In diesem kurzen Kapitel wollen wir uns nochmals mit der Darstellung von Funktionen durch Reihen befassen.

Kapitel 9 Reihenentwicklungen In diesem kurzen Kapitel wollen wir uns nochmals mit der Darstellung von Funktionen durch Reihen befassen. Inhaltsangabe 9.1 Potenzreihen........................ 15 9.2 Approximationssätze................... 113 9.3 Fourierreihen........................ 118 9.1 Potenzreihen Taylorentwicklung führt Reihen der Form f(n) (z ) (z z ) n. n! n Æ Die Frage der Konvergenz hatten wir offen gelassen und wollen dieser nun nachgehen. Wir betrachten a n (z z ) n, wobei {a n } n Æ eine Folge komplexer Zahlen ist und z, z sind. Genauer benötigen wir für das Aufschreiben eines solchen Ausdruckes folgende Operationen: Wir müssen Differenzen und (natürliche) Potenzen bilden können und wir benötigen einen Konvergenzbegriff. In welchen Strukturen können wir dies tun? Noch etwas wird wichtig werden: Für komplexe Zahlen können wir abschätzen (z z ) n z z n. Wir wollen sicherstellen, dass wir eine vergleichbare Abschätzung nutzen können. 15

16 KAPITEL 9. REIHENENTWICKLUNGEN Beispiel 9.1.1 (Banachräume mit Multiplikation) 1. (Ê, d) ist ein vollständiger metrischer Raum, sogar ein Banachraum, wir können Differenzen und Potenzen bilden, die genannte Abschätzung gilt. 2. (, d), d(z 1, z 2 ) = z 1 z 2 ist ein komplexer, normierter vollständiger Vektorraum. Wir erkennen dies als Beispiel eines komplexen Banachraumes. Wir können Differenzen und Potenzen bilden, die angegebene Abschätzung ist gegeben. 3. Wir betrachten (L(Ê m ), L(Ê m )), die Menge der linearen Abbildungen des Ê m in sich mit Norm { } A L(Ê m ) = sup Ax Ê m x Ê m = 1. Dies ist ein reeller Banachraum, wir können Potenzen bilden und wir haben eine Abschätzung AB L(Ê m ) A L(Ê m ) B L(Ê m ). Daraus folgt dann sofort (durch vollständige Induktion) A n L(Ê m ) A n L(Ê m ). 4. Wir können dieses Beispiel verallgemeinern: Sei (V, V ) ein reeller Banachraum, so ist (L(V ), L(V ) ) wieder ein reeller Banachraum, in dem man potenzieren kann und eine Abschätzung der Form gilt. AB L(V ) A L(V ) B L(V ) 5. Die gleichen Konstruktionen kann man in komplexen Banachräumem durchführen. 6. Wir betrachten den (Schief-)Körper der Quaternionen À = Ê 4 mit der üblichen Addition und einer Multiplikation, die sich am einfachsten als Verallgemeinerung der komplexen Multiplikation schreibt. Wir führen i 2 = 1, j 2 = 1, k 2 = 1 ein mit ji = ij = k, ik = ki = j und kj = jk = i, identifizieren x = (x, x 1, x 2, x 3 ) T mit x + ix 1 + jx 2 + kx 3 und setzen xy = (x + ix 1 + jx 2 + kx 3 )(y + iy 1 + jy 2 + ky 3 ) 3 = (x y x i y i ) + αi + βj + γk i=1 wobei man α, β, γ durch Ausmultiplizieren erhält.

