Paar -frir Zahln Dilomarbit von Julia Brand au Göttingn Intitut für Algbra und Zahlnthori Univrität Stuttgart 2009
Inhaltvrzichni 1 Einlitung 1 2 Ein Sib für -t Potnzn 2 3 Anwndung auf Paar von -frin Zahln 5 3.1 Vorbtrachtungn......................... 5 3.2 Anwndung von Satz 2...................... 7 3.3 Auwrtung d Sibroz.................. 9 3.4 Exkur übr Exonntialummn................ 13 3.5 Forttzung dr Auwrtung................... 15 3.6 Abchlu d Bwi...................... 17
1 Einlitung Si x > 0. Wi vil Zahln n x kann gbn, di durch kin -t Potnz tilbar ind? Im Fall = 2 it di uadrirt Möbiufunktion µ 2 (n) auf natürlich Wi al Indikatorfunktion ggbn und man kommt rlativ licht auf di Abchätzung n x µ 2 (n) = 6x π 2 + O( x). Da Rultat lät ich auf gröÿr vrallgminrn und gibt dann # {n x : n it -fri} = x ζ() + O(x1/ ), wobi ζ() di Rimannch Ztafunktion bzichnt. E it allrding nicht möglich, wntlich Vrbrungn im Fhlrtrm zu rhaltn, ohn di Rimannch yoth vorauzutzn. Ein Übricht übr di und andr Ergbni bzüglich -frir Zahln ndt ich in inm Aufatz von Paalardi [6]. Btrachtt man di -frin Zahln nicht iolirt, ondrn zählt Paar mit gwin Abtändn a, o rwit ich al möglich, Fortchritt zu rziln, auch ohn dafür di Gültigkit dr Rimannchn Vrmutung annhmn zu mün. Si alo E (n) di Indikatorfunktion auf dn -frin Zahln, dann gilt, in Abchätzung für E (n)e (n + a) n x zu ndn. Im nächtligndn Fall mit a = 1 bagt in lmntar Rultat, da n x E (n)e (n + 1) = C x + O ( x 2 +1 +ɛ) (1) gilt, wobi di Kontant C im Hauttrm durch da Eulrrodukt C = (1 2 ) (2) ggbn it (ih z.b. Carlitz [2]). 1
Rogr Hath-Brown [5] it in inr Arbit von 1984 mit inm Sib für ) Quadrat glungn, dn Fhlrtrm für dn Fall = 2 auf O (x 711 (log x) 7 zu vrbrn. Mit ähnlichn Mthodn wrdn wir für allgmin 2 folgndn Satz zign: Thorm 1. Sin E (n) di Indikatorfunktion auf dn -frin Zahln und C dr in (2) ggbn Audruck. Dann gilt für jd ɛ > 0 n x E (n)e (n + 1) = C x + O ( x 14 7+8 +ɛ). Dr Exonnt it hir um O(1/ 2 ) br al im Rultat von Carlitz, wobi da ɛ di Logarithmuotnzn zuammnfat; mit orgfältigrr Rchnung könnt man di auch xlizit angbn und zu minimirn vruchn, allrding rchin in dim Kontxt nicht wntlich, da di Erarni zum gröÿtn Til bi dn Potnzn von x intritt. Min Dank gilt Hrrn Prof. Dr. Jörg Brüdrn, dr mir di Thma vorgchlagn hat. 2 Ein Sib für -t Potnzn Hath-Brown [5] vrwndt im uadratichn Fall in Sib, da mit Jacobiymboln arbitt. Um in Mthod auf höhr Potnzn zu vrallgminrn, it nötig, in gignt Funktion inzuführn, di in ähnlichr Wi auf dn n-tn Potnzn modulo orirt. ( ) n Zu mit (; 1) 1 i in vom Hautcharaktr vrchidnr Charaktr modulo mit = χ 0 (n). Ein olchr xitirt, dnn da di ( ) Anzahl n dr Charaktr χ (mod ), di χ = χ 0 gnügn, durch ( 1; ) 2 ggbn it, kann man immr inn Nicht-Hautcharaktr mit dr gwünchtn Eignchaft ndn. Si nun w in nichtngativ Gwichtfunktion auf dn ganzn Zahln, o da n w(n) bchränkt it; A bzichn di Folg (w(n)). Wir dnirn Mit din Bzichnungn gilt: S(A) = w(n ). n=1 2
