Heavisidefunktion σ (t), Diracimpuls δ (t),faltung Definition Heavisidefunktion, t > 0 σ ( t) = 0, t < 0 Anwendungen ) Rechteckimpuls, t < T r( t) = = σ ( t + T ) σ ( t T ) 0, t > T 2) Sprungfunktionen, T < t < 0 r( t) = 0, t > T = σ ( t + T ) 2σ ( t) + σ ( t T ), 0 < t < T 3) Schaltvorgänge g ( t) = f ( t) [ σ ( t t σ t < t ) ( t t2)], 0 f (t) wird damit zur Zeit t eingeschaltet und zur Zeit t 2 ausgeschaltet. 2
Diracimpuls d ε ( t) = [ σ ( t) σ ( t ε )] ist ein Impuls mit ε - der Zeitdauer t = ε - der Amplitude A =/ ε - der Intensität d ε ( t) dt = Übung: Skizze! Definition Diracimpuls (Einheitsimpuls) δ ( t ) = lim [ σ ( t) σ ( t ε 0ε ε )] 0, t 0 Es gilt δ ( t) =, δ ( t) dt =, t = 0 Darstellung: δ (t) t 2
Bemerkungen: - δ (t) ist praktisch z.b. ein Modell für einen von außen kommenden sehr kurzen Impuls der Dauer t = ε, der einen Schwingkreis mit einer sehr hohen Amplitude A =/ ε erregt, so daß eine gleichbleibende Energieübertragung (Intensität des Impulses) d ε ( t) dt = realisiert werden kann. - δ (t) ist physikalisch die Idealisierung eines schmalen Impulses der Intensität. - δ (t) ist mathematisch eine verallgemeinerte Funktion oder Distribution (Idee:Laurent Schwarz) Eigenschaften von δ (t) : ) δ ( t t0) ist der Diracimpuls an der Stelle t 0. 2) δ ( t) = δ ( t) 3) Die Ausblendeigenschaft der δ Distribution: Multipliziert man eine stetige Funktion f (t) mit einem Einheitsimpuls an der Stelle t 0, dann ist das Ergebnis ein Impuls mit der Intensität f t ): a) f t) δ ( t t ) = f ( t ) δ ( t ) ( 0 0 t0 3 ( 0
( δ 0 t0 b) f t) ( t t ) = f ( ) c) f ( t) δ ( t) = f (0) δ ( t) Übungen: ) e t cos 2t δ ( t π / 4) =? 2) ( t + ) e δ ( t 2) =? t Die verallgemeinerte Ableitung Approximation der Sprungfunktion σ (t): 0, t < 0 σ () t = lim sε(); t sε() t = t/ ε,0< t < ε ε 0, t > ε Approximation der verallgemeinerten Ableitung : σ () t = lim s () t = lim d () t = δ () t ε ε 0 ε 0 ε Somit gilt 4
σ () t = δ () t Übung: Skizze der Grenzwertübergänge Bemerkung: Es lässt sich nachweisen, dass σ (t) eine verallgemeinerte Stammfunktion von δ (t) ist, d.h. dass gilt: t δ ( τ) dτ = σ( t) Beispiel: Berechnen Sie die (verallgemeinerten) Ableitungen erster und zweiter Ordnung der Funktion ut (), t [ TT, ]: u(t) -T T t Lösung: Analytische Darstellung von ut (): 5
+ t/ T, T < t < 0 ut () = t/ T, 0 < t < T Die erste Ableitung: / T, T < t < 0 ut () = / T, 0 < t < T ut () = [ σ( t+ T) σ() t] + [ σ() t σ( t T) ] T T ut () = [ ( t T) 2 () t ( t T). ] T σ + σ + σ Die zweite verallgemeinerte Ableitung: ut () = [ ( t T) 2 () t ( t T). ] T δ + δ + δ Übung: Skizzen für die Ableitungen. 6
Die Faltung zweier Funktionen Definition Die Faltung von f () t und f 2 () t : 2 2 f () t f () t = f ( τ ) f ( t τ) dτ. Bemerkungen: f ( t τ ) = f ( ( τ t)) ) 2 2 Grafisch entsteht f 2 ( t τ ) somit aus f 2 ( τ ) durch Spiegelung an der τ = 0 Achse und Verschiebung um t in τ - Richtung. f () t f () t = f () t f () t 2) 2 2 Beispiel t 2 f () t = e σ(); t f () t = σ() t σ( t T), T > 0 7
