1 Diese Folien dienen der Ergänzung des Vorlesungsstoffes im Rahmen der Vor- und Nachbereitung. Sie stellen kein Skript dar; es wird keine Gewähr für Richtigkeit und/oder Vollständigkeit übernommen. Kapitel 1.3: Marktgleichgewicht und Effizienz 1 Dr. Jörg Franke Technische Universität Dortmund Sommersemester 2011
Formales Marktmodell mit Produktionssektor I. Allgemeine Beschreibung einer Ökonomie: Liste von l Gütern (Inputs & Outputs) : h = 1,..., l. Für jedes Gut h existiert Preis p h. Wert eines Güterbündels x = (x 1,..., x l ) bei Preisen p = (p 1,..., p l ): p x = p 1 x 1 +... + p h x h +... p l x l 1 / 27
I. a) Konsumenten Ökonomie besteht aus n Konsumenten i = 1,..., n. Konsument i beschrieben durch: Konsummenge: X i R l +. Einkommen: W i, resultierend aus Erstausstattung e i R l +: W i = p e i. Präferenzen, repräsentiert durch Nutzenfunktion u i R l + R. Damit lautet die Budgetmenge B i (p, W i ) folgendermaßen: B i (p, W i ) = {x i X i p x i W i } 2 / 27
Verhaltenshypothese Konsument: Nutzenmaximierung Konsument wählt bestes (nutzenmaximierenden) Element aus Budgetmenge, gegeben Preissystem p = (p 1,..., p l ). individuelle Nachfragefunktion: x i (p, W i ) = arg max u i(x i ) x i B i (p,w i ) Standardannahmen an Nutzenfunktion u i : Monotonie: u i steigend in jedem x ih Präferenzen konvex Nutzenfunktion quasi-konkav (Konsumenten präferieren ausgeglichene anstatt extreme Güterbündel) Differenzierbarkeit 3 / 27
Marginalbedingung für Nutzenmaximum: Implikationen: GRS xih,x ik = u i x ih u i x ik = p h p k für alle h, k {1,..., l} und i = 1,..., n. Nutzenmaximierende Konsumentscheidungen aller Konsumenten durch Preissystem determiniert. Keine weiteren Tauschmöglichkeiten, da individuelle Substitutionsraten ausgeglichen. Entscheidend sind relative Preise, bzw. Preisverhältnisse. 4 / 27
I. b) Produzenten Ökonomie mit m Produzenten (Unternehmen) j = 1,..., m. Produzent j wählt Produktionsplan y j aus abgeschlossener und konvexer Technologiemenge Y j R l : y j = (y j1,..., y jl ) Y j, wobei y jh > 0 Output y jh < 0 Input Y e j bezeichne Rand der Technologiemenge Y j 5 / 27
Produktionsfunktion F j Y j R folgendermaßen definiert: F j (y j ) 0 y j Y j F j (y j ) = 0 y j Yj e Produktionsgewinn (Erlös - Kosten) determiniert durch Preissystem p = (p 1,..., p l ) und Produktionsplan y j Y j : π(y j ) = p y j = p 1 y j1 +... + p l y jl 6 / 27
Verhaltenshypothese Produzenten: Gewinnmaximierung Produzent wählt besten (gewinnmaximierenden) Produktionsplan yj aus Technologiemenge, gegeben Preissystem p = (p 1,..., p l ). Da Y j abgeschlossen und konvex muss gelten: 1. y j Y e j 2. Isogewinnlinie tangential zu Y e j in y j Gewinnmaximierungsproblem des Produzenten J: y j = arg max π(y j ) u.d.b. F j (y j ) = 0 7 / 27
