Signale und Systeme. Henrik Schulze Fachhochschule Südwestfalen Standort Meschede. 26. Juni 2014

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1 Signale und Systeme Henrik Schulze Fachhochschule Südwestfalen Standort Meschede 26. Juni 2014

2 Einleitung Zur Übertragung von Information werden (digitale oder analoge) Signale benötigt. Wenn Signale dabei durch irgendwelche Funktionsblöcke verändert werden, so spricht man von Systemen. Typische Beispiele für Systeme sind (digitale oder analoge) Filter. Diese Vorlesung behandelt die mathematische Beschreibung und die Anwendung von Signalen und Systemen. Sie spielt insofern eine zentrale Rolle, als sie die Grundlagen für mehrere Kernfächer der Kommunikationstechnik vermittelt, u.a. für die Digitale Signalverarbeitung, die Digitale Kommunikationstechnik und zum Teil auch für die Hochfrequenztechnik. Sie baut wesentlich auf den Mathematik-Vorlesungen auf und führt die Angewandte Mathematik hin zu ihren Anwendungen in der Kommunikationstechnik. Benötigt werden besonders die Fourierreihe und die Fouriertransformation sowie die Faltung. Sicherheit im Umgang mit komplexen Zahlen, Folgen und Reihen, Grenzwerten, der Differential- und Integralrechnung usw. werden vorausgesetzt. Signale und Systeme gibt es in analoger und in digitaler Version. Beide spielt in der Praxis eine wichtige Rolle, und man kann die selben Funktionsblöcke oft wahlweise digital oder analog implementieren. Deshalb halten wir es für sinnvoll, beides in der Vorlesung parallel zu behandeln. Der Formalismus ist oft sehr ähnlich. In Kapitel 1 werden die wichtigsten Grundbegriffe für Signale und Systeme definiert. In Kapitel 2 geht es um die verschiedenen (kontinuierlichen und diskreten) Versionen der Fouriertransformation und um die Beschreibung von Signalen und Systemen im Frequenzbereich.Die Grundlagen für die (linear-zeitinvariante) Systemtheorie folgt in Kapitel 3. Sie stellt die Grundlage für die Beschreibung digitaler und analoger Filter dar. In Kapitel 4 geht es um Modulation. Hier werden unter anderem die signaltheoretischen Grundlagen für die Digitale Kommunikationstechnik gelegt. In Kapitel 5 schließlich wird das Abtasttheorem ausführlich behandelt und auch bewiesen. Auch wenn es aus systematischen Gründen vielleicht eher an den Anfang der Vorlesung gehört, wird es zunächst als Tatsache vorausgesetzt und erst dann bewiesen, wenn der Umgang mit den mathematischen Werkzeugen etwas vertrauter geworden ist. Literatur: [1, 2] [3, 4] [5] 2

3 Inhaltsverzeichnis 1. Grundbegriffe Was sind Signale? Spezielle Signale und elementare Operationen Leistung und Energie Elementare Operationen mit Signalen Was sind Systeme? Signale und Systeme: Beschreibung im Frequenzbereich Fourierreihe DFT (Diskrete Fouriertransformation) Fouriertransformation ZFT (Zeitdiskrete Fouriertransformation) Die Z-Transformation (*) LTI-Systemtheorie Charakterisierung zeitdiskreter LTI-Systeme Grundlagen digitaler Filter Charakterisierung kontinuierlicher LTI-Systeme Modulierte Signale und komplexes Basisband Modulation einer Trägerschwingung Kartesische Darstellung: Quadraturkomponenten Basisband-Darstellung von Bandpasssignalen Frequenzumsetzung Das Abtasttheorem Die Aussage des Abtasttheorems Abtastung im Frequenzbereich Abtastung im Zeitbereich Einige Folgerungen des Abtasttheorems A. Der δ Impuls und verallgemeinerte Funktionen 114 A.1. Konstruktion des δ-impulses A.2. Die Ableitung der Sprungfunktion A.3. Die Fouriertransformation der δ-funktion A.4. Spektrallinien

4 1. Grundbegriffe 1.1. Was sind Signale? Wenn Informationen übertragen oder Messdaten erfasst werden, so benötigt man Signale. Mit Signalen werden Daten zum Handy oder Computer übertragen, der Experimentator betrachtet Signale am Oszilloskop oder einem anderen Messgerät. Solche Signale sind in der Regel physikalische Größen wie z.b. Strom, Spannung, elektrische oder magnetische Feldstärke, Schalldruck usw. und als solche dimensionsbehaftet. Diese physikalischen Größen sind Funktionen der Zeit. Uns interessiert der Verlauf und damit der Informationsgehalt der Signale mehr als ihre physikalische Natur, und wir werden deshalb oft mit dimensionslosen Signalen arbeiten. Es ist aber sinnvoll, der Variablen Zeit ihre Dimension zu lassen. Schließlich interessiert es uns, ob wir ein Bit in einer Millisekunde oder in einer Sekunde übertragen können. Physikalische Größen sind immer reell. Wir auch schon in der Elektrotechnik werden wir aber auch mit komplexen Signalen arbeiten, weil man mit denen einfacher rechen kann. Man muss sich dann natürlich immer darüber im klaren sein, was die komplexen Signal mit den physikalischen Messgrößen zu tun haben. Wir fassen zusammen: Unter einem Signal s(t) verstehen wir eine (reell- oder komplexwertige) Funktion der (reellen) Zeitvariablen t. Zeitdiskrete Signale In der modernen technischen Realisierungen liegen Signale häufig in digitaler Form vor. Zum Beispiel wird ein ursprünglich analoges Audiosignal abgetastet und dann die Abtastwerte gespeichert (z.b. in Form einer WAV-Datei). Die Abtastwerte bilden dann ein zeitdiskretes Signal. Den oben erläuterten klassischen Begriff eines kontinuierlichen Signals erweitern wir deshalb entsprechend: Unter einem zeitdiskreten Signal s[n] verstehen wir eine (reell- oder komplexwertige) Funktion der diskreten Zeitvariablen n, wobei n alle ganzzahligen Werte oder auch nur eine Teilmenge davon durchlaufen kann. Mathematisch sind zeitdiskrete Signale zunächst einmal nichts anderes als Zahlenfolgen mit Index n, und statt der Ingenieurschreibweise s[n] könnte man z.b. auch die Mathematiker-Schreibweise {s n } n= verwenden. Im üblichen technischen Sprachgebrauch werden die Werte s[n] auch oft (englisch) als Samples bezeichnet. Die deutsche Bezeichnung Abtastwerte ist etwas aus der Mode gekommen. 4

5 1. Grundbegriffe Bei einer Zahlenfolge, wie wir sie aus der Mathematik kennen, läuft der Index n meist von 0 (oder 1) bis. Für manche Signale ist es auch sinnvoll, den Index von bis + laufen zu lassen, wie man es ja bei kontinuierlichen Signalen s(t) für die Zeitvariable t auch meist tut. Bei einer realen Datei ist die Menge der Daten natürlich endlich, sodass man z.b. nur eine endlich Indexmenge hat, z.b.n = 0,1,2,...,N 1 odern = 1,2,3,...,N. Wir wollen uns hier nicht festlegen. Bei einer endlichen Indexmenge mit N Werten kann man das Signal s[n] als einen Vektor s = s[1] s[2] s[3]. s[n] (1.1) im N-dimensionalen Raum auffassen. Man muss sich jetzt nicht N räumliche Dimensionen vorstellen, aber sollte sich daran erinnern, dass dies sehr gut zu der Bezeichnungsweise Vektor für ein Feld in der Datenverarbeitung passt. Die übliche Darstellung zeitdiskreter Signale ist in Abbildung 1.1 gezeigt. s[n] s[0] s[1] s[2] n Abbildung 1.1.: Darstellung eines zeitdiskreten Signals. Bei digitalen Signalen können die Werte s[n] nicht mehr alle reellen (bzw. komplexen) Werte annehmen, sondern sie sind quantisiert. Bei der Audio- CD werden zum Beispiel die Samples jedes Stereo-Kanals als 16-Bit-Worte gespeichert. Es gibt also 2 16 = mögliche Werte. Das ist eine sehr gute Auflösung, aber eben kein kontinuierlicher Wertebereich. Oft kann man die Quantisierungs-Effekte ignorieren, so dass die Begriffe digital und zeitdiskret nicht unterschieden werden müssen. In dieser Vorlesung wird nicht tiefer auf diese Dinge eingegangen. Wir verweisen hierzu auf die Vorlesung zur Digitalen Signalverarbeitung. ADC und DAC Die Werte s[n] sind dimensionslos, der Index n ebenfalls. Die Beziehung zu physikalischen Größe wie etwa der Zeit muss gesondert hergestellt werden. Z.B. muss zum Abspielen ei- 5

