Ich wünsche euch allen viel Erfolg!

Klasse 6B, 007 Allgemeine Bemerkungen Im Prüfungsmäppchen sollen enthalten sein: Prüfung bestehend aus diesem Titelblatt und 4 weiteren Seiten Formelsammlung Schreibpapier Bemerkungen zur Prüfung Erlaubte Hilfsmittel sind die beigelegte Formelsammlung und ein graphikfähiger Taschenrechner (TI-89, TI-9+ oder Voyage 00). Die Prüfung dauert 40 Minuten. Bewertung: Aufgabe 3 4 5 6 Total: Punkte: 3///3 ////4 //3/3 ////4 ///3/ 4/3/3 60 Für die Note 6 wird nicht die vollständige Lösung sämtlicher Aufgaben erwartet. Beginne jede der 6 Aufgaben auf einem neuen Blatt. Runde sämtliche Resultate auf 3 Nachkommastellen. Der Lösungsweg muss klar ersichtlich sein. Gewertet werden nur diejenigen Schritte, die aufgeschrieben wurden. Der TI darf überall eingesetzt werden. Die einzelnen TI-Schritte sind jedoch klar und deutlich anzugeben. Am Schluss der Prüfung Ordne deine Blätter mit den Lösungen nach den einzelnen Aufgaben. Alle Aufgabenblätter und Notizen bleiben im Prüfungsraum. Sudel- und Notizblätter, welche nicht korrigiert werden sollen, bitte einmal falten und hinten ins Prüfungsmäppchen legen. Ich wünsche euch allen viel Erfolg!

Klasse 6B, 007 Aufgabe : Vektorgeometrie Von einer Pyramide, dessen Bodenfläche ABCD ein Parallelogramm ist, kennt man die A 8 / 7 / C 0 / / S / 5 / 3. Eckpunkte ( ), B( 3 /5 / 5 ), ( ) sowie ( ) S A D M B C a) Weise nach, dass das Lot von S auf die Ebene ABC durch den Diagonalenschnittpunkt M des Parallelogramms geht. b) Berechne das Volumen der Pyramide. c) In welchem Winkel sind die Ebenen der Dreiecke ABC und ABS gegeneinander geneigt? d) Es gibt einen Punkt auf der Strecke SM, welcher von den Ebenen ABC und ABS gleiche Entfernung hat. Bestimme die Koordinaten dieses Punktes. Aufgabe : Vektorgeometrie Gegeben sind die folgenden Punkte: A / 3 / 9 B 4 / 7 / C 4 / 4 / ( ), ( ), ( ), P( 4 / 5 / ), Q( 3 / 6 / ) und ( ) M x / 4 / 0. a) A, B und C sind Punkte der Ebene E. Bestimme die Koordinatengleichung dieser Ebene. b) M ist der Mittelpunkt einer Kugel K, welche durch die Punkte P und Q verläuft. Zeige, K : x + y 4 + z = 9 erhält. dass man mit diesen Angaben die Kugelgleichung ( ) ( ) c) Berechne den Abstand der Kugel K zur Ebene E. d) F ist die Tangentialebene im Punkt P an die Kugel K. Bestimme die Koordinatengleichung dieser Ebene. e) e ) g ist die Gerade, die durch den Kugelmittelpunkt M und parallel zur Schnittgeraden der Ebenen E und F verläuft. Bestimme die Gleichung von g. e ) Die Gerade g schneidet die Kugel K in zwei Punkten S und T. Bestimme diese beiden Schnittpunkte. m Seite von 4

Klasse 6B, 007 Aufgabe 3: Analysis f x = x +. Gegeben ist die zur y-achse symmetrische Funktion f mit ( ) a) Bestimme von f( x ) : - Definitionsbereich - Nullstellen - Extrempunkte: Minima, Maxima - Wendepunkte b) Lege vom Ursprung O die Tangenten an den Graphen von f( x ). b ) Bestimme den Berührungspunkt B( b / f( b )), wobei b> 0 b ) Bestimme die Gleichung der Tangente t. c) Die Punkte PQRS bilden in dieser Reihenfolge ein Rechteck. Dabei soll gelten, dass P u/ v (u 0 f x sei und R hat die Koordinaten ( ) ( u / ). > ) ein Punkt auf dem Graphen von ( ) c ) Skizziere das Rechteck PQRS. c ) Bestimme u so, dass der Flächeninhalt des Rechtecks PQRS extremal wird. Untersuche: Wird das Rechteck maximal oder minimal? d) Eigentlich möchten wir die Fläche A zwischen dem Graphen von f( x ), der x-achse und den beiden Geraden x = 3 und x = 5 bestimmen. g x =. x Damit wir es leichter haben, wählen wir die Ersatzfunktion ( ) d ) Beweise, dass gilt: g( x) f( x), x 0 d ) Berechne die Fläche zwischen dem Graphen von g( x ), der x-achse und den beiden Geraden x = 3 und x = 5. d 3 ) Um wie viel Prozent weicht die Ersatzfläche A von A ab? d 4 ) Für eine weitere Integralrechnung nimmt man anstelle von ( ) 0.5 ( ) g x dx. Was meinst du dazu (mit Begründung)? f x dx die Näherung 0.5 Seite von 4

