Deutschland Aktuarielle Unternehmensberatung Dynamic Financial Analysis - Risikomodellierung in der Sachversicherung - Dr. Gero Nießen 17. Juni 2003 Zur Person Studium der Mathematik und Informatik an der RWTH Aachen Promotion in Mathematik an der RWTH Aachen 1998-2002: Gerling Allgemeine Versicherung seit 10/2002: EMB Deutschland GmbH Aktuar DAV 2
Hintergrund zu EMB Einer der größten aktuariellen Sach- und Rückversicherungsberater in England International tätig Philosophie des totalen Know-How-Transfers Professional Service Provider of the year 2001 ( The Review ) 3 EMB Deutschland GmbH Im Juli 2001 in Köln gegründet Zuständig für deutschsprachige Kunden Unterstützung für andere europäische Kunden Kombination des englischen Know-Hows mit der lokalen Marktkenntnis 4
Leistungsspektrum von EMB Reservierung Tarifierung & Portfolioanalyse Pricing von Groß- und Rückversicherungsrisiken Analyse von Rückversicherungsprogrammen Dynamic Financial Analysis Unternehmensbewertungen, M&A Schulungen Sonstiges (z.b. IAS-Einführung) 5 Risikomanagement Versicherer haben Risiken auf der Aktiv- und auf der Passivseite ihrer Bilanz Fokus heute: Aktuarielle Techniken zum Risikomanagement auf der Passivseite Unterschied zum ALM (Asset-Liability- Management) bei Lebensversicherungen Notwendig sind andere Konzepte und andere Softwaretools Don t let your life system slow you down 6
DFA: Was ist das? Dynamic Financial Analysis Stochastische Simulation unternehmerischer Zielgrößen Berücksichtigung sämtlicher Einflussfaktoren und Abhängigkeiten Nicht das DFA-Modell Unterschiedlich je nach Fragestellung, Unternehmen, etc. 7 Anwendungen von DFA Unterstützung von Pricingentscheidungen Optimierung von RV-Schutz Analyse von Extremszenarien Kapitalallokation auf Sparten oder Teilgesellschaften Kapitalkosten von Expansion Nicht-deterministische Business-Pläne Argumentationshilfe bei Rating-Agenturen 8
Risiko: Mögliche Quellen UW-Risiko (Versicherungstechnik) Kreditrisiko Anlagerisiko Marktrisiko Operationales Risiko... Quantifizierung als Voraussetzung für DFA Fokus heute: versicherungstechnisches Risiko 9 Festlegung Risikobegriff (Versicherungstechnischer) Verlust Verlust = -(Prämie Schäden Kosten) 10
Messen von Risiko, Risikomaße Mean: -1,5 StdDev: 10,1 VaR @ 99%: 31,2 (Value at Risk) 11 Dichte und Verteilungsfunktion Dichte Verteilungsfunktion 12
Nachteil des Risikomaßes VaR Kumulierte Szenario Wahrscheinlichkeit Verlust Wahrscheinlichkeit Sparte A 1 94% 94% -4.000 2 5% 99% 1.000 3 1% 100% 5.000 Erwartungswert VaR @ 99% 100% -3.660 1.000 VaR (A+B) Sparte B 1 96% 96% -2.000 2 3% 99% 10.000 3 1% 100% 60.000 Erwartungswert VaR @ 99% 100% -1.020 10.000 > VaR(A) + VaR(B) Portefeuille: A+B A1 * B1 90,24% 90,24% -6.000 A2 * B1 4,80% 95,04% -1.000 A3 * B1 0,96% 96,00% 3.000 A1 * B2 2,82% 98,82% 6.000 A2 * B2 0,15% 98,97% 11.000 A3 * B2 0,03% 99,00% 15.000 A1 * B3 0,94% 99,94% 56.000 A2 * B3 0,05% 99,99% 61.000 A3 * B3 0,01% 100,00% 65.000 Erwartungswert VaR @ 99% 100,00% -4.680 15.000 VaR ist nicht kohärent 13 Beispiel mit stetigen Verteilungen Man kann sogar zeigen: Für (z.b.) X, Y ~ LogNormal(1;3) X, Y unabhängig gilt unabhängig von der Wahl des Perzentils: VaR (X+Y) > VaR (X) + VaR (Y) Diese Aussage ist konträr zur Intuition Grund: Mit diesem Beispiel haben wir die Klasse der elliptischen Verteilungen verlassen (und das ist typisch im Bereich der Sachversicherungen!) 14
