Socio-Economic Modelling Seminar Partielle Differentialgleichung Andreas Günnel 20. Mai 2008 1/29 Andreas Günnel Socio-Economic Modelling
Inhaltsverzeichnis Einleitung 1 Einleitung 2 3 2/29 Andreas Günnel Socio-Economic Modelling
Einleitung Empirische und statistische Vergleiche bezüglich des kollektiven Verhalten zeigen sehr viele Gemeinsamkeiten zwischen verschiedenen Ländern und Märkten. 3/29 Andreas Günnel Socio-Economic Modelling
Grundidee der : Verhalten eines Individuums nicht vorhersehbar ähnlich wie bei der Brownschen Bewegung Energieverteilung von sehr vielen Gasteilchen kann ermittelt werden Eine Gesellschaft aus (hinreichend) vielen Individuen kann näherungsweise beschrieben werden (mithilfe von statistischen Methoden). 4/29 Andreas Günnel Socio-Economic Modelling
Einleitung Betrachtet wird ein einfacher offener Markt aus vielen Händlern mit einem Vermögen w. Kinetische Betrachtungsweise: Eine große Anzahl von Teilchen können untereinander kollidieren und tauschen dabei Energie aus (Boltzmann) 5/29 Andreas Günnel Socio-Economic Modelling
Einleitung Betrachtet wird ein einfacher offener Markt aus vielen Händlern mit einem Vermögen w. Kinetische Betrachtungsweise: Eine große Anzahl von Teilchen können untereinander kollidieren und tauschen dabei Energie aus (Boltzmann) auf unseren Markt übertragen: Gasteilchen mit Energie = Händler mit Vermögen Dabei wird der entsprechende Markt durch die Kollosionsregeln charakterisiert. 5/29 Andreas Günnel Socio-Economic Modelling
Einleitung Betrachtet wird ein einfacher offener Markt aus vielen Händlern mit einem Vermögen w. Kinetische Betrachtungsweise: Eine große Anzahl von Teilchen können untereinander kollidieren und tauschen dabei Energie aus (Boltzmann) auf unseren Markt übertragen: Gasteilchen mit Energie = Händler mit Vermögen Dabei wird der entsprechende Markt durch die Kollosionsregeln charakterisiert. 5/29 Andreas Günnel Socio-Economic Modelling
Einleitung Italienischer Ökonom Vilfredo Pareto hat als Erster die im oberen Bereich beschrieben: F (w) = w f (w )dw w µ, wobei f (w) die Verteilungsdichte und µ der sogenannte Pareto-Index ist (z.b. USA 1.6, Japan 1.8 2.2). Weniger als 20 % besitzen 80 % des Vermögens. 6/29 Andreas Günnel Socio-Economic Modelling
Einleitung Italienischer Ökonom Vilfredo Pareto hat als Erster die im oberen Bereich beschrieben: F (w) = w f (w )dw w µ, wobei f (w) die Verteilungsdichte und µ der sogenannte Pareto-Index ist (z.b. USA 1.6, Japan 1.8 2.2). Weniger als 20 % besitzen 80 % des Vermögens. 6/29 Andreas Günnel Socio-Economic Modelling
Boltzmann-Gleichung Einleitung Sei f = f (w, t) die Wahrscheinlichkeitsdichte von Händlern mit Vermögen w zur Zeit t, dann lautet die Pareto- Boltzmann-Gleichung f = Q(f, f ). t Q ist dabei ein Integraloperator wird durch die eines Geschäfts zwischen 2 Händlern bestimmt. 7/29 Andreas Günnel Socio-Economic Modelling
Erhaltende Modelle für den Handel Für 2 willkürliche Händler mit dem Vermögen v und w kann gelten v = p 1 v + q 1 w; w = p 2 v + q 2 w, wobei p i, qi 0 Konstanten oder Zufallsgrößen sein können. 8/29 Andreas Günnel Socio-Economic Modelling
Eine weitere Möglichkeit ist v = v + (v, w); w = w (v, w) (v, w) = (1 s)[(ε 1)v + εw], dabei ist 0 ε 1 zufällig und s ein vorgegebener Sparfaktor. 9/29 Andreas Günnel Socio-Economic Modelling
Von S. Cordier, L. Pareschi und G. Toscani stammt das Modell v = sv + (1 s)w + ηv; w = (1 s)v + sw + ηw, wobei 1 2 < s < 1, η und η sind unabhängig, identisch verteilte Zufallsgrößen und beschreiben die spontane Entwicklung des Vermögens auftretender Effekt: Reiche werden noch reicher, Arme noch ärmer. 10/29 Andreas Günnel Socio-Economic Modelling
Von S. Cordier, L. Pareschi und G. Toscani stammt das Modell v = sv + (1 s)w + ηv; w = (1 s)v + sw + ηw, wobei 1 2 < s < 1, η und η sind unabhängig, identisch verteilte Zufallsgrößen und beschreiben die spontane Entwicklung des Vermögens auftretender Effekt: Reiche werden noch reicher, Arme noch ärmer. 10/29 Andreas Günnel Socio-Economic Modelling
Simulation Einleitung 16000 Simulierte ( n = 1 mio.) 14000 12000 10000 Anzahl 8000 6000 4000 2000 0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Vermögen (Durchschnittsvermögen = 80) 11/29 Andreas Günnel Socio-Economic Modelling
