Stochastische Analysis

Stochastische Analysis Vorlesung SS 22 Jürgen Dippon Mathematisches Institut A Universität Stuttgart Homepage der Vorlesung: www.mathematik.uni-stuttgart.de/matha/lst3/dippon/sa Version vom 17. Juni 23 Stochastische Analysis SS 22 1

1. Brownsche Bewegung Definition 1.1 Sei T eine Menge und (E, E) ein Messraum. Eine auf dem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P ) definierte Familie X = (X t ) t T von Zufallsvariablen X t mit Werten in E heißt stochastischer Prozess. E heißt Zustandsraum (state space) des stochastischen Prozesses. Beispiele. Sei T = N und (E, E) = (R, B). Dann ist X eine Folge von reellen Zufallsvariablen ein stochastischer Prozess in diskreter Zeit. Sei T = [, ) und (E, E) = (R, B). stochastischer Prozess in stetiger Zeit. Dann ist X ein reellwertiger Stochastische Analysis SS 22 2

Für jedes feste t T ist X t ( ) : { Ω E ω X t (ω) eine E-wertige Zufallsvariable Für jedes feste ω Ω heißt X. (ω) : { T E t X t (ω) Pfad oder Trajektorie von X Der stochastische Prozess X kann auch als eine funktionenwertige Abbildung aufgefasst werden: X : { Ω E T ω X. (ω) Stochastische Analysis SS 22 3

Definition 1.2 Eine (1-dimensionale standardisierte) Brownsche Bewegung (Wiener-Prozess) ist der durch folgende Eigenschaften (eindeutig) definierte stochastische Prozess: Unabhängigkeit der Zuwächse: t < t 1 <... < t n {W t1 W t,..., W tn W tn 1 } stochastisch unabhängige ZVn Normalverteilung der Zuwächse: t, h W t+h W t ist N(, h)-verteilt Stetigkeit der Pfade: W t : [, ) R ist stetig f.s. Startbedingung: W = f.s. Die zweite Bedingung kann in äquivalenter Weise ersetzt werden durch: Stationarität der Zuwächse: t, h ist die Verteilung von W t+h W t unabhängig von t Stochastische Analysis SS 22 4

X t 1.5 1..5..5 1. 1.5 2...2.4.6.8 1. t Pfade einer Brownschen Bewegung Stochastische Analysis SS 22 5

Definition 1.3 Zwei E-wertige stochastische Prozesse X und Y werden als äquivalent bezeichnet, wenn ihre endlichdimensionalen Verteilungen übereinstimmen, d.h., wenn für alle t 1 <... < t n P (X t1 A 1,..., X tn A n ) = P (Y t1 A 1,..., Y tn A n ) wobei A i E. Prozesses seien. Man sagt auch, dass X und Y Versionen desselben Daraus folgt die in der letzten Definition behauptete Eindeutigkeit sofort. Definition 1.4 Zwei E-wertige stochastische Prozesse X und Y werden als Modifikationen von einander bezeichnet, falls t T X t = Y t f.s. Bemerkung 1.5 Sind X und Y zwei Modifikationen von einander, so sind sie auch zwei Versionen voneinander. Stochastische Analysis SS 22 6

Der Beweis, dass ein eine Brownsche Bewegung überhaupt existiert, ist sehr aufwändig und soll in den Übungen erfolgen. Zum Beweis der Stetigkeit wird der folgende Satz von Kolmogorov verwendet: Satz 1.6 (Stetigkeitssatz von Kolmogorov) Existieren für einen reellwertigen stochastischen Prozess X drei Konstanten α, β, C > mit s,t E X t X s α C t s 1+β so existiert eine Modifikation zu X, welche f.s. stetig ist. Stochastische Analysis SS 22 7

Definition 1.6 Der stochastische Prozess W = (W t ) t [, ) ist eine (1- dimensionale standardisierte) Brownsche Bewegung (Wiener-Prozess) bzgl. der Filtration F = {F t } t [, ), falls W ist zu F adaptiert s t W t W s ist unabhängig von F s W ist eine Brownsche Bewegung gemäß Def. 1.2 Beispiel: F = {F t } t [, ) mit F t = σ(w s, s t) In diesem Fall heißt F die zu W natürliche Filtration. Stochastische Analysis SS 22 8

Satz 1.7 X 1, X 2,... unabhängige identisch verteilte Zufallsvariablen mit P (X i = 1) = P (X i = 1) = 1/2. Durch S n := n i=1 X i wird eine symmetrische Irrfahrt (S n ) n N definiert. Definiere den reellwertigen stochastischen Prozess Z n Z n (t) := 1 n S nt (t [, 1]) Dann gilt Z n = W in dem Sinne, dass alle endlichdimensionalen Verteilungen von Z n gegen die zugehörigen endlichdimensionalen Verteilung der Brownschen Bewegung W in Verteilung konvergieren, d.h. t 1,...,t n [,1] B 1,...,B n B P (Z n (t 1 ) B 1,..., Z n (t n ) B n ) P (W t1 B 1,..., W tn B n ) für n. Stochastische Analysis SS 22 9

Satz 1.8 Die folgenden Transformationen W der Brownschen Bewegung W sind auch Brownsche Bewegungen: W t := cw t/c 2 für ein beliebiges festes c R \ {} W t := tw 1/t W t := {W t+s W s : t } für ein beliebiges festes s > Satz 1.9 Für eine Brownsche Bewegung W gilt W t t f.s. Satz 1.1 Für eine Brownsche Bewegung W gilt ( ) P sup W t = +, inf W t =, t t = 1 Stochastische Analysis SS 22 1

Satz 1.11 Eine Brownsche Bewegung ist f.s. nirgends differenzierbar. Der folgende Satz wird in den Übungen bewiesen. Aus ihm kann gefolgert werden, dass eine Brownsche Bewegung auf keinem noch so kleinen Intervall von endlicher Totalvariation ist (f.s.). Deshalb ist eine Brownsche Bewegung als Integrator im klassischen Sinne nicht brauchbar. Satz 1.12 Der durch W t := lim n n W tk/n W t(k 1)/n 2 in L 2 (P ) k=1 definierte quadratischen Variationsprozess W einer Brownsche Bewegung W existiert und es gilt t W t = t in L 2 (P ) Stochastische Analysis SS 22 11

Starke Markov-Eigenschaft der Brownschen Bewegung Im Folgenden sei (Ω, A, P ) ein WR und W eine Brownsche Bewegung bzgl. einer Filtration F = (F t ) t. Salopp gesprochen besagt die Markov-Eigenschaft eines stochastischen Prozesses, dass bei gegebenem gegenwärtigem Zustand die Zukunft unabhängig von der Vergangenheit ist (präzise Definition später): Satz 1.13 Für jedes t ist der Prozess (W s W t ) s t unabhängig von dem Prozess (W s ) s t. Definition 1.14 Eine Zufallsvariable T : Ω [, ] ist eine Stoppzeit bzgl. der Filtration F, falls t [, ] [T t] = {ω : T (ω) t} F t Stochastische Analysis SS 22 12

Die σ-algebra F t representiert all diejenigen Ereignisse, welche bis einschließlich t (theoretisch) beobachtbar sind. Eine Verallgemeinerung, welche die Ereignisse angibt, die bis zu einem zufälligen Zeitpunkt T beobachtbar sind, liefert Definition 1.15 Ist T eine Stoppzeit bzgl. der Filtration F, so ist F T := {F A : t [, ] F [T t] F t } die σ-algebra der Ereignisse bis T. Bemerkungen: F T ist eine σ-algebra. T ist F T -messbar. F T enthält die Information, die bis einschließlich T erhältlich ist. Salopp gesprochen liegt die starke Markov-Eigenschaft eines stochastischen Prozesses vor, wenn in Satz 1.13 die konstante Zeit t durch eine Stoppzeit ersetzt werden kann (präzise Definition später): Stochastische Analysis SS 22 13

Behauptung 1.16 Ist T eine f.s. endliche Stoppzeit mit abzählbar vielen Werten, dann ist der durch W t := W t+t W T definierte stochastische Prozess ( W t ) t auch eine Brownsche Bewegung, die unabhängig von F T und ( W s ) s T ist. Verallgemeinerung auf Stoppzeiten mit nicht notwendigerweise abzählbar vielen Werten: Satz 1.17 Ist T eine f.s. endliche Stoppzeit, dann ist der durch W t := W t+t W T definierte stochastische Prozess ( W t ) t auch eine Brownsche Bewegung, die unabhängig von F T und ( W s ) s T ist. Stochastische Analysis SS 22 14

Das Reflektionsprinzip Satz 1.18 Sei a R. Dann ist T = inf{t > : W t a} eine Stoppzeit und { W t, t < T W t = 2a W t, t T definiert wieder eine Brownsche Bewegung. Stochastische Analysis SS 22 15

2. Martingale Im Folgenden sei (Ω, A, P ) ein WR und W eine Brownsche Bewegung bzgl. einer Filtration F = (F t ) t. Definition 2.1 Eine Filtration F erfüllt die üblichen Bedingungen, falls F vollständig ist, d.h. jede Nullmenge aus A auch zu F gehört, und F rechststetig ist, d.h. F t = s>t F s. Definition 2.2 Ein stochastischer Prozess M ist ein F-Martingal, falls M ist zur Filtration F adaptiert t E M t < s t E(M t F s ) = M s f.s. Stochastische Analysis SS 22 16

Bemerkung Die letzte Eigenschaft ist äquivalent zu s t F F s E ((M t M s )1 F ) = f.s. Beispiele für Martingale: (W t ) t (W 2 t t) t ( exp(λw 2 t λ 2 t/2) ) t für jedes λ R Bemerkung Viele in den Anwendungen auftretende Martingale sind Markov-Prozesse, aber nicht jeder Markov-Prozess ist ein Martingal und nicht jedes Martingal ist ein Markov-Prozess. Stochastische Analysis SS 22 17

Um gewisse mögliche pathologische Eigenschaften von Martingalen auszuschließen, benötigen wir die Definition 2.3 Eine Funktion x : R R heißt càdlàg (continu à droite, limites à gauche), falls sie rechtsstetig ist und linksseitige Grenzwerte besitzt (h positiv): lim h x t+h = x t lim h x t h existiert In diesem Fall definieren wir x t := lim h x t h. Ein stochastischer Prozess X heißt càdlàg, falls für fast alle ω X. (ω) eine càdlàg Funktion ist. Ist X für alle ω X. (ω) eine càdlàg Funktion, so heißt X sicher càdlàg. Stochastische Analysis SS 22 18