Thorm 2. Si 2 in natürlich Zahl und P in Mng von Primzahln mit dr Eignchaft (; 1) 1 für jd P. Di Kardinalität dir Mng i P. Witrhin glt w(n) = 0 für n = 0 und n P. Dann it S(A) P 1 w(n) + P 2 ( )( ) n n w(n). Proof. E i n=1 n=1 P P n=1 ( ) 2 n Σ = w(n). It n in -t Potnz, twa n = m, dann nimmt dr Charaktr für jd zu m tilrfrmd Primzahl dn Wrt 1 an, und gilt ( ) n = 1 P 1. P P m m Tilt man di ltzt Summ bi log m, o rhält man 1 = m m log m 1 + m >log m 1. log m Di rt Summ it nach dm Primzahlatz. Stzt man di Anzahl log log m dr in dr zwitn Summ gzähltn Primtilr glich r, o lifrt in grob Abchätzung (log m) r < m, alo r < <log m m log m. Ingamt hat man damit log log m Für P < m < P it di m 1 log m log log m. P. Für di rtlichn m P it log log P 1 1 m P m 1 P log P 3
mit dm Primzahlatz. Damit rgibt ich ( ) ( ) n P P + O P, log log P P für dn gamtn Audruck folgt alo Σ P 2 S(A). Andrrit rhält man durch Aumultilizirn dr Potnz Σ =, P n=1 P n=1 n P ( ) n w(n) w(n) + w(n) + n=1 ( ) n P n=1 P ( ) n w(n) ( ) n w(n) n=1 ( ) n ( n ). Di Kombination dr bidn Abchätzungn führt jtzt auf di Auag von Satz 2. Bmrkungn. (a). Auf di Nbnbdingung w(n) = 0 für n P kann nicht vrzichtt wrdn. Si twa zu inr ndlichn Mng P da Produkt dr in P nthaltnn Primzahln durch m ggbn, und di Gwichtfunktion w i dnirt durch w(n 0 ) = 1 für n 0 = m, abr w(n) = 0 für all andrn n n 0. In dim Fall gibt da Sib S(A) P 1, währnd trivial S(A) = 1 gilt. (b). Satz 2 it für blibig Charaktr und auch für in gigntr Wi normirt Charaktrummn richtig, ofrn i auf -tn Potnzn dn Wrt 1 annhmn. Wählt man allrding dn Hautcharaktr odr in Charaktrumm, in dr dir vorkommt, o rgibt ich unabhängig von dr Wahl von P und dr vrwndtn Gwichtfunktion di Abchätzung S(A) P 1 n=1 w(n) + P 2 P n=1 w(n) w(n). Wgn S(A) = n=1 w(n ) it di Auag trivial und lifrt kinrli nu Information. (c). Auch für Nicht-Hautcharaktr it Satz 2 in dr Rgl nicht charf. Si zum Biil w(n) = 1 für 1 n x und w(n) = 0 ont, und P i 4 n=1
di Mng dr Primzahln untrhalb inr Gröÿ x α, für di 1 gilt, wobi wir α zunächt unbtimmt lan. Damit it nach dm Satz von Sigl-Walz P x α (log x) 1 (ih z.b. Brüdrn [1], Satz 3.3.3) und man rhält für di Anzahl dr -tn Potnzn untrhalb von x di Abchätzung S(A) P 1 1 + P 2 ( )( ) n n n x P n x x 1 α log x + P 2 x α log x P x 1 α log x + x α log x. Di mittlr Zil folgt dabi mit dr Pólya-Vinogradov-Unglichung (Brüdrn [1], Satz 2.3.2) wil da Produkt von Charaktrn widr in Charaktr zum Produktmodul it. Satz 2 gibt alo für di Anzahl dr -tn Potnzn untrhalb von x unabhängig von btnfall di Schrank O(x 1/2 log x), währnd onichtlich S(A) = x 1/ + O(1) gilt. 3 Anwndung auf Paar von -frin Zahln 3.1 Vorbtrachtungn Um nun Satz 2 auf da Problm dr Paar von -frin Zahln anwndn zu könnn, chribn wir mit dr bkanntn Idntität übr di Summ dr Möbiufunktion E (n) = j n µ(j). Damit it n x E (n)e (n + 1) = j,k µ(j)µ(k)n(x, j, k), wobi di Zählfunktion N(x, j, k) durch di Anzahl dr Löungn N(x, j, k) = # {n x; j n, k n + 1} ggbn it. Man bobachtt, da N(x, j, k) = xj k + O(1) gilt, fall (j; k) = 1 it; da jdr gminam Tilr von j und k owohl in n al auch in n + 1 vorkommn müt, it für nicht tilrfrmd j und k di Bdingung lr. Dr Bitrag dr Trm mit jk y, wobi y noch zu btimmn it, 5