Auswertung der Modelle Eine Analyse der Kollision = Handel liefert tiefgehende Analogien zur Granularen Strömungsmechanik. die explizite Fom der Verteilung ist selten auffindbar und numerische Simulation ist sehr aufwendig 12/29 Andreas Günnel Socio-Economic Modelling
Auswertung der Modelle Eine Analyse der Kollision = Handel liefert tiefgehende Analogien zur Granularen Strömungsmechanik. die explizite Fom der Verteilung ist selten auffindbar und numerische Simulation ist sehr aufwendig Mithilfe von PDEs kann jedoch die Grenzverteilung ermittelt werden. 12/29 Andreas Günnel Socio-Economic Modelling
Auswertung der Modelle Eine Analyse der Kollision = Handel liefert tiefgehende Analogien zur Granularen Strömungsmechanik. die explizite Fom der Verteilung ist selten auffindbar und numerische Simulation ist sehr aufwendig Mithilfe von PDEs kann jedoch die Grenzverteilung ermittelt werden. 12/29 Andreas Günnel Socio-Economic Modelling
Fokker-Plank-Gleichung Verteilung konvergiert gegen die Lösung einer Fokker-Plank-Gleichung f t = λ ( v 2 2 v 2 f ) + ((v m)f ). v Zur Vereinfachung wird m = 1 gesetzt und man erhält als Lösung ( ) (µ 1)µ exp µ 1 v f (v) = Γ(µ) v 1+µ, 2 mit µ = 1 + 2 λ > 1 und λ = σ2 /s 13/29 Andreas Günnel Socio-Economic Modelling
Fokker-Plank-Gleichung Verteilung konvergiert gegen die Lösung einer Fokker-Plank-Gleichung f t = λ ( v 2 2 v 2 f ) + ((v m)f ). v Zur Vereinfachung wird m = 1 gesetzt und man erhält als Lösung ( ) (µ 1)µ exp µ 1 v f (v) = Γ(µ) v 1+µ, 2 mit µ = 1 + 2 λ > 1 und λ = σ2 /s 13/29 Andreas Günnel Socio-Economic Modelling
1.4 Boltzmann Pareto Distribution 1.2 1 0.8 Density 0.6 0.4 0.2 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 Wealth 14/29 Andreas Günnel Socio-Economic Modelling
Abbildung: Salvador de Bahia, Brasilien: im O(1)-Teil der 15/29 Andreas Günnel Socio-Economic Modelling
Abbildung: Hongkong: im dünneren O(1)-Teil der 16/29 Andreas Günnel Socio-Economic Modelling
Abbildung: Hongkong: am Ende des Ausläufers 17/29 Andreas Günnel Socio-Economic Modelling
Abbildung: Manhattan: am Ende des Ausläufers 18/29 Andreas Günnel Socio-Economic Modelling
Abbildung: Shanghai, nicht alle erleben den wirtsachaftlichen Aufschwung 19/29 Andreas Günnel Socio-Economic Modelling
Einleitung Die Modelle für die basieren ebenfalls auf stochastischen Effekten. Im Mittel können sie durch DGLs oder PDEs beschrieben werden. Kompriss nach dem Meinungsaustausch Diffusion durch spontane Meinungsänderung 20/29 Andreas Günnel Socio-Economic Modelling
Einleitung Die Modelle für die basieren ebenfalls auf stochastischen Effekten. Im Mittel können sie durch DGLs oder PDEs beschrieben werden. Kompriss nach dem Meinungsaustausch Diffusion durch spontane Meinungsänderung 20/29 Andreas Günnel Socio-Economic Modelling
Einleitung Gegeben ist eine große Menge von Personen, die eine Meinung v [ 1, 1] haben. Ein Meinungsaustauch kann dann sein v = v sp( v )(v w) + ηd( v ); w = w sp( w )(w v) + ηd( w ). P( ) und D( ) beschreiben die Relevanz von Kompromiss bzw. Diffusion. 21/29 Andreas Günnel Socio-Economic Modelling
Fokker-Plank-Gleichung Analog zur lässt sich auch hier eine Fokker-Plank-Gleichung finden: f t = λ 2 ( D( v ) 2 2 v 2 f ) + (P( v )(v m(t))f ). v 22/29 Andreas Günnel Socio-Economic Modelling
Lösung für einen Spezialfall Für den Fall P( v ) = 1 und D( v ) = 1 v 2 erhält man [ f = c m,λ (1 v 2 ) 2+m/(2λ) exp 1 mv ] λ(1 v 2 ) 23/29 Andreas Günnel Socio-Economic Modelling
0.7 Distribution of Opinion Formation 0.6 0.5 0.4 Density 0.3 0.2 0.1 0 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Opinion 24/29 Andreas Günnel Socio-Economic Modelling
Abbildung: in Isfahan, Iran 25/29 Andreas Günnel Socio-Economic Modelling
Abbildung: Papst Benedikt XVI. auf dem Weltjugendtag 2005 in Köln 26/29 Andreas Günnel Socio-Economic Modelling
Abbildung: George W. Bush auf der Republican National Convention 2004 27/29 Andreas Günnel Socio-Economic Modelling
Abbildung: Gegendemo zur Repulican National Convention 2004, New York 28/29 Andreas Günnel Socio-Economic Modelling
Abbildung: -ohne Worte- 29/29 Andreas Günnel Socio-Economic Modelling