Definition 2.4 Zwei stochastische Prozesse X und Y heißen Modifikationen (von einander), falls t P (X t = Y t ) = 1 X und Y heißen ununterscheidbar, falls P ( t X t = Y t ) = 1 Satz 2.5 Sei M ein Martingal bzgl. der rechtsstetigen und vollständigen Filtration F. Dann gibt es eine (bis auf Ununterscheidbarkeit) eindeutige Modifikation M von M, welche càdlàg und zu F adaptiert ist. Unter den Voraussetzungen von Satz 2.5 kann man also obda von einem Martingal fordern, dass es càdlàg sei ohne damit dessen endlichdimensionalen Verteilungen irgendwie einzuschränken. Stochastische Analysis SS 22 19

Satz 2.6 Seien X und Y zwei càdlàg stochastische Prozesse, welche Modifikationen voneinander darstellen, d.h. t P (X t = Y t ) = 1 Dann sind X und Y ununterscheidbar. Stochastische Analysis SS 22 2

Klassen von Martingalen Definition 2.7 Sei p >. L p ist der lineare Raum der Zufallsvariablen Y mit E Y p < Ein stochastischer Prozess X heißt beschränkt in L p oder auch in L p, falls E X t p < sup t Ist der Prozess X beschränkt in L 2, so heißt X quadratisch integrierbar. be- Satz 2.8 (Martingal-Konvergenzsatz von Doob) Sei M ein in L 1 schränktes càdlàg Martingal. Dann existiert M (ω) := lim t M t (ω) für fast alle ω und ist für fast alle ω endlich. Stochastische Analysis SS 22 21

Bemerkung. Mit dem Lemma von Fatou folgt E M lim inf E M t < Man könnte versucht sein, daraus zu folgern, dass M t M in L 1 und M t = E(M F t ) Keine dieser beiden Aussagen gilt im Allgemeinen. Folgenden eine Teilklasse von L 1 betrachtet: Deshalb wird im Stochastische Analysis SS 22 22

Gleichgradig integrierbare Martingale Definition 2.9 Eine Familie C von reellwertigen Zufallsvariablen heißt gleichgradig integrierbar (UI), falls ɛ> K ɛ < X C E ( X 1 X >Kɛ ) < ɛ Ein Martingal M ist UI, falls die Familie {M t : t } UI ist. Satz 2.1 Das Martingal M sei beschränkt in L p für ein p > 1. Dann ist M gleichgradig integrierbar. Satz 2.11 Das Martingal M sei càdlàg. Dann sind äquivalent: (i) (ii) (iii) Es gibt eine ZV M mit M t M in L 1 Es gibt eine ZV M mit t M t = E (M F t ) f.s. M ist gleichgradig integrierbar Stochastische Analysis SS 22 23

Aufgabe: Seien X t L 1 für jedes t und X L 1. Dann gilt X t X in L 1 genau dann, wenn (i) (ii) X t X nach Wahrscheinlichkeit die Familie {X t : t } ist UI Bemerkung Jedes gleichgradig integrierbare Martingal M kann mit einer Zufallsvariablen X in L 1 identifiziert werden: X = M. Umgekehrt: Zu jeder Zufallsvariablen X L 1 kann ein gleichgradig integrierbares Martingal definiert werden: M t := E(X F t ) Stochastische Analysis SS 22 24

Quadratisch integrierbare Martingale Definition 2.12 M 2 := {M : M Martingal mit M L 2 } M 2 := {M M 2 : M = f.s.} cm 2 := {M M 2 : M ist stetig f.s.} cm 2 := {M M 2 : M = f.s., M stetig f.s.} Stochastische Analysis SS 22 25

Satz 2.13 (L p -Ungleichung von Doob) Sei M ein càdlàg Martingal, beschränkt in L p für ein p > 1, und Dann gilt M L p und M := sup t M t E(M ) p ( ) p p sup E M t p p 1 t Korollar 2.14 Sei M ein càdlàg Martingal, beschränkt in L p für ein p > 1. Dann gilt M t M f.s. und in L p und sup t E(M t ) p = lim t E(M t ) p = E(M ) p Stochastische Analysis SS 22 26

Satz 2.15 Unter der Norm M 2 := ( E ( M 2)) 1/2 sind die Räume M 2, M 2, cm 2 und cm 2 Hilberträume. Das dazugehörige innere Produkt ist also M, N = E (M N ). Hierbei sind wir stillschweigend davon ausgegangen (und werden dies auch in Zukunft so halten), dass zwei ZVn X und Y miteinander identifiziert werden, wenn sie f.s. übereinstimmen. Ähnlich werden wir zwei Prozesse identifizieren, wenn sie Modifikationen von einander sind. Stochastische Analysis SS 22 27

Stoppzeiten Wir erinnern uns: Eine Zufallsvariable T : Ω [, ] ist eine Stoppzeit bzgl. der Filtration F, falls [T t] = {ω : T (ω) t} F t t [, ] Ist T eine Stoppzeit bzgl. der Filtration F, so ist F T := {F A : t [, ] F [T t] F t } die σ-algebra der Ereignisse bis T. Stochastische Analysis SS 22 28

Durch H Γ (ω) := inf{t > : X t (ω) Γ} wird eine sogenannte hitting time (Durchgangszeit) des stochastischen Prozesses X in die Menge Γ B definiert. Frage: Unter welchen Voraussetzung ist H Γ eine Stoppzeit? Satz 2.16 Sei Γ eine offene Menge und X ein F-adaptierter stochastischer Prozess. Ist X sicher càdlàg, oder ist X càdlàg und F vollständig, dann ist H Γ eine Stoppzeit bzgl. {F t+ }. Korollar 2.17 Es gelten die Voraussetzungen von Satz 2.15. Ist F darüberhinaus noch rechtsstetig, so ist H Γ eine Stoppzeit bzgl. F = {F t }. Korollar 2.18 Sei Γ eine offene Menge und X zu F adaptiert. Ist X sicher càdlàg, oder ist X f.s. stetig und F vollständig, dann ist H Γ eine Stoppzeit bzgl. F = {F t }. Stochastische Analysis SS 22 29

Satz 2.19 Sei Γ eine abgeschlossene Menge und X ein F-adaptierter stochastischer Prozess. Ist X sicher càdlàg, oder ist X càdlàg und F vollständig, dann ist H Γ(ω) := inf{t > : X t (ω) Γ oder X t (ω) Γ} eine Stoppzeit bzgl. F. Korollar 2.2 Sei X sicher stetig (oder X f.s. stetig und F vollständig) und adaptiert bzgl. F. Ist Γ abgeschlossen, so ist H Γ eine Stoppzeit bzgl. F. Beispiel Es gelten die üblichen Voraussetzungen. Seien a, b > und T := inf{t > : W t + t [ a, b]} Dann ist (, a) (b, ) eine offene Teilmenge von R und W sicher stetig. Nach Korollar 2.17 ist T eine Stoppzeit bzgl. F. Stochastische Analysis SS 22 3

Satz 2.21 Sei X zu F adaptiert und T eine Stoppzeit bzgl. F. Ist X sicher càdlàg oder X càdlàg und F vollständig, dann ist X T F T -messbar. Konvention: Falls T (ω) = und X (ω) existiert, so X T (ω) := X (ω). Falls T (ω) = und X (ω) nicht existiert, so X T (ω) :=. Definition 2.22 Sei X ein stochastischer Prozess und T eine Stoppzeit. Dann ist der gestoppte Prozess X T definiert durch X T t (ω) := X t T (ω) Mit Satz 2.21 folgt Korollar 2.23 Sei T eine F-Stoppzeit und X F-adaptiert und sicher càdlàg (oder càdlàg und F ist vollständig), dann ist der Prozess X T {F t T } t -adaptiert (und daher auch F-adaptiert). Stochastische Analysis SS 22 31

Das Optional Sampling Theorem Sei M ein Martingal und T eine Stoppzeit Frage: Gilt M t = E(M T F t )? Anwort: Im Allgemeinen Nein! Gegenbeispiel: M := W und T := inf{t > : M t 1} Satz 2.24 Seien S T zwei Stoppzeiten mit endlich vielen Werten (evtl. einschließlich ). M sei ein UI càdlàg Martingal. Dann M S = E(M T F S ) = E(M F S ) f.s. Stochastische Analysis SS 22 32

Allgemeiner gilt: Satz 2.25 (Optional Sampling Theorem) Seien S T zwei Stoppzeiten. M sei ein UI càdlàg Martingal. Dann M S = E(M T F S ) = E(M F S ) f.s. Korollar 2.26 Sei M ein UI càdlàg Martingal und S eine Stoppzeit. Dann gilt E M S <. Bemerkung 2.27 Ist T durch eine Konstante n nach oben beschränkt, so kann im Optional Sampling Theorem auf UI-Voraussetzung an M verzichtet werden. Stochastische Analysis SS 22 33

Eine partielle Umkehrung des Optional Sampling Theorems liefert Satz 2.28 Sei M ein càdlàg und adaptierter Prozess mit der Eigenschaft, dass für jede Stoppzeit T Dann ist M ein UI Martingal. E M T < und E(M T ) = Satz 2.29 Sei M ein F-Martingal und T eine F-Stoppzeit. Ist M sicher càdlàg, oder ist M càdlàg und F ist vollständig, dann ist M T auch ein F-Martingal. Unter den genannten Voraussetzungen ist die Klasse der Martingale also stabil unter Stoppen. Beispiel W BB und T := inf{t > : W t [ a, b]}, a, b >. Dann gilt (i) (ii) (iii) T < f.s. P (W T = b) = a/(a + b) E(T ) = ab Stochastische Analysis SS 22 34

Variation, quadratische Variation und Integration Totalvariation und Stieltjes-Integration Definition 2.3 Sei X ein stochastischer Prozess. V X von X ist der durch Die Totalvariation V X (t, ω) = sup n( ) i=1 X(t i, ω) X(t i 1, ω) für jedes t definierte stochastische Prozess, wobei = {t = < t 1 <... < t n( ) = t} eine Partition von [, t] darstellt. Behauptung 2.31 Sei X F-adaptiert und sicher càdlàg (oder X ist càdlàg und F ist vollständig), dann ist V X auch sicher càdlàg (bzw. V X ist f.s. càdlàg). Stochastische Analysis SS 22 35

Definition 2.32 Der stochastische Prozess X ist von endlicher Variation, falls (i) (ii) (iii) t V X (t) < f.s. X ist càdlàg X ist F-adaptiert Definition eines Integrals bzgl. eines stochastischen Prozesses mit endlicher Variation kann analog zur Stieltjes-Integration durchgeführt werden. Stochastische Analysis SS 22 36