6 1. Grundbegriffe ner WAV-Datei den zeitlichen Abstand t A zweier Samples s[n] und s[n+1] wissen. Dazu wird die Abtastfrequenz f A = t 1 A im Header der Datei gespeichert. Eine gebräuchliche Zahl für Audio ist f A = 44.1kHz, für Telefonqualität reicht f A = 8 khz. Wenn unser zeitdiskretes Signal s[n] durch Abtastung aus einem kontinuierlichen Signal s(t) entstanden ist, gilt s[n] = s(nt A ). (1.2) Dies muss aber keineswegs immer der Fall sein. Wir können mit beliebigen zeitdiskreten Signalen arbeiten, ohne dabei einen direkten Bezug zu kontinuierlichen Signalen zu haben. Die Umwandlung von einem analogen Signal in ein digitales erfolgt durch einen Analog- Digital-Wandler ADC (analogue-digital converter), die Umwandlung eines digitalen Signals in ein analoges durch einen Digital-Analog-Wandler DAC (digital-analogue converter). Zweidimensionale Signale In diesem Vorlesungsskript beschränken wir uns auf eindimensionale Signale mit einer Zeitvariablen. In der Bildverarbeitung arbeitet man mit zweidimensionalen Signalen mit zwei Ortsvariablen. Dies ist Gegenstand einer anderen Vorlesung Spezielle Signale und elementare Operationen Einheitsimpuls und Sprungfunktion In der Vorlesung zur Angewandten Mathematik [6] sind Sie schon dem Einheitsimpuls (oder Dirac-Impuls 1 oder δ Impuls) begegnet. Häufig definiert man ihn durch die Eigenschaften { : t = 0 δ(t) = (1.3) 0 : t 0 und ˆ δ(t) dt = 1. (1.4) Wir wollen nicht verschweigen, dass es eine derartige Funktion (in dem Sinne, wie Sie Funktionen kennen gelernt haben) eigentlich gar nicht geben kann. Trotzdem ist dieses scheinbar kranke Signal sehr wichtig für die Anwendung. Im Sinne verallgemeinerter Funktionen kann man alles sauber definieren. Uns geht es mehr um die Anwendung und eine geeignete intuitive Vorstellung davon. In Anhang D wird hierzu etwas mehr erklärt. Aber erst einmal rechnen wir einfach damit. 1 Benannt nach dem Physik-Nobelpreisträger P.A.M. Dirac ( ), einem der Pioniere der Quantentheorie. Studiert hat er aber nicht Physik, sondern erst Elektrotechnik und dann Mathematik. 6

7 1. Grundbegriffe Wichtig ist die Ausblend-Eigenschaft (auch: Sieb-Eigenschaft) des Dirac-Impulses. Für ein beliebiges Signal s(t) gilt Das Signal ˆ ǫ(t) = δ(t)s(t) dt = s(0). (1.5) { 1 : t 0 0 : t < 0 nennt man den (kontinuierlichen) Einheitssprung oder auch die Heavisidesche Sprungfunktion. Man braucht diese Sprungfunktion z.b. um Einschaltvorgänge folgender Art zu beschreiben: Die angelegte Spannung ist null für negative Zeiten und nimmt dann einen konstanten Wert an. Mathematisch ist die Sprungfunktion bei t = 0 nicht differenzierbar (die Steigung ist unendlich!). Im Sinne von verallgemeinerten Funktionen existiert die Ableitung jedoch (siehe Anhang D), und es gilt d ǫ(t) = δ(t) (1.6) dt Abbildung 1.2 zeigt den Einheitssprung und die symbolische Darstellung des Einheitspulses. Der Einheitspuls wird symbolisiert durch einen Pfeil mit ausgefüllter Spitze. Die Höhe des Pfeils stellt den Vorfaktor vor dem Puls dar. 1 ǫ(t) 0 t 1 δ(t) 0 t Abbildung 1.2.: Kontinuierlicher Einheitssprung ǫ(t) und Einheitspuls δ(t). 7

8 1. Grundbegriffe Diskreter Einheitssprung und Einheitspuls Von beiden Signalen gibt es auch zeitdiskrete Versionen. Im Unterschied zu den kontinuierlichen gibt es hier bei der Definition des δ-pulses keine mathematischen Subtilitäten. Das Signal δ[n] = { 1 : n = 0 0 : n 0 bezeichnet man als diskreten δ- Impuls oder auch als Einheitsimpuls. Das Symbol δ nm = δ[n m] = nennt man Kronecker-δ oder Kronecker-Symbol. Das Signal ǫ[n] = { 1 : m = n 0 : m n { 1 : n 0 0 : n < 0 (1.7) (1.8) (1.9) nennt man den (diskreten) Einheitssprung. Abbildung 1.3 zeigt den diskreten Einheits- δ[n] n ǫ[n] n Abbildung 1.3.: Diskreter Einheitssprung ǫ[n] und Einheitspuls δ[n]. puls und den diskreten Einheitssprung. 8

9 1. Grundbegriffe Zwischen Einheitssprung und Einheitsimpuls gilt der folgenden Zusammenhang: ǫ[n] ǫ[n 1] = δ[n] (1.10) Man kann dies in Analogie zu Gleichung (1.6) als diskrete Ableitung des Einheitssprungs interpretieren. Rechteck und si-funktion Wir schreiben rect(x) = { 1 : x < 1/2 0 : x 1/2 (1.11) für die Rechteckfunktion der Breite Eins. Wenn wir es mit einem rechteckigen Zeitsignal der Breite T zu tun haben, schreiben wir ( ) { t 1 : t < T/2 rect = T 0 : t T/2. (1.12) Wir definieren die si-funktion als 2 { 1 : x = 0 si(x) = sin(x) x : x 0 (1.13) Der Verlauf ist in Abbildung 1.4 gezeigt. Der Abstand zwischen zwei positiven Nullstellen ist gerade π. Das entsprechende Zeitsignal mit den Abstand T zwischen den Nullstellen lautet ( si π t ) { 1 : t = 0 = sin(πt/t) (1.14) T πt/t : t 0 Die si-funktion wird in der Physik auch als Spaltfunktion bezeichnet, weil sie bei der Beugung am Spalt auftritt: Die Helligkeitsverteilung auf dem Schirm wird durch die Funktion si 2 (πx/ x) beschrieben, wobei x der Abstand der Streifen auf dem Schirm ist Leistung und Energie Kontinuierliche Signale Bekanntlich ist die elektrische Augenblicksleistung gegeben als p(t) = u(t)i(t), 2 Wir erinnern an die stetige Ergänzung von Definitionslücken, die wir aus der Mathematik kennen. 9