Marginalbedingung für Gewinnmaximum: Güterkombinationen: F j (yj ) y jh p h = F j (yj ) p k y jk für alle h, k {1,..., l} und j = 1,..., m. h, k Inputs: GRTS yjh,y jk = p h p k Grenzrate der technischen Substitution=Preisverhältnis h, k Outputs: TRS yjh,y jk = p h p k Grenzrate der Transformation=Preisverhältnis h Input, k Output: F j (yj ) y jh = p h p k Grenzprodukt des Inputfaktors=Preisverhältnis: 8 / 27
Implikationen: Preissystem bestimmt durch obige Bedingung die gewinnmaximierende Produktionsentscheidung aller Produzenten. Alle Produzenten realisieren dieselbe Substitutionsraten optimale Faktorallokation und optimale Produktionsstruktur. Entscheidend sind relative Preise, bzw. Preisverhältnisse. 9 / 27
Beispiel: Cobb-Douglas- Produktionsfunktion Übliche Formulierung: y = f (x 1, x 2 ) = x1 αx 2 1 α, wobei y Output, und x 1, x 2 Produktionsfaktoren (Inputs). jetzt: Technologiemenge: Y j = {(y 1, y 2, y 3 ) R 3 y 1 ( y 2 ) α ( y 3 ) 1 α } Effiziente Allokationen (y e 1, y e 2, y e 3 ) erfüllen: F j (y e 1, y e 2, y e 3 ) = y 1 ( y 2 ) α ( y 3 ) 1 α = 0 y 1 = ( y 2 ) α ( y 3 ) 1 α 10 / 27
Gewinnverwendung der Unternehmen Modellannahme: Firmen in Privatbesitz, Konsument i hält Anteil θ ij an Unternehmen j. Konsument i: Erstsaustattung (Vermögen): (e i, θ i ), wobei e i R l + Güter im Besitz von i und θ i = (θ i1,..., θ in ) [0, 1] m Unternehmensanteile von i Einkommen, gegeben Preissystem p: W i (p) = p e i + m j=1 θ ij p y j 11 / 27
Frage: Unter Modellannahmen der Verhaltenshypothesen, d.h. Nutzen- bzw. Gewinnmaximierung: Existiert ein allgemeines Gleichgewicht, d.h. ein Preissystem p, so dass alle Märkte geräumt werden? Sind Nutzen- und Gewinnmaximierung mit Gleichgewicht auf allen Märkten vereinbar? Welche Eigenschaften hat dieses in Bezug auf Pareto-Effizienz? 12 / 27
I. c) Allgemeines Gleichgewicht Definition: Wettbewerbsgleichgewicht Allokation und Preissystem {(x i ) n i=1, (y j )m j=1, p } sind ein Gleichgewicht, falls gilt: Nutzenmaximierung: xi B i (p, p e i + m j=1 θ ij p yj ) und u i (xi ) u i (x i ) für alle x i B i (p, Wi ) für i = 1,..., n. Gewinnmaximierung: yj y j Y j ; für j = 1,..., m. Y j und p y j p y j für alle Markträumung auf allen l Gütermärkten: n i=1 xih = n i=1 e i + m j=1 yjh für alle h = 1,..., l. Existenz Wettbewerbsgleichgewicht Seien u i (x i ), i = 1,..., n und y j, j = 1,..., m wie beschrieben, dann existiert ein Gleichgewicht {(xi ) n i=1, (y j )m j=1, p }. 13 / 27
2. a) Pareto-Optimalität des Wettbewerbsgleichgewichts Definition: Erreichbare Allokation Allokation {(x i ) n i=1, (y j) m j=1 )} ist erreichbar, falls: n i=1 (x ih e ih ) Netto-Transaktionen = m j=1 y jh für alle h = 1,..., l. Menge der erreichbaren Allokationen entspricht der sozialen Alternativmenge der Ökonomie. 14 / 27
