Logische Grundlagen des Mathematikunterrichts Referat zum Hauptseminar Mathematik und Unterricht 10.11.2010 Robert Blenk Holger Götzky
Einleitende Fragen Was muss man beweisen? Woraus besteht ein Beweis? Was braucht man fürs Beweisen?
Was muss man beweisen? Was nicht? nicht bewiesen werden müssen: Axiome Definitionen Annahmen bewiesen werden müssen: Sätze Behauptungen
Woraus besteht ein Beweis? Wie geht man beim Beweisen vor? Beim Beweisen schlussfolgert man aus einer wahren Aussage in endlich vielen Schritten eine wiederum wahre Aussage.
Was braucht man fürs Beweisen? Welche (logischen) Grundlagen benötigt man? Prämissen Junktoren Konklusion Aussagenlogik Prädikatenlogik
Was braucht man fürs Beweisen? Welche (logischen) Grundlagen benötigt man? Prämissen: die Gesamtheit aller Regeln und Aussagen, welche für den Beweis als wahr angenommen werden
Was braucht man fürs Beweisen? Welche (logischen) Grundlagen benötigt man? Junktoren: ~ - Negation - log. und (Konjunktion) - log. oder (Disjunktion) - Implikation - Äquivalenz
Was braucht man fürs Beweisen? Welche (logischen) Grundlagen benötigt man? Konklusion: letzte Schlussfolgerung in einem Beweis, welche die Gültigkeit der vorweg getroffenen Aussage bestätigt
Was braucht man fürs Beweisen? Welche (logischen) Grundlagen benötigt man? Aussagenlogik: bezeichnet die Schlussfolgerung einer Aussage B aus einer Aussage A, ohne Variablen zu nutzen
Was braucht man fürs Beweisen? Welche (logischen) Grundlagen benötigt man? aussagenlogische Identitäten (Beispiele): A ~A (Satz vom ausgeschlossenen Dritten) (A (Satz der Kontraposition)
Was braucht man fürs Beweisen? Welche (logischen) Grundlagen benötigt man? Prädikatenlogik: bezeichnet die Logik der Aussagen, welche sich auf alle möglichen Einsetzungen für eine Variable bezieht, und dafür Quantoren verwendet
Was braucht man fürs Beweisen? Welche (logischen) Grundlagen benötigt man? Quantoren: - für alle - es existiert! - es existiert genau ein
Was braucht man fürs Beweisen? Welche (logischen) Grundlagen benötigt man? Der gegenwärtige König von Frankreich ist kahlköpfig. Ist diese Aussage wahr oder falsch?
Der gegenwärtige König von Frankreich ist kahlköpfig. Formalisierung (nach Russell): x: (x ist kahlköpfig) (x ist gegenwärtig König von Frankreich) also: Die Aussage ist falsch.
Der gegenwärtige König von Frankreich ist kahlköpfig. Negation: x: (x ist kahlköpfig) (x ist gegenwärtig König von Frankreich) oder: x: ~(x ist kahlköpfig) (x ist gegenwärtig König von Frankreich)
Was braucht man fürs Beweisen? Welche (logischen) Grundlagen benötigt man? weitere Beispiele für Formalisierung: Der Hund ist weiß. x: (x ist ein Hund) (x ist weiß) Alle Griechen sind Menschen. g (Grieche): (g ist ein Mensch)
Beispiel Allaussage Volk und Wissen, Klasse 6, S. 10
Beispiel Allaussage Alle natürlichen Zahlen, deren Quersumme durch 3 teilbar ist, sind selbst durch drei teilbar. Ein Schüler untersucht die Zahl 78.432 und stellt fest, dass ihre Quersumme 24 ist. Da diese durch 3 teilbar ist, schließt er: 78.432 ist eine durch 3 teilbare Zahl.
Alle natürlichen Zahlen, deren Quersumme durch 3 teilbar ist, sind selbst durch drei teilbar. erster Schluss: Was für alle natürlichen Zahlen gilt, gilt auch für eine beliebige natürliche Zahl. (Schluss aus einer Allaussage) also: Wenn die Quersumme von x durch 3 teilbar ist, dann ist auch x selbst durch 3 teilbar.