bträgt alo x jk y (j;k)=1 ( µ(j)µ(k)(jk) + O jk y ) 1. (3) Nun rgänzt man di rt Summ bi in Unndlich. Fat man dann di jk zu n zuammn, o nttht wgn dr vrchidnn Zrlgungn von n in Faktor d(n). Damit it obigr Audruck = x ( ) ( µ(jk)(jk) + O d(n) + O x ) d(n)n n>y (j;k)=1 = x n n y µ(n)d(n) n + O(y log y) + O(xy 1 +ɛ ) mit dr trivialn Abchätzung d(n) n ɛ für di Tilrfunktion. Di im Hauttrm ntthnd Summ lät ich al Eulrrodukt chribn und rgibt µ(n)d(n) = µ( i )d( i ) = ( 1 + 1 2 ), n i n i=0 alo gnau dn in (2) ggbnn Audruck für di Kontant C. Ingamt it (3) alo = C x + O (y log y) + O ( xy 1 +ɛ). Di Mng dr vrblibndn j und k zrfällt in Intrvall J < j 2J und K < k 2K, wobi JK y und J, K x 1/ gilt. Di Anzahl dir Intrvall it O ((log x) 2 ). Man ndt nun gignt J und K, o da µ(j)µ(k)n(x, j, k) N(log x) 2 gilt, wobi jk>y N = # {(j, k, u, v); j u + 1 = k v x, J < j 2J, K < k 2K} it. Dr noch zu btimmnd Paramtr y wird im Brich x 1/ y x lign. Al Abchätzung rhält man alo E (n)e (n + 1) = C x + O(y 1+ɛ ) + O ( N(log x) 2). (4) n x 6
Wir könnn nun ohn Bchränkung dr Allgminhit annhmn, da J K it, wobi ich da Vorzichn dr 1 im Audruck für N ggbnnfall ändrt. Dnn it J < K, o taucht man di Rolln von j und k owi von u und v. Mit dir Umbnnnung ght dr Audruck j u + 1 = k v in j u 1 = k v übr und gilt J K wi gwüncht. Um jtzt in Schrank für N zu ndn, ortirt man di von N gzähltn Quadrul nach dm Wrt von u und rhält N = N u mit N u = # {(j, k, v); j u ± 1 = k v x, J < j 2J, K < k 2K}. Di Mng dr u zrfällt in O(log x) Intrvall U < u 2U mit U xj. (5) Durch Auön dr Glichung j u±1 = k v und dn jwilign Bdingungn an j und k kann man N u # {(j, k, v); j u ± 1 = k v, K < k 2K, L v M} (6) chribn, wobi di Schrankn an v durch L = max(2 K (J U ± 1), 1), M = K (2 +1 J U ± 1) ggbn ind. Stzt man witr N(U) = U<u 2U N u, o rgibt ich al Abchätzung an N dr Audruck 3.2 Anwndung von Satz 2 N (log x) max N(U). (7) UxJ Mit (6) habn wir in Dartllung von N u rhaltn, in dr nur di Variabln k und v auf dr rchtn Sit dr Glichung unabhängig voninandr Gröÿnbdingungn rfülln, o da all Paramtr auf dr linkn Sit ntwdr xirt ind odr abr durch di Glichung indutig btimmt wrdn. Di rmöglicht un, in gignt Gwichtfunktion w zu ndn, di di in (6) kodirtn Informationn in di Srach von Satz 2 übrträgt und un o Aukunft übr di Gröÿ dr N u gibt. E i alo w(n) = 0, fall n kin Vilfach von u 1 it, und w(mu 1 ) = # {(k, v); u k v 1, m = k v 1, K < k 2K, L v M} 7
im andrn Fall. Mit dir Wahl gilt: Wird w(n) 0 von A gzählt, d.h. it n = mu 1 in -t Potnz, o lät m ich al m = j u chribn. Da nach Kontruktion abr auch m = k v 1 gilt, übrtzt di Dartllung Paar von durch -t Potnzn tilbarn Zahln in -t Potnzn, o da da im vorign Kaitl dnirt Sib grift. Zudm gilt nach Kontruktion N u S(A). Jtzt i P di Mng allr Primzahln in Q < 2Q mit u und 1. Dabi ligt Q im Intrvall (log x) 2 Q x (8) und wird ätr otimal gwählt. Mit dm Satz von Sigl-Walz gilt für di Mng dir Zahln P Q(log Q) 1 und folglich log n log x Q P für gnügnd groÿ Q und all mit oitivm Gwicht gzähltn n. Di Zahln n, di von w gzählt wrdn, ind alo wi gfordrt durch P nach obn bchränkt; di Bdingung w(0) = 0 it nach Kontruktion trivial rfüllt. Wir könnn alo Satz 2 anwndn und rhaltn N u P 1 w(n) + P 2 ( )( ) u 1 (k v 1) u 1 (k v 1) n P k,v ( ) log x w(n) + P 2 ( )( ) k v 1 k v 1 Q, (9) n P wobi (8) und di Multilikativität dr Charaktr bnutzt wurdn. Di Bdingungn an k und v in dr innrn Summ ind jwil durch k,v K < k 2K, L v M, u k v 1 (10) ggbn. Din Audruck gilt nun