Definition: Pareto-Optimalität Eine Allokation {(ˆx i ) n i=1, (ŷ j) m j=1 )} ist pareto-optimal, falls es keine andere erreichbare Allokation {(x i ) n i=1, (y j) m j=1 )} gibt, so daß: u i (x i ) u i (ˆx i ) für alle i = 1,..., n. u i (x i ) > u i (ˆx i ) für mind. ein i = 1,..., n. Implikation: Bewertungskriterium der Pareto-Optimalität basiert ausschließlich auf Nutzenerwägungen alleiniger Zweck der Produktion ist daraus erzeugter Nutzengewinn. Pareto-Optimalität nicht abhängig von Existenz eines Preissystems p. 15 / 27
Herleitung einer pareto-effizienten Allokation Perspektive eines fiktiven sozialen Planers: globaler Standpunkt: fiktiver sozialer Planer kontrolliert alle Produktions- und Konsumpläne Implementierungsproblem! Zu zeigen: Marktsystem mit dezentralen Entscheidungsstrukturen führt zu (PO) als Gleichgewichtsallokation. (PO) max u 1 (x 1 ) u.d.b. u i (x i ) ū i für i = 2,..., n {(x i ) n i=1,(y j ) m j=1 )} n i=1 (x ih e ih ) = F j (y j ) = 0 für j = 1,..., m m j=1 y jh für h = 1,..., l 16 / 27
Lösung von (PO) resultiert in Marginalbedingungen für Pareto-Optimum: GRS i hk = GRS i hk für alle i, i {1,..., n} = = GRTS j hk = GRTS j hk für alle j, j {1,..., m} Interpretation: Pareto-Optimalität verknüpft Produktionsmit Konsumsphäre: 1. Optimale Allokation der Güter auf Konsumenten. 2. Effiziente Produktion basierend auf zur Verfügung stehenden Produktionstechnologien. 3. Optimale aggregierte Produktionsniveaus: Marktnachfrage wird durch produziertes Marktangebot gedeckt. 17 / 27
Beobachtung: Im Wettbewerbsmarkt ergaben sich die folgenden Marginalbedingungen: Nutzenmaximierung der Konsumenten impliziert: GRS i hk = GRS i hk = p h p k für alle i, i {1,..., n} Gewinnmaximierung der Unternehmen impliziert: GRTS j hk = GRTS j hk = p h p k für alle j, j {1,..., m} Fazit: Dies entspricht genau den Marginalbedingungen des Pareto-Optimums mit δ hk = p h p k. 18 / 27
1. Hauptsatz der Wohlfahrtstheorie Sei {(xi ) n i=1, (y j )m j=1, p )} ein Wettbewerbsgleichgewicht. Dann ist {(xi ) n i=1, (y j )m j=1 )} pareto-optimale Allokation. Interpretation 1: Fiktiver sozialer Planer kann Preise zentral setzen, so daß Pareto-Optimalität erreicht wird (Lange & Lerner: Market Socialism) Interpretation 2: Adam Smiths unsichtbare Hand löst das Problem der zentralen Planung über Preissystem des dezentralen Wettbewerbmarktes. 19 / 27
Fazit: Keine zentrale Planung zur Erzeugung pareto-optimaler Allokationen notwendig. Existenz des Preissystems im Wettbewerbsmarkt ermöglicht dezentrale und indirekte Koordination der Wirtschaftssubjekte. Preise als Knappheitsindikator induzieren auch sozial erwünschtes Ergebniss, i.e. Pareto-Effizienz. 20 / 27
Problem: Pareto-Optimalität unabhängig von distributiven Zielen. Umverteilung der ursprünglichen Vermögensverteilung & Wettbewerbsmarkt. Marktgleichgewicht induziert verteilungspolitisch gewünschte und pareto-effiziente Allokation. Frage: Ist Erstaustattung so manipulierbar, daß sich jede mögliche pareto-optimale Allokation als Marktgleichgewicht realisieren lässt? 21 / 27