9.1. POTENZREIHEN 17 Definition 9.1.2 (Banachalgebra) Eine Banachalgebra ist ein Banachraum (A, A ) mit einer zusätzlichen Verknüpfung (Multiplikation) A A A, die bilinear, assoziativ, aber nicht notwendig kommutativ ist und den Raum zu einer Algebra macht, so dass für alle a,b A gilt ab A a A b A. Bevor wir Potenzreihen definieren und genauer ansehen, wollen wir nochmals einen Blick auf Reihen in allgemeinen Banachräumen werfen. Natürlich ist für die Konvergenz einer Reihe x n in einem Banachraum (X, X ) notwendig, dass die Folge der x n gegen Null konvergiert. Definition 9.1.3 (Absolute Konvergenz in Banachräumen) Es sei (X, ) ein Banachraum, {x n } n Æ sei eine Folge im Banachraum. Die Reihe heißt absolut konvergent, wenn die Reihe konvergent ist. x n x n X Lemma 9.1.4 (Konvergenz absolut konvergenter Reihen) Eine absolut konvergente Reihe ist konvergent. Beweis. Betrachte die Teilsummenfolge {S N } N Æ definiert durch S N = N x n. Diese Folge ist eine Cauchyfolge, denn für natürliche Zahlen N > M und ε > ergibt sich N N S N S M X = x n X < ε, n=m+1x n X n=m+1 falls N, M hinreichend groß. Dies ergibt sich aus der Konvergenz der reellen Reihe x X.

18 KAPITEL 9. REIHENENTWICKLUNGEN Einige einfache Folgerungen aus der Normabschätzung sind: Lemma 9.1.5 (Normabschätzung) 1. a n A a n A 2. a n a,b n b impliziert a n b n ab. 3. Für eine Element a A und eine absolut konvergente Reihe b n gilt a b n = Beweis. Alle Punkte sind sofort einsichtig. ab n. Definition 9.1.6 (Potenzreihe) Es sei (A, A ) eine Banachalgebra über Ê oder über, a A, {a n } n Æ jeweils eine reelle oder komplexe Folge. Dann nennen wir eine Reihe der Form eine Potenzreihe. a n (a a ) n Lemma 9.1.7 (Konvergenzkreis, hinreichend) Gibt es ein R >, so dass für alle r < R gilt konvergiert, so ist die Potenzreihe a n r n a n a n für alle a mit a X < R absolut konvergent. Beweis. Ist a X < R, so gibt es ein r mit a X < r < R und n n n a k a k X a k a k X a k r k. k=m k=m k=m

9.1. POTENZREIHEN 19 Damit wird N k= a ka k zur Cauchyfolge und die Reihe ist konvergent. Nun stellt sich die Frage, wann es ein solches R > gibt. Lemma 9.1.8 (Charakterisierung durch Grenzwerte) Ist R > gegeben mit lim n a n R n =, so konvergiert die Potenzreihe für jedes a mit Norm kleiner R. Beweis. Ist a X < r < R, so gilt a n a n X a n r n a n R n ( r R) n. Da a n R n beschränkt ist, so dass für ein C > gilt n Æ : a n R n < C, kann man weiter schließen ( r ) n a n a n X C. R Da die Reihe ( r n C R) konvergiert, folgt daraus sofort die absolute Konvergenz der Potenzreihe für a mit Norm kleiner R. Setze nun { } ρ = sup R lim a n R n =. n Definition 9.1.9 (Konvergenzradius) ρ heißt Konvergenzradius der Potenzreihe. Man beachte, dass ρ = möglich und zugelassen ist, dann sind alle Abschätzungen in Ê erw zu verstehen. Satz 9.1.1 (Konvergenzkreis) 1. Für jedes < r < ρ konvergiert die Potenzreihe absolut und gleichmäßig auf dem Kreis { } K r = a A a A r. 2. Die Grenzfunktion ist stetig auf B ρ (). Beweis. Ist ρ =, so ist nichts zu zeigen.

11 KAPITEL 9. REIHENENTWICKLUNGEN Ist ρ > und < r < r < ρ, so konvergiert die Reihe absolut für jedes a mit a A r nach Lemma 9.1.8. Da a n (r ) n eine gleichmäßige Majorante ist, ist die Konvergenz gleichmäßig. Die Stetigkeit der Grenzfunktion folgt nun auf jedem solchen Kreis, damit auf der Vereinigung aller dieser Kreise, und damit ist die Behauptung gezeigt. Satz 9.1.11 (Nichtkonvergenz) In Banachalgebren mit a n A = a n A konvergiert die Reihe außerhalb des Konvergenzkreises nicht. Beweis. Dies folgt sofort aus der notwendigen Bedingung für die Konvergenz von Reihen. Korollar 9.1.12 (Nichtkonvergenz) In Ê,, À konvergieren die Reihen für kein a mit a A > ρ. Bemerkung 9.1.13 (Konvergenz auf dem Rand) Über die Konvergenz auf dem Rand des Konvergenzkreises kann man keine allgemeinen Aussagen machen. In gibt es mindestens einen Punkt auf dem Rand auf dem Divergenz vorliegt. Zur Berechnung des Konvergenzradius gibt es die folgenden Formeln, die wir nach den entsprechenden Kriterien für die Konvergenz von Reihen benennen wollen. Satz 9.1.14 (Berechnung des Konvergenzradius) Der Konvergenzradius berechnet sich aus den folgenden Formeln: 1. (Wurzelkriterium nach Cauchy-Hadamard) ρ = 1 R mit R = lim sup n n an. 2. (Quotientenkriterium) Sind alle a n und existiert der Grenzwert s = lim a n, so ist ρ = s. n a n+1

9.1. POTENZREIHEN 111 Beweis. 1. (Wurzelkriterium) Sei r < ρ, betrachte ( ) n r a n r n = a n ρ n = a n ρ R n ( ) n r. ρ 2. In ganz ähnlicher Weise erhält man die zweite Aussage. Satz 9.1.15 (Formale Ableitung) Die Reihe, die durch formale Ableitung der Potenzreihe a n a n entsteht, hat den gleichen Konvergenzradius wie die ursprüngliche Reihe. Beweis. Sei ρ der Konvergenzradius von na n a n 1. Wir betrachten anstelle dieser Reihe die Reihe na n a n. Diese hat den gleichen Konvergenzradius ρ. (Die beiden Reihen sind für die gleichen Werte von a konvergent. Wir betrachten nun die Mengen { } M 1 = r lim a n r n = n und M 2 = { } r lim na n r n =. n Offensichtlich ist M 2 M 1. Sei nun r M 1 und s < r. Dann ist ( s ) n a n ns n = a n n r n. r Der letzte Ausdruck konvergiert gegen Null. Also ist [, r) M 2. Insbesondere ist ρ r. Dies gilt für alle r < ρ und damit ist ρ = ρ.

112 KAPITEL 9. REIHENENTWICKLUNGEN Korollar 9.1.16 (Ableitung) Eine reelle Potenzreihe in Ê mit Konvergenzkreis K ρ ist im Innern B ρ () differenzierbar und die Ableitung ist durch die formale Ableitung gegeben. Satz 9.1.17 (Exponentialabbildung) Es sei (A, A ) eine Banachalgebra. Dann gibt es eine Abbildung exp : A A : a 1 n! an. exp besitzt die folgenden Eigenschaften: 1. ρ =. 2. Gilt xy = yx so ist exp(x + y) = exp(x) exp(y). 3. Die Abbildung ist differenzierbar und E a : Ê A : t exp(ta) E a(ta) = ae(ta). Beweis. Der Konvergenzradius der angegebenen Reihe ρ =. Die zweite Aussage folgt sofort aus dem Cauchy-Produkt von Reihen. Da ta und ha miteinander kommutieren, folgt E a (t + h) = E a (t)e a (h). Damit ist Es gilt Damit ist 1 t (E a(t + h) E a (t)) = 1 h (E a(h) 1l)E a (t). ( 1 h (E a(h) 1l) = 1 ha + h n=2 1 lim h h (E a(h) 1l) = a. ) h n n! an. Daraus folgt dann die Behauptung.