auzuwrtn, um in Schrank an N und damit an E (n)e (n + 1) C x n x zu ndn. Di Bhandlung d rtn Trm auf dr rchtn Sit dr Unglichung in (9) britt kin Schwirigkitn. Dr Hautaufwand wird darin lign, in Abchätzung an dn zwitn Trm zu ndn. Dabi wrdn wir hn, da ich di innrn Summ drart modizirn lät, da i inzln voninandr unabhängig Faktorn zrfällt, drn Bhandlung lichtr it. Hir wird ich auch hrautlln, da di angtrbt Erarni dadurch möglich wird, da di -tn Potnzn modulo Primzahln in gwim Sinn güntig vrtilt ind. 8
3.3 Auwrtung d Sibroz Dr Bitrag d rtn Trm au (9) zu N(U) it ingamt ( ) log x 1 Q k,v u k v 1 ( ) log x d(n). Q ( log x Q K<k 2K ) K 1 n ɛ n x n x n 1 (mod k ) Q 1 K 1 x 1+ɛ, (11) wobi di Standardabchätzung an di Tilrfunktion bnutzt wurd. Um jtzt in Auag übr da Vrhaltn von ) S := k,v ( k v 1 ( k v 1 ) untr dn Bdingungn (10) zu gwinnn, tranformirt man dn Audruck mit dm Zil, di Summn zu arirn und all witrn Bdingungn al Exonntialummn zu chribn. Auf di Wi wrdn wir in Abchätzung rhaltn, di ich analytich lichtr handhabn lät. Da zudm P 2 1 = O(1) P gilt, wird di Schrank an S di ndgültig Abchätzung für dn zwitn Trm in (9) dartlln. Indm man di Argumnt dr Charaktr modulo u rduzirt und di Bdingungn an k und v in Exonntialummn kodirt, rhält man S = = u α,β=1 u α β 1 u α,β=1 u α β 1 ( )( ) α β 1 α β 1 ( )( ) { α β 1 α β 1 { 1 u u δ=1 L v M K<k 2K k α (u) 1 u u 1 ( ) } δ(β v). u 9 L v M v β (u) γ=1 K<k 2K 1 ( ) } γ(α k) u
Jtzt it möglich, di jwilign Summn übr α und β, übr k und übr v zu arirn. Mit dn Bzichnungn S(u, ; γ, δ) = ϑ γ = u α,β=1 u α β 1 K<k 2K ϕ δ = L v M ( )( ) α β 1 α β 1 ( ) γα + δβ u ( ) ( γk min K, γ u u ( ) ( δv min J K U, δ u u (12) 1) (13) 1) (14) bkommt man u S = (u) 2 γ,δ=1 S(u, ; γ, δ)ϑ γ ϕ δ. (15) Da nach Dnition von P kin dr P in u aufght, zrfällt di Summ S(u, ; γ, δ) in Faktorn, wi im folgndn Lmma bchribn: Lmma 1. Si u = r f di Primfaktorzrlgung von u und S 1 (; c, d) = S 2 (r f ; c, d) = α,β=1 r f α,β=1 r f α β 1 ( ) α β 1 r f ( ) cα + dβ. ( ) cα + dβ Di Primzahln und in zu u tilrfrmd. Dann lautt di Faktoriirung d in (12) ggbnn Audruck S(u, ; γ, δ) = S 1 (; c, d)s 1 (; c, d) S 2 (r f ; c, d), (16) r f =u wobi c und d ganz Zahln ind, o da (c; u) = (γ; u) und (d; u) = (δ; u) gilt. Proof. Zunächt gilt für tilrfrmd, di Glichung a=1 b=1 ( ) a ( ) b = a ( ) a + b ( ) c = b 10 c=1
mit Subtitution c = a + b, wobi c wgn d Chinichn Rtatz all Wrt zwichn 1 und gnau inmal annimmt. Folglich lät ich da Produkt übr di S 2 zuammnfan und chribn al r f =u S 2 (r f ; γ, δ) = S 2 (u; γ, δ) = u α,β=1 u α β 1 ( cα + dβ u Di wird durch di Kongrunzbdingung an α und β nicht binträchtigt. Witr hat man ( ) ( ) α β 1 (γα + δβ) S 1 (; γ, δ) = α,β=1 ( ) ( ) α β 1 γα + δβ =. α,β=1 Um nun S(u, ; γ, δ) zu brchnn, tzt man ). mit α = uα 1 + uα 2 + α 3 β = uβ 1 + uβ 2 + β 3 1 α 1, β 1 1 α 2, β 2 1 α 3, β 3 u. Di Dartllung it indutig modulo dr jwilign Rtklanytm und man hat u ( )( ) ( ) α β ± 1 α β ± 1 γα + δβ = = α,β=1 u α β 1 α 1,β 1 =1 α 2,β 2 =1 α 3,β 3 =1 u α 3 β 3 1 u u ( )( ) α β ± 1 α β ± 1 ( ) (γα1 + δβ 1 )u + (γα 2 + δβ 2 )u + (γα 3 + δβ 3 ) u u ( )( ) α β ± 1 α β ± 1 α 1,β 1 =1 α 2,β 2 =1 α 3,β 3 =1 u α 3 β 3 1 ( γα1 + δβ 1 ) ( γα2 + δβ 2 11 ) ( γα3 + δβ 3 u ).
