Das Zweiersystem (Dualsystem) Um unser verwendetes Stellenwertsystem besser zu verstehen, ist es gut, sich andere System anzuschauen. Da die Computertechnik nur mit zwei Zuständen (Ja oder Nein, Loch oder kein Loch, magnetisch oder nicht, positiv oder negativ geladen, Spannung oder Null Volt, Übergang zum höheren oder niedrigeren Niveau, vorhanden oder nicht etc.) auskommen muss, arbeiten sie mit dem Zweiersystem (Dual- oder Binärzahlen), das nur zwei Ziffern kennt: Null = 0 oder Eins = I. Jede Zahl (sogar jede Anweisung und jedes Programm) bestehen demnach nur aus Folgen von Nullen und Einsen, deren Reihenfolge von Bedeutung ist. Die letzte Ziffer einer Dualzahl gibt an, ob es eine gerade oder ungerade Zahl ist. Die nächste Ziffer gibt an, ob Zwei dazu addiert wird, dann ob Vier, dann Acht, 16, 32 etc., d.h. alles wir aus den Zweierpotenzen aufgebaut (- Abb. 4). Das Addieren ist nun ganz einfach: 0+0 = 0 alles andere ist I+0 = I. 0+I = I und I+I = 0, Übertrag I (eigentlich I0) Beispiel: I 0 0 I = 9 + I 0 0 = 4 = I I 0 I = 13 www.udo-rehle.de - 1/ 7-2014
Aber auch alle anderen Rechenarten sind sehr einfach. Ein Divisionsbeispiel: 90:6 = 15 I0II0I0 : II0 = I0II0I : II = IIII I0 (I runterholen) I0I I0(0 runterholen) I(I runterholen) 0 geht auf Natürlich kann man auch Brüche im Zweiersystem darstellen: 0,I = ½ 0,0I = ¼ 0,00I = ⅛ Was ist ¾ im Zweiersystem? Da ¾ = ½+¼ ist, folgt ¾ = 0,II Die Multiplikation und Division mit Zweierpotenzen ist besonders einfach durch Kommaverschiebung zu bewerkstelligen: Da 16+8+1 = 25 = II00I ist, wird 25/64 = (16+8+1)/64 = ¼+1 /8 +1 /64 =0,0II00 denn weil 64=2 6 also das (denkbare) Komma um sechs Stellen nach links verschieben! www.udo-rehle.de - 2/ 7-2014
Verdoppelung heißt das Komma um eine Stelle nach rechts rücken, Vervierfachung um zwei, Verachtfachung um drei etc. 2x25/64 = 0,II00I 4x25/64 = I,I00I 8x25/64 = II,00I 16x25/64 = II0,0I (=6¼) Brüche, deren Nenner aber keine Zweierpotenzen sind, werden zu unendlichen periodischen Dualkommazahlen. Was ist beispielsweise 1/3 als Dualzahl, d.h. als Zweiersystem-Kommazahl geschrieben? Das Quadrat wird durch die Folge der stets halbierten Quadratseiten in 1 / 1 4 / 1 16 / 1 64 / 1 256 / 1024 usw. so große Teilquadrate zerlegbar. Offensichtlich kann man damit das Quadrat wie in der Abbildung 4 dritteln, allerdings mehr praktisch als theoretisch, da man sonst ja an kein Ende, mit immer kleiner werdenden Quadraten, kommt. Drei solcher unendlicher identischer Reihen ergeben das ganze Quadrat! ⅓ = 1 / 4 + 1 / 16 + 1 / 64 + 1 / 256 + 1 / 1024 +.. ⅓ = 0x½+1x¼+0x 1 / 8 +1 x1 / 16 +0x 1 / 32 +1x 1 / 64 +0x 1 / 128 +1x 1 / 256 +0x 1 / 512 +1x ⅓ = 0,0 I 0 I 0 I 0 I 0 I I : II = 0,0I0I0I. 1/3 = 1 : 3 = 0,0I Periode 0I 1 1 Im Vierersystem ist somit 1 /3 = 0,IIIIIIIIIIIII also 1 /3 = 0,I Periode I (erste Ziffer sei I, die zweite Ziffer Z und ε die dritte Ziffer, neben 0) 2 / 3 = 0,ZZZZZZZ. und 3 /3 = 0,εεεεεεεεε wohingegen im Zweiersystem 0,I Periode I eben die Einheit ergibt www.udo-rehle.de - 3/ 7-2014
