A. den Kredit getilgt (mit verminderter Abschlussannuität), wenn er nach Ablauf der Zinsbindung weiterhin mit diesem Zinssatz rechnet und die jährlich zu zahlende Annuität beibehalten wird? Geben Sie die letzte Zeile des Tilgungsplanes an! (c) Berechnen Sie, auf wie viele Jahre sich die Tilgungsdauer für Herrn A. verlängert, wenn er im 5. Jahr eine Stundung seiner Schuld in Anspruch nehmen müsste, also weder Zinsen noch Tilgung zahlen könnte. Es ist wieder davon auszugehen, dass die Zinsen und die Annuitäten auch nach Ablauf der 15 Jahre beibehalten werden. 3
3. In einem monopolistischen 1-Produkt-Unternehmen ergeben sich je Monat Fixkosten in Höhe von 10 000 e, sowie zusätzliche produktionsabhängige Kosten in Höhe von 10 e/me bei einer Produktionsmenge bis 8 000 ME und in Höhe von 12.50 e/me für die darüber liegenden Produktionsmengen (nur für den 8 000 ME übersteigenden Teil der Produktionsmenge!). Für den Verkauf des Produktes wurde empirisch eine Preis-Absatz-Funktion x(p) = 112 000 8 000 p ermittelt, wobei die Produktionsmenge x in ME und der Verkaufspreis p in e/me angegeben werden. (a) Bestimmen Sie eine Kostenfunktion K(x) für das Unternehmen. (b) Bestimmen Sie für das Unternehmen eine Erlösfunktion E(x) und eine Gewinnfunktion G(x). (c) Geben Sie an, ob die Gewinnfunktion stetig und differenzierbar ist, und in welchen Bereichen die Gewinnfunktion welche Wachstumseigenschaften hat (progressiv/degressiv wachsend oder fallend). (d) Bestimmen Sie die Produktionsmenge x G1, von der an das Unternehmen mit Gewinn arbeiten kann, sowie die Produktionsmenge x Gmax bei der der Gewinn maximal wird. Wie groß ist der maximale Gewinn? 4
4. Ein 1-Produkt-Unternehmen produziert nach der Kostenfunktion K(x) = 2 x 3 250 x 2 + 16000 x + 300 000, wobei die Kosten in e und x in ME von je 1 000 Stück angegeben sind. Bestimmen Sie für dieses Unternehmen die kurz- und die langfristigen unteren Schranken für den Verkaufspreis seines Produktes (in e/stück), bei denen es die variablen Stückkosten bzw. die Stückkosten gerade noch decken kann. Bei welchen Produktionsmengen könnten diese Kostendeckungen erreicht werden? Hinweise: 1. Überlegen Sie für alle Funktionswerte, in welchen Einheiten diese angegeben werden! 2. Falls Sie Gleichungen höheren als zweiten Grades lösen müssen, benutzen Sie das Newton-Verfahren und bestimmen die Lösungen auf 2 Dezimalstellen genau. Beschreiben Sie dabei mindestens eine Iteration ausführlich! 5
Lösungen 1. (a) i 5/6 = 3.059% (b) i eff = 3.891% 2. (a) 12 960 e jährlich bzw. 1 050.47 e monatlich (b) n = 32.8172 Jahre, A 33 = 10 648.28 e, davon K 32 = 10 026.63 e Restschuld und Z 33 = 621.65 e Zinsen (c) n = 39.4858 Jahre { 10.00 x + 10 000, 0 x 8 000 3. (a) K(x) = 12.50 x 10 000, 8 000 < x (b) E(x) = 14 x 0.000 125 x 2, { 4 x 0.000 125 x G(x) = 2 10 000, 0 x 8 000 1.5 x 0.000 125 x 2 + 10 000, 8 000 < x (c) G(x) stetig x [0, ), nicht differenzierbar (bei x 1 = 8 000), degressiv wachsend x [0, 8 000), progressiv fallend x [8 000, ), (d) x G1 = 2733.50, x Gmax = 8 000, G max = 14 000 ; 4. Betriebsminimum bei x m = 62.5, kurzfristige Preisuntergrenze bei k v (x m ) = 8 187.50e/1 000 Stück, d.h. bei 8.19 e/stück; Betriebsoptimum bei x o = 75.6167, langfristige Preisuntergrenze bei k(x o ) = 12 499.98e/1 000 Stück, d.h. bei 12.50 e/stück; 6