Universität Wien Institut für Betriebswirtschaftslehre ABWL IV: Finanzwirtschaft 400 026/2+7 Univ. Ass. Dr. M.G. Schuster Foliensatz Vertiefungskurs aus ABWL: Finanzwirtschaft im Sommersemester 2004 2. Teil 400 026 / 2 und 7 Univ. Ass. Dr. Matthias G. Schuster c Alle Rechte vorbehalten 2003 2004
Portefeuilletheorie nach Markowitz Portefeuilletheorie nach Markowitz Portefeuilletheorie nach Harry Markowitz (1952) einperiodiges Kapitalanlagemodell Geburtsstunde der Portefeuilletheorie Bildung von Portefeuilles mit mehreren riskanten Wertpapieren (Aktien) eines Investors Annahmen zum Kapitalmarkt: weder Steuern noch Transaktionskosten Wertpapiere sind beliebig teilbar (stetige) Renditen sind normalverteilt oder quadratische Nutzenfunktion des Investors oder Erwartungswert Varianz Entscheidungsregel, (µ, σ 2 ) Prinzip VK ABWL: Finanzwirtschaft, 2. Teil 2
Annahmen über den Investor: Portefeuilletheorie nach Markowitz Vollständige Konkurrenz (kompetitives Verhalten, Preisnehmer) Investoren sind risikoavers und entscheiden rational Investoren maximieren erwarteten Nutzen des Endvermögens: max E(U(W 1 )) max E(U(E(r P ), σ(r P ))) subjektive Wahrscheinlichkeitsverteilungen für unsichere Renditen Auf Grund der Verteilungsannahme bedeutet dies, dass......... VK ABWL: Finanzwirtschaft, 2. Teil 3
Erwartete Portefeuillerendite Portefeuilletheorie nach Markowitz 2 Wertpapiere: E(r P ) = x A E(r A ) + x B E(r B ) mit x A + x B = 1 3 Wertpapiere: E(r P ) = 1 mit n Wertpapiere: E(r P ) = 2 mit VK ABWL: Finanzwirtschaft, 2. Teil 4
Portefeuillerisiko Portefeuilletheorie nach Markowitz 2 Wertpapiere: σ 2 (r P ) = x 2 A σ2 (r A )+x 2 B σ2 (r B )+2 Cov(r A, r B ) x A x B 3 Wertpapiere: σ 2 (r P ) = 3 n Wertpapiere: σ 2 (r P ) = 4 VK ABWL: Finanzwirtschaft, 2. Teil 5
Matrixschreibweise Portefeuilletheorie nach Markowitz x... Vektor wertmäßiger Anteile x = (x 1, x 2,..., x n ) r... Vektor erwarteter Renditen r = (E(r 1 ), E(r 2 ),..., E(r n )) t Σ... Varianz Kovarianz Matrix σ 2 1 σ 2 1,2... σ 2 1,n σ 2 2,1 σ 2 2,2... σ 2 2,n Σ =..... σ 2 n,1 σ 2 n,2... σ 2 n,n mit σ 2 i,j = Cov(r i, r j ) und σ 2 j = V ar(r j). Portefeuillerendite: E(r P ) = 5 Portefeuillevolatilität σ(r P ) = 6 VK ABWL: Finanzwirtschaft, 2. Teil 6
Portefeuilletheorie nach Markowitz Modelle Modell (a): Risikoaversion Minimierung des Portefeuillerisikos bei geg. erwarteter Portefeuillerendite s.t. min x σ 2 (r P ) = j=1 Cov(r j, r k ) x j x k k=1 E(r j ) x j = E(r P ) j=1 x j = 1 j=1 x j 0, für j = 1,..., N VK ABWL: Finanzwirtschaft, 2. Teil 7
Portefeuilletheorie nach Markowitz Modell (b): Rationalität Maximierung der erwarteten Portefeuillerendite bei geg. Portefeuillerisiko s.t. j=1 max E(r P ) = x E(r j ) x j j=1 Cov(r j, r k ) x j x k = σ 2 (r P ) k=1 x j = 1 j=1 x j 0, für j = 1,..., N Modell (c): Bestimmung des MVP min x x j x k Cov(r j, r k ) j=1 k=1 s.t. x j = 1 j=1 x j 0, für j = 1,..., N VK ABWL: Finanzwirtschaft, 2. Teil 8
Portefeuilletheorie nach Black Portefeuilletheorie nach Black (1972) Annahmen wie bei Markowitz Leerverkäufe sind möglich Modelle (a) (c): wie bei Markowitz, allerdings ohne Nicht-Negativitätsbedingungen x i dürfen negativ werden! Konsequenzen im 2 Wertpapierfall: VK ABWL: Finanzwirtschaft, 2. Teil 9
Konsequenzen im 3 Wertpapierfall: Portefeuilletheorie nach Black VK ABWL: Finanzwirtschaft, 2. Teil 10
Portefeuilleauswahl Portefeuilletheorie nach Black Investoren maximieren Nutzen (siehe Annahmen) Isonutzenkurven in der (E(r P ), σ(r P )) Ebene bei Risikoneutralität: bei Risikofreude: bei Risikoaversion: Portefeuilleentscheidung: VK ABWL: Finanzwirtschaft, 2. Teil 11
Portefeuilletheorie nach Tobin Portefeuilletheorie nach Tobin (1958) Annahmen wie bei Markowitz / Black zusätzlich besteht die Möglichkeit Kapital risikolos zu veranlagen Kapital risikolos zu borgen vereinfachende Annahme: Sollzinssatz = r = Habenzinssatz Anteil α wird risikolos veranlagt und Anteil 1 α wird riskant veranlagt Portefeuillerendite: bei riskanter Veranlagung in ein Portefeuille X E(r P ) = 7 VK ABWL: Finanzwirtschaft, 2. Teil 12
Portefeuillerisiko: Portefeuilletheorie nach Tobin Volatilität und Kovarianz des risikolosen Finanzierungstitels: σ(r) =? Cov(r, r j ) =? Volatilität des Portefeuilles: σ(r P ) = 8 bzw. α = 9 VK ABWL: Finanzwirtschaft, 2. Teil 13
Zusammenhang zw. Rendite und Risiko: Portefeuilletheorie nach Tobin E(r P ) = α r + (1 α) E(r X ) Ersetzt man α, durch 1 σ(r P ) σ(r X ), so erhält man E(r P ) = 10 Interpretation: VK ABWL: Finanzwirtschaft, 2. Teil 14
Tangentialportefeuille Portefeuilletheorie nach Tobin In welches riskante Portfolio X soll investiert werden? Tangentialportefeuille M Modell: max Λ = E(r M) r x σ(r M ) n i=1 = E(r j) x j r n n j=1 k=1 x j x k Cov(r j, r k ) = r x r x Σ x t s.t. n x j = 1, j=1 [ ] x j 0 VK ABWL: Finanzwirtschaft, 2. Teil 15
Portefeuilletheorie nach Tobin Bestimmung des Tangentialportfolios Mit Leerverkäufen: über folgendes lineares Gleichungssystem (j = 1,..., n) σ 1,j y 1 + σ 2,j y 2 +... + σ n,j y n = E(r j ) r oder in Matrixschreibweise Σ y = r r Lösung: y = Σ 1 [r r] VK ABWL: Finanzwirtschaft, 2. Teil 16