2 2 2 f () t f () t = f () t f () t = f ( τ ) f ( t τ) dτ ( t τ ) = [ σ ( τ) σ( τ T)] e σ( t τ) dτ ) Für t < 0 ist die Faltung gleich Null. Begründung: der erste Faktor ist im Intervall (0, T ) verschieden von Null, der zweite im Intervall (, t). 2) Für 0 < t < T ist das Integrationsintervall (0, t ) und die Faltung e t. 3) Für t > T ist das Integrationsintervall (0, T ) t T und die Faltung e ( e ). Übung: Skizzen und Berechnungen für 2) und 3) 8
Spektraldichte und Fourierintegral Beispiel Periodischer Rechteckimpuls mit Periode T = 2T0, Kreisfrequenz ω0 = 2 π /T und Impulsdauer 2T :, 0 t < T f() t =, f( t+ T) = f() t 0, T< t < T0 ) Das komplexe Fourierspektrum von ist f() t : T T c0 =, ck = sin kπ T0 kπ T 0 Übung: Skizze des Rechteckimpulses und Berechnung des komplexen Fourierspektrums. 9
2) Das normierte Spektrum ck T ist: ( ω T ) 2π T sin sin 2 k ck T = k = T ω π ω ω mit k 0 0 k π T 0 kt = k ω. = k ω das Wenn wir jeder Frequenz k 0 entsprechende Element ck T des normierten Spektrums zuordnen, entsteht eine geometrische Darstellung des Spektrums in Form von Spektrallinien. Die Spektrallinien besitzen die Hüllkurve: c k ω sinu Hu ( ) = 2T u 3) Untersuchung des normierten Spektrums T für unterschiedliche Werte der Periode T bei fester Impulsdauer T i : n= T / T = T / T Es sei i 0 Aus ) folgt: 0 ( kπ n) sin / ck T = 2T kπ / n
3.) Skizze des normierten Spektrums für n = 2: u
3.) Skizze des normierten Spektrums für n = 4: u c T ist ein diskretes Das normierte Spektrum k Linienspektrum. Bei wachsendem n steigt die Anzahl der Spektrallinien zwischen den Nullstellen der Hüllkurve und somit rücken die Spektrallinien immer näher zusammen. 2
4) Der Grenzfall n = und somit ist f() t f t ist Für n T aperiodisch. Das normierte Spektrum von () kontinuierlich mit der Hüllkurve Die Funktion heißt Spektraldichte. sinu Hu ( ) = 2 T, u R u S( ω) = H( ω T ) Übung Skizzieren Sie das Signal () f t für n = 2, n = 4 und den Grenzfall n. Ordnen Sie den Signalen die Skizzen für das normierte Spektrum zu. 3
Die im Beispiel angeführten Überlegungen lassen sich auf allgemeine Funktionen übertragen: ) Ist f() t T -periodisch ist, gilt bekanntlich und j f() t = c e ω k k = T /2 c T = f() t e ω k k T /2 k j t t (siehe Kapitel komplexe Fourierreihen) 2) Ist f() t aperiodisch, gilt jωt f() t = S( ω) e dω 2 π mit jωt S( ω) = f( t) e dt (siehe Brücken zur Mathematik, Band 7, S. 28-29) 4
Definition Spektraldichte, Fourier Integral Das Integral jωt f() t = S( ω) e dω 2 π wird Fourier Integral genannt, S( ω ) ist die Spektraldichte von f() t. Das Korrespondenzsymbol f() t Funktion im Zeitbereich S( ω ) Funktion im Frequenzbereich Bemerkungen )Diese Zuordnung wird Funktionaltransformation genannt. 2) In der Systemtheorie und Nachrichtentechnik wird anstatt der Kreisfrequenz ω die Frequenz f verwendet. Es gilt ω = 2π f. 5
