Bestimmung von Potenzunktionen und ganzrationalen Funktionen. Bestimme durch geschicktes Probieren jeweils a und n so, dass der Graph G der Potenzunktion a n durch die eingezeichneten Punkte geht. Skizziere dann G mithile einiger geeigneter Werte. a) b) c) ( ) ( ) () = () = () =. Vom Graphen einer Potenzunktion a n sind jeweils Punkte gegeben. Berechne a und n und skizziere den Graphen von G. a) ( ) b) c) (,) (,8) (,) ( ) (I) (II) aus (I) in (II) a n = a n = a= n n = n = a= 6 (I) (II) aus (I) in (II) a n =, a n =, a=, n, n =, n = a= (I) (II) aus (I) in (II) n ungerade a () n = a n =,8 a= () n = n n =,8 n = a=. k g t Welcher Graph gehört zu welcher Funktionsvorschrit? Begründe jeweils kurz. Ergänze den ehlenden Graphen bzw. Funktionsterm. ++ k + g + Begründungen G h einziger Graph mit geradem Grad ; G g und s + h t + h s G k von links oben nach rechts unten, wobei G g ür große steiler ist; G t bzw. G um in -Richtung verschoben, wobei () =. Als Kopiervorlage ür den Unterricht reigegeben. Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart.
Funktionsgraphen ganzrationaler Funktionen Ordne den gegebenen Funktionsvorschriten den richtigen Funktionsterm zu. Begründe jeweils kurz. 6 7 6 9 8 ( ) mögliche Begründungen ür alle 6 + = ( ) ( + ) (Faktorzerlegung), also Nullstellen ; ( +) + ( +) ( + ) höchste Potenz, also von links unten nach rechts unten () = 9 7 ( +), also von links oben nach rechts oben, 7 () = ; 7 () 9, also von links oben nach rechts oben, 9 () = ( ) ( ) + 8 8 () = 9 ( + )+, also von links unten nach rechts oben ( ) ( ) genau Nullstellen, davon eine doppelt Als Kopiervorlage ür den Unterricht reigegeben. Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart.
Polnomdivision.. Wiederhole zunächst das schritliche Dividieren. Gehe dabei schrittweise vor und ergänze den Lückentet geeignet. 9 7 = 7 7 8 8 7 Führe nun in ähnlicher Weise die olgende Polnomdivision durch und ergänze die Beschreibung der einzelnen Schritte. (6 + ) ( ) = + ( 6 ) ( ) 6 ( 6 ) ( ) Die größtmögliche Zier wird gesucht, deren Produkt mit 7 höchstens 9 beträgt. Dieses Produkt aus und 7 wird berechnet. Die Dierenz aus 9 und wird gebildet und eine weitere Zier von 9 herunter geholt. Die größtmögliche Zier wird gesucht, deren Produkt mit 7 höchstens beträgt. Dieses Produkt aus und 7 wird berechnet. Die Dierenz von und wird gebildet und eine weitere Zier von 9 herunter geholt. Die größtmögliche Zier wird gesucht, deren Produkt mit 7 höchstens 8 beträgt. Dieses Produkt aus und 7 wird berechnet. Die Dierenz beträgt und es kann keine weitere Zier herunter geholt werden Die Division ist ertig. 6 wird durch geteilt. Das Ergebnis wird mit ( ) multipliziert. Die Dierenz von 6 + und 6 wird gebildet und ein weiterer Summand des Polnoms (Dividend) herunter geholt. 6 wird durch geteilt. Das Ergebnis wird mit ( ) multipliziert. Die Dierenz beträgt. Die Division ist ertig.. a) ( + ) ( ) = + ( + ) ( ) + ( + ) ( ) b) ( 8) ( + ) 8 ( 8 ) ( ) = + ( ) ( ). ( + ) ( + ) = + 6 ( + ) ( + ) ( ) ( + ) 6 + ( 6 + ) ( + ). ( + ) ( ) = + 6 ( 6 ) 6 ( 6 ) + ( + ) Beachte hier die Schreibweise des Dividenden mit einer Lücke. Woür wird sie benötigt? Bei der Probe ( ) entsteht ein quadratischer Term. Als Kopiervorlage ür den Unterricht reigegeben. Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart.