9.2. APPROXIMATIONSSÄTZE 113 Definition 9.1.18 (Matrixexponentialfunktion) Die Abbildung t E(ta) wird für den Raum aller linearen Abbildungen A = L(V ), wobei V = Ê n oder V = n, als Matrixexponentialfunktion bezeichnet. (In Ermangelung eines besseren Begriffes lassen wir auch einen beliebigen Banachraum zu, und betrachten die Menge ser stetigen linearen Abbildungen L(V ).) 9.2 Approximationssätze Wir wollen hier zunächst den berühmten Approximationssatz von Weierstrass beweisen. Dieser folgt aus einer relativ einfachen Überlegung. Diese geht auf den amerikanischen Mathematiker Walter Rudin zurück [19]. Satz 9.2.1 (Weierstrass) Es sei [a, b] Ê ein kompaktes Intervall, f : [a, b] sei stetig. Dann gibt es eine Folge von Polynomen p n (x) = M n j=1 cn j xj mit gleichmäßig auf [a, b]. lim p n(x) = f(x) n Beweis. OBdA nehmen wir an [a, b] = [, 1]. Weierhin nehmen wir an f() = f(1) =. Hat man den Beweis in diesem Fall erbracht, so erhält man den allgemeinen, indem zunächst ein allgemeines f auf [, 1] durch f (x) = f(x) f() x (f(1) f()) ersetzt wird. Hat man dafür eine solche Folge, so erhält man sofort eine Folge für f, da f f ein Polynom ist. Nun setzen wir f durch den Wert auf ganz Ê fort. Dann ist dieses neue f gleichmäßig stetig auf Ê. Da f gleichmäßig stetig ist, gibt es zu ε > ein δ >, so dass x y < δ impliziert f(x) f(y) < ε 2. Wir definieren für n Æ eine Hilfsfunktion H n (x) = h n (1 x 2 ) n, wobei h n so gewählt wird, dass für alle n Æ gilt: 1 H n (x) dx = 1.

114 KAPITEL 9. REIHENENTWICKLUNGEN Wir wollen die Folge der h n abschätzen. Aus h n (1 x 2 ) n dx = 1 erhalten wir eine solche Abschätzung, dazu benutzen wir (1 x 2 ) n 1 nx 2 (dies folgt aus der Gleichheit bei x = und einer Abschätzung für die Ableitungen oder die Bernoullische Ungleichung). Wir betrachten (1 x 2 ) n dx = 2 (1 x 2 ) n dx 1 1/ n 2 (1 x 2 ) n dx 2 1/ n (1 nx 2 ) dx Also gilt = 2 1 2n n 3( n) 3 = 4 1 3 n > 1 n. h n < n. Da (1 x 2 ) n auf [, 1] monoton fallend ist, folgt aus h n n und < δ x 1 Für das gegebene f setzen wir nun H n (x) n(1 δ 2 ) n. p n (x) = 1 f(x + t)h n (t) dt. Da f = außerhalb [ 1, 1] ist, können wir schreiben p n (x) = 1 x f(x + t)h n (t) dt = f(s)h n (s x) ds. x

9.2. APPROXIMATIONSSÄTZE 115 (Die letzte Umformung ist eine triviale Substitution.) Der rechte Ausdruck ist als Funktion von x offenkundig ein Polynom. Ist f reellwertig, so ist dies ein reelles Polynom. Nun ergibt sich mit M = sup x Ê f(x) p n (x) f(x) = = = 1 1 1 δ f(x + t)h n (t) dt f(x) (f(x + t) f(x))h n (t) dt f(x + t) f(x) H n (t) dt f(x + t) f(x) H n (t) dt + f(x + t) f(x) H n (t) dt δ 1 δ + f(x + t) f(x) H n (t) dt δ 2M δ δ H n (t) dt + ε H n (s) ds + 2M H n (t) dt 2 1 δ 4M H n (t) dt + ε 2 4M δ δ n(1 δ 2 ) n dt + ε 2 δ 4M n(1 δ 2 ) n+1 + ε 2 < ε für n hinreichend groß. Eine Verallgemeinerung dieses Satzes wird uns erlauben, eine vergleichbare Aussage für trigonometrische Polynome zu machen. Wir benötigen dazu noch ein nahezu triviales Korollar.

