Wahrscheinlichkeitsrechnung

Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Übung 4 12.03.2008 1

Aufgabe 4.1 Die monatliche Aufwendung X [CHF] für den Wasserverbrauch einschliesslich h der Abwassergebühren eines 2 Personenhaushalts seien durch eine Zufallsvariable mit der Dichtefunktion gegeben: f X c (15 ) für 0 60 ( ) = 4 0 sonst a) Welcher Wert soll für c gewählt werden? b) Beschreibe die kumulative Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion F X () der Zufallsvariablen X c) Welche der folgenden Werte überschreiten nicht das 90% Quantil der monatlichen Rechnung? 30 CHF, 40 CHF, 50 CHF und 60 CHF? d) Wie hoch ist die mittlere monatliche Aufwendung für den Wasserverbrauch einschliesslich der Wassergebühren eines 2 Personenhaushalts? 12.03.2008 2

Aufgabe 4.1 a) Welcher lh Wert soll für c gewählt werden? Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion fx () 0 Nicht negativ f X () d = 1 Fläche = 1 Ω 12.03.2008 3

Aufgabe 4.1 a) Welcher lh Wert soll für c gewählt werden? c (15 ) für 0 60 fx ( ) = 4 Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion 0 sonst fx () 0 Ω f X () d = 1 Nicht negativ Fläche = 1 f X ( ) d = 1 c (15 ) d 4 60 0 60 15 2 1 3 = c = 2 12 0 1 c (27000 18000) = 1 c = 9000 12.03.2008 4 1

Aufgabe 4.1 b) Beschreibe die kumulative Verteilungsfunktion F X () der Zufallsvariablen fll X Kumulative Verteilungsfunktion: FX() = fx() d Ω f X c (15 ) für 0 60 ( ) = 4 0 sonst 0 < 0 1 15 1 F 9000 2 12 1 60 < 2 3 X () = 0 60 12.03.2008 5

Aufgabe 4.1 c) Welche lh der folgenden Werte überschreitet nicht das 90% Quantil der monatlichen Rechnung? 30 CHF, 40 CHF, 50 CHF und 60 CHF Als erstes muss der Wert für das 90% Quantil berechnet werden. 0.9 0 < 0 1 15 2 1 3 FX ( ) = 0 60 9000 2 12 1 60 < α 12.03.2008 6

Aufgabe 4.1 c) Welche lh der folgenden Werte überschreitet nicht das 90% Quantil der monatlichen Rechnung? 30 CHF, 40 CHF, 50 CHF und 60 CHF Als erstes muss der Wert für das 90% Quantil berechnet werden. 0.9 0 < 0 1 15 1 F 9000 2 12 1 60 < 2 3 X () = 0 60 PX ( α) = F ( ) =09. X α 1 PX ( α) = (15- ) d α... 9000 = 4 0 α 12.03.2008 7

Aufgabe 4.1 c) Welche lh der folgenden Werte überschreitet nicht das 90% Quantil der monatlichen Rechnung? 30 CHF, 40 CHF, 50 CHF und 60 CHF Als erstes muss der Wert für das 90% Quantil berechnet werden. α α 1 1 15 2 1 3 ( α) = (15 ) 0.9 9000 = 4 9000 = 2 12 0 0 PX d 0.9 1 15 1 α 9000 2 12 α 2 3 = 3 2 + = 0.9 α 15 α 8100 0 12 2 3 2 α 90 α + 97200 = 0 α = 48.30 α = 48.3 12.03.2008 8

Aufgabe 4.1 d) Wie hoch hist die mittlere monatliche Aufwendung für den Wasserverbrauch einschliesslich der Wassergebühren eines 2 Personenhaushalts? Mittelwert = 30 Wir können dies direkt aus der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion herauslesen. Warum? Mittelwert = 30 12.03.2008 9

Aufgabe 4.1 d) Wie hoch hist die mittlere monatliche Aufwendung für den Wasserverbrauch einschliesslich der Wassergebühren eines 2 Personenhaushalts? = = Der Mittelwert entspricht dem ersten Moment μ EX [ ] fx ( d ) Mittelwert = 30 60 1 2 ( ) = X ( ) = (15 ) 9000 4 0 3 4 60 EX f d d 1 15 = 9000 3 4 4 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 3 4 3 4 1 15 60 60 15 0 0 = 9000 3 16 3 16 3 4 ( ) ( ) 1 15 60 60 = = 30 9000 3 16 12.03.2008 10

Aufgabe 4.2 Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion h hk i h k i für eine Zufallsvariable fll ibl ist in Abbildung 4.2.1 dargestellt. (Annahme für Teilaufgabe b, c, d und e: a=1, b=2, c=3 und d=6.) a) Bestimme die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion und die Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion analytisch. b) Bestimme den Modalwert und den Parameter h. c) Berechne den Mittelwert. d) Berechne den Wert des Medians. e) Ermittle grafisch den Median aus der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion. Diskutieren Sie wie der Mittelwert graphisch ermittelt werden kann. 12.03.2008 11

Aufgabe 4.2 Denken wir zuerst über die Definition nach Was bd bedeutet das grafisch? 12.03.2008 12

Aufgabe 4.2 ) d h h l hk d h f k d d a) Bestimme die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion und die Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion analytisch. Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion: g < a 0 < b a a b a h ) ( ) ( < = d c b h f X ) ( ) ( < d d c d c d h 0 ) ( ) ( 12.03.2008 13 d 0