10 1. Grundbegriffe 1 y=sin(x)/x y x/π Abbildung 1.4.: Die Funktion y = si(x) wobei u(t) die Spannung ist und i(t) der Strom. An einem Ohmschen Widerstand R beträgt die Augenblicksleistung p(t) = u2 (t) R = i2 (t) R. Fassen man u(t) oder i(t) als Signal auf, so stellen wir fest, dass die Leistung proportional zu dem Quadrat des Signals ist. Dies ist auch bei anderen physikalischen Größen so: Zum Beispiel ist die Leistung beim Schall proportional dem Quadrat des Schalldrucks. Da wir hier dimensionslose Signale betrachten, definieren wir: Die Augenblicksleistung eines Signals s(t) ist gegeben durch s 2 (t). Um von dieser signaltheoretischen Leistung zur physikalischen Leistung zu gelangen, muss also mit einer dimensionsbehafteten Konstanten multipliziert werden. Wichtig ist die mittlere Leistung: Die Mittlere Leistung P s eines reellen bzw. komplexen Signals s(t) ist gegeben durch den zeitlichen Mittelwert von s 2 (t) bzw. s(t) 2. Wir schreiben dafür P s = s(t) 2 (1.15) 10

11 1. Grundbegriffe Für periodische Signale mit Periode T gilt P s = 1 T ˆ T 0 s(t) 2 dt. (1.16) Für nicht-periodische Signale müssen wir das Zeitmittel als einen Grenzwert schreiben: ˆ 1 T/2 P s = lim s(t) 2 dt. (1.17) T T T/2 Natürlich gibt es eine Reihe von Signalen, für dieser Grenzwert Null ist (z.b. für alle Signale endlicher Dauer). Signale mit 0 < P s <, für die der mittlere Leistung eine brauchbare Größe ist, nennt man Leistungssignale. Für solche existiert der Grenzwert und ist größer als Null. Wir werden später oft mit komplexen Signalen arbeiten. Natürlich müssen wir an passender Stelle begründen, was das mit der der physikalischen Leistung zu tun hat. Eine harmonische Schwingung der Gestalt besitzt die Leistung s(t) = ŝ cos(2πf 0 t+ϕ) P s = 1 T ˆ T 0 ŝ 2 cos 2 (2πft+ϕ) dt = 1 2ŝ2. (1.18) Merke: Der Faktor 1/2 ist wichtig! Wir erinnern an Abbildung 1.5, die in der Vorlesung cos 2 (ω t) t/t Abbildung 1.5.: Veranschaulichung des Effektivwerts. Die schwarze Kurve zeigt cos 2 (ωt). Die rote Fläche über der Kurve ist gleich der blauen Fläche unter der Kurve. Deshalb gilt für den zeitlichen Mittelwert: cos 2 (ωt) = 1 2 Grundlagen der Elektrotechnik 2 [7] ausführlich erklärt wurde. 11

12 1. Grundbegriffe Effektivwert Weil der Faktor 1/2 immer wieder auftaucht, hat man in der Elektrotechnik den Effektivwert eingeführt. Eine Spannung u(t) = û cos(2πf 0 t+ϕ) führt am Ohmschen Widerstand R zu der mittleren Leistung Damit man den Faktor 1/2 nicht vergisst und einfach schreiben kann, hat man den Effektivwert eingeführt. P = 1 û 2 2 R. (1.19) P u = U2 R U = 1 2 û (1.20) Für Signale, die zeitlich konzentriert sind, ist die mittlere Leistung nicht sinnvoll erklärt. Ein Impuls endlicher Dauer überträgt während dieser Dauer Energie, aber wenn man diese endliche Energie über einen unendlichen Zeitraum mittelt, kommt Null heraus. Wenn Sie mit Ihrem Handy eine SMS verschicken, so dauert es eine endliche Zeit in der Größenordnung von meist nur Bruchteilen einer Sekunde, in der das Signal aktiv ist. Eine SMS besteht z.b. aus 160 Bytes bzw Bits, und es ist sicher vernünftig, danach zu fragen, wie viel Energie zum Verschicken dieser Datenmenge benötigt wird. Leistung ist Arbeit (d.h. Energieverbrauch) pro Zeit, und die Energie ist das Integral über die Leistung. Wir definieren daher: Die Energie E s eines reellen bzw. komplexen Signals s(t) ist gegeben durch das Integral über s 2 (t) bzw. s(t) 2. Als Formel: E s = ˆ s 2 (t) dt. (1.21) bzw. E s = ˆ s(t) 2 dt. (1.22) Natürlich müssen wir an passender Stelle begründen, was diese Größe mit der physikalischen Energie zu tun hat. 12

13 1. Grundbegriffe Energie und Leistung diskrete Signale Wir definieren die Energie eines komplexen zeitdiskreten Signales s[n] als E s = n= s[n] 2. (1.23) Diese Größe ist dimensionslos. Wenn man den Zusammenhang mit der physikalischen Energie herstellen will, die über ein Integral über eine Zeitfunktion gegeben ist, muss man mit einer Konstanten der Dimension Zeit multiplizieren. Die mittlere Leistung eines zeitdiskreten Signals s[n] ist definiert als P s = s[n] 2 1 = lim N 2N +1 N n= N s[n] 2. (1.24) Ein zeitdiskretes Signal s[n] heißt periodisch, wenn es eine natürliche Zahl N gibt, für die s[n] = s[n+n] gilt. Die Zahl N nennt man Periode. Die kleinste mögliche Periode heißt Grundperiode. Für periodische Signal der Periode N gilt: P s = 1 N N 1 n=0 s[n] 2. Wir unterscheiden auch bei diskreten Signalen zwischen Energiesignalen und Leistungssignalen Elementare Operationen mit Signalen Verzögerungen und Spiegelungen Wenn s(t) ein Signal ist, so ist s T (t) = s(t T) das um die Zeitdauer T verzögerte (d.h. zeitlich verschobene) Signal. Wenn man es zeichnet, so ist es um T nach rechts verschoben. Z.B. lautet der Rechteckpuls zwischen 0 und T ( t rect T 1 ) { 1 : 0 < t < T =. 2 0 : sonst Wenn s(t) ein Signal ist, so ist s(t) = s( t) 13

14 1. Grundbegriffe das zeitlich gespiegelte Signal. Wenn man ein Signal spiegelt und verzögert, so kommt es auf die Reihenfolge an. Wenn zuerst gespiegelt und dann verzögert wird, ergibt sich ( s) T (t) = s(t T) = s( (t T)) = s(t t). (1.25) Wenn dagegen zuerst verzögert und dann gespiegelt wird, ergibt sich s T (t) = s T ( t) = s( t T). (1.26) Abbildung 1.6 zeigt die verschiedenen Signale. (a) s( t) s(t) 0 t (b) s(t t) s(t T) 0 T t (c) s( t T) s(t T) T 0 T t Abbildung 1.6.: Verschiebungen und Spiegelungen. Diskrete Verzögerungen und Spiegelungen Diese Operationen sind genauso definiert wie bei kontinuierlichen Signalen. Vieles wird sogar einfacher. Man muss nur manchmal aufpassen, welcher Buchstabe als Laufindex zu verstehen ist. 14

15 1. Grundbegriffe (a) s[n] D s[n 1] (b) s[n] s[n 1] s[n 2] D D D s[n 3] Abbildung 1.7.: Verzögerung eines zeitdiskreten Signals durch ein Schieberegisterelement. Wenn s[n] ein zeitdiskretes Signal ist, so ist s 1 [n] = s[n 1] (1.27) das um einen Takt verzögerte (d.h. zeitlich verschobene) Signal. Wenn man es zeichnet, so ist es um einen Takt nach rechts verschoben. Wir skizzieren eine Verzögerung um einen Takt mit dem Blockschaltbild (a) in Abbildung 1.7. Die Verzögerung um einen Takt entspricht einem Schieberegisterelement. Beliebige Verzögerungen lassen sich durch wiederholte Anwendung solcher Verzögerungen um einen Takt erreichen: s m [n] = s[n m] (1.28) ist das um m Takte verzögerte Signal, siehe Teil (b) von Abbildung 1.7. Man muss bei dem Ausdruck auf der rechten Seite etwas aufpassen: m ist eine feste Zahl (z.b. m = 7), und n ist die Variable, also der Zeitindex. Man könnte das auch durch die Schreibweise s m [ ] = s[ m] (1.29) deutlich machen, wobei für die Dummy-Variable Laufzeitindex steht und m eine Konstante ist. Wenn s[n] ein Signal ist, so ist das zeitlich gespiegelte Signal. s[n] = s[ n] (1.30) Wenn man ein Signal spiegelt und verzögert, so kommt es auch hier auf die Reihenfolge an. Wenn zuerst gespiegelt und dann verzögert wird, ergibt sich ( s) 1 [n] = s[n 1] = s[ (n 1)] = s[1 n]. (1.31) Wenn dagegen das verzögerte Signal gespiegelt wird, ergibt sich s 1 [n] = s 1 [ n] = s[ n 1]. (1.32) 15