116 KAPITEL 9. REIHENENTWICKLUNGEN Korollar 9.2.2 (Betragsfunktion) Sei [ a, a] Ê gegeben. Dann gibt es eine Folge von Polynomen p n, die gleichmäßig gegen x konvergiert und für die gilt p n () = für alle x [ a, a]. Beweis. Aufgrund des Satzes gibt es eine Folge von Polynomen, die auf [ a, a] gegen x gleichmäßig konvergiert. Damit konvergiert p n () gegen und hat die gewünschten Eigenschaften. {p n (x) p n ()} n Æ Definition 9.2.3 (separierend) Es seien M, N Mengen. Eine Familie A von Funktionen M N heißt separierend (engl.:separates points), falls zu x 1, x 2 M ein f A existiert mit f(x 1 ) f(x 2 ). Beispiel 9.2.4 { Es sei M = N = Ê und A = f C(Ê; Ê) x Ê A nicht separierend. } : f( x) = f(x). Dann ist Definition 9.2.5 (nicht (nirgends) verschwindend) Es sei M eine Menge. Eine Familie A von Funktionen M Ê heißt nicht verschwindend oder nirgends verschwindend (engl.:non vanishing), falls zu x M ein f A existiert mit f(x). Satz 9.2.6 (Trennungseigenschaft) Es sei A eine Algebra reellwertiger Funktionen auf einer Menge M, die separierend und nichtverschwindend ist. Dann gibt es zu c 1, c 2 Ê und zu x 1, x 2 M, x 1 x 2 ein f A mit f(x i ) = c i, i = 1, 2. Beweis. Seien x 1,2 M, x 1 x 2 gegeben. Dann gibt es Funktionen g i A, i = 1, 2 mit g i (x i ). Ferner gibt es eine Funktion h A mit h(x 1 ) h(x 2 ). Setze u = hg 2 h(x 1 )g 2, v = hg 1 h(x 2 )g 1. Dann sind u, v A und u(x 1 ) =, v(x 1 ) = g 1 (x 1 )(h(x 1 ) h(x 2 )) und ebenso u(x 2 ) und v(x 2 ) =. Setze f = c 1v v(x 1 ) + c 2u u(x 2 ). Dies hat offensichtlich die gewünschten Eigenschaften.

9.2. APPROXIMATIONSSÄTZE 117 Satz 9.2.7 (Stone-Weierstrass) Sei K eine kompakte Menge in einem metrischen Raum und A C(K; Ê) eine Algebra stetiger reellwertiger Funktionen auf K. Falls A separierend ist und nirgends verschwindet, dann ist A dicht in C(K; Ê). Beweis. Der Beweis wird in vier Schritten erbracht. Es sei B der Abschluss von A bezüglich der Metrik in C(K; Ê). 1. f B f B. Sei a = sup x K f(x) und ε > gegeben. Dann gibt es nach Korollar 9.2.2 ein Polynom p mit p() = und p(y) y < ε. B ist eine Algebra, demzufolge ist g = p(f) B. Insbesondere ist Da B abgeschlossen ist, ist f B. g f C(K;Ê) < ε. 2. f, g B max(f, g), min(f, g) B Dies folgt aus dem ersten Schritt und den Gleichungen max(f, g) = f + g f g + 2 2 min(f, g) = f + g 2 f g. 2 Diese Aussage verallgemeinert sich durch Iteration sofort auf jede endliche Anzahl von Funktionen. 3. zu f C(K; Ê), x K, ε > existiert ein g x B mit g x (x) = f(x) und für alle y K gilt g x (y) > f(y) ε A B impliziert, dass B separierend und nirgends verschwindend ist. Insbesondere gibt es zu y K ein h y B mit h y (x) = f(x), h y (y) = f(y). Dann gibt es ein Intervall I y mit y I y und t I y impliziert h y (t) > f(t) ε. Die Menge {I y } y K überdeckt K, wegen der Kompaktheit von K können wir y 1,...y k auswählen, so dass {I yj } j=1,...k die Menge K überdeckt. Sei g x = max(h y1,...,h yk ). Dies erfüllt die Behauptung. 4. Zu f C(K; Ê), ε > existiert ein g A mit f g C(K;Ê) < ε. Zu x K gibt es eine Umgebung J x mit t J x g x (t) < f(t) + ε.