Klasse 6B, 007 Aufgabe 4: Analysis Die folgende Skizze zeigt den Funktionsgraphen k der Funktion f( x) = ( x) x im Intervall 0 x. Der Funktionsgraph bildet zusammen mit seinem Spiegelbild k eine zur x-achse symmetrische Figur, einen Tropfen. y k x k' a) Welches ist die grösste Breite (parallel zur y-achse gemessen) des Tropfens? b) Berechne die gesamte Querschnittsfläche des Tropfens. c) Die Gerade mit der Gleichung x t = ( 0 t ) teilt die Querschnittsfläche des Tropfens in zwei Teile. Bestimme t so, dass die Querschnittfläche im Verhältnis : 4 (links:rechts) geteilt wird. d) Berechne das Volumen V des bei der Rotation um die x-achse entstehenden Rotationskörpers. e) Berechne die Steigung der Geraden y = mx (m> 0 ), wenn die Gerade die gesamte Querschnittsfläche des Tropfens im Verhältnis : 3 (oben:unten) teilen soll. Aufgabe 5: Stochastik In einem Bergort lautet im Herbst die Wetterprognose in 40% aller Fälle auf Föhn. Wenn Föhn angesagt ist, trifft die Prognose mit 80% Wahrscheinlichkeit zu. Wenn kein Föhn angesagt ist, trifft die Prognose mit 90% zu. Frau Huber fürchtet den Föhn sehr, da sie dann immer Kopfschmerzen hat. So nimmt sie im Herbst immer dann Kopfschmerztabletten, wenn Föhn angesagt ist, aber auch in der Hälfte aller Fälle, in denen kein Föhn angesagt ist. Die Kopfschmerztabletten von Frau Huber wirken immer. a) Wie viele Prozent aller Tage im Herbst sind Föhntage? b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat Frau Huber an einem Herbsttag Kopfschmerzen? Seite 3 von 4

Klasse 6B, 007 c) Wie viele Tage muss eine Zeitspanne mindestens umfassen, damit die Wahrscheinlichkeit, dass Frau Huber wenigstens einmal Kopfschmerzen hat, grösser als 99% wird? (Solltest du in Teilaufgabe b keine Lösung erhalten haben, rechne mit der folgenden Wahrscheinlichkeit weiter: P( Frau Huber hat an einem Herbsttag Kopfschmerzen ) = 6% ). d) Die Kopfschmerztabletten, welche Frau Huber jeweils kauft, stammen aus der Fabrik Aspiri. Bei der Verpackung dieser Kopfschmerztabletten hat man bei einer Lieferung Probleme festgestellt. 40% der Verpackungen sind fehlerhaft. Es werden nun blind Packungen aus einer Kiste ausgewählt. d ) Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden bei 8 ausgewählten Packungen genau vier einwandfreie Packungen gezogen? d ) Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird bei 8 ausgewählten Packungen mindestens eine defekte Packung gezogen? d 3 ) Mit welcher Wahrscheinlichkeit wählt man als 8. Packung die fünfte defekte Packung? e) Unter 4 Packungen befinden sich vier leere Packungen. e ) Mit welcher Wahrscheinlichkeit befindet sich unter 6 willkürlich ausgewählten Packungen genau eine leere Packung? e ) Mit welcher Wahrscheinlichkeit befindet sich unter 6 willkürlich ausgewählten Packungen höchstens eine leere Packung? Aufgabe 6: Kurzaufgaben a) Gebrochen rationale Funktion a Die Funktion f( x) = mit b> 0 hat bei x = einen Wendepunkt. Die Normale zum x + b Funktionsgraphen in diesem Wendepunkt geht durch den Ursprung. Bestimme a und b. b) Optimierungsaufgabe Welche Punkte auf dem Graphen der Funktion f( x) = 4 x haben vom Ursprung minimalen Abstand? c) Kombinatorik Die Schüler der Klasse 6ä auf der Maturareise: c ) Wie viele Anordnungen in einer Reihe für ein Klassenfoto sind möglich, wenn die 4 Brillenträger nebeneinander stehen sollen? c ) Die Schüler werden auf 3 Hotels A, B und C verteilt. 9 Schüler sollen ins A, 7 Schüler ins B und 5 ins C gehen. Wie viele Verteilungen sind möglich? c 3 ) Wie viele Verteilungen sind es bei b), wenn Schüler namens Paul und Karl unbedingt im gleichen Hotel sein wollen? Seite 4 von 4