16 1. Grundbegriffe Die Faltung Verzögerungen und Spiegelungen sind wichtig zum Verständnis der Faltungsoperation r(t) = ˆ h(τ)s(t τ)dτ. Hier wird aus zwei Signalen s( ) und h( ) ein neues Signal r( ) auf folgende Weise erzeugt: Das Signal s( ) wird gespiegelt und dann um eine feste Zeit t verschoben. Dieses gespiegelte und verschobene Signal ( s) t ( ) = s( ( t)) = s(t ) bzw. ( s) t (τ) = s( (τ t)) = s(t τ) wird dann mit dem Signal h(τ) multipliziert (gewichtet) und über die Variable τ integriert. Das Ergebnis ist die Faltung an der Stelle (dem Zeitpunkt) t. Beachten Sie, dass man unterschiedliche Buchstaben als Variablen nehmen darf. Man muss nur aufpassen, dass man den Überblick behält! Das Operation der Faltung ist eine Verknüpfung zweier Signale. Als Verknüpfungsoperator schreibt man einen, d.h. man schreibt die Faltung als h(t) s(t) = ˆ h(τ)s(t τ)dτ. (1.33) Bemerkung zu Schreibweise: Weil es sich um eine Verknüpfung zwischen zwei Funktionen h und s handelt und nicht zwischen zwei Funktionswerten h(t) und s(t), ist die Schreibweise h(t) s(t) eigentlich irreführend. Wenn man sich dabei t als Dummy- Variable denkt, mag das gerade noch angehen. Korrekterweise muss man h s(t) oder noch besser (h s)(t) schreiben, wie man es in der Mathematik auch wirklich tut. Mit einer einfachen Substitution kann man Gleichung (1.33) umformen in h(t) s(t) = ˆ Damit ist die Faltung kommutativ, d.h. es gilt h(t τ)s(τ)dτ. (1.34) h(t) s(t) = s(t) h(t). (1.35) Die Faltung ist auch assoziativ, d.h. man darf Klammern weglassen und es gilt g(t) (h(t) s(t)) = (g(t) h(t)) s(t) = g(t) h(t) s(t). (1.36) Außerdem ist die Faltung distributiv, d.h. man darf ausklammern: g(t) (h(t)+s(t)) = g(t) h(t)+g(t) s(t). (1.37) 16

17 1. Grundbegriffe Die Faltung verhält sich also wie eine Multiplikation. Man spricht daher auch vom Faltungsprodukt. Die Gleichung (1.33) erlaubt folgende Interpretation: Das Signal r(t) = h(t) s(t) ist eine Überlagerung von verzögerten Versionen des Signals s(t) um Verzögerungszeiten τ, jeweils gewichtet mit einem Vorfaktor h(τ). Der δ-impuls ist die Eins bezüglich des Faltungsproduktes, denn es gilt und damit δ(t) s(t) = ˆ Man kann deshalb jedes Signal schreiben als δ(τ)s(t τ)dτ = s(t) δ(t) s(t) = s(t) δ(t) = s(t). (1.38) s(t) = ˆ s(τ)δ(t τ) dτ. (1.39) Die diskrete Faltung Auch für zeitdiskrete Signale gibt es eine Faltung. Sie ist ähnlich wie im kontinuierlichen Fall definiert, nur muss man bei diskreten Signalen natürlich statt des Integrals eine Summe schreiben. Die diskrete Faltung ist eigentlich einfacher zu verstehen als die kontinuierliche, weil man hier Beispiele mit kurzen Vektoren einfacher verständlich machen kann. Die Faltung zweier zeitdiskreter Signale s[n] und h[n] ist definiert als r[n] = m= h[m]s[n m]. (1.40) Auch hier wird aus zwei Signalen s[n] und h[n] ein neues Signal r[n] auf folgende Weise erzeugt: Das Signals[m] wird gespiegelt und dann um eine feste Anzahl von Taktennverschoben. Dieses gespiegelte und verschobene Signal ( s) n [m] = s[ (m n)] = s[n m] wird dann mit dem Signal h[m] multipliziert (gewichtet) und über die Variable m summiert. Das Ergebnis ist die Faltung an der Stelle (dem Zeitpunkt) n. Man schreibt h[n] s[n] = m= h[m]s[n m]. (1.41) Auch die diskrete Faltung ist kommutativ, assoziativ und distributiv. Sie verhält sich wie eine Multiplikationsoperation (nur nicht zwischen Zahlen, sondern zwischen Folgen). Man spricht daher auch vom Faltungsprodukt. Die diskrete Faltungs-Eins ist der diskrete δ-impuls. Es gilt: 17

18 1. Grundbegriffe δ[n] s[n] = s[n] δ[n] = s[n]. (1.42) Man kann deshalb jedes Signal schreiben als Superposition von Delta-Pulsen s[n] = s[n]δ[m n]. (1.43) m= Her sieht man, dass sich jedes Signal s[n] als Überlagerung von verzögerten Einheitsimpulsen darstellen lässt, wobei die Vorfaktoren gerade die Werte des Signals an den jeweiligen Verzögerungen sind. Aus Abbildung 1.1 wird dies noch einmal deutlich. Hat einer der beiden Signalvektoren im Faltungsprodukt nur eine endliche Länge, so ist natürlich nur über die Indizes zu summieren, die tatsächlich auftreten, und die Summe wird endlich. Wir betrachten den Fall, dass h[m] nur eine endliche Länge M hat. Dann kann man die Faltung h[n] s[n] über eine Schieberegisterschaltung wie in Abbildung 1.8 implementieren. Hier ist M = 3 und s[n] s[n 1] s[n 2] D D D s[n 3] h[0] h[1] h[2] h[3] r[n] Abbildung 1.8.: Implementation der Faltung durch Schieberegister. Das Symbol D steht für Delay. r[n] = h[0]s[n]+h[1]s[n 1]+h[2]s[n 2]+h[3]s[n 3]. (1.44) Diese Schaltung vermittelt eine anschauliche Vorstellung von der Faltung: Die Faltung ist die Überlagerung des Signals s[n] mit seinen verzögerten Versionen s[n 1], s[n 2],..., s[n M] und den multiplikativen Vorfaktoren h[0], h[1], h[2],...,h[m]. In Abbildung 1.9 wird h[n] durch den Vektor h = ( ) repräsentiert. Der Output lautet r[n] = 7 s[n]+2 s[n 1]+3 s[n 2]+1 s[n 3]. Besonders einfach wird es, wenn beide Vektoren nur endlich lang sind. Hat das Signal s[n] die Länge N und das Signal h[n] die Länge M, so hat das Signal h[n] s[n] die Länge N +M 1. Dann kann man die Faltung nach dem folgendem Schema berechnen, das sich unmittelbar aus der Abbildung 1.9 ergibt. 18