DIE FOURIER-TRANSFORMATION Definition Die Zeitfunktion s() t und und die Frequenzfunktion S( f ) bilden ein Fourier Transformationspaar, wenn gilt: F{()} s t = S( f) = s() t e dt j2π f t j2π f t F { S( f)} = f( t) = S( f) e df S( f ) ist die Fourier-Transformierte von s() t, und s() t ist die inverse Fourier-Transformierte von S( f ). Dieser Zusammenhang wird durch das Korrespondenzsymbol dargestellt: s() t S( f ) 6
Darstellung der Spektraldichte ) Real- und Imaginärteil: j2π f t S( f) = s() t e dt = s() t cos2π ftdt j s() t sin2π ftdt = R( f) + j I( f)... R( f ) ist gerade, I( f ) ist ungerade..2. Ist s() t gerade, gilt S( f) = R( f)..3. Ist s() t ungerade, gilt S( f) = j I( f). 2) Betrag und Argument ( f ) j S( f) = S( f) e ϕ, mit 2 2 S( f) = R ( f) + I ( f) (gerade Funktion) I( f ) ϕ ( f ) = arctan, (ungerade Funktion) R ( f ) 7
Beispiel at ) st () = e σ (), t a> 0. S( f ) =? Lösung: j2π ft at σ j2π ft S( f) = s() t e dt = e () t e dt ( a+ j2 π f ) t ( a j2 π f ) t e e + = dt = = 0 a+ j2π f a 2π f = = j a+ j2π f a + 4π f a + 4π f = R( f) + j I( f). 2 2 2 2 2 2 0 Somit gilt: e at σ () t a+ j2π f Übung: Skizzen von R( f ), I( f ), S( f ) und ϕ ( f ) 8
Eigenschaften der Fourier-Transformation () Linearität: a s () t + a s () t a S ( f) + a S ( f) 2 2 2 2 (2) Zeitverschiebung: s() t S( f) (3) Symmetrie: s t t e S f ( ) 0 ( ) 0 j2 π ft s() t S( f) S() t s( f) (4) Substitution: s() t S( f) s( t) S( f) (5) Frequenzverschiebung: s() t S( f) j2π f t s t e S f f () 0 ( ) 9 0
(6) Zeitdehnung: s() t S( f) f s( a t) S a a, a R (7) Ableitung im Zeitbereich: s() t S( f) n d s() t dt n n ( j2 π f) S( f) (8) Ableitung im Frequenzbereich: S( f) s( t) n d S( f) df n ( j2 πt) s( t) n t n j s() t n (2 π ) n 20 n d S( f) df n
(9) Faltung im Zeitbereich: s () t S ( f), s () t S ( f) 2 2 s ()* t s () t S ( f) S ( f) 2 2 (0) Faltung im Frequenzbereich: s () t S ( f), s () t S ( f) 2 2 s () t s () t S ( f)* S ( f) 2 2 () Integrationssatz: s() t S( f) t s( τ) dτ S( f) + S(0) δ( f) j2π f 2 (2) Parsevalsche Gleichung s() t S( f) 2 2 s () t dt = S( f) df 2
Beispiele ) Es gilt: s() t = σ ( t+ T) σ ( t T) sin(2 π ft) S( f) = 2T 2π ft (siehe Beispiel von Seite 3) Aus dem Symmetriesatz und weil r gerade ist, folgt: sin(2 π tt ) St () = 2 T r( f) = r( f) 2π tt at 22 at 2) e, a > 0; F( e ) =? at st () = e σ () t S( f) = a+ j2π f at s( t) = e σ ( t) S( f) = a j2π f at at at e = e σ() t + e σ( t) 2a + = a+ j2π f a j2π f 2 2 2 a + 4π f Übung Skizzen der Korrespondenzen
3) Amplitudenmodulierte Signale s() t S( f) s()cos2 t π f0t [ S( f f0) + S( f + f0)] 2 Beweis: Frequenzverschiebung Beispiel: amplitudenmoduliertes Dreiecksignal 4) Zeitgedehnte Signale Es gilt: s() t = σ ( t+ T) σ ( t T) sin(2 π ft) S( f) = 2T 2π ft Aus der Eigenschaft (6) folgt: st (/2) 2 S(2 f) = 4T sin(4 π ft) 4π ft Übung: Skizze 23
Aufgabe Prüfung WS2004/2005 (25 min.) Das Rechtecksignal für t rt () = 0 sonst besitzt die Fourier-Transformierte R( f) sin(2 π f ) π f =. (*) a) Bestimmen Sie mit Hilfe von (*) die Fourier- Transfomierte von () r t : r ( ) t 2 t 24