Wil, und u aarwi tilrfrmd ind, gilt für di Charaktr wgn dr -Priodizität ( ) ( ) α β ± 1 (uα1 + uα 2 + α 3 ) (uβ 1 + uβ 2 + β 3 ) ± 1 = ( ) (uα1 ) (uβ 1 ) ± 1 = Ingamt rgibt di für dn zu brchnndn Audruck ( ) ( ) (uα1 ) (uβ 1 ) ± 1 γα1 + δβ 1 = α 1,β 1 =1 ( ) ( ) (uα2 ) (uβ 2 ) ± 1 γα2 + δβ 2 u = α 2,β 2 =1. α 3,β 3 =1 u α 3 β 3 1 ( ) ( ) (uα1 ) (uβ 1 ) ± 1 u(cα1 + δβ 1 ) α 1,β 1 =1 ( ) ( ) (uα2 ) (uβ 2 ) ± 1 u(cα2 + dβ 2 ) α 2,β 2 =1 u ( ) (cα3 + dβ 3 ), u α 3,β 3 =1 u α 3 β 3 1 wobi c und d durch di Kongrunzn ( ) γα3 + δβ 3 u γ uc (mod ); γ uc (mod ); γ c (mod u) δ ud (mod ); δ ud (mod ); γ c (mod u). indutig modulo u ggbn ind. Mit Vrchibung dr Summationindiz α 1 nach uα 1 und ntrchnd rhält man nun ( ) ( ) α ( ) ( ) = 1 β 1 ± 1 cα1 + dβ 1 α 2 β 2 ± 1 cα2 + dβ 2 α 1,β 1 =1 α 2,β 2 =1 u ( ) cα3 + dβ 3, u α 3,β 3 =1 u α 3 β 3 1 alo gnau dn guchtn Audruck S 1 (; c, d)s 2 (; c, d)s 2 (u; c, d). Da, und r rlativ rim ind, ind chliÿlich di ggt-bdingungn (c; u) = (γ; u) und (d; u) = (δ; u) in dirkt Konunz au dn Btimmungglichungn für c und d. Damit it da Lmma bwin. 12
3.4 Exkur übr Exonntialummn Um di hir auftrtndn Exonntialummn zu bhandln, nutzn wir folgnd Lmma: Lmma 2. Für di Exonntialummn S 1 und S 2 gltn folgnd Abchätzungn: (i). S 1 (; c, d), (ii). S 2 (; c, d) ( + 1) 1/2 (; c; d) 1/2 + ( + 1) 2. Proof. Zunächt btrachtn wir S 1. Für α i ᾱ da multilikativ Invr zu α modulo. Vrchibt man dn Summationindx von β nach ᾱ ± β, o rgibt ich S 1 (; c, d) = = ( ) ( ) α β 1 cα + dβ α,β=1 1 ( ) ( β cα + dᾱ ± dβ α=1 β=1 1 ( ) cα + dᾱ ( ) ( β ±dβ α=1 β=1 = S 2 (; c, d) 1/2 + O(); ) + O() ) + O() di Auag in (i) it alo untr Bnutzung dr bkanntn Schrank an Gauÿch Summn in dirkt Konunz von (ii). Um jtzt S 2 abzuchätzn, untrchidn wir mhrr Fäll: Di Auag it trivial, fall (c; d). Si nun in Tilr von c, abr nicht von d. Dann folgt S 2 (; c, d) = ( ) dβ 1. α=1 α β ±1 (mod ) β=1 Für β hat di Kongrunz in dr ltztn Summationbdingung gnau (; 1) Löungn, fall ± β in -t Potnz it; andrnfall it i unlöbar. Wählt man χ(n) = χ mod χ =χ 0 { # {χ mod : χ = χ 0 } = (, 1) n it -t Potnz 0 ont 13
al Indikatorfunktion auf dn k-tn Potnzn, o rgibt ich witr untr Vrtauchung dr Summationrihnfolg und Ergänzn dr Summ übr β auf in voll Priod 1 ( ) dβ S 2 (; c, d) = χ( β) β=1 χ mod = χ mod β=1 χ =χ 0 χ mod χ =χ 0 χ =χ 0 χ( β) ( ) dβ 1 1/2 + 1 (; 1) 1/2 + 1, wobi im vorltztn Schritt widr di Abchätzung an Gauÿch Summn inggangn it. Wgn (; 1) < ( + 1) folgt di Bhautung. Im umgkhrtn Fall, da zwar d, nicht abr c tilt, hat man 