Aufgabe 4.2 a) Bestimme die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion h hk h k und die Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion analytisch. Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion FX( ) = fx( ) d 0 < a 2 ( a) h + C1 a < b 2( b a ) FX ( ) = h + C2 b < c 2 ( d) h + C3 c < d 2 ( c d ) 1 d Die Konstanten können berechnet werden indem die Grenzbedingungen benutzt werden. 12.03.2008 14 Ω

Aufgabe 4.2 Für Für Für a) Bestimme die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion h hk it ht kti und die Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion analytisch. Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion = a = b = c 2 ( a a) 0 = h + C 2( b a ) 2 ( b a) h = h b+ C 2( b a ) ( a+ b) C 2 = h 2 1 C 1 = 0 2 ( d) h + C = h + C 2( c d) 2 3 2 2 ( c d) ( a+ b) 3 h + C = h c h 2( c d) 2 FX( ) = fx( ) d 0 < a 2 ( a) h + C1 a < b 2( b a) FX ( ) = h + C2 b < c 2 ( d) h + C3 c < d 2 ( c d) 1 d ( c+ d) ( a+ b) C 3 = h 2 12.03.2008 15 Ω

Aufgabe 4.2 b) Bestimme den Modalwert dl und den Parameter h (a=1, b=2, c=3 und d=6). ) Modalwert Modalwert = Bereich zwischen b und c 12.03.2008 16

Aufgabe 4.2 b) Bestimme den Modalwert dl und den Parameter h (a=1, b=2, c=3 und d=6). ) X f ( d ) = 1 Fläche unter der Wahrscheinlichkeits dichtefunktion ( d a) + ( c b) (6 1) (3 2) 1 h= 1 + h= 1 h= 2 2 3 12.03.2008 17

Aufgabe 4.2 c) Berechne den Mittelwert (a=1, b=2, c=3 und d=6). ) f X 0 <a ( a) h a < b ( b a) ( ) = h b < c ( d) h c < d ( c d) 0 d 0 < 1 ( 1) 1 < 2 3 1 fx ( ) = 2 < 3 3 ( 6) 3 < 6 9 0 6 μ X 2 3 6 ( 1) ( 6) = EX [ ] = fx ( ) d = d + d + d = 3.11 3 3 9 1 2 3 12.03.2008 18

Aufgabe 4.2 d) Berechne den Wert des Medians. grafisch anhand der kumulativen Dichtefunktion analytisch PX ( ) = f ( ) d= 0.5 1 X Median 12.03.2008 19

Aufgabe 4.2 e) Ermittle grafisch hden Medianwert aus der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion. h hk h k 1 1 1 A 1 = ( 2 1) = 3 2 6 1 1 A 2 = ( 3 2) = 3 3 1 1 1 A 3 = ( 6 3) = 3 2 2 0.5 Median: Punkt P auf der X Achse, bei welchem die Fläche der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion im Intervall [0,P] gleich 0.5 ist. 12.03.2008 20

Aufgabe 4.2 e) Diskutieren Sie wie der Mittelwert grafisch ermittelt werden kann. Der Mittelwert ist der Schwerpunkt der Figur der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion. 12.03.2008 21

Aufgabe 4.2 e) Diskutieren Sie wie der Mittelwert grafisch ermittelt werden kann. s 2 1 1 1 1 i Ai + 1 + + 2 + ( 1+ 3) i 3 6 2 3 2 = = = 3.11 Ai 1 i Der Mittelwert ist der Schwerpunkt der Figur der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion. s = i i i 12.03.2008 22 A A i i

Aufgabe 4.3 (Gruppenaufgabe) Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion h hk i h k i einer Zufallsvariablen fll ibl X ist in Abbildung 4.3.1 dargestellt. In dem Intervall [0, 4] ist die Funktion linear. In dem Intervall [4, 12] nähert sich die Funktion parabelförmig der Achse und tangiert tsie in Punkt ktq. a) Berechne die Koordinaten des Punktes P(,y) (,y) und beschreibe die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion. b)beschreibe und zeichne die kumulative Verteilungsfunktion von X anhand einiger charakteristischer Zahlen in der Grafik. c)berechne den Mittelwert der Zufallsvariablen X. d)berechne die Wahrscheinlichkeit P [X>4]. 12.03.2008 23

Aufgabe 4.3 (Gruppenaufgabe) a) Berechne die Koordinaten des Punktes P(,y) und beschreibe die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion. Vorgehensweise: Definiere die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion über dem Intervall [0,12]. Ermittle die Koordinaten des Punktes P (Fläche unter der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion ist immer gleich 1). 12.03.2008 24

Aufgabe 4.3 (Gruppenaufgabe) b) Beschreibe und zeichne ih die kumulative Verteilungsfunktion i von X anhand einiger charakteristischer Zahlen in der Grafik. Vorgehensweise: 1. fx () d = 1 Ω 2. Zeichne 12.03.2008 25

Aufgabe 4.3 (Gruppenaufgabe) c) Berechne den Mittelwert der Zufallsvariablen X. Vorgehensweise: (Vergleiche Aufgabe 4.2) 1. μ = E [ ] μ 12.03.2008 26

Aufgabe 4.3 (Gruppenaufgabe) d) Berechne die Wahrscheinlichkeit P [X>4]. Vorgehensweise: (Vergleiche Aufgabe 4.2) Überschreitungswahrscheinlichkeit P[X>α] ist PX [ > 4] = 1 PX [ 4] Wie kann diese Wahrscheinlichkeit ausgedrückt werden? 12.03.2008 27