Abb. 4 Dreiteilung der Quadratfläche Während die unendliche geometrische Reihe ½ + ¼ +1/8 +1/16 + =1 ergibt, ist die unendliche Summe der quadrierten Glieder (½)² + (¼)² + (1/8)² + (1/16)² + = 1/3 2 2 Übrigens ist (½)³ + (¼)³ + (1/8)³ + (1/16)³ + = 1/7 Dasselbe hoch vier ergibt 1/15 und allgemein hoch n ergibt 1/(2 n -1) www.udo-rehle.de - 4/ 7-2014
Entsprechend ergibt 2 x ⅓ = 2 x ¼+2 x1 / 16 +2 x1 / 64 + =½+⅛+ 1 / 32 + =0,I0I0I0... oder als Differenz von I,00000000000 0,0I0I0I0I0I0I = 0,I0I0I0I0I0I0 2/3 = 2 : 3 = 0, I0 Periode I0 Die Diagonale halbiert die Fläche des Einheitsquadrats: Es ist das halbe Quadrat eine Reihe mit 1 / 4 + 1 / 16 + 1 / 64 + 1 / 256 + 1 / 1024 plus der Hälfte dieser, da durch die Diagonale halbierten Quadrate dieser: 1 / 3 + 1 / 3 : 2 = 1 / 3 + 1 / 6 = ½ Und noch was erkennen wir aus der Abbildung 4: Die Diagonalenhälfte ist eine Reihe und die Hälfte dieser ½ = 1 / 4 + 1 / 8 + 1 / 16 + 1 / 32 + 1 / 64 + 1 / 128 + 1 / 256 + 1 / 512 + 1 / 1024 +... Dualsystematisch bedeutet das ½ = 0,0IIIIIIIIIIII also ist ½+¼+⅛+1/16 + = 0,I Periode I = 1 Nimmt man von 1 die Hälfte weg, bleibt die Hälfte übrig. Nimmt man von dieser Hälfte die Hälfte weg, bleibt ¼ übrig; nimmt man davon die Hälfte weg, dann ist das ⅛ und auch ⅛ bleibt übrig usw. Man kann also ewig weiterhalbieren ohne Ende. Umgekehrt kann man die ganze Einheitslänge als ewige Addition der ständig halbierten Strecken verstehen. www.udo-rehle.de - 5/ 7-2014
Wenn wir statt einem Quadrat einen Würfel nehmen und diesen durch Kantenhalbierungen in acht gleich Würfel zerlegen, und einer dieser kleineren Würfel wiederum achtel etc. dann haben wir den Würfel in sieben gleiche Teilfolgen zerlegt: 1 / 7 = 1 / 8 + 1 / 64 + 1 / 512 + 1 / 4096 + = 0,111111.. okt = 0,01010 quat = 0,001001001 dual 1 / 7 = 0,00I Periode 00I und da 00I+00I = 0II ist: 2 / 7 = 0,00I Periode 00I usw. 3 / 7 = 0,0II Periode 0II 4 / 7 = 0,I00 Periode I00 5 / 7 = 0,I0I Periode I0I 6 / 7 = 0,II0 Periode II0 bis 7 / 7 = 0,I Periode I Analog ergibt die Zerlegung eines Hyperwürfels 1 / 15 = 0,000I Periode 000I und 1 / 31 = 0,0000I Periode 0000I oder 1 / 63 = 0,00000I Periode 00000I. Während nun aber im Zehnersystem 1 / 11 = 0,09 Periode 09 3 und also 5 / 11 = 0,45 Periode 45 recht einfach ist, wird die Periode im Zweiersystem doch viel länger: 5 / 11 = 0,0III0I000I Periode 0III0I000I 3 Am aller-einfachsten als periodische Kommazahl ist 1 / 11 = 0,1 dodeka Periode 1 natürlich im Zwölfersystem. www.udo-rehle.de - 6/ 7-2014
I II III IV 1 2 4 8 3 3 5 9 5 6 6 10 7 7 7 11 9 10 12 12 11 11 13 13 13 14 15 14 15 15 15 15 Sag mir in welchen Spalten die Zahl vorkommt, und ich sage dir, wie sie heißt! Beispiel: Die gewählte Zahl kommt in II und III vor: 2 + 4 = 6 Oder sie kommt in I, III und IV vor: 1+4+8=13 In welchen Spalten kommt die 5 vor? Da 5 = I0I= 1x4 +0x2+1x1 ist, kommt also 5 nur in der ersten und dritten vor! www.udo-rehle.de - 7/ 7-2014