Alle natürlichen Zahlen, deren Quersumme durch 3 teilbar ist, sind selbst durch drei teilbar. zweiter Schluss: Da x eine beliebige natürliche Zahl ist, kann für x auch 78.432 eingesetzt werden. (Regel für die Termeinsetzung) also: Wenn die Quersumme von 78.432 durch 3 teilbar ist, dann ist auch 78.432 selbst durch 3 teilbar.
Alle natürlichen Zahlen, deren Quersumme durch 3 teilbar ist, sind selbst durch drei teilbar. dritter Schluss: Da die Quersumme von 78.432 durch 3 teilbar ist, ist auch 78.432 selbst durch 3 teilbar. (Schluss aus einer Implikation)
Schlussregeln Welche weiteren Schlussregeln werden im Schulunterricht noch genutzt? Diskussionsfrage: Wie sollte man auf die Schlussregeln im Unterricht eingehen?
weitere Grundlagen Implikationen und Äquivalenzen Äquivalenzumformungen notwendige und hinreichende Bedingungen
Implikationen Eine Implikation ausgehend von einer falschen Aussage ist immer wahr. aber: Eine Implikation ausgehend von einer wahren Aussage ist nur dann wahr, wenn auch die gefolgerte Aussage wahr ist.
Äquivalenzen Eine Äquivalenz von zwei Aussagen ist genau dann wahr, wenn entweder beide Aussagen wahr oder beide Aussagen falsch sind. Was zeichnet Äquivalenzumformungen aus?
Äquivalenzumformungen Lösungsmenge der (Un-)Gleichungen bleibt erhalten (der Wahrheitswert bleibt unverändert) durch inverse Operationen erhält man wieder die Ursprungsgleichung Beispiel: Lösung eines (3,3)-LGS
Notwendige und hinreichende Bedingungen Was ist eine notwendige und was ist eine hinreichende Bedingung? B ist notwendig für A genau dann, wenn A gilt. also: Wenn B nicht gilt, kann auch A nicht gelten.
Notwendige und hinreichende Bedingungen C ist hinreichend für D genau dann, wenn C D gilt. also: Wenn C gilt, muss auch D gelten. beachte: Eine hinreichende Bedingung kann u. U. auch eine notwendige Bedingung enthalten.
Beispiel: Raute notwendige Bedingung: Das Viereck hat vier gleich lange Seiten. hinreichende Bedingung: Das Viereck ist ein Quadrat.
Beispiel: Extrempunkt bei (x,f(x)) notwendige Bedingung: f (x)=0 hinreichende Bedingung: f (x)=0 f (x) 0
Beispiel: Extrempunkt bei (x,f(x)) Cornelsen, Klasse 11, S. 223 f.
Beispiel: Extrempunkt bei (x,f(x)) Cornelsen, Klasse 11, S. 224
Beweisarten Welche Beweisarten kennt ihr? Wie geht man bei diesen Beweisen vor?
Beweisarten direkter Beweis: Aus den Voraussetzungen wird (über diverse Zwischenschritte) direkt auf die Behauptung geschlossen. Beispiel: Das Quadrat ungerader natürlicher Zahlen ist ungerade.
direkter Beweis - Beispiele Volk und Wissen, Klasse 8, S. 11
direkter Beweis - Beispiele Volk und Wissen, Klasse 6, S. 14
Beweisarten indirekter Beweis: Volk und Wissen, Klasse 8, S. 85 Beispiel: Beweis des Irrationalität von 2
indirekter Beweis - Beispiele Paetec Realschule/Gesamtschule, Klasse 9, S. 46
indirekter Beweis - Beispiele Oldenburg, Klasse 10, S. 62
indirekter Beweis - Beispiele Volk und Wissen, Klasse 8, S. 84
Beweisarten Kontraposition: Aus der Annahme, dass die Behauptung nicht gilt, wird darauf geschlossen, dass die Voraussetzung nicht gilt. Beispiel: Injektivitätsbeweise
Beweisverfahren im RLP RLP Sekundarstufe II, S. VII
Beweisverfahren im RLP RLP Sekundarstufe II, S. VIII
Beweisverfahren im RLP Ist eine Einbindung der verschiedenen Beweisverfahren in den Unterricht (z. B. zur Stärkung des Allgemeinwissens) sinnvoll?
Zusatz