19 1. Grundbegriffe s[n] s[n 1] s[n 2] D D D s[n 3] r[n] Abbildung 1.9.: Implementation der Faltung durch Schieberegister. Beispiel mit Zahlen. Rechenschema zur zeitdiskreten Faltung: Es soll z.b. das Faltungsprodukt aus zwei Zeilenvektoren ( ) ( ) berechnet werden. Einen der beiden Vektoren muss man spiegeln. Wir spiegeln den ersten und rechnen Das heißt: ( ) ( ) = ( ) (1.45) Rechenschema zur zeitdiskreten Faltung (Variante): Wir betrachten die selben Vektoren wie eben. Dieses Schema ergibt sich ebenfalls aus dem Bild. Nur wird hier nicht gleich für jeden Takt das Ergebnis berechnet, sondern die Addition erst zum Schluss durchgeführt. Wir multiplizieren den Input-Vektor ( ) mit den jeweiligen Koeffizienten h[n] der Impulsantwort ( ) und schreiben die Ergebnisse entsprechend der zugehörigen Verzögerung nach rechts versetzt hin. Anschließend summieren für jeden Takt diese Werte auf. Damit ergibt sich das folgende Schema, das sehr dem Schema zur schriftlichen Multiplikation ähnelt, allerdings mit dem Unterschied, dass hier kein Übertrag gebildet wird: (1 2 3) ( ) = ( ) 19

20 1. Grundbegriffe Bei MATLAB gibt es den Befehl conv (convolution=faltung), mit dem man eine Faltung durchführen kann. Sind beide Signalvektoren gleich lang, z.b. s[1] s[2] s = s[3], h =. s[n] h[1] h[2] h[3]. h[n] (1.46) und faltet man h[n] mit dem gespiegelten Signal s[ n] und wertet das Ergebnis-Signal an der Stelle n = 0 aus, so erhält man folgenden Ausdruck [h[n] s[ n]] n=0 = N h[m]s[m 0]. (1.47) Dies ist offenbar das Skalarprodukt der beiden Vektoren, wie wir es in der Vektorrechnung kennengelernt haben. Es gilt also: s h = m=1 N s[m]h[m] = [h[n] s[ n]] n=0 (1.48) m= Was sind Systeme? Signale werden verändert, wenn sie beispielsweise ein physikalisches Medium oder ein technisches Gerät durchlaufen. Zum Beispiel wird eine Spannung an einen Schwingkreis angelegt und dann die Spannung am Widerstand gemessen. In der Systemtheorie wird nur beschrieben, wie das Input-Signal am Eingang (angelegte Spannung) und das Output- Signal (Spannung am Widerstand) zu einander in Beziehung stehen. Was genau innerhalb des Systems dazwischen passiert, ist aus Sicht der Systemtheorie uninteressant. Der Begriff des Systems ist eine Abstraktion, die die mathematische Beziehung zwischen Signalen beschreibt. Es kann also verschiedene (z.b. physikalische) Realisierungen des selben Systems geben. Zum Beispiel können ein elektrischer Schwingkreis und ein mechanisches Drehpendel verschiedene Realisierungen des selben Systems sein. Wir betrachten ein System als eine Black Box und stellen diese symbolisch so dar, wie in es Abbildung 1.10 gezeigt ist. In der Praxis kann ein System durch eine elektrische (analoge oder digitale) Schaltung realisiert sein oder z.b. durch den Übertragungskanal beim Mobilfunk. Auch das Pohlsche Drehpendel, das Sie aus dem physikalischen Praktikum kennen, ist eine mögliche Realisierung eines bestimmten Systems. Eine andere Realisierung des selben Systems ist ein elektrischer Schwingkreis mit Spule, Kondensator und Widerstand. Das Wetter und die eine Volkswirtschaft sind in diesem Sinne auch Systeme, aber ziemlich komplizierte. 20

21 1. Grundbegriffe s Anregung (Input) System r Antwort (Output) Abbildung 1.10.: Symbolische Darstellung eines Systems. Ein System also einfach eine Abbildungsvorschrift zwischen zwei Signalen: Dem Input- Signal s am Eingang und dem Output-Signal am Ausgang. Man kann das so schreiben: System :s r Im Deutschen nennt man s die Systemanregung und r die Systemantwort. Die Signale s und r können zeitdiskret oder -kontinuierlich sein. Lineare Systeme und das Superpositionsprinzip Wir beschränken uns in dieser Vorlesung auf lineare Systeme, die im Folgenden definiert werden. Wir betrachten hierzu zwei Input-Signale s 1 und s 2, die durch das System jeweils auf die beiden Output-Signale r 1 und r 2 abgebildet werden: s 1 r 1 s 2 r 2 Ferner betrachten wir eine Linearkombination s = α 1 s 1 +α 2 s 2 (1.49) der beiden Input-Signal, wobei α 1 und α 2 beliebige (reelle oder komplexe) Koeffizienten sind. Wenn nun der zugehörige Output dazu gerade die entsprechend gleiche Superposition r = α 1 r 1 +α 2 r 2 (1.50) ist, so spricht man von einem linearen System. Ein lineares System ist also durch Eigenschaft s 1 r 1 und s 2 r 2 α 1 s 1 +α 2 s 2 α 1 r 1 +α 2 r 2 (1.51) charakterisiert. Diese Eigenschaft wird als Superpositionsprinzip bezeichnet und ist in Abbildung 1.11 symbolisch dargestellt. Die Blockdiagramme in Abbildung 1.12 zeigt es auch noch mal anschaulich: Wenn man zwei Signale einzeln durch ein System schickt und dann die Superposition bildet (oberes Bild), erhält man das gleiche, wie wenn man die 21

22 1. Grundbegriffe s 1 s 2 r 1 r 2 α 1 s 1 +α 2 s 2 Anregung (Input) System α 1 r 1 +α 2 r 2 Antwort (Output) Abbildung 1.11.: Für ein lineares System gilt das Superpositionsprinzip. Superposition der Signale durch das System schickt (unteres Bild). Bei einem nichtlinearen Gitarrenverstärker ist das zum Beispiel nicht der Fall: Wenn einen Akkord anschlägt (=Superposition von einzelnen Tönen), so entstehen nach der Verstärkung viel mehr Töne im Spektrum als sich aus der Überlagerung der einzeln verstärkten Töne ergeben würde. Das Superpositionsprinzip ist aus der Physik bekannt, wo es u.a. für Wellen gilt. Lineare Differentialgleichungen führen auf lineare Systeme. Hierbei ist der Input die Inhomogenität der Differentialgleichung und der Output deren Lösung. Im Studienbuch Ingenieurmathematik 2 wird dieser Zusammenhang ausführlich diskutiert (vgl. [8], S. 150f.). s 1 System r 1 α 1 α 1 r 1 +α 2 r 2 s 2 System r 2 α 2 Linearität r = α 1 r 1 +α 2 r 2 s 1 α 1 α 1 s 1 +α 2 s 2 System r s 2 α 2 Abbildung 1.12.: Superpositionsprinzip: Veranschaulichung der Eigenschaften eines linearen Systems durch Blockschaltbilder. Das obere und das untere Blockschaltbild führen für ein lineares System auf das selbe Ergebnis. 22

23 1. Grundbegriffe Ein Beispiel aus der Elektrotechnik: Der RC-Tiefpass Wir betrachten eine Reihenschaltung aus Kondensator C und Widerstand R, wie sie in Abbildung 1.13 dargestellt ist. Die Schaltung wird durch eine beliebige Quellenspannung u R (t) i(t) R u q (t) C u(t) = u C (t) Abbildung 1.13.: Schaltung aus Kondensator und Widerstand mit allgemeiner Spannungsquelle. u q (t) angeregt. Dies ist der Input. Die gesuchte Spannung u(t) = u C (t) am Kondensator ist der Output. Die Beziehung zwischen Input und Output wird durch die inhomogene lineare Differentialgleichung RC u C +u C = u q beschrieben [7]. Wir definieren die Zeitkonstante τ = RC und schreiben s für den Input und r für den Output. Die Differentialgleichung für das System lautet dann τṙ +r = s. (1.52) Sind nun s 1 und s 2 zwei Input-Signale (Quellspannungen) und r 1 und r 2 die zugehörigen Output-Signale (Kondensatorspannungen), so bedeutet das, dass jeweils die Differentialgleichungen τr 1 +r 1 = s 1 und τṙ 2 +r 2 = s 2 erfüllt sind. Durch Addition dieser Gleichungen mit den Vorfaktoren α 1 und α 2 rechnet man unmittelbar nach, dass α 1 r 1 +α 2 r 2 die Lösung zu der Anregung αs 1 +α 2 s 2 ist: τ d dt (α 1r 1 +α 2 r 2 )+(α 1 r 1 +α 2 r 2 ) = (αs 1 +α 2 s 2 ) Damit ist gezeigt, dass es sich bei dieser Schaltung um ein lineares System handelt. 23