(Multivariate) Verteilungsklassen Alle Verteilungen Elliptische Verteilungen: Verallgemeinerung der multivariaten Normalverteilung (elliptische Verteilungen sind das affine Bild sphärischer Verteilungen) Sphärische Verteilungen: Verallgemeinerung der multivariaten Standard- Normalverteilung (Unkorrelierte Randverteilungen, symmetrisch mit Erwartungswert 0) 15 Elliptische Verteilungen In diesem Rahmen ist das Risikomaß VaR kohärent (und damit subadditiv). Hier legen die Randverteilungen zusammen mit der Korrelationsmatrix die gemeinsame Verteilung fest. Also reicht es hier aus, als Abhängigkeitsmaß Korrelation zu verwenden. In the elliptical world the use of any positive homogeneous, translation-invariant measure of risk to rank risks or to determine optimal risk-minimizing portfolio weights under the condition that a certain return is attained, is equivalent to the Markowitz approach where the variance is used as a risk measure. Alternative risk measures... give different numerical values, but have no effect on the management of risk. (Embrechts, McNeil, Straumann) Elliptische Verteilungen Sphärische Verteilungen Literatur: Embrechts, McNeil, Straumann (1999): Correlation and dependencies in Risk Management: Properties and pitfalls 16
Vom VaR zum TVaR VaR @ 99,0%: wird mit 1% Wahrscheinlichkeit überschritten, d.h., 1-mal in 100 Jahren VaR @ α% ist der minimale Verlust der (100-α)% schlechtesten Fälle VaR ist eine punktuelle Betrachtung und liefert keine Aussage über die mögliche Höhe eines potentiellen Verlustes TVaR (Tail Value at Risk) ist definiert als der Erwartungswert der Extremereignisse TVaR @ α% ist der erwartete Verlust der (100-α)% schlechtesten Fälle 17 Vom VaR zum TVaR TVaR @ 99%: 40,0 VaR @ 99%: 31,2 18
Eigenschaften von TVaR TVaR ist ein kohärentes Risikomaß auf der Klasse aller Verteilungen Insbesondere ist TVaR stetig und es gilt: TVaR (A+B) TVaR (A) + TVaR (B) Andere Maße sind möglich, z.b. Proportional Hazard IAA Insurer Solvency Assessment Working Party empfiehlt TVaR als Risikomaß in ihrem jüngsten Report (Mai 2003) A Global Framework for Insurer Solvency Assessment 19 Spannungsfeld Kapital viel Kapital wenig Kapital Ratingagenturen Regulierungsbehörden Versicherungsnehmer (Sicherheit) Investor (Rendite) Versicherungsnehmer (günstige Prämie) 20
Risikokapital (I) Wofür benötigt ein Versicherungsunternehmen Kapital? Wie risikofreudig ist das Unternehmen? Welches Rating wird erwartet? Wieviel Kapital wird zum Solvabilitätsnachweis benötigt ( Solvency II )? Die Höhe des Eigenkapitals ist abhängig von dem verwendeten Rechnungslegungsstandard (HGB / US- GAAP / IAS / IFRS /...) Beispiel Eigenkapital der Allianz 2001: HGB: 18,3 Mrd., IAS: 31,6 Mrd. (Quelle: Studie von Prof. Dr. Schradin und Prof. Dr. Farny) 21 Risikokapital (II) Benötigt wird das risikobasierte Kapital Festlegung Risikomaß: hier TVaR (@ 99%) Das Risikokapital des Unternehmens wird dann gewählt als der Wert des Risikomaßes für die Verlustfunktion Verwendung des TVaR @ 99% als Risikokapital bedeutet: Das Unternehmen wird schlechte Jahre (solche, die 1-mal in 100 Jahren oder seltener vorkommen) im Mittel überstehen. 22
Risikokapital: Beispiel Portefeuille Verlust Sparte A Sparte B Gesamt -208-115 -323-83 -174-257 -246 8-238 -157-32 -189-102 -82-184 -246 204-42 -288 371 84 126 40 166 156 40 196 103 97 200 TVaR @ 80% 198 23 Allokation von Risikokapital Aufteilung des Risikokapitals des gesamten Unternehmens auf Teilsegmente (Sparten / Tochtergesellschaften) Zuweisung über Schlüssel berücksichtigt keine Abhängigkeiten und ist daher nicht sachgerecht 24
Allokation von Risikokapital: Warum? Identifikation der Risikotreiber Internes Managementtool: - Performancemessung von Segmenten - Erfolgsabhängige Vergütung - Entscheidung zur Expansion -... Pricing: Bestimmung adäquater Zuschläge Allokation von Kapital oder Kapitalkosten Übertragen der Ziele des Gesamtunternehmens auf Teileinheiten (Teilgesellschaft / Sparte...) 25 Allokation: Beispiel "Spartensicht" "Unternehmenssicht" Verlust Sparte A Sparte B -288-174 -246-115 -246-82 -208-32 -157 8-102 40-83 40 103 97 126 204 156 371 Summe Verlust Sparte A Sparte B Gesamt -208-115 -323-83 -174-257 -246 8-238 -157-32 -189-102 -82-184 -246 204-42 -288 371 84 126 40 166 156 40 196 103 97 200 TVaR @ 80% 141 288 429 TVaR @ 80% 130 68 198 26
Allokation: Beispiel 500 450 400 350 300 250 200 150 100 50 0 288 68 141 130 "Spartensicht" "Unternehmenssicht" Sparte A Sparte B 27 Abhängigkeiten Müssen berücksichtigt werden Zumindest sollten Sensitivitätsanalysen durchgeführt werden populäres Maß: Korrelation Korrelation ist nur in der Klasse der elliptischen Verteilungen ein geeignetes Abhängigkeitsmaß Korrelation ist nicht geeignet, Abhängigkeiten im Tail der Verteilung zu beschreiben Andere Konzepte sind notwendig Copulas 28
Exkurs Copulas Die Abhängigkeit zwischen Zufallsvariablen wird vollständig durch ihre gemeinsame Verteilungsfunktion beschrieben: F ( X x, X x ) ( x1, K, xn) Ρ 1 1 K =, Idee: Separiere F in seine eindimensionalen Randverteilungen und eine Abhängigkeitsstruktur: F( x, K, xn) = C 1 1 ( F ( x ), K, F ( x )) 1 n n n n 29 Gauß sche Copula C Ga ρ ( x, y) = Φ 1 1 ( x) Φ ( y) 1 2 2π (1 ρ ) 1 2 2 ( s 2ρst + t exp 2 2(1 ρ ) 2 ) ds dt Dabei ist Φ die Verteilungsfunktion der eindimensionalen Standardnormalverteilung Die bivariate Standardnormalverteilung mit Korrelationskoeffizient ρ hat diese Copula 30
