Übungsblatt 10 PHYS4100 Grundkurs IV (Physik, Wirtschaftsphysik, Physik Lehramt) Othmar Marti, (othmar.marti@uni-ulm.de) 30. 6. 2005 oder 1. 7. 2005 1 Aufgaben 1. Zeigen Sie, dass eine geschlossene nl-schale notwendigerweise L = S = 0 aufweisen muss. 2. Welche Atomsorte oder welche Atomsorten haben eine zu 3/5 gefüllte 4d Schale? Welche Schalen sind ganz gefüllt? Welche Elektronenkonfiguration haben diese Atome? 3. a) Zwei äquivalente p-elektronen seinen stark Spin-Bahn-gekoppelt. Bestimmen Sie die möglichen Werte des Gesamtdrehimpulses J bei jj- Kopplung. Welches Prinzip muss beachtet werden? b) Welche J ergäben sich bei Russell-Saunders-Kopplung? c) Vergleichen Sie die Häufigkeit des Vorkommens der verschiedenen J- Werte in den beiden Fällen! 4. Bestimmen Sie die Terme der Konfiguration nd 2. Welcher Term stellt den Grundzustand des Titan dar? Wie gross sind L, S, J für diesen Zustand. 5. Zeigen Sie, dass für eine endliche Temperatur der angeregte Zustand eines Zweiniveau-Systems immer schwächer besetzt ist als der Grundzustand. 6. Diskutieren Sie die minimal mögliche Linienbreite einer Spektrallinie. Welche Einflüsse verbreitern diese Linien. Wie gross ist die natürliche Linienbreite von verbotenen Übergängen. 7. Ein Laserpuls wird durch E(x,t) = E 0 e iω 0t+ik 0x 2 sin [(ω t x) k] ω t x Übungsblatt vom 30. 6. 2005 oder 1. 7. 2005 1 c 2005 University of Ulm, Othmar Marti
2 PHYS 4100 Grundkurs IV SH 2005 Übungsblatt 10 dargestellt. Welche Frequenzbandbreite hat dieser Puls? Wovon hängt die Bandbreite ab? Wie hängt die Bandbreite im Frequenzraum und die örtliche Breite zusammen? Übungsblatt vom 30. 6. 2005 oder 1. 7. 2005 2 c 2005 University of Ulm, Othmar Marti
Übungsblatt 10 PHYS 4100 Grundkurs IV SH 2005 3 2 Lösungen 1. Man betrachtet ein Atom mit mehreren Valenzelektronen und vernachlässigt die Wechselwirkung untereinander und die Spin-Bahn-Wechselwirkung. Jeder Einelektronenzustand wird durch n, l, m l, m s. Die Wellenfunktion des Atoms ist dann ψ ges = ψ ml1, m l2 (1) ψ ml1, m l2 (2)... 2. Das Element ist Technetium (Z = 43) Ganz gefüllt sind die Schalen 1s, 2s, 2p, 3s, 3p, 3d, 4s, 4p. zu 3/5 gefüllt ist die 4d-Schale. Die 5s-Schale ist mit einem Elektron gefüllt. Für die z-komponenten des Bahndrehimpulses und des Spins ist ˆL z = ˆl z, 1 + ˆl z, 2 +... Ŝ z = ŝ z, 1 + ŝ z, 2 +... Ist eine nl-schale ganz gefüllt, dann sind nach Pauli alle möglichen Zustände besetzt. Insbesondere wird zu jedem Wert der z-komponente auch der entsprechende negative Wert realisiert. Die Gesamtwellenfunktion besteht aus (4l + 2) Zuständen. Sie ist auch eine Eigenfunktion des Gesamtbahndrehimpulses und des