24 1. Grundbegriffe Bemerkung zu nichtlinearen Systemen Es gibt durchaus sehr viele wichtige Phänomene, die durch nichtlineare Differentialgleichungen beschrieben werden. Die nichtlineare Systemtheorie ist ungleich schwieriger als die lineare. Man hat hier in den letzten Jahrzehnten (auch mit Hilfe schnellerer Rechner) große Fortschritte gemacht und viele interessante Phänomene entdeckt, die unter dem Stichwort Chaostheorie populär geworden sind. Zeitinvariante lineare Systeme (LTI-Systeme) Wir schränken die Menge der betrachteten linearen Systeme noch weiter ein und behandeln nur zeitinvariante Systeme. Zeitinvariante Systeme sind solche, deren Eigenschaften sich zeitlich nicht verändern. Ein System heißt zeitinvariant, wenn ein zeitlich verzögertes Input-Signal dasselbe Output-Signal mit der entsprechenden Verzögerung erzeugt. Lineare, zeitinvariante Systeme nennt man LTI-Systeme (LTI=linear timeinvariant). Systeme, die diese Bedingung nicht erfüllen, heißen zeitvariant. Sie spielen durchaus eine wichtige Rolle (z.b. im Mobilfunk), werden aber in dieser Vorlesung nicht behandelt. Die mathematische Beschreibung ist bei zeitdiskreten LTI-Systemen einfacher als bei kontinuierlichen, weil der diskrete Einheitsimpuls einfacher ist als der kontinuierliche. In Formeln sieht aber alles ganz ähnlich aus. Wir beginnen deshalb mit dem zeitdiskreten Fall und übertragen dann die Ergebnisse auf den kontinuierlichen. Zeitdiskrete LTI-Systeme Wir betrachten ein lineares, zeitdiskretes System mit Input s[n] und Output r[n] und schreiben dafür System: s r. (1.53) Das um einen Takt verzögert Input- bzw. Output-Signal nennen wir s 1 bzw. r 1 : s 1 [n] = s[n 1] r 1 [n] = r[n 1] Wenn dann für das durch die Beziehung (1.53) definierte System ebenfalls System: s 1 r 1 (1.54) gilt, so nennt man dieses System zeitinvariant. In Worten ausgedrückt bedeutet das: Wenn man mit dem selben Input das System einen Takt später anregt, erhält man den selben Output, allerdings eben einen Takt später. Das bedeutet, dass sich die Eigenschaften des Systems von einem Takt zum nächsten nicht geändert haben. Wenn sich das System von einem beliebigen Takt zum nächsten nicht ändert, ändert es sich auch 24

25 1. Grundbegriffe nicht bis zum übernächsten usw. Das heißt: Wenn das System zeitvariant ist, folgt aus der obigen Beziehung iterativ: System: s 2 r 2 System: s 3 r 3. System: s m r m In Worten heißt das: Das System verhält sich zu einem späteren Zeitpunkt genauso wie jetzt. Das ist auch genau das, was man sich unter Zeitinvarianz anschaulich vorstellt. LTI-Systeme lassen sich (vollständig) durch ihre Impulsantwort charakterisieren: Die Impulsantwort h[n] eines LTI-Systems ist dessen Antwort auf den Einheitspuls δ[n]: System: δ h Es gilt der folgende Satz: Jedes LTI-System lässt sich eindeutig durch seine Impulsantwort h[n] charakterisieren. Zwischen Input s[n] und Output r[n] besteht der Zusammenhang r[n] = h[n] s[n]. (1.55) Beweis: Es sein s[n] ein beliebiges Input-Signal. Die Antwort des Systems auf den Einheitsimpuls ist nach Definition die Impulsantwort, d.h. δ[n] h[n]. Wegen der Zeitinvarianz ist die Antwort auf den verzögerten Einheitsimpuls die entsprechend verzögerte Impulsantwort: δ[n 1] h[n 1], δ[n 2] h[n 2], δ[n 3] h[n 3], usw. Wegen der Linearität ist der Output zu einer Superposition der verzögerten Einheitspulse gerade die Superposition der entsprechend verzögerten Impulsantworten: a 0 δ[n]+a 1 δ[n 1]+a 2 δ[n 2]+... a 0 h[n]+a 1 h[n 1]+a 2 h[n 2]+... Dann gilt auch: s[m]δ[n m] s[m]h[n m], m= m= 25

26 1. Grundbegriffe d.h. s[n] δ[n] = s[n] s[n] h[n]. Bezeichnet man mit r[n] die Systemantwort auf s[n], so heißt das r[n] = s[n] h[n] = h[n] s[n], was zu beweisen war. Aus diesem Satz ergibt sich eine wichtige Folgerung: Wenn man zwei LTI-Systeme mit Impulsantworten g[n] und h[n] hintereinander schaltet, kommt es nicht auf die Reihenfolge an: r[n] = g[n] h[n] s[n] r[n] = h[n] g[n] s[n] Dies ergibt sich unmittelbar aus der Kommutativität der Faltung: g[n] h[n] = h[n] g[n] Anmerkung: an! Bei linear-zeitvarianten Systemen kommt es dagegen auf die Reihenfolge 1. Beispiel für ein LTI-System: Ein einfaches FIR-Filter Das einfachste LTI-System haben wir bei der Einführung der diskreten Faltung kennen gelernt. Es ist beschrieben durch r[n] = h[0]s[n]+h[1]s[n 1]+h[2]s[n 2]+...+h[M]s[n M] (1.56) und ist noch einmal in Abbildung 1.14 für die Filterordnung M = 3 dargestellt. Man s[n] s[n 1] s[n 2] D D D s[n 3] h[0] h[1] h[2] h[3] r[n] Abbildung 1.14.: Ein FIR-Filter der Ordnung M = 3. spricht von einem digitalen finite impulse response (FIR) - Filter der Ordnung M. Kausale FIR-Filter sind durch vorwärtsgekoppelte Schieberegisterschaltungen beschrieben und haben eine endlich lange Impulsantwort. 26

27 1. Grundbegriffe s[n] r[n] ar[n 1] a D r[n 1] Abbildung 1.15.: Das einfachste rekursive Filter. 2. Beispiel für ein LTI-System: Ein IIR-Filter 1. Ordnung Das einfachste rekursive digitale Filter ist in Abbildung 1.15 gezeigt. Es ist beschrieben durch die rekursive Gleichung r[n] = s[n]+ar[n 1], a R. (1.57) Man nennt die Struktur rekursiv, weil der aktuelle Output r[n] nicht nur vom Input, sondern auch vom vorherigen Output r[n 1] abhängt. Anstatt diese Rekursionsgleichung nun für einen beliebigen Input s[n] zu lösen (was für diese einfache Rekursion gar nicht so schwer ist), reicht es, s[n] = δ[n] zu betrachten. Denn wir wissen, dass lineare Systeme eindeutig durch ihre Impulsantwort beschrieben sind. Für n < 0 ist die Impulsantwort offenbar Null. Wir beginnen also bei n = 0 und setzen in die Rekursionsgleichung (1.57) ein: h[0] = 1 Die Impulsantwort lautet also h[1] = ah[0] = a h[2] = ah[2] = a 2 h[3] = ah[2] = a 3... h[n] = ah[n 1] = a n h[n] = a n ǫ[n] (1.58) und ist für a = 0.9 in Abbildung 1.16 dargestellt. Für a < 0 alterniert das Vorzeichen. Verständnisfrage: Wie kann man zeigen, dass das System linear ist? 27