Methoden der Faktorisierung Um die Linearaktoren eines Funktionsterms (und damit die Nullstellen der Funktion) zu bestimmen, sind verschiedene Methoden hilreich.. Ausnutzen der binomischen Formeln Beispiel () = + + = (+) a) g () = + 6 + 69 = (+) b) h() = + 6 = (6) c) k() = 9 = ( 7) ( +7). Lösen einer quadratischen Gleichung. Beispiel u() = +6+ = / = 6 ± 6 = 6 ± 6 = 6 ± = ; = u() = + + (Beachte den Faktor.) a) v() = 7 + = / = 7 ± 9 = ; = v () = ( ) b) w() = +, = / = ± (,) = ; = w () = + = 7 ± = 7 ± 6 6 = ± 9 = ±. Raten der Linearaktoren, wenn bekannt ist, dass alle Nullstellen ganzzahlig sind. Versuch einer Faktorisierung Probe durch Ausmultiplizieren Beispiel () = ++ (+) ( + 7) = ++7+ = () a) g () = 8+ () ( ) = + = g () b) h() = + ( + ) ( ) = + = h() c) k() = ( 7) ( +) = 7+ = k(). Substitution, wenn nur bestimmte Potenzen vorkommen und so der Grad kleiner wird. binom. Formel Beispiel r() = + Setze z = ; z z+ = (z ) = z = ; z = / = ± ; / = ± r () = () ( +) ( ) ( + ) Lösen quadr. Gleichung a) s() = + Setze z = ; z z + = z / = Raten der Linearaktoren ± 6 = ± z = ; z = / = ± ; / = ± s () = () ( +) + b) t() = + Setze z = ; z z+ = (z7) (z) z = 7 ; z = / = ± 7 ; / = ± t () = 7 + 7 +. Ausklammern von (oder Potenzen davon), alls möglich. Dann ist (gg. mehrache) Nullstelle. Beispiel () = = () = a) g () = 9 = ( 9) = ( 7) ( +7) b) h() = 6 = ( ) c) k() = + = ( +) = ( ) Als Kopiervorlage ür den Unterricht reigegeben. Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart.
Nullstellen und Faktorisierung Die olgend augeührten Methoden werden ür dieses Trainingsblatt benötigt (BINOM) Ausnutzen der binomischen Formeln z.b. 6 = (6) ( + 6) (LÖSEN) Lösen einer quadratischen Gleichung z.b. a + + c = / = ± ac a (RATEN) Raten, alls Nullstellen ganzzahlig sind z.b. +7 + = (+) ( + ) (SUBST) Substitution, um Grad zu verkleinern z.b. 8; Setze z = ; Löse erst z 8 = (AUSKL) Ausklammern, alls möglich z.b. + = (+) = + (POLDIV) Polnomdivision durch bereits bekannte z.b. ( 9+8) () = 9 Linearaktoren (benutze ür die Polnomdivision gg. ein seperates Blatt). Zerlege in Linearaktoren. Nenne die verwendete Methode, soweit sie nicht angegeben ist. 9+8 9+8 a) () = +8+77 = (+7) ( + ) b) () = = ( 7) c) () = + (LÖSEN) () = / = ± 9 + = + ± 9 = ± 7 = ; = () = ( ) ( + ) d) () = +, +8,; bekannte Nullstelle ; (POLDIV) ( +, + 8,) ( ) =,7 () = ( ) (,7 ),7 +8, e) () = + (BINOM),7 +8,. Häuig müssen mehrere dieser Methoden angewendet werden, um den Funktionsterm vollständig zu zerlegen. Nenne die verwendeten Methoden, soweit sie nicht angegeben sind. (BINOM) a) () = 6 + 9 (SUBST) Setze z = z 6z+9 = (z ) z = z = = ; = ; = ; = ; () = b) () = + 7 = ( + 7 ) ; (LÖSEN) + 7 = 7 ± 7 + / = = 7 ± 6 = 7 ± 7 () = +7 7 c) () = + +6 Alle Nullstellen sind ganzzahlig, eine davon lautet. (POLDIV) (RATEN) () = ( + ) ( + ) = ( + ) ( ) ( 6) d) () = 6 7 + 6 (SUBST) z = ; z 7 z + 6z = z(z z+) (RATEN) (AUSKL) = z (z) (z) z = ; z = ; z = / = ; / = ± ; / = ± () = + + + + e) Bekannte Nullstellen sind und. () = +6 + 6 = ( +6 + 6) (POLDIV) ( +6 + 6) ( ) = +6+9 = (+) () = ( ) ( + ) ( + ) (RATEN) (BINOM) (AUSKL) (AUSKL.) (AUSKL) Als Kopiervorlage ür den Unterricht reigegeben. Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart.
Nullstellenbingo Lösungsbogen Funktionenliste () = Faktorzerlegung ( ) ( +) Nullstellen ; ; () = + 6 ( +) () ; () = + ( ) (+) ; () = + + keine () = () ( 9) ( ) ( ) (+) ; ; 6 () = ( +6) () ( +6) () ; 7 () = 6 ( ) (+) ; 8 () = + ( +) ( ) (+) ; 9 () = + ( ) ( +) () = + ( ) (+) () (+) ; ; ; () = 9 ( ) ; () = + + ( +) ; () = + 8 ( +) ( +) ; () = ++ ( +) ; () = + 9 ( ) (+) () (+) ; ; ; 6 () = + ( ) ( +) Als Kopiervorlage ür den Unterricht reigegeben. Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart.