Magnetismus Elektrizität 9. Jhd: Magnetismus und Elektrizität sind zwei unterschiedliche Aspekte eines neues Konzeptes : Elektromagnetisches Feld Realität: elektrische Ladung elektrisches Feld magnetisches Feld Zeitabhängig (dynamisch) Bewegungsgleichungen des Feldes (die Maxwell Gleichungen ) Überraschung: Licht ist eine MODULATION des elektromagnetischen Feldes Elektromagnetisches Feld Elektromagnetisches Feld Realität: elektrische Ladung Realität: elektrische Ladung elektrisches Feld elektrisches Feld magnetisches Feld magnetisches Feld
MODULATION elektrische Ladungen AMPLITUDE ZEIT elektrische Ladungen positive und negative Ladungen unterscheiden sich in der Richtung der Ablenkung im Magnetfeld es gibt positive und negative Ladungen F = q v B e : Elementarladung q immer in Einheiten von e =.6 0 9 C
Ladung ist an Masse-behaftete Teilchen gebunden Ladung ist an Masse-behaftete Teilchen gebunden q p = e q e = e q p = e qē = e q e = q p genau auf 0 20 fundamentale Ladungsmenge freier Teilchen Gesamt-Ladung bleibt in einem abgeschlossenem System konstant Quarks Proton = uud Neutron = udd Man kann Ladungsträger nicht einzeln erzeugen e =.60277... 0 9 C entweder Ladungsträger trennen oder paarweise ( und -) erzeugen
Gesamt-Ladung bleibt in einem abgeschlossenem System konstant Gesamt-Ladung bleibt in einem abgeschlossenem System konstant in Gewitterwolken Reibungs- Elektrizität H OH - Ionenbildung Paarbildung eines Elektrons und Positrons Zerfall eines Neutrons Ladungstrennung Ladungstrennung A hν A e A A A A e Photo-Ionisation Stoss-Ionisation Reibungs-Elektrizität
Vergleich der Kräfte Atom kollabiert nicht! Gravitation Coulomb-Kraft Stärke F m G = f m 2 G r Q F 2 C = f Q 2 c r 2 F für 2 Protonen 0 34 je nach Vorzeichen Vorzeichen immer anziehend des Produktes Q Q 2 Reichweite r 2 r 2 Neutralisation unmöglich makroskopisch fast immer Proton Elektron p x h QM Heisenberg Unschärferelation Stabilität von Materie Kombination von elektrischen Kräften und Quanteneffekten makroskopische elektrische Eigenschaften Leiter - Nichtleiter Elektronen Affinität Quantenmechanik und statistische Physik
. -. - G Vergleich der Kräfte Coulomb-Kraft Lorentz-Kraft Gravitation Coulomb-Kraft F C = f c Q q r 2 F = q ( E v B ) Stärke F m G = f m 2 G r Q F 2 C = f Q 2 c r 2 F für 2 Protonen 0 34 je nach Vorzeichen Vorzeichen immer anziehend des Produktes Q Q 2 Reichweite r 2 r 2 q Q Neutralisation unmöglich makroskopisch fast immer r Die Fähigkeit, Ladung zu tragen (Kapazität C) Q = C U Lorentz-Kraft Lorentz-Kraft F = q ( E v B ) genügt, wenn die Ladungen ruhen G K wenn sich Ladungen bewegen: Komplikationen wegen Zeitverzögerungen, Beschleunigungen Elektrodynamik : Darstellung nicht über ein Kraftgesetz Der andere Blickwinkel braucht den Feldbegriff
Felder Bisher Felder definiert über die Kraft Das Feld gibt es auch, wenn keine Probeladung vorhanden ist Feldgrößen im Raum Skalares Feld Vektorfeld Graphisch als Vektor Darstellung Darstellung eines Vektorfeldes Feldlinie : Tangente an Feldvektoren eines Vektorfeldes
v(x, y, z, t) abstrakte Funktion : Darstellung eines Vektorfeldes Eigenschaften eines Vektorfeldes Fluss (Fluss aus einem Volumen) Fluss (Fluss aus einem Volumen) Eigenschaften eines Vektorfeldes mittlere Normalkomponente x Oberfläche
K K K Zirkulation mittlere Normalkomponente x Oberfläche Eigenschaften eines Vektorfeldes 4 E? D J K C M E H E? D C A I? D I I A A K H L A Zirkulation Zirkulation mittlere Tangentialkomponente x Umfang mittlere Tangentialkomponente x Umfang
- 8-8 8 - K Fluss (Vorzeichen, Betrag) K Zirkulation (Vorzeichen, Betrag, Richtung) B A I J 4 D H A B I I E C K nabla div v v rot v v Gesetze der Elektrodynamik () Der Fluss von E durch eine geschlossene Oberfläche = (/ɛ 0 ) (Nettoladung innen) wenn keine Ladungen drin sind, dann ist die mittlere Normalkomponente auf der geschlossenen Oberfläche gleich Null G curl Gesetze der Elektrodynamik (2) Gesetze der Elektrodynamik (3) Zirkulation von E entlang der Kurve C = d dt (Fluss von B durch S) @ @ J Der Fluss von B durch eine geschlossene Oberfläche ist gleich Null C ist eine geschlossene Kurve im Raum C bildet die Umrandung der Fläche S S darf beliebig gewölbt sein quellenfrei
. - - 8 Gesetze der Elektrodynamik (4) Gesetze der Elektrodynamik () c 2 (Zirkulation von B entlang C) = d dt (Fluss von E durch S) ɛ 0 (Fluss des elektrischen Stromes durch S) F = q ( E v B ) Lorentz-Kraft @ - @ J G K Die 4 Maxwell Gleichungen die Lorentz Kraft Maxwell - Gleichungen differentielle Form E = ɛ 0 ρ 2 E = B G James Clerk Maxwell (83-879) Hendrik Lorentz (83-928) 3 B = 0 4 B = µ0 j c 2 E ρ = Σq V Ladungsträgerdichte Der Rest der Vorlesung handelt von der Anwendung dieser fünf Gesetze c 2 = (ɛ 0 µ 0 )
- 8 8-8 Maxwell - Gleichungen Maxwell - Gleichungen differentielle Form differentielle Form E = ɛ 0 ρ 2 E = B @ @ J E = ɛ 0 ρ 2 E = B 3 B = 0 3 B = 0 4 B = µ0 j c 2 E 4 B = µ0 j c 2 E c 2 = (ɛ 0 µ 0 ) c 2 = (ɛ 0 µ 0 ) Maxwell - Gleichungen Maxwell - Gleichungen differentielle Form differentielle Form E = ɛ 0 ρ 2 E = B E = ɛ 0 ρ 2 E = B differentielles Volumen 3 B = 0 4 B = µ0 j c 2 E @ - @ J 3 B = 0 4 B = µ0 j c 2 E G c 2 = (ɛ 0 µ 0 ) c 2 = (ɛ 0 µ 0 )
- Satz von Gauss (Fluss) Maxwell - Gleichungen S beliebige geschlossene Oberfläche E E ds = d S V ( ) E dv das darin enthaltene Volumen differentielle Form E = ɛ 0 ρ 2 E = B 3 B = 0 4 B = µ0 j c 2 E @ @ J @ - @ J differentielles Flächenelement c 2 = (ɛ 0 µ 0 ) Satz von Stokes (Zirkulation) Maxwell - Gleichungen C beliebige geschlossene Kurve E E d s = d S S ( ) E ds eine damit aufgespannte Fläche d s 2 3 4 integrale Form S C S C differentielle Form E ds = ρ dv E = ρ ɛ 0 ɛ 0 E d s = d B ds dt E B = B d S = 0 B = 0 B d s = µ 0 j ds d c 2 dt E d S B = µ0 j c 2 E Die Gleichungen verknüpfen E und B (aber nur, wenn die Felder von der Zeit abhängen)
Nabla Operator Vector Differential-Operator Konvention für mathematische Notation Gradient eines skalaren Feldes f grad f := f kartesisch: := ( ) x, y, z = ( x, y, z ) = ( x, y, z ) f = ( Einheitsvektor in Richtung der maximalen f-zunahme ) ( diese maximale Zunahme ) := 3 e i x i i= f = f x e x f y e y f z e z Divergenz eines Vektorfeldes Rotation eines Vektorfeldes div E := E( r) = x E x y E y z E z rot E := E( r) = ( y E z z E y, z E x x E z, x E y y E x ) div E := E( r) = E x x E y y E z z Ein Mass dafür, ob das Feld auf einen Punkt hin konvergiert. Gibt es Quellen oder Senken? E = e x e y e z x y z E x E y E z Pseudo Determinante
.. Nabla Operator 2 Qualitative Experimente Produktregeln: (fg) = f g g f Strom fliesst durch einen Draht, der über einem Stabmagneten hängt. Die Elektronen bewegen sich im Draht mit der Geschwindigkeit v. Wegen (f v) = f v v f (f v) = ( f) v f v F = q v B werden sie abgelenkt und übertragen Impuls auf den Draht. Der Draht bewegt sich. ( u v) = v ( u) u ( v) ) / - 6... Qualitative Experimente (2) Qualitative Experimente (3) Warum bewegt sich auch der Magnet? 4. Gesetz : Strom durch einen Leiter, bedeutet: rot B 0 Das Magnetfeld, das durch den stromführenden Draht erzeugt wird, übt Kraft auf Stabmagneten aus., H = D J Zwei Drähte, jeder führt Strom. Jeder Draht bewirkt ein Magnetfeld am Ort des anderen Drahtes. Die Drähte ziehen sich an, wenn der Strom in dieselbe Richtung fließt. ) / - 6
. H Qualitative Experimente (4) Qualitative Experimente () Ströme und Magnete bewirken magnetische Felder. Ein Strom entspricht einer bewegten Ladung. Wenn wir den Magneten im ersten Experiment durch eine stromdurchflossene Spule ersetzen, erhalten wir das gleiche Ergebnis. F K A J H B = µ 0 j E c 2 Die Zirkulation ist dieselbe für jede beliebige Schleife, die den stromführenden Draht einschließt. B d s = const. @ I H F K A 2πr B = 2πr 2 B 2 = const. J H B(r) r Qualitative Experimente (6) Qualitative Experimente (7) Das Magnetfeld eines Eisenstabes hat als Ursache auch bewegte Ladungen. Woher kommen diese Ströme? Vorstellung: von der Bewegung der Elektronen auf atomaren Bahnen. 3. Gesetz: Es gibt keine magnetischen Ladungen. Bei Teilung eines Magneten entstehen zwei neue Magneten, magnetisches Moment des Elektrons oder des Atomkerns beobachtbar! div B = 0. Wenn die atomaren Momente ungeordnet sind, ergibt sich kein Nettoeffekt. Bei mikroskopischer Ordnung ergibt sich eine makroskopische Magnetisierung. Alle Magnete haben als Ursache einen elektrischen Strom.
Qualitative Experimente (8) Qualitative Experimente (8) Wir laden einen Kondensator auf indem wir den Schalter schließen. Ein Strom I fließt für einige Zeit, obwohl der Stromkreis durch den Kondensator unterbrochen ist. (Zirkulation von B entlang C) (Fluß von I durch S ) C S 2 Qualitative Experimente (8) Qualitative Experimente (8) (Zirkulation von B entlang C) (Fluß von I durch S ) (Zirkulation von B entlang C) (Fluß von I durch S ) Wir zeichnen eine neue Oberfläche S 2, mit der gleichen Berandung C. Diese Fläche schneidet den Leiter nicht, sie schließt sich zwischen den Kondensatorflächen. Kein herkömmlicher Strom fließt durch diese Oberfläche, aber die Zirkulation von B um die Kurve C muß die Gleiche bleiben. Maxwell: Im Kondensator baut sich ein elektrisches Feld auf. (Zirkulation von B entlang C) (Fluss von E durch S 2 ) Zeitliche Änderung des elektrischen Feldes bewirkt magnetische Effekte
Qualitative Experimente (9) Wir bringen ein Strommeßgerät in den Leiterkreis. Jetzt bewegen wir den Draht im Magnetfeld. Wegen F = q v B Qualitative Experimente (0) Jetzt bewegen wir den Magneten und finden ebenso einen Strom, also bewegen sich die Ladungen. Wer bewegt die ruhenden Ladungen? F = qe. Woher kommt das elektrische Feld? Die geschlossene Leiterschleife mit dem Amperemeter bildet die Kurve C und spannt eine Fläche S auf. bewegen sich die Elektronen im Draht und wir beobachten einen Strom = C A J J H ( Zirkulation von E entlang C ) (Fluss von B durch S) = C A J J H = C A J = C A J Qualitative Experimente () Maxwell - Gleichungen Wir schicken durch den Draht einen Wechselstrom I = I 0 sin ωt. Mit einer Kombination von 2. 4. Gesetz lässt sich die Entstehung elektromagnetischer Wellen erklären. Wellen bedeutet hier: Die Felder E und B bewegen sich mit Lichtgeschwindigkeit c von unserer Antenne weg. Wo steckt in den Maxwell Gleichungen die Lichtgeschwindigkeit? c 2 = (ɛ 0 µ 0 ) I E M J - 2 3 4 integrale Form S C S C differentielle Form E ds = ρ dv E = ρ ɛ 0 ɛ 0 E d s = d B ds dt E B = B d S = 0 B = 0 B d s = µ 0 j ds d c 2 dt E d S B = µ0 j c 2 E Die Gleichungen verknüpfen E und B (aber nur, wenn die Felder von der Zeit abhängen)