Satz 2.33 Sei X ein Prozess mit endlicher Variation. Dann existieren zwei wachsende adaptierte càdlàg Prozesse X + und X mit X = X + X f.s. Dann kann das stochastische Integral H X für jeden beschränkten B(R) F-messbaren Integranden H mittels (H X) t (ω) := t H u (ω) dx + u (ω) t H u (ω) dx u (ω) definiert werden, wobei die auf der rechten Seite auftretenden Integrale als Lebesgue-Stieltjes-Integrale zu interpretieren sind und, falls X(ω) nicht càdlàg (H X) t (ω) :=. Das stochastische Integral H X erfüllt die Bedingungen (i) und (ii) von Defintion 2.31. Stochastische Analysis SS 22 37

Fortsetzung von Satz 2.33: Ein Prozess H heißt progressiv messbar bzgl. F, falls t { (s, ω) H s (ω) [, t] Ω (R, B(R)) ist B([, t]) F t -messbar Ist H beschränkt und progressiv messbar, dann ist H X auch F-adaptiert und von endlicher Variation. Unter der Voraussetzung, dass der Integrator X von endlicher Variation ist, war die pfadweise Definition des eben vorgestellte stochastische Integral möglich. Frage: Gibt es interessante stochastische Prozesse von endlicher Variation? Satz 2.34 Die einzigen stetigen Martingale von endlicher Variation sind f.s. konstant. Stochastische Analysis SS 22 38

Quadratische Variation Definition 2.35 Sei X ein stetiger Prozess. Die Doppelfolge {T n k : k, n N} von R + -wertigen Zufallsvariablen wird definiert durch T n :=, T n k+1 := inf{t > T n k : X t X T n k > 2 n } Die quadratische Variation X des Prozesses X ist definiert durch X t (ω) := lim X t T n n k (ω) X t T n k 1 (ω) 2 k 1 oder, falls der Limes nicht existiert. Satz 2.36 Der quadratische Variationsprozess M eines stetigen Martingals M ist adaptiert, f.s. stetig und monoton wachsend. Ist M nur f.s. stetig, so folgt die Behauptung, falls zusätzlich die Vollständigkeit der Filtration F voraussgestzt gefordert wird. Stochastische Analysis SS 22 39

Korollar 2.37 Sei M ein stetiges Martingal. Ist {Sk n } eine Doppelfolge von Stoppzeiten wachsend in k so, dass für jedes n (i) (ii) mit {T n k {T n k : k } {S n k : k } {S n k : k } {S n+1 k : k } } wie in Definition 2.34, dann gilt für f.a. ω M t (ω) := lim M t S n n k (ω) M t S n k 1 (ω) 2 k 1 Satz 2.38 Die quadratische Variation M eines stetigen quadratintegrierbaren Martingals M ist der einzige monoton wachsende und stetige Prozess, so dass M 2 M ein UI Martingal ist. Stochastische Analysis SS 22 4

Definition 2.39 Seien X und Y zwei stetige Prozesse. Die Doppelfolgen {Tk n(x) : k, n N} und {T k n(y ) : k, n N} von R+ -wertigen Zufallsvariablen seien gegeben wie in Definition 2.34. Die Doppelfolge {Sk n : k, n N} entstehe aus der geordneten Vereinigung der {T k n(x)} und {Tk n (Y )} durch S n := S n k := inf { t {T n k (X) : k } {T n k (Y ) : k } : t > S n k 1}, k > Die quadratische Kovariation X, Y der Prozesse X und Y ist definiert durch X, Y t (ω) := lim n k 1 ( ) ( ) X t S n k (ω) X t S n k 1 (ω) Y t S n k (ω) Y t S n k 1 (ω) oder, falls der Limes nicht existiert. Stochastische Analysis SS 22 41

Satz 2.4 (Polarisations-Identität) Seien M und N zwei stetige quadratintegrierbare Martingale. Dann gilt für fast alle ω M, N (ω) = 1 2 ( M + N M N ) (ω) Korollar 2.41 Die quadratische Kovariation M, N von stetigen quadratintegrierbaren Martingalen M und N ist der einzige stetige Prozess von endlicher Variation, so dass MN M, N ein UI Martingal ist. MN ist genau dann ein UI Martingal, falls M, N =. Stochastische Analysis SS 22 42

Lokale Martingale Definition 2.42 Sei M ein adaptierter Prozess mit M =. M heißt lokales Martingal mit M =, kurz M M,loc, falls es eine wachsende Folge von Stoppzeiten (T n ) mit T n f.s. gibt so, dass jeder gestoppte Prozess M T n ein Martingal ist. Ist M zusätzlich noch stetig, schreiben wir M cm,loc. (T n ) heißt lokalisierende Folge für M nach M. Ein Prozess heißt (stetiges) lokales Martingal, kurz M M loc (M cm loc ), falls M F -messbar und M M M,loc (M M cm,loc ). Bermerkung. Jedes Martingal ist ein lokales Martingal. Stochastische Analysis SS 22 43

Lemma 2.43 Sei M cm,loc und S n := inf{t > : M t > n} (n N) Dann ist M S n für jedes n ein f.s. beschränktes Martingal, also cm,loc = cm 2,loc Zum Nachweis, ob ein stetiges lokales Martingal vorliegt, genügt es also, die diese spezielle Folge (S n ) von Stoppzeiten einzusetzen. Satz 2.44 Für jedes M cm,loc ist der quadratische Variationsprozess M adaptiert, f.s. endlich, stetig und monoton wachsend. M ist der einzige adaptierte, stetige und monoton wachsende Prozess mit M 2 M cm,loc Stochastische Analysis SS 22 44

Satz 2.45 Sei M cm,loc. Hat M Pfade von endlicher Variation, so gilt M f.s. Korollar 2.46 Ist W eine BB, so gilt W t = t. Korollar 2.47 Seien M, N cm,loc. Die quadratische Kovariation M, N ist der einzige adaptierte, stetige Prozess von endlicher Variation mit MN M, N cm,loc MN ist genau dann ein stetiges lokales Martingal, wenn M, N = Stochastische Analysis SS 22 45

Semimartingale Definition 2.48 Ein Prozess X heißt Semimartingal, falls X F-adaptiert und in der Form (1) X = X + M + A geschrieben werden kann, wobei X eine F -messbare ZV, M ein lokales Martingal mit M = und A ein adaptierter càdlàg Prozess mit A = und Pfaden von endlicher Variation sind. S sei der lineare Raum aller Semimartingale und cs der lineare Unterraum aller stetigen Semimartingale. Definition 2.49 Ist X ein stetiges Semimartingal und werden in der Zerlegung (1) M und A stetig gewählt, so heißt M der stetige lokale Martingalanteil von X und wird mit M = X loc bezeichnet. Stochastische Analysis SS 22 46

Lemma 2.5 Sei X ein stetiges Semimartingale und {Tn} k wie in Definition 2.35. Ist {Sk n } eine Doppelfolge von Stoppzeiten wachsend in k so, dass für jedes n (i) (ii) {T n k : k } {S n k : k } {S n k : k } {S n+1 k : k } dann gilt für f.a. ω X t (ω) := lim n X t S n k (ω) X t S n k 1 (ω) 2 k 1 Satz 2.51 Für jedes stetige Semimartingal X cs gilt X = X loc und, mit einem weiteren stetigen Semimartingal Y cs, X, Y = X loc, Y loc Stochastische Analysis SS 22 47

Submartingale und die Doob-Meyer-Zerlegung In der Vorlesung WT haben wir die Doob-Zerlegung eines zeitdiskreten Submartingals X = (X n ) n N hergeleitet: Es existiert ein Martingal M = (M n ) n N und ein vorhersagbarer monoton Prozess A = (A n ) n N (d.h., A n ist F n 1 -messbar und A n A n+1 f.s.) mit X n = X + M n + A n mit M = A = Diese Zerlegung ist f.s. eindeutig. Es gibt verschiedene Varianten, die diese Aussage auf den zeitstetigen Fall übertragen. Stochastische Analysis SS 22 48

Definition 2.52 Ein stochastischer Prozess X ist ein F-Submartingal, falls (i) (ii) (iii) X ist zur Filtration F adaptiert t E X t < s t E(X t F s ) X s f.s. Ist X ein Submartingal, so heißt X F-Supermartingal. Ein stochastischer Prozess X = (X t ) t [, ) gehört zur Dirichlet-Klasse (D), falls {X T : T Stoppzeit mit T < f.s.} UI ist Ein stochastischer Prozess X = (X t ) t [, ) heißt vorhersagbar (predictable, previsible), falls er bezüglich der von den linksseitig-stetigen adaptierten Prozessen erzeugten σ-algebra messbar ist. Stochastische Analysis SS 22 49

Satz 2.53 (Doob-Meyer-Zerlegung) Es gelten die üblichen Voraussetzungen. Jedes càdlàg Submartingal X = (X t ) t [, ) der Klasse (D) besitzt die Zerlegung (2) X = X + M + A wobei M ein UI càdlàg Martingal mit M = und A ein monoton wachsender vorhersagbarer càdlàg Prozess mit A = f.s. sind. M und A sind f.s. eindeutig. Korollar 2.54 Jedes lokale càdlàg Martingal X kann gemäß (2) zerlegt werden. Stochastische Analysis SS 22 5

3. Stochastische Integration Ein Beispiel aus der Finanzmathematik: Sei X n der (zufällige) Aktienpreis einer Aktie zum Zeitpunkt n N Die bis einschließlich Zeitpunkt n (theoretisch) verfügbare Information werde durch die Filtration F modelliert Der Aktienpreisprozess X = (X n ) n N sei zu F adaptiert Zum Zeitpunkt n 1 werde entschieden, wieviele Aktien H n zum Zeitpunkt n gehalten werden sollen Die Entscheidung über die Höhe von H n wird also ausschließlich auf die bis zum Zeitpunkt n 1 verfügbare Information gegründet (Prophetie wird ausgeschlossen) Stochastische Analysis SS 22 51

Dies kann durch die Forderung, dass der stochastische Prozess H = (H n ) n N vorhersagbar (predictable, previsible) ist, modelliert werden: (H existiert nicht!) H n ist F n 1 -messbar für alle n N Der durch Kursschwankungen der Aktie erzielte Gewinn von Zeitpunkt n 1 bis n beträgt H n (X n X n 1 ) Der Gesamtgewinn bis einschließlich Zeitpunkt n: I n = (H X) n := n H k (X k X k 1 ) k=1 Sinnvolle Definition: I := (H X) := Stochastische Analysis SS 22 52