Copulas und die Klasse der elliptischen Verteilungen Die Randverteilungen einer elliptischen Verteilung sind selbst wieder elliptisch und vom gleichen Typ (identischer Generator). Die Copula (Abhängigkeitsstruktur) einer elliptischen Verteilung ist eindeutig durch diesen Typ (Generatorfunktion) und die Korrelationsmatrix festgelegt. 31 Gumbel Copula C Gu β 1 β β β {( ln x) + ( ln ) } ( x, y) = exp y Diese Copula ist geeignet zur Beschreibung von Tail-Abhängigkeiten 32
Unabhängige Variable Value Scatter Schadenquote B 105 100 95 90 85 80 75 70 65 60 55 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 105 >,5 > 2,5 > 5,4 > 10,8 > 16,2 > 21,7 > 27,1 > 32,5 > 37,9 > 43,3 > 48,7 > 54,1 > 59,6 > 65,0 > 70,4 > 75,8 > 81,2 > 86,6 > 92,0 > 97,4 > 102,9 > 108,3 > 113,7 > 119,1 > 124,5 > 129,9 > 135,3 > 140,8 > 146,2 > 151,6 Schadenquote A Sparte A, Sparte B: Normal(80;5); unabhängig 33 Korrelierte Variable Value Scatter Schadenquote B 105 100 95 90 85 80 75 70 65 60 55 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 105 >,5 > 2,5 > 6,0 > 11,9 > 17,9 > 23,9 > 29,8 > 35,8 > 41,8 > 47,7 > 53,7 > 59,7 > 65,6 > 71,6 > 77,6 > 83,5 > 89,5 > 95,4 > 101,4 > 107,4 > 113,3 > 119,3 > 125,3 > 131,2 > 137,2 > 143,2 > 149,1 > 155,1 > 161,1 > 167,0 Schadenquote A Sparte A, Sparte B: Normal(80;5); Rank-Correlation: 0,5 34
Tail -abhängige Variable Value Scatter Schadenquote B 105 100 95 90 85 80 75 70 65 60 55 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 105 >,5 > 2,5 > 6,5 > 13,0 > 19,6 > 26,1 > 32,6 > 39,1 > 45,6 > 52,1 > 58,7 > 65,2 > 71,7 > 78,2 > 84,7 > 91,2 > 97,8 > 104,3 > 110,8 > 117,3 > 123,8 > 130,3 > 136,9 > 143,4 > 149,9 > 156,4 > 162,9 > 169,4 > 176,0 > 182,5 Schadenquote A Sparte A, Sparte B: Normal(80;5); Gumbel-Copula mit Parameter 1,545; entspricht Rank-Correlation von 0,5 35 Beispiel zur RV-Modellierung Modellierung einer Sparte Prämie: 600.000 Kleinschäden als Block: Gamma-Verteilung Mean: 100.000 StdDev: 15.000 Großschäden als Einzelschäden: Anzahl: Poisson mit Erwartungswert 10 Höhe: Pareto mit Threshold 30.000 und α = 3 Quotenabgabe: 25% XL-Priorität: 100.000 (unlimited, technischer Preis) 36
Ergebnis: Brutto vs. Netto Ergebnis brutto Ergebnis netto Mean 50.321 32.024 Standard Deviation 163.797 110.455 Min -2.363.295-639.217 Max 485.314 348.243 1st percentile -397.774-254.989 5th percentile -233.892-160.897 10th percentile -159.947-113.792 20th percentile -76.129-58.983 30th percentile -20.126-20.653 40th percentile 25.141 11.250 50th percentile 65.862 39.419 60th percentile 104.029 66.964 70th percentile 143.487 95.263 80th percentile 187.154 126.848 90th percentile 243.671 168.290 95th percentile 286.201 199.610 99th percentile 360.972 255.210 37 Ergebnis: Brutto vs. Netto 38
Profit und TVaR: Brutto vs. Netto 39 Bewertung von RV: RoRAC RoRAC: Return on Risk Adjusted Capital Return: Erwartungswert des Gewinns Risk Adjusted Capital: Hier TVaR @ 99% 10,40% 10,20% 10,00% 9,80% 9,60% 9,40% 9,20% 9,00% 8,80% 8,60% 8,40% Brutto Netto RoRAC 9,08% 10,28% 40
Deutschland Aktuarielle Unternehmensberatung Dynamic Financial Analysis - Risikomodellierung in der Sachversicherung - Dr. Gero Nießen 17. Juni 2003