28 1. Grundbegriffe Amplitude n (samples) Abbildung 1.16.: Impulsantwort des einfachsten rekursiven Filters. Für a < 1 fällt die Impulsantwort exponentiell ab und man spricht von einem stabilen System. Für a > 1 steigt sie exponentiell an, und das System ist instabil. Der Sonderfall a = 1 führt ebenfalls auf ein instabiles System. Der Begriff der Stabilität wird an späterer Stelle noch präzisiert. Beschreibung durch die Sprungantwort Wir betrachten ein LTI-System gegeben mit Impulsantwort h[n]. Die Antwort auf das Input-Signal s[n] ist gegeben durch r[n] = h[n] s[n] = m= h[m]s[n m]. (1.59) Wir betrachten jetzt als speziellen Input das Signal s[n] = ǫ[n] und definieren die Die Sprungantwort eines LTI-Systems ist die Antwort auf die Anregung durch den Einheitssprung ǫ[n]. Wir bezeichnen die Sprungantwort mit g[n] und erhalten g[n] = m= h[m]ǫ[n m] = n m= h[m]. (1.60) 28

29 1. Grundbegriffe Die Sprungantwort ist also die kumulierte Summe 3 der Impulsantwort. Umgekehrt bekommt man aus der Sprungantwort die Impulsantwort durch diskretes Differenzieren: h[n] = g[n] g[n 1]. (1.61) Wenn man die Sprungantwort kennt, kann man daraus also leicht die Impulsantwort berechnen. Also liefert auch die Sprungantwort eine eindeutige Charakterisierung des LTI-Systems. Eine dritte Möglichkeit werden wir im nächsten Unterabschnitt kennen lernen. Beispiel für eine Sprungantwort Als Beispiel wollen wir die Sprungantwort für das rekursive LTI-System aus Gleichung (1.57) berechnen, dessen Impulsantwort gegeben ist durch Gleichung (1.58). Aus der Summenformel für die endliche geometrische Reihe erhalten wir n i=0 q i = 1 qn+1 1 q (1.62) g[n] = 1 an+1 ǫ[n]. (1.63) 1 a Beispiel 3: Anwendung der Systemtheorie auf Finanzmathematik Man kann mit einem rekursiven Filter 1. Ordnung auf sehr elegante Weise Verzinsungsprobleme systemtheoretisch analysieren. Die Rekursion r[n] = s[n]+qr[n 1] beschreibt nämlich gerade den Mechanismus einer Verzinsung. Die Zahl q > 1 ist der Entnahmen/Zahlungen s[n] Kontostand r[n] qr[n 1] q D r[n 1] Abbildung 1.17.: Verzinsung als rekursives Filter 1. Ordnung. (jährliche) Verzinsungsfaktor. Der Zinssatz ist p = q 1 (1.64) 3 Die kumulierte Summe ist das diskrete Analogon zum Integral g(t) = t h(τ)dτ. 29

30 1. Grundbegriffe bzw. 100 p%. Der Input s[n] ist die Einzahlung auf ein Konto (bei s[n] > 0) bzw. die Entnahme (bei s[n] < 0), und der Output r[n] der Kontostand. Das System ist nicht stabil: Bei einem endlichen Kredit wachsen die Schulden über jede Grenze, sofern man nichts zurück zahlt. Man kann mit diesem System zum Beispiel eine Baufinanzierung durchrechnen. Der Einfachheit halber nehmen wir in diesem Beispiel eine jährliche Tilgung an (anstatt der üblichen monatlichen Tilgung) 4. Systemtheoretisch lässt sich die Baufinanzierung folgendermaßen beschreiben: Wenn man zur Zeit n = 0 einen Kredit von K = Euro aufnimmt und danach jährlich eine Rate von R = Euro zurückzahlt, so lautet die Systemanregung: { K = : n = 0 s[n] = R = : n = 1,2,3,... Etwas eleganter kann man das so schreiben: Die Systemantwort darauf lautet mit s[n] = K δ[n]+r ǫ[n 1] r[n] = K h[n]+r h[n] ǫ[n 1] h[n] = q n ǫ[n]. Die Faltung im zweiten Term ist die um einen Takt verzögert Sprungantwort aus Gleichung (1.63): h[n] ǫ[n 1] = g[n 1] = qn 1 q 1 ǫ[n 1] Die Formel für die Restschuld im Jahr n lautet dann: r[n] = K q n ǫ[n]+ qn 1 q 1 R ǫ[n 1] In dem praktischen Beispiel muss man (genau einen Takt), bevor diese Größe positiv wird, abbrechen. Die letzte Rate ist dann genau die (noch für das letzte Jahr verzinste) Restschuld. Übrigens: Bei einem zeitlich veränderlichen Zinssatz hat man es mit einem zeitvarianten System zu tun. 4 Bei monatlicher Tilgung zählt der Zeitindex n den Monat. Der Verzinsungsfaktor a muss dann auf den Monat bezogen werden, wobei man den Zinssatz durch 12 teilt. Die bei dieser Berechnung jährlich anfallenden Zinsen werden dann als effektiver Jahreszins bezeichnet. 30

31 1. Grundbegriffe Zeitkontinuierliche LTI-Systeme Wir betrachten nun ein lineares, zeitkontinuierliches System mit Input s(t) und Output r(t) und schreiben dafür System: s r. (1.65) Es sei nun τ eine beliebige, aber feste Verzögerungszeit. Das um diese Zeit verzögerte Input- bzw. Output-Signal nennen wir s τ bzw. r τ : s τ (t) = s(t τ) r τ (t) = r(t τ) Wenn dann für das durch die Beziehung (1.65) definierte System ebenfalls System: s τ r τ (1.66) gilt, so nennt man dieses System zeitinvariant. In Worten ausgedrückt bedeutet das: Wenn man mit dem selben Input das System eine Zeit τ später anregt, erhält man den selben Output, allerdings eben um diese Zeit τ verzögert. Das bedeutet, dass sich die Eigenschaften des Systems während der Zeit τ nicht geändert haben. LTI-Systeme lassen sich durch ihre Impulsantwort charakterisieren: Die Impulsantwort h(t) eines (kontinuierlichen) LTI-Systems ist dessen Antwort auf den Einheitspuls δ(t): System: δ h Es gilt der folgende Satz: Jedes LTI-System lässt sich eindeutig durch seine Impulsantwort h(t) charakterisieren. Zwischen Input s(t) und Output r(t) besteht der Zusammenhang r(t) = h(t) s(t). (1.67) Auf den Beweis verzichten wir. Folgerung: Wenn man zwei LTI-Systeme mit Impulsantworten g(t) und h(t) hintereinander schaltet, kommt es nicht auf die Reihenfolge an: r(t) = g(t) h(t) s(t) r(t) = h(t) g(t) s(t) Dies ergibt sich unmittelbar aus der Kommutativität der Faltung: g(t) h(t) = h(t) g(t) 31

32 1. Grundbegriffe Anmerkung: an! Bei linear-zeitvarianten Systemen kommt es dagegen auf die Reihenfolge Merke: Systeme, die durch lineare Differentialgleichungen mit zeitlich konstanten Koeffizienten beschrieben werden, sind linear und zeitinvariant. (Man kann das leicht beweisen.) Das ist für alle Schaltungen mit den Standardbauelementen R, L, C der Fall. Detektor und Faltung Messung: Filtern und dann abtasten [h(t) s(t)] t=0 = Gespiegelte Impulsantwort g(t) = h( t): = [ˆ ] h(t τ)s(τ)dτ ˆ [g( t) s(t)] t=0 = h( τ)s(τ)dτ ˆ t=0 g(t)s(t)dτ (1.68) Beschreibung durch die Sprungantwort Wir betrachten ein LTI-System gegeben mit Impulsantwort h(t). Die Antwort auf das Input-Signal s(t) ist gegeben durch r(t) = h(t) s(t) = ˆ h(τ)s(t τ)dτ. (1.69) Wir betrachten jetzt als speziellen Input das Signal s(t) = ǫ(t) und definieren die Die Sprungantwort eines LTI-Systems ist die Antwort auf die Anregung durch den Einheitssprung ǫ(t). Wir bezeichnen die Sprungantwort mit g(t) und erhalten g(t) = ˆ h(τ)ǫ(t τ)dτ = ˆ t h(τ)dτ. (1.70) Die Sprungantwort ist also Stammfunktion 5 der Impulsantwort. Umgekehrt bekommt man aus der Sprungantwort die Impulsantwort durch Differenzieren: h(t) = d g(t). (1.71) dt 5 Die kumulierte Summe ist das diskrete Analogon zum Integral g(t) = t h(τ)dτ. 32