Klar: I n I n 1 = H n (X n X n 1 ) Definition Der durch H X = (H X) n N definierte zeitdiskrete stochastische Prozess heißt Martingal-Transformation von X unter H (D.L. Burkholder). Dies ist das diskrete Analogon zum später noch zu definierenden stochastischen Integral H dx. Satz Sei H ein beschränkter vorhersagbarer stochastischer Prozess, d.h. es gibt eine reelle Zahl K mit H n (ω) K für alle n und alle ω, und X ein Martingal. Dann ist H X ein Martingal mit (H X) =. You can t make money by gambling on a fair game Würde nur H n F n (statt F n 1 ) gefordert, so könnte man seinen Einsatz von dem Ergebnis abhängig machen, auf das gewettet wird. Wie lassen sich diese Fragen in einem zeitkontinuierlichen Markt behandeln? Stochastische Analysis SS 22 53

Es gelten im Weiteren immer die üblichen Voraussetzungen : Die Filtration F ist vollständig und rechtsstetig Ziel: Konstruktion eines stochastischen Integrals I t = (H X) t := t H u dx u für eine möglichst große Klasse von Integranden H und eine möglichst große Klasse von Integratoren X Im Folgenden betrachten wir die Integranden H als eine einzige auf einem Produktraum definierte Abbildung H : { (, ) Ω R (t, ω) H t (ω) und anstelle einer durch t indizierten Familie von messbaren Abbildungen Stochastische Analysis SS 22 54

Problem: Wahl der σ-algebra auf (, ) Ω Definition 3.1 Die vorhersagbare σ-algebra P auf (, ) Ω ist die kleinste σ-algebra, so dass jeder adaptierte Prozess mit Pfaden, die linksstetig sind und Grenzwerte von rechts besitzen, P-messbar sind. Ein Prozess H : ((, ) Ω, P) (R, B(R)) heißt vorhersagbar, kurz H P. Ist H zusätzlich noch beschränkt, so schreiben wir H bp. Aufgabe: Zeigen Sie, dass die vorhersagbare σ-algebra P auch durch jedes der beiden folgenden Mengensysteme erzeugt werden kann: (i) (ii) {(, T ] : T Stoppzeit} {(s, t] A : s < t <, A F s } Hierbei ist für Stoppzeiten S und T ein sog. stochastische Intervall (S, T ] := {(t, ω) : S(ω) < t T (ω)} Stochastische Analysis SS 22 55

Im Folgenden wollen wir ähnlich wie beim allgemeinen Maßintegral schrittweise ein stochastisches Integral für lokalbeschränkte vorhersagbare Integranden H und einem stetigen Semimartingal als Integrator entwickeln 1. Schritt: Das einfachste Integral Seien T eine Stoppzeit, H = 1 (,T ] und M cm 2. Dann wird das stochastische Integral H M := H dm (pfadweise) definiert durch (H M) t (ω) := ( t ) H dm := (M t T M )(ω) Also H M = M T cm 2 (da M = ) Dieses stochastische Integral kann mittels Linearität auf den linearen Raum der Linearkombinationen von Prozessen der Bauart 1 (,T ] fortgesetzt werden Stochastische Analysis SS 22 56

Definition 3.2 Für zwei Stoppzeiten T und S ist 1 (S,T ] der durch 1 (S,T ] (t, ω) = { 1, falls S(ω) < t T (ω), sonst definierte stochastische Prozess. E sei der lineare Raum der einfachen Prozesse H der Form H(t, ω) = n c i 1 (Ti 1,T i ](t, ω) i=1 mit Stoppzeiten T T 1... T n und reellen Zahlen c i. Für jedes H E wird H M definiert durch (H M) t (ω) = n c i (M Ti t(ω) M Ti 1 t(ω)) i=1 Stochastische Analysis SS 22 57

Lemma 3.3 Seien M cm 2 und H E. Dann gilt H M cm 2 und H M 2 2 = E(H M) 2 = E n c 2 i (MT 2 i MT 2 i 1 ) i=1 Jetzt soll die Abbildung I : { E cm 2 H H M mittels Stetigkeit auf E fortgesetzt werden. Problem: Geeignete Topologie (oder Norm) auf E bzw. cm 2? Stochastische Analysis SS 22 58

Der Hilbertraum L 2 (M) Da die quadratische Variation M von M ein monoton wachsender Prozess ist, exisitiert das Integral H M := ( E H 2 s d M s ) 1/2 für jeden vorhersagbaren Prozess H. Definition 3.4 L 2 (M) := {H P : H M < } L 2 (M) := { M -Äquivalenzklassen von H P : H M < } Stochastische Analysis SS 22 59

Man kann zeigen, dass M eine Norm auf L 2 (M) ist, und dass L 2 (M) unter M ein Hilbertraum ist. Dazu betrachte man L 2 (M) als den Raum L 2 ((, ) Ω, P, µ M ), wobei µ M das durch µ M ((s, t] F ) = E(( M t M s )1 F ) auf ((, ) Ω, P) eindeutig festgelegte sog. Doléans-Maß ist (s < t, F F s ). Satz 3.5 E liegt bzgl. M dicht in L 2 (M). Stochastische Analysis SS 22 6

Lemma 3.6 Sei M cm 2. Dann gilt für alle H E H M cm 2 (3) H M 2 = H M Also ist die Abbildung I M : (E, M ) (cm 2, 2 ) eine Isometrie. Ist {H n } eine Cauchy-Folge in E, so ist {H n M} eine Cauchy-Folge in cm 2. Ausführlich bedeutet (3) E(H M) 2 = E H 2 s d M s Stochastische Analysis SS 22 61

Satz 3.7 Seien M cm 2 und H L 2 (M). {H n } E und ein N cm 2 so, dass Dann gibt es eine Folge (4) (5) H n H M H n M N 2 Liegen ˆM und ˆN in denselben Äquivalenzklassen von cm 2 wie M bzw. N, und liegen Ĥ und H in derselben Äquivalenzklasse von L2 (M), so gelten die Beziehungen (4) und (5) auch für ˆM, ˆN und Ĥ. Werden M und H als Elemente von L 2 (cm 2 ) bzw. L 2 (M) betrachtet, so wird als stochastisches Integral H M L 2 (cm 2 ) das eindeutig bestimmte N L 2 (cm 2 ) definiert, für welches (4) und (5) gelten. Werden M und H als Elemente von cm 2 bzw. L 2 (M) betrachtet, so wird das stochastisches Integral H M cm 2 durch irgendein N cm 2 definiert, für welches (4) und (5) gelten. Stochastische Analysis SS 22 62

Korollar 3.8 Seien M cm 2 und H L 2 (M). Dann gelten und H M cm 2 E(H M) 2 =: H M 2 2 = H 2 M := E H 2 s d M s Stochastische Analysis SS 22 63

L 2 - und f.s.-konvergenz von H n M Seien M cm 2 und H L 2 (M). Gemäß Satz 3.7 existiert eine Folge {H n } E mit H n H M und ein stetiges Martingal H M := N cm 2 mit E(H n M H M) 2 Daraus folgt (mit der Ungleichung von Doob) P ( ) sup (H n M H M) t > ε t für jedes ε >. Deshalb gibt es zwar eine Teilfolge {H n } von {H n } mit (H n M) t (ω) (H M) t (ω) Stochastische Analysis SS 22 64

für fast jedes ω, der Grenzwert hängt jedoch von dieser Teilfolge ab. Die Grenzwerte zweier konvergenter Teilfolgen unterscheiden sich zwar nur auf einer Nullmenge. Da es jedoch überabzählbar viele solcher Nullmengen geben kann, muss deren Vereinigungsmenge nicht zwangsläufig das P -Maß Null haben. Für spezielle Integranden kann das stochastische Integral jedoch pfadweise definiert werden. Satz 3.9 Seien M cm 2 und H bp linksstetig. Die Doppelfolge {Tk n : k, n N} von R+ -wertigen Zufallsvariablen wird definiert durch T n :=, T n k+1 := inf{t > T n k : H t H T n k > 2 n } Dann gilt für fast alle ω ( t ) H u dm u (ω) = lim H t T n n k 1 (M t T n k (ω) M t T n k 1 (ω)) k 1 Stochastische Analysis SS 22 65

Eigenschaften des stochastischen Integrals Satz 3.1 Sei M cm 2. Dann gilt für alle H L 2 (M) und jede Stoppzeit T (H M) T = H1 (,T ] M = H M T Stochastische Analysis SS 22 66

Satz 3.11 Sei M cm 2. Dann gilt für alle H L 2 (M) (H M) 2 t t H 2 u d M u ist ein stetiges UI Martingal, also H M t = t H 2 u d M u Ist N cm 2 und K L 2 (N), dann H M, K N t = t H u K u d M, N u Stochastische Analysis SS 22 67

Satz 3.12 Seien M cm 2 und H L 2 (M). Das stochastische Integral H M ist das einzige Martingal in cm 2 (bis auf Ununterscheidbarkeit), so dass für jedes N cm 2 H M, N = H M, N Korollar 3.13 Sei M cm 2. Für alle K L 2 (M) und H L 2 (K M) gilt HK L 2 (M) (HK) M = H (K M) Stochastische Analysis SS 22 68

Erweiterungen mittels Lokalisation Bisher stammen die Integratoren M aus der Klasse cm 2. Für praktische Zwecke ist diese Klasse jedoch noch viel zu klein. So ist z.b. die Brownsche Bewegung darin nicht enthalten. In zwei Schritten werden wir die Klasse der zulässigen Integratoren auf die Klasse M cm,loc der stetigen lokalen Martingale und dann auf Klasse der stetigen Semimartingale cs erweitern. Die Erweiterung wird mittels dem Prinzip der Lokalisation durchgeführt werden. Stochastische Analysis SS 22 69

Stetige lokale Martingale als Integratoren Als Integranden in diesem Abschnitt verwenden wir Prozesse aus der Klasse { t } Π(M) := H P : t> Hu 2 d M u < f.s. Falls M cm 2, ist L 2 (M) definiert und es gilt L 2 (M) Π(M) Wähle M cm,loc und H Π(M). Für n N setze S n := inf{t > : M t > n} R n := inf{t > : T n := R n S n t H 2 u d M u > n} Stochastische Analysis SS 22 7

Für jedes n N ist T n eine Stoppzeit mit T n M T n cm 2 H1 (,Tn ] L 2 (M T n ) Jetzt kann mit Satz 3.7 das folgende stochastische Integral definiert werden: ( ) H1(,Tn] M T n cm 2 Mit Satz 3.1 folgt für alle 1 n m (( ) H1(,Tm ] M T m ) Tn = ( ) H1 (,Tn ] M T n Stochastische Analysis SS 22 71