118 KAPITEL 9. REIHENENTWICKLUNGEN Wie eben wählen wir eine endliche Teilüberdeckung der Form J xj, j = 1,..., s aus. Setze g = min(g 1,..., g s ). Dies erfüllt offenscihtlich die Behauptung. Der Entsprechung des Satzes von Stone-Weierstrass ist für komplex-wertige Funktionen nicht wahr. Beispiel 9.2.8 (Satz von Stone-Weierstrass im Komplexen) Definition 9.2.9 (Selbstadjungierte Algebren) Es sei K ein kompakter metrischer Raum, A eine Algebra in dem Raum der komplexwertigen stetigen Funktionen C(K; ). A heißt selbstadjungiert, falls f A impliziert, dass f A. Satz 9.2.1 (Stone-Weierstrass im Komplexen) Sei K eine kompakte Menge in einem metrischen Raum, A C(K; ) eine separierende, nirgends verschwindende und selbst-adjungierte Algebra. Dann ist A dicht in C(K; ). Beweis. Wir betrachten die Menge A Ê der reellen Funktionen in A. Ist f A, f = u + iv, so ist f = u iv A und u = 1 2 (f + f) A Ê A. Sind x 1,2 zwei Punkte in K, so gibt es ein f A mit 1 = f(x 1 ) f(x 2 ) =. Also ist A Ê separierend. Gleichfalls ist A Ê nirgeds verschwindend, denn zu x K gibt es ein g A mit g(x). Dann gibt es aber ein λ mit λg(x) Ê. Dann ist Re λg A Ê und Re λg(x). Also ist A Ê dicht in C(K; Ê). Dann ist aber A dicht in C(K; ). 9.3 Fourierreihen In diesem Abschnitt wollen wir uns mit einigen Aspekten der Fourieranalysis beschäftigen. Eine Zielsetzung könnte sein, Töne in die Grundschwingungen zu zerlegen. Allgemeiner wollen wir periodische Funktionen als Reihen von bestimmten einfachen periodischen Funktionen schreiben. Fourieranalysis tritt überall

9.3. FOURIERREIHEN 119 dort auf, wo Schwingungen und Wellen auftreten, aber auch an ganz anderen Stellen, sie erlaubt auch Lösungen für die Wärmeleitungsgleichung und andere partielle Differentialgleichungen aufzuschreiben. Wir erinnern uns an den Begriff der periodishcen Funktion. Definition 9.3.1 (Periodische Funktionen) Eine Funktion f : Ê Ê heißt periodisch, wenn es eine Zahl p > gibt mit x Ê : f(x + p) = f(x). Ist p minimal mit dieser Eigenschaft, so heißt p die Periode von f. Im Folgenden interessieren wir uns für 2π-periodische Funktionen und bezeichen mit { } C 2π (Ê; Ê) = f : Ê Ê ist stetig und 2π periodisch. Definition 9.3.2 (Trigonometrisches Polynom) Wir betrachten Funktionen f : K der Form f(x) = n c k e ikx, k= wobei x Ê, c k. Dann heißt f ein trigonometrisches Polynom Offensichtlich sind Summen und Produkte trigonometrischer Polynome wieder trigonometrische Polynome. Man kann mittels e ikx = cos(kx)+i sin(kx) die Funktion f in der reellen Form darstellen, wobei wir haben f(x) = a n 2 + (a k cos(kx) + b k sin(kx)) k=1 a = 2c, a k = c k + c k b k = i(c k c k. Für n Æ ist e inx die Ableitung der 2π-periodischen Funktion einx in gilt 1 π { 1 für n = e inx dx = 2π für n = ±1, ±2,... Für ein trigonometrisches Polynom und damit f(x) = n c k e ikx k=

12 KAPITEL 9. REIHENENTWICKLUNGEN erhält man nach Multiplikation mit E imx und Integration die Beziehung c m = 1 2π f(x)e imx dx. Ein trigonometrisches Polynom ist genau dann reell wenn c n = c n. Eine trigonometrische Reihe ist eine Reihe der Form c n e inx. n= Für integrierbare Funktionen f : [, π] (d.h. Real- und Imaginärteil sind Riemann integrierbar) bezeichnen wir mit c n = 1 2π den Fourierkoeffizienten von f und mit (f) = f(x)e inx dx n= c n e inx die Fourierreihe von f. Wieder wird sich die Frage stellen, inwieweit die Fourreihe einer Funktion diese darstellt. Wir beginnen unseren Weg dies zu untersuchen mit folgender Beobachtung. Satz 9.3.3 (Approximation durch trigonometrische Polynome) Ist f : [, π] stetig und periodisch mit Periode 2π, so gibt es zu ε > ein trigonometrisches Polynom T(x) mit f(x) T(x) < ε für alle x Ê. { } Beweis. Es gibt eine Abbildung p : Ê S 1 = z z = 1 durch x e ix. Wir identifizieren auf diese Weise π mit pi, d.h. p(π) = p() und eine stetige periodische Funktion f wird durch f(π(x)) = f(x) mit einer stetigen Funktion f : S 1 identifiziert. Wir betrachten die Algebra C(S 1 ; ). Darin sei A die Algebra, die mittels der genannten Identifikation aus der Menge der trigonometrischen Polynome entsteht. Wir nennen dies wieder die Algebra der trigonometrischen Polynome. Dann gilt