1 ( ) cα S 2 (; c, d) = = 1, α=1 o da auch in dim Fall di Auag rfüllt it. It chliÿlich wdr c noch d in Vilfach von, o nutzt man in Rultat au dr algbraichn Gomtri, da auf Bombiri zurückght (ih Chalk/Smith [3]): Thorm 3. Sin ψ und f Polynom in F [X, Y ] mit dg ψ = d 1, dg f = d 2. Untr dr Bdingung f(x, Y ) a (mod ψ 1 (X, Y )) in F für all a F und für all abolut irrduzibln ψ 1 ψ in F gilt x,y F ψ(x,y)=0 ( f(x, y) ) (d 2 1 3d 1 + 2d 1 d 2 ) 1/2 + d 2 1. Stzt man nun ψ(α, β) = α β 1 und f(α, β) = cα + dβ, alo d 1 = + 1, d 2 = 1, o it di Bdingung rfüllt und dr Satz gibt S 2 (; c, d) ( ( + 1) 2 3( + 1) + 2( + 1) 1 ) 1/2 + ( + 1) 2 ( + 1) 1/2 + ( + 1) 2 ( + 1) 1/2 + ( + 1) 2 und damit da gwüncht Ergbni. 14
3.5 Forttzung dr Auwrtung Nachdm wir nun Schrankn an S 1 und S 2 gfundn habn, könnn wir mit dr Auwrtung von (16) fortfahrn. E bzichn w da Produkt all jnr Primfaktorn r u, di gnau inmal in dr Primfaktorzrlgung von u vorkommn. Di Anwndung von Lmma 2(ii) roduzirt für jd Primzahl, di in w vorkommt, inn Faktor ( + 1); im Produkt rgibt ich alo (( + 1)) ν(w) = d (+1) (w) w ɛ, wobi d k (n) wi üblich di vrallgminrt Tilrfunktion bzichnt. Im Folgndn wrdn wir kin Sorgfalt bi dn ɛ waltn lan, ondrn all blibig klinn Exonntn mit dmlbn Symbol bzichnn. Mit Lmma 2 und dr trivialn Abchätzung S 2 ( f ; c, d) f für f 2 folgt, da da Produkt dr S 2 durch S2 (r f ; c, d) Uw 1 ( w 1/2+ɛ (w; γ, δ) 1/2 + ( + 1) 2) Uw 1/2+ɛ (w; γ; δ) 1/2 bchränkt it. Zuammngfat rhält man alo S(u, ; γ, δ) Q 2 Uw 1/2+ɛ (w; γ; δ) 1/2 und damit S Q 2 U 1 w 1/2+ɛ γ,δ ϑ γ ϕ δ (w; γ; δ) 1/2. (17) Mit dn Schrankn (13) und (14) und untr Btrachtung dr Symmtri dr Abtandfunktion rhält man für di Summ witr ϑ γ ϕ δ (w; γ; δ) 1/2 γ,δ J K 1 Uw 1/2 + J K Q 2 U 2 + KQ 2 U 1 δ 1 2 u δ 1 (w; δ) 1/2 + Q 4 U 2 1 γ 1 2 u γ 1 (w; γ) 1/2 1 γ,δ 1 2 u (γδ) 1 (w; γ; δ) 1/2, wobi ich dr rt Trm im Fall γ δ 0 (mod u) rgibt, dr zwit und dritt jwil dann ntthn, wnn gnau in dr bidn Variabln 15
dn Wrt 0 annimmt, und dr ltzt chliÿlich im gnrichn Fall auftritt, wnn wdr γ noch δ vrchwindt. Um di o nttandnn Summn nun auzuwrtn, btrachtn wir al Mutr twa di rt übr γ; mit drlbn Vorghnwi lan ich auch di andrn bidn bhandln. E gilt 1 γ u(w; γ) 1/2 γ 1 d w d w d 1/2 1 γ u d γ γ 1 d w d 1/2 1 d u d 1/2 log x d(w) log x w ɛ log x. 1 d Stzt man di Rultat in di Unglichung (17) in, o rgibt ich S J K 1 Q 2 w ɛ + { J K U + K + Q 2 U } w 1/2+ɛ (log x) 2. Dr Bitrag von S zu N(U) brchnt ich nun mittl Summation übr u. Zunächt gilt w ɛ u ɛ U 1+ɛ. U<u 2U U<u 2U Sodann