Definition 3.14 Seien M cm,loc und H Π(M). Das stochastische Integral H M cm,loc ist definiert durch mit {T n } wie oben. ( ) H M(ω) = lim H1(,Tn ] M T n (ω) n Man kann zeigen, dass für gegebenes M cm,loc die Klasse Π(M) die größte Klasse von Integranden ist, mit denen sich ein stochastisches Integral H M definieren läßt. Stochastische Analysis SS 22 72

Semimartingale als Integratoren Im Folgenden wollen wir allgemeinere Integratoren X cs anstelle von Integratoren M cm,loc betrachten. Ist X cs ein stetiges Semimartingal, so existiert die eindeutige Zerlegung X = M + A mit M cm,loc und einem stetigen adaptierten Prozess A von endlicher Variation. Da Π(X) nicht von A abhängt, ist die Existenz von H A nicht für jedes H Π(M) gesichert. Anstelle der naheliegenden Wahl Π(X) als Klasse der Integranden werden wir deshalb die Klasse, aus der die Integranden stammen, etwas einschränken. Diese Klasse wird nicht mehr von der Wahl des Integrators X cs abhängen. Stochastische Analysis SS 22 73

Definition 3.15 Ein Prozess H heißt lokal beschränkt und vorhersagbar, kurz H lbp, wenn er vorhersagbar ist und wenn es eine wachsende Folge {T n } von Stoppzeiten mit T n f.s. und eine Folge von reellen Konstanten gibt so, dass ω n H1 (,Tn ] < c n Beispiel. Alle adaptierten linksstetigen Pozesse H mit exisitierenden Grenzwerten von rechts und mit lim sup t H t < f.s. liegen in lbp. Wähle hierzu T n = inf{t > : H t > n} Lemma 3.16 Für jeden Prozess M cm,loc (oder allgemeiner X cs) gilt lbp Π(M) Stochastische Analysis SS 22 74

Für H lbp und X cs werden wir jetzt das stochastische Integral H X konstruieren Sei dazu X = M + A die eindeutige Zerlegung von X cs mit M cm,loc und einem stetigen adaptierten Prozess A von endlicher Variation Sei H lbp. Nach Defintion 3.14 kann das stochastische Integral definiert werden H M Nach Satz 2.33 kann das stochastische Integral pfadweise definiert werden mittels H A (H A) t (ω) = t H u (ω) da u (ω) Stochastische Analysis SS 22 75

Definition 3.17 Für H lbp und X cs ist das stochastische Integral H X definiert durch H u dx u := H X := H M + H A Man kann zeigen, dass Semimartingale die größte Klasse von Integratoren bilden, mit denen sich ein vernünftiges stochastisches Integral definieren läßt Stochastische Analysis SS 22 76

Rechenregeln für das stochastische Integral Partielle Integration Satz 3.18 Seien X, Y cs. Dann gilt f.s. für alle t X t Y t = X Y + t X u dy u + t Y u dx u + X, Y t und speziell X 2 t = X 2 + 2 t X u dx u + X t Stochastische Analysis SS 22 77

Bemerkungen Ist X oder Y von endlicher Variation, so liegt die Formel der partiellen Integration für Lebesgue-Stieltjes-Integrale vor, da in diesem Fall X, Y = Ist M ein lokales Martingal, so gilt Mt 2 M t = M 2 + 2 t M u dm u Stochastische Analysis SS 22 78

Itô-Formel Satz 3.19 Seien f C 2 (R, R) und X cs. Dann gilt f.s. für alle t (i) f(x t ) = f(x ) + t f (X u ) dx u + 1 2 t f (X u ) d X u Mit der Zerlegung des stetigen Semimartingals X = X + M + A folgt (ii) f(x t ) = f(x ) + + t f (X u ) dm u ( t f (X u ) da u + 1 2 t f (X u ) d X u ) Also ist f(x) ein stetiges Semimartingal Stochastische Analysis SS 22 79

Das Differenzial Differenzielle Notation der Itô-Formel df(x) = f (X) dx + 1 2 f (X) d X Für zwei stetige Semimartingale X und Y verwenden wir (i) dx dy := d X, Y (=: dy dx) Ist A von endlicher Variation, so (ii) dx da = Ist auch Z ein stetiges Semimartingal, so (iii) (dx dy )dz = dx(y dz) = Stochastische Analysis SS 22 8

Mit Satz 3.11 folgt für H, K lbp Deshalb schreibt man auch kurz d H X, K Y = HK d X, Y (iv) (H dx)(k dy ) = HK dx dy Ist X ein Semimartingal mit der Zerlegung X = X + M + A, so (dx) 2 = (dm + da) 2 = (dm) 2 + 2dM da + (da) 2 = (dm) 2 Formel von Itô in dieser neuen Notation df(x) = f (X) dx + 1 2 f (X)(dX) 2 Stochastische Analysis SS 22 81

Ein Beispiel. Sei W eine BB und H Π(W ) Durch ζ t := t H u dw u 1 2 wird ein Semimartingal ζ definiert t H 2 u ds (t ) Betrachte den durch Z t := exp(ζ t ) (t ) definierten Prozess Z Mit der Itô-Formel folgt für ein beliebiges f C 2 df(ζ t ) = f (ζ t ) dζ t + 1 2 f (ζ t )(dζ) 2 wobei (dζ) 2 = (H t dw t 1 2 H2 t dt) 2 = H 2 t (dw t ) 2 = H 2 t dt Stochastische Analysis SS 22 82

Mit f(x) = exp(x) erhalten wir dz t = Z t (H t dw t 1 2 H2 t dt) 2 + 1 2 Z th 2 t dt = Z t H t dw t Wegen Z = 1 kann diese stochastische Differenzialgleichung in die folgende Integralform gebracht werden (i) Z t = 1 + t Z u H u dw u Man kann zeigen, dass der oben genannte stochastische Prozess Z die einzige Lösung der Gleichung (i) ist! Ferner: Mit Satz 3.19 folgt aus (i), dass Z ein lokales Martingal ist. Frage: Für welche H Π(W ) ist Z sogar ein wahres Martingal? Stochastische Analysis SS 22 83

Mehrdimensionale Itô-Formel Definition 3.2 Ein F-adaptierter Prozesss X = (X (1),..., X (d) ) mit Werten in R d heißt stetiges Semimartingal, falls jeder Koordinaten- Prozess X (i) ein stetiges Semimartingal ist. Satz 3.21 Sei f : R d R eine C 2 -Funktion und X = (X (1),..., X (d) ) ein stetiges Semimartingal mit Werten in R d. Dann ist f(x t ) f.s. ein stetiges Semimartingal und f.s. gilt f(x t ) = f(x ) + + 1 2 d i=1 t d i,j=1 f (X u ) dx u (i) x i t 2 f (X u ) d X u (i), X u (j) u x i x j Stochastische Analysis SS 22 84

Eine Variante der Itô-Formel: Ist einer der Koordinaten-Prozesse X (i) von beschränkter Variation, so genügt es zu fordern, dass f in dieser Koordinate nur eine C 1 -Funktion ist. Sei z.b. X ein stetiges Semimartingal in R 1 und A ein stetiger Prozess von endlicher Variation in R 1 und f C 2,1 (R 2, R), dann gilt f(x t, A t ) = f(x, A ) + + + 1 2 t t t f x (X u, A u ) dx u f a (X u, A u ) da u 2 f x 2(X u, A u ) d X u u Stochastische Analysis SS 22 85

Das Doléan-Exponential Sei X ein stetiges Semimartingal mit X = und E(X t ) := exp(x t 1 2 X t) Dann ist E(X) t das einzige (stetige) Semimartingal Z, das die sogenannte exponentielle stochastische Differenzialgleichung erfüllt: Z t = 1 + t Z u dx u (In differenzielle Notation: dz t = Z t dx t mit Z = 1) Stochastische Analysis SS 22 86

Zum Nachweis wende man die eben erwähnte Variante der mehrdimensionalen Itô-Formel auf das 2-dimensionale Semimartingal (X, X ) und die Funktion f(x, y) = exp(x 1 2y) an: de(x) t = E(X) t dx t 1 2 E(X) t d X t + 1 2 E(X) t X t = E(X) t dx t Der Prozess E(X) heißt stochastisches Exponential von X. Stochastische Analysis SS 22 87

Charakterisierung einer Brownschen Bewegung Satz 3.22 (Lévy) Sei X ein zur Filtration F adaptiertes stetiges d- dimensionales lokales Martingal. Dann ist X genau dann eine zu F adaptierte Brownsche Bewegung, falls i,i {1,...,d} t X (i), X (j) t = δ ij t f.s. Stochastische Analysis SS 22 88

4. Zwei wichtige Sätze der stochastischen Analysis Wie verändert sich die Verteilung eines Semimartingals, wenn das zugrundeliegende Wahrscheinlichkeitsmaß P durch ein äquivalentes W-Maß Q ersetzt wird? Auf diese Frage gibt der Satz von Girsanov eine Antwort Sei M ein Martingal. Unter welchen Voraussetzungen kann jedes (lokale) Martingal N als stochastisches Integral N = H M für ein geeignetes H Π(M) dargestellt werden? Diese Frage beantwortet der Martingal-Darstellungssatz Stochastische Analysis SS 22 89

4.1 Der Satz von Girsanov Äquivalente W-Maße und Radon-Nikodým-Ableitungen Definition 4.1 Seien P und Q zwei W-Maße auf dem Meßraum (Ω, F). Q heißt absolutstetig bezüglich P (und der σ-algebra F), kurz Q P, falls F F P (F ) = = Q(F ) = Gilt P Q und Q P, so werden P und Q als äquivalent (bezüglich F) bezeichnet, kurz P Q. Stochastische Analysis SS 22 9

Satz 4.2 (Radon-Nikodým) Seien P und Q zwei äquivalente W-Maße auf (Ω, F). Dann existiert eine eindeutige (bis auf eine Menge von Punkten vom Maß ) und strikt positive Zufallsvariable ρ L 1 (Ω, F, P ) mit (i) F F Q(F ) = F ρ dp = E P (ρ1 F ) Weiter gilt ρ 1 L 1 (Ω, F, P ) und (ii) F F P (F ) = F ρ 1 dq = E Q (ρ 1 1 F ) Umgekehrt, gibt es eine strikt positive Zufallsvariable ρ L 1 (Ω, F, P ) mit E P (ρ) = 1, so existiert ein eindeutiges und zu P äquivalentes W-Maß Q, für welches (i) und (ii) gelten. Stochastische Analysis SS 22 91