2. Hauptsatz der Wohlfahrtstheorie Sei (e i, θ i ) n i=1 Anfangsausstattung und {(ˆx i) n i=1, (ŷ j) m j=1 )} pareto-optimale Allokation. Dann existiert ein Preissystem ˆp = (ˆp 1,..., ˆp l ) und (Kopf-) Steuern T = (t 1,..., t n ), so daß {(ˆx i ) n i=1, (ŷ j) m j=1, ˆp)} Wettbewerbsgleichgewicht nach Steuern: 1. Nutzenmaximierung: ˆx i B i (ˆp, ˆpe i + m j=1 θ ij ˆp ŷ j t i ) und u i (ˆx i ) u i (x i ) für alle x i B i (ˆp, ˆpe i + m j=1 θ ij ˆp ŷ j t i ) für i = 1,..., n. 2. Gewinnmaximierung: ŷ j Y j und ˆp ŷ j ˆp y j für alle y j Y j ; für j = 1,..., m. 3. Markträumung auf allen l Gütermärkten: n i=1 ˆx ih = n i=1 e i + m j=1 ŷ jh für alle h = 1,..., l. 22 / 27
Exkurs: Bemerkungen zur Kopfsteuer Kopfsteuer t i fix für jede Person i = 1,..., n und basiert nicht auf Konsum, Einkommen o.ä. (engl.: poll tax). Da Güter nicht unterschiedlich besteuert werden, bleibt GRS, GRTS und TRS unverändert. Pareto-Optimalität bleibt gewährleistet, kein Wohlfahrtsverlust durch Ineffizienz. Kopfsteuer dient nur der Umverteilung: n i=1 t i = 0: t i > 0 ist Steuer, t i < 0 ist Transfer (Subvention). Aber: In der Realität sind reine Kopfsteuern weder praktikabel (Zwangsarbeit), noch gesellschaftspolitisch durchsetzbar (M. Thatcher 1990). 23 / 27
Ausblick: Modellannahmen des Wettbewerbsmarkts nicht gegeben: 1. und 2. Hauptsatz nicht garantiert. Marktgleichgewicht nicht effizient (Marktversagen). Verzerrende Staatseingriffe können ineffizientes Marktgleichgewicht in effizientere Richtung lenken (Lenkungswirkung von Steuern). 24 / 27
Kapitel 1: Marktgleichgewicht und Pareto-Effizienz Abstrakte Beschreibung einer Ökonomie mit: Vielzahl von Konsumenten: Nutzenmaximierung gegeben Präferenzen & Erstaustattung. Vielzahl von Produzenten: Gewinnmaximierung gegeben Produktionstechnologie (Technologiemenge). Vollständige Information, reine Konsumgüter, bzw. Produktionsfaktoren, keine Marktmacht. 25 / 27
Eigenschaften des ideal funktionierender Wettbewerbsmarkts: Vielzahl an Marktteilnehmern macht Preisbeeinflussung unmöglich Jeder Marktteilnehmern betrachtet Preisvektor als Datum, agiert als Preisnehmer. Wettbewerbsgleichgewicht existiert: Konsumenten maximieren Nutzen, Produzenten maximieren Gewinn, alle Gütermärkte sind geräumt. Preise reflektieren relative Knappheiten. Preissystem erlaubt dezentrale Koordinierung der einzelwirtschaftlichen Pläne aller Wirtschaftssubjekte. 26 / 27
In ideal funktionierenden Wettbewerbsmärkten gilt: 1. Hauptsatz der Wohlfahrtstheorie: Jedes Marktgleichgewicht ist pareto-effizient. Dezentraler, auf Freiwilligkeit beruhender Wettbewerbsmarkt mit Preissystem führt zu sozial erwünschtem Ergebnis. 2. Hauptsatz der Wohlfahrtstheorie: Jede pareto-effiziente Allokation lässt sich nach geeigneter Umverteilung durch Kopfsteuern als Marktgleichgewicht implementieren. Allokations- und Distributionsziele trennbar: Normative Distributionsziele können politischen Entscheidungsprozeß bzw. gesellschaftlichen Verhandlungen übertragen werden. 27 / 27