9.3. FOURIERREIHEN 121 1. A verschwindet nirgends. 2. A ist separierend. 3. A ist selbst-adjungiert. Dann folgt die Behauptung sofort aus dem Satz 9.2.1 von Stone-Weierstrass im Komplexen. Als Korollar erhalten wir sofort den Identitätssatz für Fourrierreihen. Korollar 9.3.4 (Identitätssatz für Fourierreihen) Sind f, g C 2π (Ê; ) mit gleichen Fourierreihen (f) = (g), so gilt f = g. Beweis. Sei h = f g. Wir betrachten für m das Integral h(x)e imx dx = f(x)e imx dx g(x)e imx dx =. Daraus folgt für jedes trigonometrische Polynom T gilt h(x)t(x) dx =. Nun finden wir eine Folge von trigonometrischen Polynomen {T n } n Æ, die auf Ê gleichmäßig gegen h konvergiert. Dann gilt h(x) 2 dx = h(x)h(x) dx = = = lim =. h(x) lim n T n (x) dx h(x) lim n T n (x) dx n h(x)t n (x) dx Damit ist h 2 identisch Null und damit h, also f = g.

122 KAPITEL 9. REIHENENTWICKLUNGEN Korollar 9.3.5 (Darstellungssatz für Fourierreihen) Ist f C 2π (Ê; ) mit gleichmäßig konvergenter Fourierreihe (f), so konvergiert die Fourierreihe (f) gegen f. Beweis. Sei (f) = n= c n e inx die Fourierreihe von f. Da diese nach Voraussetzung gleichmäßig konvergiert stellt diese eine stetige 2π-periodische Funktion g dar, die die gleiche Fourierreihe wie f hat, d.h. (f) = (g). Also ist f = g. Beispiel 9.3.6 (Sägezahnfunktion) Wir betrachten f : [, π] Ê : x x und setzen diese auf Ê stetig und periodisch fort. Wir schreiben nun die Fourierkoeffizienten in der reellen Form. f ist eine gerade Funktion, daher verschwinden alle Integrale der Form f(x) sin(nx) dx und alle Koeffiizenten b k sind. Die Koeffizienten a k berechnen sich wie folgt a k = 1 π x cos(kx) dx = 2 π x cos(kx) dx. Damit ergibt sich a = π und Die Fourierreihe ergibt sich zu a k = 2 π (f) = π 2 4 π 1 k 2(1 ( 1)k ). ( k= ) cos(2k + 1)x. (2k + 1) 2 Diese Reihe ist gleichmäßig konvergent und konvergiert also gegen x. Für x = ergibt sich 1 (2k + 1) = π2 2 8. k=1