Definition 4.3 Die in Satz 4.2 genannte Zufallsvariable ρ heißt (eine Version der) Radon-Nikodým-Ableitung von Q bezüglich P auf (Ω, F). In Kurzform dq dp = ρ f.s. F und dp dq = ρ 1 f.s. F Stochastische Analysis SS 22 92

Im Folgenden wird Satz 4.2 (von Radon-Nikodým) von Indikatorfunktionen auf Zufallsvariable verallgemeinert. Behauptung 4.4 Sei X eine auf (Ω, F) definierte Zufallsvariable und P Q bezüglich F. Dann gilt, vorausgestzt die betreffenden Erwartungswerte existieren, E Q (X) = E P (ρx) und wobei E P (X) = E Q (ρ 1 X) ρ = dq dp F Der folgende Satz verallgemeinert den Satz 4.2 (von Radon-Nikodým) und Behauptung 4.4 auf eine σ-algebra G F Stochastische Analysis SS 22 93

Satz 4.5 Seien P und Q zwei W-Maße auf (Ω, F), und G F sei eine weitere σ-algebra. Gilt P Q bezüglich F, so auch P Q bezüglich G und dq dp = E P (ρ G) f.s. G dp dq = E Q (ρ 1 G) f.s. G wobei ρ = dq dp f.s. F Sind X L 1 (Ω, G, Q) und Y L 1 (Ω, G, P ), so gilt E Q (X) = E P (ˆρX) E P (Y ) = E Q (ˆρ 1 Y ) wobei ˆρ := E P (ρ G) Stochastische Analysis SS 22 94

Korollar 4.6 Seien P und Q und ρ wie in Satz 4.5. Dann gilt für jede ZV X L 1 (Ω, G, Q) und jede σ-algebra G F E Q (X G) = E P (ρx G) E P (ρ G) Stochastische Analysis SS 22 95

Äquivalente und lokal äquivalente Maße auf einem gefilterten W- Raum Der folgende Satz verallgemeinert Satz 4.5, in welchem nur eine Unter-σ- Algebra G von F betrachtet wurde, auf eine Filtration F = {F t }. Satz 4.7 Seien P und Q zwei W-Maße auf dem gefilterten Raum (Ω, F, F), und es gelte P Q bezüglich F. Die Filtration F erfülle die üblichen Bedingungen. Dann wird durch ρ t := dq dp Ft (t [, )) ein unter P f.s. strikt positives UI {F t }-Martingal {ρ t } definiert. Unser Ziel ist, Behauptung 4.4 unter Verwendung von Satz 4.7 auf stochastische Prozesse, genauer stetige Semimartingale, zu verallgemeinern, um zu erklären, wie sich diese Prozesse unter einem Maßwechsel verhalten. Stochastische Analysis SS 22 96

In Satz 4.7 wurde zu zwei äquivalenten W-Maßen P und Q ein strikt positives Martingal ρ konstruiert, welches die beiden W-Maße in Beziehung setzt. Jetzt konstruieren wir zu einem W-Maß P und einem P -Martingal ρ ein zu P äquivalentes Maß Q. Da F feiner sein kann wie F, ist es nicht möglich, dq dp aus dem F-Martingal ρ zu rekonstruieren. F Satz 4.8 Sei P ein W-Maß auf (Ω, F, F). Jedes unter P f.s. strikt positive UI F-Martingal ρ mit E P (ρ ) = 1 definiert mittels Q(F ) := F F F ρ dp = E P (ρ 1 F ) ein auf F definiertes und darauf zu P äquivalentes W-Maß Q. Definition 4.9 Zwei auf einem gefilterten Raum (Ω, F, F) definierte W- Maße P und Q heißen lokal äquivalent (bezüglich der Filtration F), falls für alle t P Q bezüglich F t, also F t [, ) F t P (F ) = Q(F ) = Stochastische Analysis SS 22 97

Satz 4.1 Seien P und Q zwei auf einem gefilterten Raum (Ω, F, F) definierte W-Maße und seien P und Q lokal äquivalent bezüglich F. Dann definiert ρ t := dq dp (t [, ]) Ft ein F-Martingal ρ unter P, für welches ρ t f.s. strikt positiv für jedes t. Erfüllt F unter P die üblichen Bedingungen, dann besitzt ρ eine f.s. strikt positive Version. Umgekehrt, ist ρ ein strikt positives Martingal auf dem W-Raum (Ω, F, F, P ), dann wird durch dq T dp := ρ T FT für jedes T ein W-Maß Q T P auf (Ω, F T ) definiert. Die Familie {Q T : T } ist konsistent in dem Sinne, dass T S Q T (F ) = Q(F ) F F S Stochastische Analysis SS 22 98

Sei ρ ein strikt positives Martingal auf dem W-Raum (Ω, F, F, P ) wie im letzten Satz. Frage: Existiert ein W-Maß Q auf F mit Q(F ) = Q T (F ) für alle F F T und alle T? Antwort: Im Allgemeinen nein! Jedoch gilt Satz 4.11 Sei ρ ein strikt positives Martingal auf dem W-Raum (Ω, F, F, P ) und Ft := σ(x u : u t) für einen Prozess X. Dann gibt es ein auf F definiertes W-Maß Q, welches zu P bezüglich {Ft } lokal äquivalent ist und für welches dq dp := ρ t f.s. (t ) F t Stochastische Analysis SS 22 99

Die Bedingung von Novikov Unter welchen Voraussetzungen ist ein lokales Martingal ρ ein Martingal? Satz 4.12 Seien (Ω, F, F, P ) ein gefilterter W-Raum und X ein darauf definiertes stetiges lokales Martingal. Mit der Zufallsvariablen ρ L 1 (Ω, F, P ) wird das lokale Martingal ρ = ρ E(X) := ρ exp(x 1 2 X ) definiert. Gilt t E(exp( 1 2 X t) < dann Eρ t = Eρ für alle t und ρ ist ein Martingal. Das nächste Lemma zeigt, dass alle stetigen strikt positiven Martingale von der Form ρ = ρ E(X) sind. Stochastische Analysis SS 22 1

Lemma 4.13 Sei Q bezüglich F lokal äquivalent zu P. Das strikt positive P -Martingal ρ t = dq dp besitze eine stetige Version. Dann wird durch Ft X t := t ρ 1 u dρ u das einzige stetige lokale Martingal definiert, für welches (i) ρ t = ρ E(X t ) := ρ exp(x 1 2 X ) Ferner gilt dp dq = ρ 1 E( X t) Ft Stochastische Analysis SS 22 11

Der Satz von Girsanov Lemma 4.14 Sei Q lokal äquivalent zu P bezüglich F und sei Dann gelten: ρ t := dq dp Ft (i) (ii) M (F, Q)-Martingal ρm (F, P )-Martingal M lokales (F, Q)-Martingal ρm lokales (F, P )-Martingal Stochastische Analysis SS 22 12

Satz 4.15 (Girsanov) Sei Q lokal äquivalent zu P bezüglich F. Durch ρ t := dq dp werde ein Martingal definiert, welches eine stetige Version Ft besitze. Ist M unter P ein stetiges lokales Martingal, dann ist M := M ρ 1 u d ρ, M u ein stetiges lokales Martingal bezüglich Q und M = M. Allgemeiner gilt: Ist Y bezüglich P ein stetiges Semimartingal mit kanonischer Zerlegung Y = Y + M + A mit einem stetigen lokalen P -Martingal M und einem stetigen adaptierten Prozess A von beschränkter Variation, dann ist Y = Y + ( M ρ 1 u d ρ, M u ) + die kanonische Zerlegung von Y unter Q. ( ρ 1 u ) d ρ, M u + A Stochastische Analysis SS 22 13

Bemerkung. Die Voraussetzung Q lokal äquivalent zu P kann abgeschwächt werden zu Q lokal absolut stetig bezüglich P. Korollar 4.16 Sei Q lokal äquivalent zu P bezüglich F. Durch ρ t := dq dp Ft werde ein Martingal definiert, welches eine stetige Version besitze. Sei X definiert durch X t := t ρ 1 u dρ u, t [, ) Ist Y ein stetiges Semimartingal unter P mit kanonischer Zerlegung Y = Y + M + A, dann besitzt Y unter Q die kanonische Zerlegung Y = Y + (M M, X ) + ( M, X + A) Stochastische Analysis SS 22 14

Der Satz von Girsanov für die Brownsche Bewegung Korollar 4.17 Unter den Annahmen von Korollar 4.16 ist für eine BB W bezüglich (F, P ) W := W W, X eine BB W bezüglich (F, Q) Stochastische Analysis SS 22 15

Den folgenden Martingal-Darstellungsatz werden wir später beweisen. Satz Sei W eine auf dem WR (Ω, F, F, P ) definierte adaptierte BB. Sei F W := {Ft W } die kleinste Filtration bezüglich der W adaptiert ist und die die üblichen Voraussetzungen erfüllt. Dann kann jedes zu F W adaptierte lokale Martingal N in der Form N = N + H u dw u mit einem bezüglich F W vorhersagbaren H Π(W ) dargestellt werden. Ist F = F W, so besitzt nach diesem Satz jedes lokale Martingal, also auch der Radon-Nikodým-Dichteprozess {ρ t } eine stetige Version. In diesem Fall sind also die Voraussetzungen von Korollar 4.17 erfüllt. Stochastische Analysis SS 22 16

Satz 4.18 Der WR (Ω, F, F, P ) erfülle die üblichen Bedingungen. W sei eine auf diesem WR definierte d-dimensionale adaptierte BB. Ferner sei F W := {Ft W } die kleinste Filtration bezüglich der W adaptiert ist und die die üblichen Voraussetzungen erfüllt. 1) Ist Q ein zu P bezüglich F W lokal äquivalentes W-Maß, dann existiert ein bezüglich F W vorhersagbarer R d -wertiger Prozess C so, dass (i) ρ t := dq dp ( t = exp C u dw u 1 Ft 2 t ) C u 2 du 2) Umgekehrt, sei T [, ] und ρ ein strikt positives {F W t : t T }- Martingal mit E P (ρ T ) = 1, dann besitzt ρ die Darstellung (i) und definiert ein W-Maß Q := Q T, das P bezüglich F W T. Stochastische Analysis SS 22 17

Fortsetzung von Satz 4.18 3) In beiden Fällen gilt, dass unter Q W := W C u du eine F W -adaptierte BB ist (im letzteren Fall eingeschränkt auf das Zeitintervall [, T ]). Stochastische Analysis SS 22 18