zrfällt u indutig in u = wt, wobi jdr Primfaktor in t mindtn zwimal vorkommt. Di Anzahl olchr uadratvollr t z lät ich licht brchnn: It t uadratvoll, o lät ich chribn al t = a 2 b 3 mit (nicht notwndig tilrfrmdn) natürlichn Zahln a und b. Damit rhält man 1 = z z 1/2 b 3 a 2 b 3 z b z 1/3 und di Summ im ltztn Trm it O(1). Für un rgibt ich darau w 1/2+ɛ U<u 2U w 2U w 2U w 1/2+ɛ U 1/2 b z 1/3 b 3/2 U<wt 2U w 1/2+ɛ (U/w) 1/2 w 2U 1 w 1+ɛ U 1/2+ɛ. Ingamt litt dr zwit Trm in (9) untr Brückichtigung von (5) inn Bitrag von K 1 J Q 2 U 1+ɛ + J K U 3 2 +ɛ + KU 1 2 +ɛ + U 3 2 +ɛ Q 2 x 1+ɛ K 1 Q 2 + x 3 2 +ɛ J 2 K + x 1 2 +ɛ J 2 K + x 3 2 +ɛ J 3 2 Q 2. (18) 16
3.6 Abchlu d Bwi Jtzt könnn wir di Ergbni au (11) und (18) zuammnzutzn, um dann durch gignt Wahl dr noch unbtimmtn Paramtr y und Q chliÿlich di gucht Schrank an E (n)e (n + 1) C x n x zu ndn. Zunächt inmal tllt man ft, da N(U) ingamt durch K 1 Q 1 x 1+ɛ + x 1+ɛ K 1 Q 2 + x 3 2 +ɛ J 2 K + x 1 2 +ɛ J 2 K + x 3 2 +ɛ J 3 2 Q 2 x 3 2 +ɛ J 3 2 Q 2 + x 3 2 +ɛ J 2 K + x 1+ɛ K 1 Q 1 + x 1 2 +ɛ J 2 K bchränkt it. Durch Vrglich d rtn mit dm drittn Trm kommt man für Q auf di otimal Wahl Q = x 1 6 +ɛ J 2 K 1 3 + (log x) 2 ; wgn J x 1/ gnügt di dr Bdingung (8). Mit J K und JK y gilt nun witr N(U) x 3 2 +ɛ J 3 2 (log x) 2 + x 3 2 +ɛ J 2 K + x 7 6 +ɛ J 2 K 2( 1) 3 + x 1 2 +ɛ J 2 K x 3 2 +ɛ (JK) 3 4 + x 3 2 +ɛ J 2 K + x 7 6 +ɛ (JK) 7 4 12 x 3 2 +ɛ y 3 4 + x 3 2 +ɛ J 2 K + x 7 6 +ɛ y 7 4 12 ; hirau folgt wgn (4) und (7) für di gucht Schrank E (n)e (n + 1) C x n x y 1+ɛ + x 3 2 +ɛ y 3 4 + x 3 2 +ɛ J 2 K + x 7 6 +ɛ y 7 4 12. Mit y = x 14 7+8 ind dr rt und dr virt Trm in twa glich groÿ, damit it obigr Audruck x 14 7+8 +ɛ + x 3 2 +ɛ J 2 K. (19) Im rtn Trm it alo chon dr gucht Fhlr nttandn. Um nun dn Trm x 2 3 +ɛ J 2 K abzuchätzn, bnutzn wir noch in lmntar Hilfchrank für N: 17
Lmma 3. Für N = # {(j, k, u, v); J < j 2J, K < k 2K, j u ± 1 = k v x} gilt folgnd Abchätzung: N x(j K + (JK) 1 )(log x) 1. Proof. E gilt N = 1 K<k 2K u xj J<j 2J j u 1 (mod k ) Di Kongrunz j u 1 (mod k ) lät ich auwrtn, indm man dn Modul in in Primotnzn zrlgt und dann inn Satz übr Kongrunzn modulo Primzahlotnzn bnutzt. Di Löunganzahl modulo k rgibt ich dann al da Produkt dr Löunganzahln modulo dr inzlnn Primzahlotnzn. Si nun alo ξ in Löung von j u±1 0 (mod t 1 ) für in Primzahl und t 2. It dann d dj (j u ± 1) = ( ξ 1 u ) 0 (mod ), j=ξ o lät ich dr Löung ξ von j u ± 1 0 (mod t 1 ) bijktiv in Löung ξ von j u ± 1 0 (mod t ) zuordnn (ih Hardy/Wright [4], Satz 123). Di