33 1. Grundbegriffe Wenn man die Sprungantwort kennt, kann man daraus also leicht die Impulsantwort berechnen. Damit liefert auch die Sprungantwort eine eindeutige Charakterisierung des LTI-Systems. Eine dritte Möglichkeit werden wir im nächsten Unterabschnitt kennen lernen. 33

34 1. Grundbegriffe Aufgaben 1. Zeigen Sie mit Hilfe komplexer Rechnung die beiden Additionstheoreme cos(α+β) = cos(α)cos(β) sin(α)sin(β) (1.72) und sin(α+β) = sin(α)cos(β)+cos(α)sin(β) (1.73) 2. Rechnen sie um zwischen kartesischer und Polardarstellung a) s(t) = sin(2πft)+cos(2πft) b) s(t) = sin(2πft) cos(2πft) c) s(t) = 3cos(2πft)+sin(2πft) d) s(t) = 3sin(2πft) cos(2πft) e) s(t) = cos(2πft)+sin(2πft) f) s(t) = cos(2πft 45 ) g) s(t) = cos(2πft+45 ) h) s(t) = cos(2πft+135 ) i) s(t) = cos(2πft+120 ) j) s(t) = sin(2πft 30 ) 3. Berechnen Sie die reelle Fourierreihe der Rechteckschwingung! Wie viel Prozent der Leistung steckt in den ersten 3 Schwingungen? 4. Berechnen Sie die folgenden zeitdiskreten Faltungen von Zeilenvektoren: a) ( ) ( ) b) ( ) ( ) c) ( ) ( ) ) ( 1 1 ) d) ( e) ( ) ( ) f) ( ) ( ) g) ǫ[n] (δ[n]+δ[n 2]) 5. Berechnen Sie das Faltungsprodukt r[n] = h[n] s[n] jeweils für die folgenden Signale: a) h[n] = 2 n ǫ[n], s[n] = δ[n]+δ[n 1] b) h[n] = ǫ[n], s[n] = ǫ[n] 34

35 1. Grundbegriffe c) h[n] = s[n] = 2 n ǫ[n] d) h[n] = 2 n ǫ[n], s[n] = δ[n] 1 2 δ[n 1] 6. Skizzieren Sie die folgenden Signale und berechnen Sie die Energie bzw. die mittlere Leistung: a) s(t) = cos(2πft)+2sin(2πft) cos(4πft) b) s(t) = e t /T c) s(t) = { 1 T (T t ) : t < T 0 : t > T d) s(t) = e 1 2σ 2t2 Tipp: e x2 dx = π 7. Skizzieren Sie ein Signal, seine verschobene und dann gespiegelte Version sowie die gespiegelte und dann verschobene Version! 8. Drücken Sie den (verschobenen) Rechteckpuls ( ) t t0 rect T durch die Sprungfunktion ǫ(τ) aus! 9. Gegeben ist jeweils die Sprungantwort g(t). Wie lautet die Impulsantwort h(t)? a) g(t) = e t/τ ǫ(t) (τ > 0) b) g(t) = (1 e t/τ )ǫ(t) (τ > 0) 10. Ein RC-Tiefpass ist gegeben durch die Impulsantwort h(t) = e t/τ ǫ(t) (τ = RC) Wie lautet die Systemantwort r(t) auf einen Rechteckpuls ( t s(t) = rect T 1 ) mit T > 0? Berechnen Sie ˆ ǫ(τ)ǫ(t τ)dτ, t R 12. Berechnen Sie die Faltung r(t) = h(t) s(t) für die folgenden Signale { { 1 : t T/2 1 s(t) = 0 : t > T/2, h(t) = T : t T/2 0 : t > T/2 13. Zeigen Sie, dass ein Gleichrichter ein nichtlinerares System darstellt. Finden Sie dazu zwei Beispielsignale, mit denen das Superpositionsprinzip verletzt ist. 35

36 2. Signale und Systeme: Beschreibung im Frequenzbereich 2.1. Fourierreihe Wir betrachten in diesem Abschnitt kontinuierliche (reell- oder komplexwertig) periodische Signale s(t) mit der Periode T. Es gilt also: s(t) = s(t T) (2.1) Wir betrachten hier nur stückweise stetige und beschränkte Signale, d.h. Sprungstellen dürfen vorkommen, aber sonst nichts Schlimmes. Aus der Angewandten Mathematik [6] ist bekannt, dass für solche Signale eine Fourierreihen-Entwicklung s(t) = c k e j2π k T t (2.2) k= existiert, die (fast überall) 1 gegen das Signal s(t) konvergiert. Die Fourierkoeffizienten c k sind gegeben durch c k = 1 T ˆ T 0 e j2π k T t s(t)dt. (2.3) Im Folgenden werden die in der Angewandten Mathematik [6] vermittelten Kenntnisse über den Umgang mit Fourierreihen vorausgesetzt. Hier geht es um die Anwendung in der Signaltheorie. Die Fourierreihen-Entwicklung (2.2) lässt sich auf reelle und komplexe periodische Signale anwenden. Wichtig ist der Spezialfall eines reellen Signals s(t). Hierfür gibt es zwar auch eine reelle Fourierreihe (siehe [6]), es ist aber meist wesentlich geschickter, mit der komplexen Fourierreihe zu rechnen. Die Gründe dafür sind im wesentlichen die selben wie die, weswegen man in der Wechselstromtechnik mit komplexen Signalen rechnet. Dies soll im Folgenden erläutert werden. Reelle Signale Reelle Signale s(t) sind durch folgende Eigenschaft der Fourierreihe (2.2) charakterisiert: s(t) reell c k = c k für alle k Z (2.4) 1 Fast überall bedeutet hier: Überall, außer an den Sprungstellen. In der Signaltheorie kann man diese Feinheiten meist ignorieren. 36

37 2. Signale und Systeme: Beschreibung im Frequenzbereich Dann gilt natürlich insbesondere auch c 0 = c 0, (2.5) d.h. der Gleichanteil (auch: DC wie direct current) des Signals ist reell. Die komplexe harmonische Schwingung c k e j2π k T t wird als eine Schwingung bei der Frequenz f k = k T (k Z) (2.6) interpretiert. Damit kommen in der Fourierreihe (2.2) scheinbar auch negative Frequenzen vor. Diese besitzen aber keine eigene reale Bedeutung, sondern sind über die Eigenschaft (2.4) mit der entsprechenden positiven Frequenz verbunden und bilden mit dieser zusammen eine reelle harmonische Schwingung. Es gilt nämlich wegen der Eigenschaft (2.4) für k N: c k e j2π k T t +c k e j2π k T t = c k e j2π k T t +c k e j2π k T t = 2Re {c k e j2π k t} T Man kann diese reelle Schwingung in eine Kosinus- und eine Sinusschwingung zerlegen und gelangt mit c k = 1 2 (a k jb k ) (2.7) und c k e j2π k T t +c k e j2π k T t = a k cos (2π kt ) t +b k sin (2π kt ) t zur reellen Fourierreihe [6]. In der Elektrotechnik schreibt man meist lieber eine Kosinusschwingung mit Amplitude und Phase. Dazu setzen wir und erhalten c k = c k e jϕ k c k e j2π k T t +c k e j2π k T t = 2Re {c k e j2π k t} T = 2Re { c k e jϕ k e j2π k t} T und damit ( c k e j2π k T t +c k e j2π k T t = 2 c k cos 2π k ) T t+ϕ k (2.8) 37