Korollar 4.19 Unter den Annahmen der ersten Behauptung von Satz 4.18 ist jedes stetige (F W, P )-Semimartingal Y auch ein stetiges (F W, Q)- Semimartingal, welches unter P bzw. Q die beiden kanonischen Zerlegungen Y = Y + = Y + σ u dw u + A σ u d W u + ( ) C u σ u du + A für ein gewisses σ Π(W ) und einen gewissen F-adaptierten Prozess A von endlicher Variation besitzt. Stochastische Analysis SS 22 19

4.2 Der Martingal-Darstellungssatz Sei M ein (vektorwertiges) Martingal. Unter welchen Voraussetzungen kann jedes (lokale) Martingal N in der Form N t = N + t H u dm u mit einem H Π(M) dargestellt werden? Stochastische Analysis SS 22 11

Der Raum I 2 (M) und sein orthogonales Komplement Definition 4.2 Sei M ein stetiges (vektorwertiges) Martingal. Der Raum der quadratintegrierbaren Martingale, welche mittels eines stochastischen Integral bezüglich M dargestellt werden können, werde mit I 2 (M) := {N cm 2 : H Π(M) N = H M} bezeichnet. Für ein vektorwertiges M wird H M definiert durch d i=1 H(i) M (i) Stochastische Analysis SS 22 111

Behauptung 4.21 Der Raum I 2 (M) ist stabil in folgendem Sinne: (i) (ii) I 2 (M) ist abgeschlossen unter der Norm 2 I 2 (M) ist stabil unter Stoppen, d.h., für jedes N I 2 (M) und jede Stoppzeit T gilt N T I 2 (M) Definition 4.22 Zwei quadratintegrierbare Martingale M und N heißen orthogonal, kurz M N, falls E(M N ) =. Das orthogonale Komplement N zu einer Menge N M 2 ist definiert durch N := {L M 2 : N N L N} Zur Erinnerung: Die Norm 2 des Hilbertraums M 2 wurde definiert durch M 2 2 = E(M 2 ). Das zu dieser Norm assoziierte innere Produkt ist dann gegeben durch M, N = E(M N ) (nicht zu verwechseln mit der quadratischen Kovariation!). Stochastische Analysis SS 22 112

Satz 4.23 Zu jedem M M 2 gibt es genau ein N I 2 (M) und genau ein L (I 2 (M)) mit M = N + L, kurz M 2 = I 2 (M) (I 2 (M)) Behauptung 4.24 (I 2 (M)) ist ein stabiler Unterraum von M 2 Lemma 4.25 Sei M ein stetiges Martingal. (i) Sei N cm 2. Dann gilt N (I 2 (M)) NM ist ein lokales Martingal (ii) Sei N ein beschränktes stetiges Martingal. Dann gilt N (I 2 (M)) NM ist ein Martingal Stochastische Analysis SS 22 113

Martingalmaße und der Martingaldarstellungssatz Definition 4.26 Sei (Ω, F, F, P ) ein die üblichen Voraussetzungen erfüllender WR. M sei ein stetiges (vektorwertiges) P -Martingal. Das W-Maß Q ist ein zu P äquivalentes Martingalmaß für M, falls (i) (ii) (iii) Q P bezüglich F Q und P stimmen auf F überein M ist ein F-Martingal unter Q Die Menge der für M äquivalenten Martingalmaße wird mit M(M) bezeichnet. Lemma 4.27 Die Menge M(M) ist konvex Stochastische Analysis SS 22 114

Definition 4.28 Das W-Maß P heißt extremal für M(M), wenn Q,R M(M) {( ) P = λq + (1 λ)r λ (,1) } = P = Q = R Behauptung 4.29 Ist P extremal in M(M), dann ist jedes bezüglich (F, P ) lokale Martingal stetig. Satz 4.3 Sei (Ω, F, F, P ) ein die üblichen Voraussetzungen erfüllender WR. M sei ein stetiges (vektorwertiges) P -Martingal. Dann sind äquivalent (i) (ii) P ist extremal in M(M) I 2 (M) = M 2 Stochastische Analysis SS 22 115

Erweiterungen und der Fall für Brownsche Bewegungen Korollar 4.31 Sei (Ω, F, F, P ) ein die üblichen Voraussetzungen erfüllender WR. M sei ein stetiges (vektorwertiges) P -Martingal. Sei I(M) := {N M,loc : H Π(M) N = H M} Dann sind äquivalent (i) (ii) P ist extremal in M(M) I(M) = M,loc Stochastische Analysis SS 22 116

Korollar 4.32 Sei (Ω, F, F, P ) ein WR und M cm ein adaptiertes stetiges Martingal. Sei {Ft M } die kleinste Filtration bezüglich der M adaptiert ist und die die üblichen Voraussetzungen erfüllt. Ist P extremal in M(M) relativ zu (Ω, {Ft M }, F M, P ), dann existiert zu jeder ZV Y L 1 (F M ) ein bezüglich {Ft M } vorhersagbarer Prozess H Π(M) so, dass Y = E(Y ) + H u dm u Stochastische Analysis SS 22 117

Satz 4.33 Sei (Ω, F, F, P ) ein WR und W eine adaptierte BB. Sei F W := {Ft W : t } die kleinste Filtration bezüglich der W adaptiert ist und die die üblichen Voraussetzungen erfüllt. Dann existiert zu jedem zu F W adaptierten lokalen Martingal N ein bezüglich F W vorhersagbarer Prozess H Π(W ) so, dass N t = N + t H u dw u Ferner kann jede ZV Y L 1 (F W ) in der Form Y = E(Y ) + H u dw u dargestellt werden. Stochastische Analysis SS 22 118

Korollare 4.31 und 4.32 können auch für Integratoren M, welche nur lokale Martingale darstellen, verallgemeinert werden. Satz 4.34 Sei L(M) die Menge der äquivalenten lokalen Martingalmaße für M (analog zu Definition 4.26). Die Behauptungen der Korollare 4.31 und 4.32 bleiben wahr, wenn dort das Martingal M durch ein lokales Martingal und M(M) durch L(M) ersetzt werden. Stochastische Analysis SS 22 119

5. Stochastische Differenzialgleichungen Gewöhnliche Differenzialgleichung (GDG oder ODE) dx dt = b(t, X t) X = ξ Stochastische Differenzialgleichung (SDG oder SDE) dx dt = b(t, X dw t t) + σ(t, X t ) }{{} dt Rauschen X = ξ Stochastische Analysis SS 22 12

Interpretation dieser SDG als stochastische Integralgleichung X t = X + t b(s, X s ) ds + t σ(s, X s ) dw s Alternativ könnte man das stochastische Integral z.b. auch als Stratonovich-Integral interpretieren dies führt i.a. aber zu anderen Lösungen. Fragen: Existenz und Eindeutigkeit einer Lösung? Lösungsmethoden? Stochastische Analysis SS 22 121

Unter einer (Itôschen) SDG (b, σ) soll die (formale) Gleichung dx t = b(t, X t ) dt + σ(t, X t ) dw t oder die (stochastische) Integralgleichung X t = X + t b(s, X s ) ds + t σ(s, X s ) dw s verstanden werden. Abbildungen Hierbei seien W eine d-dimensionale BB und die σ : [, ) R n R n und σ : [, ) R n R n R d Borel-messbar Die Messbarkeitsbedingung hat zur Folge, dass, falls X stetig, b(, X) und σ(, X) vorhersagbare Prozesse sind. b heißt Driftvektor, σ wird Dispersionsmatrix und 1 2 σσ Diffusionsmatrix genannt Stochastische Analysis SS 22 122

5.1 Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen Definition 5.1 Eine schwache Lösung der SDG (b, σ) mit Anfangsverteilung µ ist ein 6-Tupel (Ω, F, F, P, W, X) mit (i) Der gefilterte WR (Ω, F, F, P ) erfüllt die üblichen Bedingungen (ii) W d-dim. BB bzgl. F, X stetiger zu F adaptierter n-dim. Prozess (iii) X hat die Verteilung µ (iv) (v) t t t b(s, X s) ds + t σ(s, X s) 2 ds < f.s. X t = X + t b(s, X s) ds + t σ(s, X s) dw s f.s. Das 6-Tupel (Ω, F, F, P, W, X ) sind die sog. Anfangsdaten des Lösungsprozesses X. Stochastische Analysis SS 22 123

Unter den Annahmen von Definition 5.1 folgt die Unabhängigkeit von X und W, da X F -messbar und W eine BB bzgl. F ist. Definition 5.2 Es liegt schwache Existenz der SDG (b, σ) vor, falls für jede Anfangsverteilung µ auf (R n, B(R n )) eine schwache Lösung zu (b, σ) existiert. Definition 5.3 Es liegt schwache Eindeutigkeit der SDG (b, σ) vor, falls für je zwei schwache Lösungen (Ω, F, F, P, W, X) und ( Ω, F, F, P, W, X) zur selben Anfangsverteilung µ auf (R n, B(R n )) die Verteilungen von X und X übereinstimmen. Stochastische Analysis SS 22 124

Definition 5.4 Es liegt pfadweise Eindeutigkeit der SDG (b, σ) vor, falls für je zwei schwache Lösungen (Ω, F, F, P, W, X) und (Ω, F, F, P, W, X) zur selben Anfangsverteilung µ auf (R n, B(R n )) die Prozesse X und X ununterscheidbar sind, d.h. P ( t X t = X t ) = 1 Yamada und Watanabe haben 1971 gezeigt, dass pfadweise Eindeutigkeit schwache Eindeutigkeit zur Folge hat. Stochastische Analysis SS 22 125

Definition 5.5 Eine starke Lösung der SDG (b, σ) ist eine Lösung (Ω, F, F, P, W, X) mit der zusätzlichen Eigenschaft, dass der Lösungsprozess X zur Filtration F X,W adaptiert ist. Diese Filtration ist die kleinste Filtration, die die Filtration F W, die σ-algebra σ(x ) und alle P -Nullmengen von F enthält. Es gibt Beispiele stochastischer DG (b, σ), deren Lösungen nicht F X,W adaptiert sind (Tanaka)! Definition 5.6 Es liegt starke Existenz der SDG (b, σ) vor, falls für alle Anfangsdaten (Ω, F, F, P, W, ξ) ein Lösungsprozess X existiert, so dass (Ω, F, F, P, W, X) eine starke Lösung zur SDG (b, σ) ist. Stochastische Analysis SS 22 126