Gesamtspins. Deshalb ist m L = 0 und m S = 0. Also kann nur S = L = 0 sein. 3. Ein Elektron wird durch n,l,m l,m s angegeben. Bei zwei Elektronen dürfen nach Pauli nicht beide Elektronen in allen Zuständen übereinstimmen. Bei einer np 2 Konfiguration ergeben sich die folgenden Möglichkeiten (m l, m s ) 1 (1, +) (1, ) (0, +) (0, ) ( 1, +) (( 1, ) (m l, m s ) 2 (1, +) x x x x x (1, ) x x x x (0, +) x x x (0, ) x x ( 1, +) x ( 1, ) Ein Zustand wird durch [(m l1, m s1 )(m l2, m s2 )] angegeben. Zwei Drehimpulse J 1 und J 2 ergeben den Gesamtdrehimpuls J = J 1 + J 2 mit den Werten J = J 1 + J 2,..., J 1 J 2 und den zugehörigen 2J + 1-Werten m J. Es giltm J = m J1 + m J2. Aus den Zuständen (J 1, m J1 ) und (J 2, m J2 ) ergibt sich formal der Zustand (J, m J ) = C mj1, m J2 (J 1, m J1 ) (J 2, m J2 ) m J1, m J2 m J1 + m J2 = m J Übungsblatt vom 30. 6. 2005 oder 1. 7. 2005 3 c 2005 University of Ulm, Othmar Marti
4 PHYS 4100 Grundkurs IV SH 2005 Übungsblatt 10 wobei nach der Kopplung m J1 und m J2 keine brauchbaren Quantenzahlen mehr sind. Ein 2-Elektronenzustand wird durch die Quantenzahlen (J 1, J 2, J, m J ) festgelegt. a) Bei der jj-kopplung sind die Pauli-verträglichen Kombinationen aus der oberen Tabelle: m J1 3/2 1/2 1/2 3/2 m J2 3/2 1/2 [(1, +)(1, )] [(1, )(0, +)] [(1, +)(0, +)] 1/2 [(1, +)(0, )] [(1, )(0, )] [(0, )( 1, +)] [(1, +)( 1, +)] [(0, +)(0, )] [(1, )( 1, +)] [(0, +)( 1, )] 3/2 [(1, +)( 1, )] [(1, )( 1, )] [(0, )( 1, )] [(0, +)( 1, )] [( 1, +)( 1, )] wobei m J aus der Summe der m Ji berechnet wird. Die m J treten mit der folgenden Häufigkeit auf m j 2 1 0 1 2 Anzahl 2 3 5 3 2 Es gibt also 2 Zustände mit m J = 2. Dieser Zustand kann nur zu J = 2 gehören. Deshalb sind jeweils zwei der Zustande zu den kleineren m J zu J = 2 gehörig. Ohne diese Zustände sieht die Tabelle so aus m j 1 0 1 Anzahl 1 3 1 Es gibt also einen Zustand mit J = 1. Es bleiben noch zwei m J = 0- Zustände, die zu J = 0 gehören. Es gibt also die folgenden Js: J 2 1 0 Anzahl 2 1 2 b) Bei der LS-Kopplung müssen zuerst die Bahndrehimpulse und die Spins addiert werden. Die Pauli-verträglichen Kombinationen aus der oberen Tabelle sind : Übungsblatt vom 30. 6. 2005 oder 1. 7. 2005 4 c 2005 University of Ulm, Othmar Marti
Übungsblatt 10 PHYS 4100 Grundkurs IV SH 2005 5 m S 1 0 1 m L 2 [(1, +)(1, )] 1 [(1, +)(0, +)] [(1, +)(0, )] [(1, )(0, )] [(1, )(0, +)] 0 [(1, +)( 1, +)] [(1, +)( 1, )] [(1, )( 1, )] [(0, +)(0, )] [(1, )( 1, +)] 1 [(0, +)( 1, +)] [(0, +)( 1, )] [(0, )( 1, )] [(0, )( 1, +)] 2 [( 1, +)( 1, )] wobei m J aus der Summe der m L + m S berechnet wird. Die m J treten mit der folgenden Häufigkeit auf m j 2 1 0 1 2 Anzahl 2 3 5 3 2 Es gibt also 2 Zustände mit m J = 2. Dieser Zustand kann nur zu J = 2 gehören. Deshalb sind jeweils zwei der Zustande zu den kleineren m J zu J = 2 gehörig. Ohne diese Zustände sieht die Tabelle so aus m j 1 0 1 Anzahl 1 3 1 Es gibt also einen Zustand mit J = 1. Es bleiben noch zwei m J = 0- Zustände, die zu J = 0 gehören. Es gibt also die folgenden Js: J 2 1 0 Anzahl 2 1 2 4. Ein d-zustand hat den Drehimpuls l = 2. Der Gesamtdrehimpuls ist also zwischen 0 und 4. Der Spin muss bei geradem L antiparallel sein. Also ist L S Terme Anzahl der Zustände 4 0 1 G 4 9 3 1 3 F 2, 3 F 3, 3 F 4 5 + 7 + 9 = 21 2 0 1 D 2 5 1 1 3 P 0, 3 P 1, 3 P 2 1 + 3 + 5 = 9 0 0 1 S 0 1 Aus den Hundschen Regeln folgt für den Grundzustand L = 3, S = 1, J = 2, also 3 F 2 5. Die Besetzungszahl eines Niveaus 2 mit der Energie E 1, 2 relativ zu einem Niveau 1 ist nach Boltzmann n 2 = n 0 e E 1, 2/(kT ) Entsprechend ist die Besetzungszahl des Niveaus 1 n 1 = n 0 e 0/(kT ) } = n 0 Übungsblatt vom 30. 6. 2005 oder 1. 7. 2005 5 c 2005 University of Ulm, Othmar Marti
6 PHYS 4100 Grundkurs IV SH 2005 Übungsblatt 10 wenn die Gesamtzahl der Atome n = n 1 + n 2 ist, hat man auch n = n 0 ( e E 1, 2 /(kt ) + 1 ) Zusammen also n n 1 (T ) = e E 1, 2/(kT ) + 1 n 2 (T ) = ne E 1, 2/(kT ) e E 1, 2/(kT ) + 1 6. Die Linienbreite von Atomen oder Molekülen hängt von der Geschwindigkeitsverteilung und deshalb von der Temperatur ab Sie hängt vom Druck ab (jeder Stoss ermöglicht einen Übergang, die Lebensdauer der angeregten Niveaux sinkt deshalb). Die natürliche Linienbreite hängt von der Lebensdauer des angeregten Niveaux ab. Verbotene Übergänge haben eine sehr lange Lebensdauer und deshalb eine sehr kleine Linienbreite, immer viel schmaler als erlaubte Übergänge. 7. Die Umhüllende des Pulses ist Der Ort des Pulses ist demnach Ê(x) = E 0 2 sin [(ω t x) k] ω t x x 0 = ω t x Im mitbewegten Koordinatensystem ist Die Fouriertransformation ist Ê(x 0 ) = E 0 2 sin [x 0 k] x 0 FÊ(x 0) = 2πE 0 (Θ( k k) + Θ( k + k) 1) wobei Θ(x) die Heaviside-Funktion ist. Θ(x) = { 0, für x < 0; 1, für x > 0. Übungsblatt vom 30. 6. 2005 oder 1. 7. 2005 6 c 2005 University of Ulm, Othmar Marti
Übungsblatt 10 PHYS 4100 Grundkurs IV SH 2005 7 Die Bandbreite ist also 2 k. Mit der Dispersionsrelation kc = ω bekommt man die Frequenzbreite ω = 2 kc Die Breite hängt von den ersten Minimas der sinc-funktion ab. Diese liegen bei x 0 k = π. Dies ist auch die gesuchte Beziehung ω x 0 = 2πc Bemerkung: Wenn Sie mit Maple rechnen ergibt evalm oft eine wesentliche Vereinfachung der Terme. Übungsblatt vom 30. 6. 2005 oder 1. 7. 2005 7 c 2005 University of Ulm, Othmar Marti