it abr dr Fall, dnn da ξ di Glichung j u ± 1 0 (mod ) löt, gilt u ξ (mod ). Wil nun nach Dnition kin dr P durch u (und damit durch ξ) odr durch tilbar it, rhält man ξ 1 u ξ 1 ξ ξ 1 0 (mod ). Di Äuivalnzn j u ± 1 0 (mod t ) und j u ± 1 0 (mod ) habn alo dilb Löunganzahl, di nach inm Satz von Lagrang nach obn durch dn Grad d Polynom bchränkt it. Damit bitzt di Kongrunz j u 1 (mod k ) höchtn ν(k) d (k) Löungn. Ingamt rhält man alo N ( d (k), JK ) K<k 2K u xj min xj (1 + JK ) K<k 2K d (k) x(j K + (JK) 1 )(log x) 1. 18
Da jtzt N owohl durch (19) al auch durch dn in Lmma 3 ggbnn Audruck bchränkt wird, gilt nun, nachzuwin, da all dort auftrtndn Trm in J und K durch dn chon gfundnn Trm x 14 7+8 +ɛ dominirt wrdn. Onichtlich it min(xkj, x 3 2 J 2 K ) (xkj ) λ (x 3 2 J 2 K ) 1 λ für jd λ [0, 1]. Wählt man nun λ =, o rgibt ich 2+3 = x 2+3 + 3 2(1 2+3)+ɛ (JK) 2+3 (1 2+3) x 2+3 + 3 2(1 2+3)+ɛ y 2+3 (1 2+3) x 2+3 + 3 2(1 2+3)+( 7+8)( 14 2+3 (1 2+3))+ɛ x 39+24 21 2 +38+16 +ɛ, wobi widr J K und JK y bnutzt wurdn. Wil nun für all natürlichn Zahln dr hir auftrtnd Exonnt < 14 it, folgt di 39+24 21 2 +38+16 7+8 Auag d Satz. Bmrkung. Schon di Hilfchrank in Lmma 3 räziirt dn Fhlrtrm in (1) von Carlitz [2]: Mit nur wnig mhr Müh ndt man (4) mit O(y log x) tatt y 1+ɛ im Fhlr. Wählt man nun J K und JK y im Lmma, o kommt man auf N xy 1 2 (log x) 1, worau mit dr Wahl y = x 2 +1 ) Satz 1 mit inm Fhlrtrm von O (x 2 +1 (log x) 3 folgt. Unr Vrbrung rührt in rtr Lini dahr, da wir in Lmma 2(ii) ggnübr dr trivialn Abchätzung in Gröÿnordnung 1/2 inarn konntn, wobi allrding ro Primtilr in Kontant h() dazukommt. Di rchnt ich in dn Faktor d h() (w)w 1/2 um, wa in dr Summation übr u ltztlich auf in Erarni von U 1/2 untr Vrlut inigr Logarithmuotnzn führt. Di jwilign Wahln von Q und y gbn dann di Vrbrung um O ( ) x 1 2 ggnübr dm altn Rultat. 19
Litratur [1] Brüdrn, J.: Einführung in di analytich Zahlnthori. Brlin, 1995. [2] Carlitz, L.: On a roblm in additiv arithmtic (II). Quart. J. Math. Oxford Sr. 3 (1932), S. 273-290. [3] Chalk, J.H.H., Smith, R.A.: On Bombiri' timat for xonntial um. Acta arithm. XVIII (1971), S. 191-212. [4] Hardy, G. H., Wright, E.M.: Einführung in di Zahlnthori. Münchn, 1958. [5] Hath-Brown, R.: Th Suar Siv and Concutiv Suar-Fr Numbr. Math. Ann. 266 (1984), S. 251-259. [6] Paalardi, F.: A urvy on k-frn. Procding of th Confrnc in Analytic Numbr Thory in Honor of Prof. Subbarao at I.M.Sc. Chnnai, Januar 2003. Im Intrnt untr: htt://www.mat.uniroma3.it/ur/aa/ar/allahabad2003.df