9.3. FOURIERREIHEN 123 Wir hatten in den Übungen (Blatt 3) die Funktion D n definiert. Definition 9.3.7 (Dirichlet-Kern) Die Funktion heißt Dirichlet-Kern n-ten Grades. D n (x) = 1 2π n k= n Man erhält aus der Darstellung für die Teilsummenfolge für geometrische Reihen die Darstellung e ikx D n (x) = 1 sin ( ) n + 1 2 2π sin x für x / 2π 2 1 (2n + 1) für x 2π 2π. Definition 9.3.8 (Stückweise stetig) Es sei [a, b] ein Intervall, f : [a, b] Ê heißt stückweise stetig wenn es eine Zerlegung Z von [a, b] gibt, so dass f stetig auf [a, b] \ Z ist und in den inneren Zerlegungspunkten die linken und rechten Grenzwerte von f existieren. An den Randpunkten verlangen wir die Existenz der einseitigen Grenzwerte. Satz 9.3.9 (Riemann-Lebesgue) Ist eine Funktion f : [a, b] Ê stückweise stetig, so gilt b lim f(x) sin(kx) dx =. k a Beweis. Wir hatten dier Aussage für stetig differenzierbares f gezeigt. Ist f stetig auf [a, b], so gibt es (Satz von Weierstraß 9.2.1) eine Folge von Polynomen p n, die gleichmäßig gegen f konvergiert. Insbesondere gibt es ein Polynom p, so dass für alle x [a, b] gilt f(x) p(x) < impliziert (Satz von Riemann 7.1.6) ε 2(b a). Zu p gibt es ein K Ê mit k > K b a p(x) sin(kx) dx < ε 2.

124 KAPITEL 9. REIHENENTWICKLUNGEN Dann ist b f(x) sin(kx) dx a b a b (f(x) p(x)) sin(kx) dx + f(x) p(x) sin(kx) dx + ε 2 b a p(x) sin(kx) dx a ε. Im allgemeinen Fall der stückweise stetigen Funktion, benutzen wir diesen Beweisschritt auf jedem Intervall [ζ i, ζ i+1 ]. Lemma 9.3.1 (Dirichlet) 1. D n ist gerade. 2. Für alle n Æ ist D n (x) dx = 1. 3. Ist f auf [, π] stückweise stetig, auf Intervallen (, ε ), ( ε, ) differenzierbar und existieren die Grenzwerte f + = lim f(x), bzw. f = lim f(x), x,x> x,x< so gilt lim n f(x)d n (x) dx = f + + f. 2 Beweis. Die ersten beiden Aussagen sind offensichtlich. Wir kommen zur dritten Aussage. Aus und der Geradheit von D n ergibt sich D n (x) dx = 1 f + D n (x) dx = f + 2.

9.3. FOURIERREIHEN 125 Damit ist f(x)d n (x) dx f + 2 = (f(x) f + )D n (x) dx. Wir haben eine Darstellung von D n in der oben genannten Übungsaufgabe hergeleitet: ( ) D n (x) = 1 n e ikx = 1 1 n 2π π 2 + cos(kx) = 1 sin((n + 1)x) 2 π 2 sin( 1x). 2 k= n Setzen wir dies in das obige Integral ein, so erhalten wir einen Ausdruck der Form 1 π f(x) f + π 2 sin( 1x) sin((n + 1 f(x) f + x )x) dx = 2 x 2π sin( 1x) sin((n + 1 )x) dx. 2 2 2 Auf dieses Integral wenden wir das Riemannsche Lemma an, dazu benötigen wir zwei Überlegungen. Die Funktion f(x) f + x k=1 x 2π sin( 1 2 x) ist beschränkt, dazu betrachten wir den Punkt x =, dort haben wir einen Grenzwert der Form, die Anwendung des Satzes von l Hospital 5.6.2 ergibt die Beschränktheit. Die Funktion ist offensichtlich auf [, π] stückweise stetig und damit folgt mit dem Satz von Riemann-Lebesgue die Behauptung. Satz 9.3.11 (Fourierreihe) Es sei f : Ê Ê 2π-periodisch und auf jedem Kompaktum stückweise stetig. Es sei x [, π] und f besitze in x [ pi, π] eine linksseitige und eine rechtsaeiteige Ableitung. Dann gilt: 1. Ist f in x stetig, so konvergiert die Fourierreihe von f gegen f(x). 2. Ist f in x unstetig, so konvergiert die Reihe gegen das arithmetische Mittel der linkseitigen und rechtseitigen Grenzwerte von f. Beweis. Die n-te Partialsumme n (f) der Fourierreihe (f) von f hat die Darstellung n (f)(x) = 1 n f(y) e ik(x y) dy. π Dies ist gerade f(y)d n (x y) dy = k= n f(x + w)d n (w) dw.

126 KAPITEL 9. REIHENENTWICKLUNGEN Nun wenden wir das Lemma von Dirichlet an und erhalten das Resultat.