Definition 5.7 Es liegt starke Eindeutigkeit der SDG (b, σ) vor, falls für für alle Anfangsdaten (Ω, F, F, P, W, ξ) und je zwei dazugehörigen Lösungen (Ω, F, F, P, W, X) und (Ω, F, F, P, W, X) die Lösungsprozesse X und X ununterscheidbar sind, d.h. P ( t X t = X t ) = 1 Yamada und Watanabe haben 1971 gezeigt, dass schwache Existenz und pfadweise Eindeutigkeit zusammen starke Existenz und starke Eindeutigkeit implizieren. Stochastische Analysis SS 22 127

Lemma 5.8 Seien (Ω, F, F, P ) ein gefilterter WR und W eine d- dimensionale BB zur Filtration F. Der n-dimensionale Prozess Z sei definiert durch Z t = t b u du + t mit F-vorhersagbaren Prozessen b und σ. Dann gilt für Zt := sup{ Z u : u t} σ u dw u t EZ 2 t 2(4 + t) E ( t ) ( b u 2 + σ u 2 ) du Sei ξ eine F -messbare ZV. Der Operator G sei definiert durch (GX) t := ξ + t b(x u ) du + t σ(x u ) dw u Stochastische Analysis SS 22 128

mit (auf R n Borel-messbaren) Lipschitz-stetigen Funktionen b und σ, d.h. b(x) b(y) K x y σ(x) σ(y) K x y, und einem stetigen adaptierten n-dimensionalen Prozess X. Sei T > fest. und Y t T k N Dann gilt für alle stetigen F-adaptierten Prozesse X E(G k X G k Y ) 2 t wobei C T := 4K 2 (4 + T ) C k T C k T t k 1 (k 1)! E ( T (X Y ) 2 u T k (k 1)! E ( X Y ) 2 ) T du ) Stochastische Analysis SS 22 129

Satz 5.9 Die (auf R n Borel-messbaren) Funktionen b und σ seien globalen Lipschitz-stetig, d.h., es gebe ein K > so, dass b(x) b(y) K x y x,y R n x,y R n σ(x) σ(y) K x y, Dann liegen für die SDG (b, σ) starke Existenz und pfadweise Eindeutigkeit vor. Stochastische Analysis SS 22 13

Korollar 5.1 Die (Borel-messbaren) Funktionen b und σ seien lokal Lipschitz-stetig, d.h., für alle N > gebe es eine Konstante K N > so, dass x, y N x, y N b(x) b(y) K N x y σ(x) σ(y) K N x y Ferner gebe es ein K N > mit x N x N b(x) K N(1 + x ) σ(x) K N(1 + x ) Dann gilt für die SDG (b, σ) starke Existenz und pfadweise Eindeutigkeit. Stochastische Analysis SS 22 131

Lemma 5.11 (von Gronwall) Sei f eine Lebesgue-integrierbare reellwertige Funktion mit A,C> t [,T ] f(t) A + C t f(u) du Dann gilt für Lebesgue-f.a. t [, T ] f(t) Ae Ct Erweitert X um eine Zeitkomponente X () t = t und fordert dann b () = 1 und σ (,i) =, so liefert Korollar 5.1 sofort einen Existenz- und Eindeutigkeitssatz für zeitabhängige Funktionen b und σ: Satz 5.12 Die (Borel-messbaren) Funktionen b : R n R + R n σ : R n R + R n R d Stochastische Analysis SS 22 132

seien lokal Lipschitz-stetig, d.h., für alle N > gebe es eine Konstante K N > so, dass für alle x, y R n, s, t mit x, y N und s < t N b(x, t) b(y, t) K N x y σ(x, t) σ(y, t) K N x y b(x, t) b(x, s) K N s t σ(x, t) σ(x, s) K N s t Darüberhinaus gebe es ein K N > mit x N x N b(x, t) K N(1 + x ) σ(x, t) K N(1 + x ) Dann gilt für die SDG (b, σ) starke Existenz und pfadweise Eindeutigkeit. Stochastische Analysis SS 22 133

5.2 Starke Markov-Eigenschaft der Lösungen von SDG Definition 5.13 Seien (Ω, F, F, P ) ein gefilterter WR und W eine d- dimensionale BB zur Filtration F. X heißt starker Markov-Prozess, falls für jede f.s. endliche Stoppzeit τ bzgl. F Γ B(R d ) t P (X τ+t Γ F τ ) = P (X τ+t Γ X τ ) f.s. Satz 5.14 Ein Prozess X besitzt genau dann die starke Markov- Eigenschaft, wenn für jede für jede f.s. endliche Stoppzeit τ bzgl. F f C b (R d ) t E(f(X τ+t ) F τ ) = E(f(X τ+t ) X τ ) Stochastische Analysis SS 22 134

Lemma 5.15 Seien X und Y zwei auf dem WR (Ω, F, F, P ) definierte Lösungen zur SDG (b, σ), wobei b und σ Lipschitz-stetig zur Konstanten K seien. Dann gilt T > t [,T ] E(X t Y t ) 2 D T E(X Y ) 2 mit D T = 2 exp(8k 2 (4 + T )T ) Lemma 5.16 Seien ξ eine F -messbare ZV und die (Borel-messbaren) Funktionen b und σ seinen Lipschitz-stetig. (Ω, F, F, P, W, X ξ ) sei eine (starke) Lösung zur SDG (b, σ) mit X = ξ. Dann gilt f C b (R d ) t E(f(X ξ t ) F ) = v(ξ, t) wobei die in x R n stetige Funktion v gegeben ist durch v(x, t) := E(f(X x t ) Stochastische Analysis SS 22 135

Die starke Markov-Eigenschaft der Brownschen Bewegung W, welche die stochastische Störung einer lokal Lipschitz-stetigen SDG (b, σ) modelliert, wird an die Lösung dieser SDG weitervererbt: Satz 5.17 Sei (Ω, F, F, P, W, X) eine Lösung zur SDG (b, σ) mit Lipschitzstetigen Funktionen b und σ. Dann besitzt der Lösungsprozess X die starke Markov-Eigenschaft. Korollar 5.18 Satz 5.17 bleibt gültig, wenn die globale Lipschitz-Stetigkeit durch die lokale Lipschitz-Stetigkeit und die lineare Wachstumsbedingung aus Korollar 5.1 ersetzt wird. Stochastische Analysis SS 22 136

5.3 Analytische Lösungsmethoden Das Stratonovich-Integral Seien X und Y zwei stetige Semimartingale in kanonischer Darstellung: X t = X + A t + M t Y t = Y + B t + N t mit stetigen lokalen Martingalen M und N und adaptierten Prozessen A und B von beschränkter Totalvariation Definition 5.19 Das Fisk-Stratonovich-Integral Y dx ist definiert durch t Y u dx u := t Y u dx u + 1 2 M, N t ( t < ) Stochastische Analysis SS 22 137

In den Übungen wurde für ein stetiges Semimartingal X und f C 3 (R n, R) gezeigt, dass f(x t ) = f(x ) + n i=1 t x i f(x u ) dx u Das Stratonovich-Integral verhält sich also hinsichtlich des algebraischen Kalküls (Zusammenhang zwischen Differenzation und Integration, Kettenregel,...) wie das gewöhnliche Integral. Im Vergleich zur Itô-Formel muss jedoch f C 3 anstelle von f C 2 vorausgesetzt werden. Stochastische Analysis SS 22 138

Zusammenhang zwischen Itô- und Stratonovich-SDG Sei jetzt speziell X = W und Y eine Lösung der Itô-SDG (I) Y t = Y + t b(u, Y u ) du + t σ(u, Y u ) dw u Nach Itô gilt für t < σ(t, Y t ) = σ(, Y ) + t ( σ t (u, Y u) + 1 2 ) σ 2 y 2(u, Y u) du + t σ y (u, Y u) dw u Mit Satz 3.11 (in der auf Semimartingale erweiterten Fassung) folgt Stochastische Analysis SS 22 139

t = = σ(u, Y u ) dw u t t σ(u, Y u ) dw u 1 2 σ(u, Y u ) dw u 1 2 t σ y (u, Y u)σ(u, Y u ) dw u, dw u t σ y (u, Y u)σ(u, Y u ) du Damit kann die Itô-SDG (I) in die Stratonovich-SDG (S) umbeschrieben werden Y t = Y + = Y + t b(u, Y u ) du + t t σ(u, Y u ) dw u 1 σ 2 y (u, Y u)σ(u, Y u ) du ( b(u, Y u ) 1 ) σ 2 y (u, Y u)σ(u, Y u ) t du + t σ(u, Y u ) dw u Stochastische Analysis SS 22 14

Also Y Lsg der Itô-SDG (b, σ) Y Lsg der Str-SDG (b 1 σ σ, σ) 2 y Y Lsg der Str-SDG (b, σ) Y Lsg der Itô-SDG (b + 1 σ σ, σ) 2 y Damit ergibt sich folgende Strategie zur Lösung einer Itô-SDG: Transformation der Itô- SDG in eine Stratonovich-SDG Suche nach einer expliziten Lösung der Stratonovich-SDG mittels den üblichen Methoden Tauchen in der Lösung Stratonovich-Integrale auf, werden diese in Itô-Integrale transformiert Stochastische Analysis SS 22 141

5.4 Numerische Lösungsmethoden Gewöhnliche DGL: dx t dt = b(t, x), x(t ) = x Euler-Methode zur numerischen Approximation der Lösung dieser DGL y n+1 = y n + b(t n, y n )δ mit konstanter Schrittweite δ > und t n := nδ Stochastische Analysis SS 22 142

SDG: dx t = b(t, X t ) dt + σ(t, X t ) dw t Stochastische Euler-Methode zur numerischen Approximation der Lösung dieser SDG Y n+1 = Y n + b(t n, Y n )δ + σ(t n, Y n ) W n mit konstanter Schrittweite δ >, t n = nδ, W := W tn+1 W tn Y := X und Seien n t := max{n N : nδ t} (t ) und Y δ (t) := Y nt + linearer Interpolationsterm Stochastische Analysis SS 22 143

Statz 5.2 Für gegebenes T > existiere zur SDG (b, σ) ein K > mit EX 2 < b(t, x) b(t, y) + σ(t, x) σ(t, y) K x y b(t, x) + σ(t, x) K(1 + x ) b(s, x) b(t, x) + σ(s, x) σ(t, x) K(1 + x ) s t 1/2 für alle s, t [, T ], x, y R n. Dann ist die Euler-Methode (gleichmäßig auf [, T ]) streng konvergent zur Ordnung 1/2: C T < δ> E sup X t Y δ (t) C T δ 1/2 t [,T ] Stochastische Analysis SS 22 144

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