b) Bestimmen Sie mit Hilfe von (*) die Fourier- Transformierte von 2 () r t. 2 r ( t 2 ) - ½ ½ 2 c) Bestimmen Sie mit Hilfe von (*) die Fourier- Transformierte von r () t 3 2t für t =. 0 sonst 25
Lösung a) r () t = r( t ) (Zeitverschiebung) e 2π sin(2 π ) π f j f f f sin(2 π ) b) r 2 () t = 2 r(2) t 2 2 2 f π 2sin( π f ) 2 π f = (Zeitdehnung) c) Ableiten im Frequenzbereich r 3 () t = 2 t r () t j d sin(2 π f) 2 2 π df π f j 2πcos(2 π f) π f πsin(2 π f) = π 2 2 π f sin(2 π f) 2cos(2 π f) = j 2 2 π f π f 26
Übung Gegeben sind 2 3t s () t = s () t = e σ () t. S ( f), S ( f ). a) Bestimmen Sie 2 b) Berechnen Sie s() t = s()* t s2() t. c) Berechnen Sie S( f) s( t). Ergebnisse : S ( f) = S ( f) = 3 + j2π f a) 2 b) c) 3t s() t = te σ () t S( f) = ( 3 + j2 π f) 2 Hausaufgabe Übungsblatt ) im www: http://www.fht-esslingen.de/~ulmet Mathematik, Übungen, * Fourier Transformation 27
Weitere Korrespondenzen () δ () t (2) δ( f ) j2π f (3) 0t e δ ( f f ) 0 (4) sgn( t) jπ f (5) σ () t + δ ( f) j2π f 2 Die Fourier-Transformierte periodischer Signale a) Für ein periodisches s() t Signal gilt: = 0 28 j2 st () c e π k = k kf t S( f) = c δ ( f kf ) k = k 0
b) Für einen Einzelimpuls s 0 () t definiert in T T, 2 2 gilt : T /2 0 0 T /2 0 j2π ft s () t S ( f) = s () t e dt c) Für die periodische Fortsetzung () gilt: T /2 T /2 s t von s 0 () t, j2π kf () 0t ck = s t e, f0 = / T T Ein Vergleich der letzten Gleichungen zeigt, dass: ck = S0( k f0) T das heißt, dass die Fourierkoeffizienten c k des periodischen Impulses () f gleich sind mit den Funktionswerten der Spektralfunktion des Einzelimpulses (Prototyps) k f. s 0 () t an den Stellen 0 s t mit der Frequenz 0 29
d) Die Darstellung der Spektralfunktion von s() t ist somit: S( f) = S0( kf0) δ ( f kf0) T k = Anwendungen in der Theorie linearer Systeme s () t Lineares System s 2 () t s () t S ( f) Eingangssignal: s () t S ( f) Ausgangssignal: 2 2 Übertragungsfunktion H( f ) des Systems: S ( f) = H( f) S ( f) H( f) = 2 s () t = h()* t s () t 2 S S 2 ( f) ( f) 30
Beispiel: Übertragungsfunktion eines RC Gliedes R u () t C u 2 () t Eingangssignal: jωt u() t = U e U( f) = U Ausgangssignal: jωt u2() t = U2 e U2( f) = U2 Herleitung der Übertragungsfunktion H( f ): U U2 R, I = + jωc I = jωc U2 / j C U = ω R+ / jωc = + jωrc 3
U2 = = U + j2π RCf H( f) Die Impulsantwort : Für u () t = δ () t gilt U ( f ) = U ( f) = H( f) u ( t) = h( t) 2 2 Das Signal ht () H( f), das bei einer Erregung mit einem Dirac Stoß entsteht, heißt Impulsantwort des Systems. Für das RC Glied gilt für T = RC: H( f) = h( t) = e T σ ( t) + 2π ft T Übung Bestimmen Sie die Antwort des RC Gliedes bei Erregung durch den Rechteckimpuls u () t = σ () t σ ( t a ) und für T = RC =. (Hinweis: u2 = h* u). Tabelle wichtiger Korrespondenzen z.b. in Brücken zur Mathematik Band 7, Seiten 56-57 t 32